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Mostrar que 4|(2m-2n), para quaisquer m e n impares.

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Rufino

Como mmm e nnn são impares, então

m=2p1m=2p-1m=2p1 e n=2q1n=2q-1n=2q1,

com p,qZp, q \in \mathbb{Z}p,qZ. Logo,

2m2n=2(2p1)+2(2q1)=4p2+4q2=4(p+q1)=4k2m-2n=2(2p-1)+2(2q-1) = 4p-2+4q-2=4(p+q-1) = 4k2m2n=2(2p1)+2(2q1)=4p2+4q2=4(p+q1)=4k,

com k=p+q1Zk=p+q-1 \in \mathbb{Z}k=p+q1Z.

Portanto, mostramos que existe um inteiro kkk tal que 2m2n=4k2m-2n=4k2m2n=4k, ou seja, 4(2m2n).4 \mid (2m-2n).4(2m2n).

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