28- A urna I contém 2 bolas brancas e 3 pretas; a urna II, 4 brancas e 1 preta; a urna III 3 brancas e 4 pretas. Escolhe-se uma urna ao acaso e extrai

\[U_1\]
: Escolher a urna I

\[U_2\]
: Escolher a urna II

\[U_3\]
: Escolher a urna III

\[B\]
: Retirar bola branca

O que queremos no exercício é a probabilidade de
\[U_1\]
dado
\[B\]
.Note que a probabilidade de a bola retirada ser branca depende da urna de qual ela foi retirada, e que como a urna foi escolhida ao acaso suas probabilidades são todas iguais à um terço, assim sendo:

\[\eqalign{ & P(B) = P(B \cap {U_1}) + P(B \cap {U_2}) + P(B \cap {U_3}) \cr & P(B) = P(B\left| {{U_1}} \right.) \cdot P({U_1}) + P(B\left| {{U_2}} \right.) \cdot P({U_2}) + P(B\left| {{U_3}} \right.) \cdot P({U_3}) \cr & P(B) = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{7}} \right) \cr & P(B) = \dfrac{{57}}{{105}} }\]

Mas como queremos \(P(U_1|B)\)seguimos:

\[\eqalign{ & P({U_1}\left| B \right.) = \dfrac{{P({U_1} \cap B)}}{{P(B)}} \cr & P({U_1}\left| B \right.) = \dfrac{{P(B\left| {{U_1}} \right.) \cdot P({U_1})}}{{P(B)}} \cr & P({U_1}\left| B \right.) = \dfrac{{\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3}}}{{\dfrac{{57}}{{105}}}} \cr & P({U_1}\left| B \right.) = \dfrac{2}{{15}} \cdot \dfrac{{105}}{{57}} \cr & P({U_1}\left| B \right.) = \dfrac{{14}}{{57}} }\]

Portanto a probabilidade de ter sido escolhida a primeira urna é \(\boxed{P({U_1}\left| B \right.) = \dfrac{{14}}{{57}}}\)

Olá

Primeiro temos que:

Urna 1: 3 brancas e 2 pretas
Urna 2: 4 brancas e 5 pretas
Urna 3: 3 brancas e 4 pretas

Uma bola da urna 1 foi passada para a urna 2. Vamos dividir em 2 possibilidades:

1ª possibilidade: a bola passada foi uma branca. Lembrando que a probabilidade de retirar uma branca da urna 1 é de 

Então, temos que:

Urna 1: 2 brancas e 2 pretas
Urna 2: 5 brancas e 5 pretas
Urna 3: 3 brancas e 4 pretas

Daí, temos que retirar uma bola da urna 2 e duas bolas da urna 3. Temos que retirar as 3 bolas de mesma cor, ou seja, P' = BBB ou PPP

Logo, 

2ª possibilidade: a bola passada foi uma preta. Lembrando que a probabilidade de retirar uma bola preta da urna 1 é de 

Então, temos que:

Urna 1: 3 brancas e 1 preta
Urna 2: 4 brancas e 6 pretas
Urna 3: 3 brancas e 4 pretas

Daí, P'' = BBB + PPP, ou seja,

Portanto, a probabilidade de saírem as 3 bolas da mesma cor é de P = P' + P''
 = 22%