Ter conhecimento das definições, propriedades e teoremas que envolvem conjuntos e números, são de suma importância na área da Matemática. Diante desses conhecimentos, analise as afirmativas que seguem.

I – O numerador e o denominador de um número racional são primos entre si.

II – O conjuntos dos números racionais é fechado em relação à adição e multiplicação.

III – O conjunto dos números reais é composto pela união dos números racionais e irracionais.

Em relação as afirmações, assinale a alternativa correta.

Alternativas:

a)I, II e III estão corretas
b)Apenas I e II estão corretas
c)Apenas II e III estão corretas
d)Apenas II está correta.
e)Apenas III está correta.

Números racionais podem aparecer na forma de fração, na forma de números decimais exatos, na forma de dízimas periódicas, como números inteiros, e como positivos ou negativos. Considerando isso, analise as afirmativas que seguem e marque V quando for verdadeiro ou F quando for falso.

( ) Números decimais podem ter uma parte inteira e uma parte decimal exata.

( ) Em uma divisão, se a parte decimal possui um grupo de números que se repete infinitamente, temos uma dizima periódica.

( ) O conjuntos dos números racionais é enumerável, pois é finito.

Assinale a alternativa que contenha a sequência correta.

Alternativas:

a)F – V – F.
b)V – F – V.
c)V – V – F.
d)F – F – V.
e)F – V – V.

De acordo com Souza (2013) um dos marcos ao início do desenvolvimento histórico dos números reais foi a crise pitagórica na Grécia, ocasionada pela descoberta dos segmentos incomensuráveis, que provavelmente deve ter sido feita por um pitagórico, no período entre 500 e 350 a.C. A partir destes estudos e considerando o conjunto dos números reais positivos , que é um subconjunto próprio dos reais, isto é, , tal que satisfaz algumas propriedades (Note que ).

SOUZA, J. S. Números reais: Um corpo ordenado e completo. Goiânia, 2013.

Assim, diante disso, analise as afirmativas que seguem, marque V quando for verdadeiro ou F quando for falso.

( ) Dados , tem-se que: e , ou seja, é fechado em relação a adição e a multiplicação.

( ) Dados , ocorre exatamente uma das três alternativas: ou ou ou , onde 0 é o elemento neutro da adição.

( ) O conjunto dos números reais positivos pode ser visto como um intervalo aberto a direita.

Assinale a alternativa que contém a sequência correta:

Alternativas:

a)V – F – V.
b)V – V – F.
c)V – V – V.
d)F – F – V.
e)V – F – F.

Para demonstrar que o conjunto dos números reais é não-enumerável, utilizamos o Teorema dos intervalos encaixados.

Teorema dos intervalos encaixados: Seja uma sequência de intervalos fechados e limitados . Então existe tal que x pertence a cada um dos intervalos .

Analise as afirmações a seguir considerando a demonstração da propriedade de que o conjunto dos números reais é não-enumerável.

I. Se supor que é enumerável, isto é, , chegamos na contradição do Teorema dos intervalos encaixados, onde não encontramos nenhum elemento de que pertença ao intervalos encaixados.

II. Os intervalos encaixados é definido da seguinte maneira: seja um intervalo fechado tal que e .

III. A sequência dos intervalos satisfaz a hipótese do Teorema dos intervalos encaixados.

A partir das asserções acima assinale a alternativa correta.

Alternativas:

a)Apenas I e II estão corretas.
b)Apenas II e III estão corretas.
c)Apenas I e III estão corretas.
d)Apenas I está correta.
e)Apenas II está correta.

Considerando que o conjunto dos números reais tenha estrutura de corpo e herde a relação de ordem dos números racionais, relacione corretamente os elementos da coluna A com os da coluna B.

COLUNA A

COLUNA B

I – Cota inferior

1 - Considerando um conjunto A, um número e para todo elemento de y¿A, tivermos x = y.

II – Cota superior

2 – Considerando um conjunto A é a menor das cotas superiores de A em .

III - Supremo

3 – Considerando um conjunto A, um número e para todo elemento de y ¿ A, tivermos x = y.

Assinale a alternativa que contenha a relação correta.

Alternativas:

a)I – 2; II – 3; III – 1.
b)I – 3; II – 1; III – 2.
c)I – 1; II – 2; III – 3.
d)I – 3; II – 2; III – 1.
e)I – 1; II – 3; III – 2.

ANALISE

Matemática

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