Determine respectivamente os valores de a e b para que os pontos A (2, a, 3), B (2, 1, - 5) e C (b, -3, 4) sejam colineares.?

Para que os pontos A(2,a,3), B(2,1,-5) e C(b,-3,4) sejam colineares, os vetores AB e BC (por exemplo) precisam ser paralelos. Para isso, o produto vetorial entre AB e BC deve ser zero. Ou seja, AB x BC = 0.

Vetor AB:

-> AB = A - B

-> AB = (2,a,3) - (2,1,-5)

-> AB = (0,a-1,8)

Vetor BC:

-> BC = B - C

-> BC = (2,1,-5) - (b,-3,4)

-> BC = (2-b,4,-9)

Produto vetorial nulo:

-> AB x BC = 0

| i j k |

-> det | 0 a-1 8 | = 0

|2-b 4 -9|

-> (- 9(a-1) - 8*4 )i + ( 8*(2-b) - 0*(-9) )j + ( 0*4 - (a-1)(2-b) )k = 0i + 0j + 0k

-> (- 9a + 9 - 32 )i + ( 16 - 8b )j + ( - (a-1)(2-b) )k = 0i + 0j + 0k

Equação de i:

-> - 9a + 9 - 32 = 0

-> -9a = 23

-> a = -23/9

Equação de j:

-> 16 - 8b = 0

-> b = 2

Verificação da equação de k:

-> - (a-1)(2-b) = 0

-> (-23/9-1)(2-2) = 0

-> (-23/9-1)*0 = 0

-> 0 = 0 (Os valores de a e b são compatíveis)

Solução:

-> a = -23/9

-> b = 2

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