UFMS Na seleção brasileira de futebol, existem 8jogadores de ataque, 6 de meio-campo, 6 defensores e 3goleiros. Quantos times diferentes podem ser

\[{C_{n,k}} = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\]

Em que \(k\) é a quantidade de sucesso e \(n\) o tamanho da amostra.

Para os goleiros, temos:

\[\eqalign{ {C_{3,1}} &= \dfrac{{3!}}{{1!\left( {3 - 1} \right)!}}\cr&= \dfrac{{3 \cdot 2!}}{{1! \cdot 2!}}\cr&= \dfrac{3}{1}\cr&= 3 }\]

Para os defensores:

\[\eqalign{ {C_{6,4}} &= \dfrac{{6!}}{{4!\left( {6 - 4} \right)!}}\cr&= \dfrac{{6 \cdot 5 \cdot 4!}}{{4! \cdot 2!}}\cr&= \dfrac{{6 \cdot 5}}{{2 \cdot 1}}\cr&= \dfrac{{30}}{2}\cr&= 15 }\]

Para os meios campistas:

\[\eqalign{ {C_{6,3}} &= \dfrac{{6!}}{{3!\left( {6 - 3} \right)!}}\cr&= \dfrac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 3!}}\cr&= \dfrac{{6 \cdot 5 \cdot 4}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}}\cr&= \dfrac{{120}}{6}\cr&= 20 }\]

Por fim, para os atacantes:

\[\eqalign{ {C_{8,3}} &= \dfrac{{8!}}{{3!\left( {8 - 3} \right)!}}\cr&= \dfrac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{3! \cdot 5!}}\cr&= \dfrac{{8 \cdot 7 \cdot 6}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}}\cr&= \dfrac{{336}}{6}\cr&= 56 }\]

Por fim, basta multiplicar as opções de escolhas individuais para determinar quantos times podem ser formados com o plantel disponível:

\[3 \cdot 15 \cdot 20 \cdot 56 = 50.400\]

Portanto, a alternativa b) está correta.