Sejam A e Rnixn, B E Rnxr e C = AB.

\[A=\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\\vdots\\L_m\end{pmatrix}\]

\[B=\begin{pmatrix}C_1&C_2&\cdots&C_r\end{pmatrix}\]

Multiplicando, temos:

\[C=AB=\begin{pmatrix}L_1\cdot C_1&L_1\cdot C_2&\cdots&L_1\cdot C_r\\L_2\cdot C_1&L_2\cdot C_2&\cdots&L_2\cdot C_r\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\L_m\cdot C_1&L_m\cdot C_2&\cdots&L_m\cdot C_r\end{pmatrix}\]

(a) Se os vetores coluna de
\(B\)
são linearmente dependentes, então:

\[\exist \vec v=(a_1,a_2,\dots,a_r)^T\neq\vec 0\in \mathbb R^r|B\cdot\vec v=0\]

Mas multiplicando por
\(A\)
pela esquerda, temos:

\[\boxed{AB\cdot \vec v=0}\]

Isto é, os vetores coluna de
\(AB\)
são linearmente dependentes, como o vetor
\(B\)
originalmente.

(b) Vamos aplicar o mesmo para o caso de
\(A\)
ser inicialmente linearmente dependente. Se os vetores linha de
\(A\)
são linearmente dependentes, então:

\[\exist \vec v=(a_1,a_2,\dots,a_r)\neq\vec 0\in \mathbb R^m|\vec v\cdot A=0\]

Mas multiplicando por
\(B\)
pela direita, temos:

\[\boxed{\vec v\cdot AB=0}\]

Isto é, os vetores linha de
\(AB\)
são linearmente dependentes, como o vetor
\(A\)
originalmente.