Qual equação vetorial da reta s, que passa no ponto A(1,3,-4), é paralela ao plano π:x+2y+z+5=0, é concorrente a reta d equação r:P=(2,1,0)+a(1,1,3)?

1) Reta r: ponto P= (2, 1, 0) e vetor diretor (1, 1, 3).

Equação paramétrica da reta r: P = (2, 1, 0) + a(1, 1, 3)

{ x = 2 + a

{ y = 1 + a

{ z = 3a

A reta s precisa ser concorrente à reta r. Supondo que esse ponto concorrente é B(x0, y0, z0), as equações de r ficam da seguinte forma:

{ x0 = 2 + a (I)

{ y0 = 1 + a (II)

{ z0 = 3a (III)

Fazendo (I) - (II) e 3*(II) - (III), as equações resultantes são:

{ x0 - y0 = 1 -> { x0 = y0 + 1 (IV)

{ 3y0 - z0 = 3 -> { z0 = 3y0 - 3 (V)

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2) Reta s: como a reta s passa pelos ponto A(1, 3, -4) e B(x0, y0, z0), seu vetor diretor u é:

-> u = B - A

-> u = (x0, y0, z0) - (1, 3, -4)

-> u = (x0 - 1, y0 - 3, z0 + 4)

O plano x + 2y + z + 5 = 0 possui vetor normal n = (1, 2, 1). Como a reta s é paralela a esse plano, tem-se que o vetor u = (x0 - 1, y0 - 3, z0 + 4) é ortogonal ao vetor n. Ou seja, o produto escalar n.u precisa ser zero. Ou seja:

-> n.u = 0

-> (1, 2, 1).(x0 - 1, y0 - 3, z0 + 4) = 0

-> 1*(x0 - 1) + 2*(y0 - 3) + 1*(z0 + 4) = 0

-> x0 - 1 + 2y0 - 6 + z0 + 4 = 0

-> x0 + 2y0 + z0 = 3

Substituindo as equações x0 = y0 + 1 (IV) e z0 = 3y0 - 3 (V), o valor de y0 é:

-> (y0 + 1) + 2y0 + (3y0 - 3) = 3

-> y0 + 2y0 + 3y0 = 3 - 1 + 3

-> 6y0 = 5

-> y0 = 5/6

Portanto, x0 e z0 são:

{ x0 = y0 + 1 = 5/6 + 1 -> { x0 = 11/6

{ z0 = 3y0 - 3 = 3*5/6 - 3 -> { z0 = - 1/2

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Portanto, o ponto B(x0, y0, z0) é:

-> B(x0, y0, z0) = B(11/6, 5/6, - 1/2)

E o vetor diretor u = (x0 - 1, y0 - 3, z0 + 4) da reta s é:

-> u = (x0 - 1, y0 - 3, z0 + 4)

-> u = (11/6 - 1, 5/6 - 3, - 1/2 + 4)

-> u = (5/6, - 13/6, 7/2)

Portanto, a equação vetorial da reta s é:

-> s: B(x0, y0, z0) + t*u

-> s: B(11/6, 5/6, - 1/2) + t(5/6, - 13/6, 7/2)

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