(Ufba 96) Na questão a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos.Considerando-se as funções reais f(x)=log2(x-1) e g(x)=2^x, é verdade:

1. (01) Para todo x real, x pertence ao domínio da função f ou à imagem da função g.

Para \(f(x)=\log_2(x-1)\) existir, o valor de \((x-1)\) deve ser maior do que zero. Portanto, tem-se o seguinte:

\[\eqalign{ x-1 &>0 \cr x&>1 }\]

Como o domínio de \(f\) não é todo o eixo real, a sentença 01 está _errada_.

1. (02)Os gráficos das funções f e g interceptam-se no ponto (1, 0).

Substituindo \(x=1\) em \(f(x)=\log_2(x-1)\) e em \(g(x)=2^x\), tem-se os seguintes valores:

\[\left\{ \begin{matrix} \eqalign{ f(1)&=\log_2(1-1) \\ g(1)&=2^1 } \end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} f(1)=-\infty \\ g(1)=2 \end{matrix} \right.\]

Como \(f(1)\) e \(g(1)\) são diferentes de zero, a sentença 02 está _errada_.

1. (04) O domínio de fog é R*+

Escrevendo \(fog\), tem-se o seguinte:

\[\eqalign{ fog &= f(g(x)) \cr &=\log_2 (g(x)-1) \\ &=\log_2 (2^x-1) }\]

Para \(f(x)=\log_2(2^x-1)\) existir, o valor de \((2^x-1)\) deve ser maior do que zero. Portanto, tem-se o seguinte:

\[\eqalign{ 2^x-1 &>0 \cr 2^x&>1 \cr x &>\log_2 1 \\ x&>0 }\]

Como o domínio de \(fog\) são os valores reais não negativos, a sentença 04 está _correta_.

1. (08) O valor de f(33). g(-3) é igual a 5/8.

Realizando os cálculos, o valor de \(f(33)\cdot g(-3)\) é:

\[\eqalign{ f(33)\cdot g(-3) &= \log_2 (33-1) \cdot 2^{-3} \\ &= \log_2 (32) \cdot {1 \over 2^{3}} \\ &= 5 \cdot {1 \over 8} \\ &={5 \over 8} }\]

Portanto, a sentença 08 está correta.

1. (16) A função inversa da função f é h(x)=2^x+1.

Realizando os cálculos, a função inversa de \(f(x)=\log_2(x-1)\) é:

\[\eqalign{ x&= \log_2(h(x)-1) \\ 2^x&= h(x)-1 \\ h(x)&=2^x+1 \\ }\]

Portanto, a sentença 16 está correta.

Somando os números das sentenças corretas, tem-se \(04+08+16=28\).

Soma: \(\boxed{28}\).