Sabendo que o vetor v=(2,1, -1) formam um ângulo de 60° com o vetor    determinado pelos pontos A( 3, 1, -2) e B(4, 0, m), calcule m?

\[\eqalign{ \overrightarrow{u} &= \overrightarrow{AB}\\ &= B-A \\ &= (4,0,m)-(3,1,-2) \\ &= (1,-1,m+2) }\]

Sendo
\(\alpha=60^{\circ}\)
o ângulo entre
\(\overrightarrow{u}\)
e
\(\overrightarrow{v}\)
tem-se a equação de produto escalar a seguir:

\[\eqalign{ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} &= |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos\alpha \\ u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z &= |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos\alpha \\ }\]

Substituindo os termos conhecidos:

\[\eqalign{ 1\cdot2+(-1)\cdot1+(m+2)\cdot(-1) &= \sqrt{1^2+(-1)^2+(m+2)^2} \cdot \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\cdot \cos60^{\circ} \\ 2-1-m-2 &= \sqrt{1+1+m^2+4m+4} \cdot \sqrt{6}\cdot {1 \over 2} \\ -m-1 &= \sqrt{m^2+4m+6} \cdot {\sqrt{6} \over 2} \\ -{2 \over \sqrt{6}}(m+1) &= \sqrt{m^2+4m+6} }\]

Elevando os dois lados da equação ao quadrado:

\[\eqalign{ (-{2 \over \sqrt{6}}(m+1))^2 &= m^2+4m+6 \\ {4 \over 6}(m^2+2m+1) &= m^2+4m+6 \\ {2 \over 3}(m^2+2m+1) &= m^2+4m+6 \\ 2(m^2+2m+1) &= 3(m^2+4m+6) \\ 2m^2+4m+2 &= 3m^2+12m+18 \\ 0&= m^2+8m+16 \\ 0&= (m+4)^2 \\ m&=-4 }\]

Concluindo, o valor encontrado é
\(\boxed{m=-4}\)