Sabendo que o vetor v=(2,1, -1) formam um ângulo de 60° com o vetor pilha a b com seta para a direita acima determinado pelos pontos A( 3, 1, -2)...

Para determinar o valor de m, podemos usar a fórmula do produto escalar entre dois vetores. Sabemos que o vetor v=(2,1,-1) forma um ângulo de 60° com o vetor AB determinado pelos pontos A(3,1,-2) e B(4,0,m). O produto escalar entre dois vetores é dado pela fórmula: v . AB = |v| * |AB| * cos(θ) Onde v é o vetor v=(2,1,-1), AB é o vetor formado pelos pontos A e B, |v| é o módulo do vetor v, |AB| é o módulo do vetor AB e θ é o ângulo entre os dois vetores. Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor v: |v| = √(2^2 + 1^2 + (-1)^2) = √6 Agora, vamos calcular o módulo do vetor AB: |AB| = √((4-3)^2 + (0-1)^2 + (m-(-2))^2) = √(1^2 + (-1)^2 + (m+2)^2) = √(1 + 1 + (m+2)^2) = √(2 + (m+2)^2) Agora, substituindo os valores na fórmula do produto escalar: v . AB = |v| * |AB| * cos(60°) (2,1,-1) . AB = √6 * √(2 + (m+2)^2) * cos(60°) Para que o ângulo entre os vetores seja de 60°, o produto escalar deve ser igual a metade do produto dos módulos dos vetores: (2,1,-1) . AB = (1/2) * (√6 * √(2 + (m+2)^2)) Agora, vamos calcular o produto escalar: (2,1,-1) . AB = 2*(4-3) + 1*(0-1) + (-1)*(m-(-2)) = 2 + (-1) + (-m+2) = 3 - m Substituindo na equação: 3 - m = (1/2) * (√6 * √(2 + (m+2)^2)) Multiplicando ambos os lados por 2: 6 - 2m = √6 * √(2 + (m+2)^2) Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes: 36 - 24m + 4m^2 = 6 * (2 + (m+2)^2) 36 - 24m + 4m^2 = 12 + 6(m+2)^2 36 - 24m + 4m^2 = 12 + 6(m^2 + 4m + 4) 36 - 24m + 4m^2 = 12 + 6m^2 + 24m + 24 Agrupando os termos: 4m^2 - 6m^2 - 24m + 24m - 12 - 36 = 0 -2m^2 - 48 = 0 Dividindo por -2: m^2 + 24 = 0 m^2 = -24 Como não existe raiz quadrada real de um número negativo, concluímos que não há um valor real para m que satisfaça a condição dada.