atividade 2 calculo aplicado

PERGUNTA 1

1. A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função. 
    
   Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função   no ponto P(1,2).

1 pontos   

PERGUNTA 2

1. Considere a função de duas variáveis  , tal que as variáveis   e   são funções da variável  , isto é,   e . A derivada da função   com relação à variável   é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função   com relação às variáveis   e   e precisamos das derivadas das funções   e   com relação à variável  . 
    
   A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função   com relação à variável  , sabendo que   e  . 
    
    

1 pontos   

PERGUNTA 3

1. O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço  , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis  , precisamos verificar se não há restrições para os valores que   e   podem assumir. 
   Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
    
   I. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
    
    
   II. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
    
    
   III. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
    
    
   IV. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
    
     
   Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
    
    

   		I, II, IV, apenas.
   		I, apenas.
   		IV, apenas.
   		I, IV, apenas.
   		II, III, apenas.

1 pontos   

PERGUNTA 4

1. O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade  , medida em  , em todos os pontos de uma placa retangular no plano   dada por  , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade   no ponto  .
    
    

   		A taxa máxima de aumento da densidade é .
   		A taxa máxima de aumento da densidade é .
   		A taxa máxima de aumento da densidade é .
   		A taxa máxima de aumento da densidade é .
   		A taxa máxima de aumento da densidade é .

1 pontos   

PERGUNTA 5

1. A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
    
   A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função  no ponto P(-1,1). 
    
    

1 pontos   

PERGUNTA 6

1. Chamamos de curva de nível da função  o conjunto de todos os pares  pertencentes ao domínio de  tais que, onde  é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. 
     
   Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
     
    

   		A equação  é uma curva de nível para a função  para .
   		A equação  é uma curva de nível para a função  para .
   		A equação  é uma curva de nível para a função  para .
   		A equação  é uma curva de nível para a função  para
   		A equação  é uma curva de nível para a função  para .

1 pontos   

PERGUNTA 7

1. Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível   que passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função   no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como  . 
   A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à função  no ponto P(1,-1).
    
    

1 pontos   

PERGUNTA 8

1. O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função   o vetor gradiente é o vetor  . Dado um ponto  , o vetor gradiente da função   no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão  . 
    
   Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função   no ponto  .
    
    

1 pontos   

PERGUNTA 9

1. O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
    
   Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
    
   I - O domínio da função   é o conjunto  .
   II - O domínio da função   é o conjunto  .
   III - O domínio da função   é o conjunto  .
   IV - O domínio da função   é o conjunto  .
     
     
    

   		I, III, IV
   		I, III
   		I, II, IV
   		I, IV
   		II, III

1 pontos   

PERGUNTA 10

1. Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível. 
    
   A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
     
    

   		Todos os pontos localizados em uma curva de nível possuem alturas diferentes.
   		As curvas de nível representam cortes verticais feitos no gráfico da função.
   		Chama-se curva de nível o conjunto de todas as ternas  tais que .
   		Uma curva de nível também pode ser chamada de mapa de contorno.
   		Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .