Descreva geometricamente o efeito dessa transformação linear.
seja L a transformação linear de R2 em si mesmo definida por L(x)= (x cos a — x2 sena, x, sena -I- x2 cos a) 7. Expresse x,, x2 e L(x) em coordenadas polares. Descreva geometricamente o efeito dessa trans-formação linear.
💡 1 Resposta
Andre Smaira
\(L: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2\)
tal que
\(L(x)=(x_1cos\alpha-x_2sen\alpha, x_1sen\alpha+x_2cos\alpha)\)
, sendo
\(x=(x_1,x_2)\)
e
\(\alpha={\arctan\dfrac{x_2}{x_1}}\)
.
Primeiro queremos expressar
\(x_1\)
,
\(x_2\)
e
\(L(x)\)
em coordenadas polares, ou seja, em função de
\(r=\sqrt{x_1^2+x_2^2}\)
e
\(\alpha\)
. Temos que
\(x_1=rcos\alpha\)
e
\(x_2=rsen\alpha\)
. Aplicando
\(L\)
a
\(x=(rcos\alpha,rsen\alpha)\)
, teremos em coordenadas polares
\(L(x)=(rcos^2\alpha-rsen^2\alpha, rsen\alpha cos\alpha+rsen\alpha cos\alpha)\)
. Aplicando identidades trigonométricas a essa transformação, obtemos
\(\boxed{L(x)=(rcos2\alpha,rsen2\alpha)}\)
.
Portanto, percebemos que geometricamente a transformação linear duplica o ângulo entre o vetor e o eixo das abcissas.
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