Av1 Analise matematica

1)

Ter conhecimento das definições, propriedades e teoremas que envolvem conjuntos e números, são de suma importância na área da Matemática. Diante desses conhecimentos, analise as afirmativas que seguem.

I – O numerador e o denominador de um número racional são primos entre si.

II – O conjuntos dos números racionais é fechado em relação à adição e multiplicação.

III – O conjunto dos números reais é composto pela união dos números racionais e irracionais.

Em relação as afirmações, assinale a alternativa correta.

Alternativas:

• a)I, II e III estão corretas
• b)Apenas I e II estão corretas
• c)Apenas II e III estão corretas
• d)Apenas II está correta.
• e)Apenas III está correta.

2)

Números racionais podem aparecer na forma de fração, na forma de números decimais exatos, na forma de dízimas periódicas, como números inteiros, e como positivos ou negativos. Considerando isso, analise as afirmativas que seguem e marque V quando for verdadeiro ou F quando for falso.

( ) Números decimais podem ter uma parte inteira e uma parte decimal exata.

( ) Em uma divisão, se a parte decimal possui um grupo de números que se repete infinitamente, temos uma dizima periódica.

( ) O conjuntos dos números racionais é enumerável, pois é finito.

Assinale a alternativa que contenha a sequência correta.

Alternativas:

• a)F – V – F.
• b)V – F – V.
• c)V – V – F.
• d)F – F – V.
• e)F – V – V.

3)

De acordo com Souza (2013) um dos marcos ao início do desenvolvimento histórico dos números reais foi a crise pitagórica na Grécia, ocasionada pela descoberta dos segmentos incomensuráveis, que provavelmente deve ter sido feita por um pitagórico, no período entre 500 e 350 a.C. A partir destes estudos e considerando o conjunto dos números reais positivos  , que é um subconjunto próprio dos reais, isto é,  , tal que satisfaz algumas propriedades (Note que ).

SOUZA, J. S. Números reais: Um corpo ordenado e completo. Goiânia, 2013.

Assim, diante disso, analise as afirmativas que seguem, marque V quando for verdadeiro ou F quando for falso.

( ) Dados , tem-se que:  e , ou seja,  é fechado em relação a adição e a multiplicação.

( ) Dados , ocorre exatamente uma das três alternativas: ou  ou  ou , onde 0 é o elemento neutro da adição.

( ) O conjunto dos números reais positivos  pode ser visto como um intervalo aberto a direita.

Assinale a alternativa que contém a sequência correta:

Alternativas:

• a)V – F – V.
• b)V – V – F.
• c)V – V – V.
• d)F – F – V.
• e)V – F – F.

4)

Para demonstrar que o conjunto dos números reais é não-enumerável, utilizamos o Teorema dos intervalos encaixados.

Teorema dos intervalos encaixados: Seja uma sequência de intervalos fechados e limitados . Então existe  tal que x pertence a cada um dos intervalos .

Analise as afirmações a seguir considerando a demonstração da propriedade de que o conjunto dos números reais é não-enumerável.

I. Se supor que  é enumerável, isto é, , chegamos na contradição do Teorema dos intervalos encaixados, onde não encontramos nenhum elemento de  que pertença ao intervalos encaixados.

II. Os intervalos encaixados é definido da seguinte maneira: seja  um intervalo fechado tal que  e . 

III. A sequência dos intervalos  satisfaz a hipótese do Teorema dos intervalos encaixados.

A partir das asserções acima assinale a alternativa correta.

Alternativas:

• a)Apenas I e II estão corretas.
• b)Apenas II e III estão corretas.
• c)Apenas I e III estão corretas.
• d)Apenas I está correta.
• e)Apenas II está correta.

5)

Considerando que o conjunto dos números reais tenha estrutura de corpo e herde a relação de ordem dos números racionais, relacione corretamente os elementos da coluna A com os da coluna B.

COLUNA A

COLUNA B

I – Cota inferior

1 - Considerando um conjunto A, um número  e para todo elemento de y¿A, tivermos x = y.

II – Cota superior

2 – Considerando um conjunto A é a menor das cotas superiores de A em .

III - Supremo

3 – Considerando um conjunto A, um número  e para todo elemento de y ¿ A, tivermos x = y.

Assinale a alternativa que contenha a relação correta.

Alternativas:

• a)I – 2; II – 3; III – 1.
• b)I – 3; II – 1; III – 2.
• c)I – 1; II – 2; III – 3.
• d)I – 3; II – 2; III – 1.
• e)I – 1; II – 3; III – 2.