Encontre a solução do problema de valor inicial y" + 4y' + 3 y = 0, considerando y(0) = 2 e y'(0) = -1

Olá,

Podemos resolver esse problema dando uma pista da solução. Ela vai ser da forma \(y(x)=e^{\lambda x}\), onde \(\lambda\) é uma constante qualquer. Colocando na EDO com suas respectivas derivadas,

\(y" + 4y' + 3 y = 0 \Rightarrow \lambda^2 e^{\lambda x}+4\lambda e^{\lambda x}+3e^{\lambda x}=0\\ \Rightarrow e^{\lambda x}(\lambda^2+4\lambda+3)=0\)

Agora, \(e^{\lambda x}\) nunca se anula para os valores de \(\lambda\) finitos e temos uma multiplicação de 2 fatores que resulta em 0, então o segundo fator deve ser 0: \(\lambda^2+4\lambda+3=0 \Rightarrow \lambda =-3,\,\lambda=-1\). Da primeira raiz, obtemos o conjunto de soluções \(y_1(x)=c_1e^{-3x}\). Da segunda raiz, \(y_2(x)=c_2e^{-x}\). \(c_1\) e \(c_2\) são constantes arbitrárias.

A solução geral é a soma das particulares: \(y_g(x)=y_1(x)+y_2(x)=c_1e^{-3x}+c_2e^{-x}\).

Para as condições de contorno dadas, é só substituir na equação derivando apropriadamente:

\(y(0)=2 \Rightarrow 2=c_1e^0+c_2e^0 \Rightarrow 2=c_1+c_2\)

\(y'(0)=-1 \Rightarrow -1=(c_1e^{-3x}+c_2e^{-x})' \Rightarrow -1=-3c_1e^0-c_2e^0 \Rightarrow -1=-3c_1-c_2\)

Temos então um sistema para resolver:

\( \left \{ \begin{matrix} c_1+c_2=2 \\ -3c_1-c_2=-1 \end{matrix} \right. \Rightarrow c_1=\frac{-1}{2} \,e\,c_2=\frac{5}{2}\). Portanto, a solução é dada por \(y_g(x)=\frac{-1}{2}e^{-3x}+\frac{5}{2}e^{-x}\).

Até.