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O que é derivação implícita? Quando ela é necessária? Dê exemplos.like

Cálculo I

UNICEPLAC


2 resposta(s)

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Ana Carolina Restelli

Há mais de um mês

A maioria das funções encontradas até agora eram dadas explicitamente, o que signica que os seus valores f(x) eram calculáveis facilmente. Por exemplo, se

então f(x) pode ser calculado para qualquer valor de x: f(0) = 02 - 0 = 0, f(2) =

22 - 2 = 2, etc. Além disso, f(x) pode ser derivada aplicando simplesmente as regras de derivação:

Mas às vezes, uma função pode ser denida de maneira implícita. Por exemplo, considere a função f denida da seguinte maneira: para um x pertencente R, y = f(x) é denido como a solução da equação

(5.18)

Não o faremos aqui, mas pode ser provado que a cada x corresponde um único y = f(x) que resolve a última equação. Ora, apesar disso permitir denir a função f implicitamente, os seus valores são quase impossíveis de se calcular explicitamente. Por exemplo, é fácil ver que f(0) = 0, f(±π) = ±π, etc., mas outros valores, como f(1) ou f(7) não podem ser escritos de maneira elementar. A diculdade de conhecer os valores exatos de f(x) é devida ao problema de isolar y em (5.18).

Se os valores de uma função já são complicados de se calcular, parece mais difícil ainda estudar a sua derivada. No entanto, veremos agora que em certos casos, informações úteis podem ser extraidas sobre a derivada de uma função, mesmo esta sendo denida de maneira implícita.

Exemplo 5.22. Considere o círculo γ de raio 5 centrado na origem. Suponha, como no Exercício 5.5, que se queira calcular a inclinação da reta tangente a γ no ponto P = (3,-4). Na sua forma implícita, a equação de é dada por

Para calcular a inclinação da reta tangente, é preciso ter uma função que represente o círculo na vizinhança de P, e em seguida calcular a sua derivada neste ponto. Neste caso, ao invés de (5.18), é possível isolar y na equação do círculo. Lembrando que P = (3;-4) pertence à metade inferior do círculo, obtemos y = f(x) = - √25- x2.Logo, a inclinação é dada por

Essa inclinação foi obtida explicitamente, pois foi calculada a partir de uma expressão explícita para f.

Vamos apresentar agora um jeito de fazer que não passa pela determinação precisa da função f. De fato, suponha que a função que descreve o círculo na vizinhança de P seja bem denida: y = y(x) (ou y = f(x)). Já que o gráco de f passa por P, temos y(3) = -4. Mas também, como a função y(x) representa o círculo numa vizinhança de 3, ela satisfaz

(Estamos assumindo que a última expressão dene y(x), mas não a calculamos expliciamente.) Derivamos ambos lados dessa expressão com respeito a x: como (x2)' = 2x, (y(x)2)' = 2y(x)y'(x) (regra da cadeia) e (25)' = 0, obtemos

(5.19)

Isolando y'(x) obtemos

(5.20)

Assim, não conhecemos y(x) explicitamente, somente implicitamente, mas já temos uma informação a respeito da sua derivada. Como o nosso objetivo é calcular a inclina ção da reta tangente em P, precisamos calcular y'(3). Como y(3) = -4, a fórmula (5.20) dá:

Em (5.19) derivamos implicitamente com respeito a x. Isto é, calculamos formalmente a derivada de y(x) supondo que ela existe. Vejamos um outro exemplo.

Exemplo 5.23. Considere a curvaγ do plano denida pelo conjunto dos pontos (x; y) que satisfazem à condição

(5.21)

Observe que o pontopertence a essa curva. Qual é a equação da reta tangente à curva em P?

Supondo que a curva pode ser descrita por uma função y(x) na vizinança de P e

derivando (5.21) com respeito a x,

Logo, a inclinação da reta tangente em P valee a sua equação é

A maioria das funções encontradas até agora eram dadas explicitamente, o que signica que os seus valores f(x) eram calculáveis facilmente. Por exemplo, se

então f(x) pode ser calculado para qualquer valor de x: f(0) = 02 - 0 = 0, f(2) =

22 - 2 = 2, etc. Além disso, f(x) pode ser derivada aplicando simplesmente as regras de derivação:

Mas às vezes, uma função pode ser denida de maneira implícita. Por exemplo, considere a função f denida da seguinte maneira: para um x pertencente R, y = f(x) é denido como a solução da equação

(5.18)

Não o faremos aqui, mas pode ser provado que a cada x corresponde um único y = f(x) que resolve a última equação. Ora, apesar disso permitir denir a função f implicitamente, os seus valores são quase impossíveis de se calcular explicitamente. Por exemplo, é fácil ver que f(0) = 0, f(±π) = ±π, etc., mas outros valores, como f(1) ou f(7) não podem ser escritos de maneira elementar. A diculdade de conhecer os valores exatos de f(x) é devida ao problema de isolar y em (5.18).

Se os valores de uma função já são complicados de se calcular, parece mais difícil ainda estudar a sua derivada. No entanto, veremos agora que em certos casos, informações úteis podem ser extraidas sobre a derivada de uma função, mesmo esta sendo denida de maneira implícita.

Exemplo 5.22. Considere o círculo γ de raio 5 centrado na origem. Suponha, como no Exercício 5.5, que se queira calcular a inclinação da reta tangente a γ no ponto P = (3,-4). Na sua forma implícita, a equação de é dada por

Para calcular a inclinação da reta tangente, é preciso ter uma função que represente o círculo na vizinhança de P, e em seguida calcular a sua derivada neste ponto. Neste caso, ao invés de (5.18), é possível isolar y na equação do círculo. Lembrando que P = (3;-4) pertence à metade inferior do círculo, obtemos y = f(x) = - √25- x2.Logo, a inclinação é dada por

Essa inclinação foi obtida explicitamente, pois foi calculada a partir de uma expressão explícita para f.

Vamos apresentar agora um jeito de fazer que não passa pela determinação precisa da função f. De fato, suponha que a função que descreve o círculo na vizinhança de P seja bem denida: y = y(x) (ou y = f(x)). Já que o gráco de f passa por P, temos y(3) = -4. Mas também, como a função y(x) representa o círculo numa vizinhança de 3, ela satisfaz

(Estamos assumindo que a última expressão dene y(x), mas não a calculamos expliciamente.) Derivamos ambos lados dessa expressão com respeito a x: como (x2)' = 2x, (y(x)2)' = 2y(x)y'(x) (regra da cadeia) e (25)' = 0, obtemos

(5.19)

Isolando y'(x) obtemos

(5.20)

Assim, não conhecemos y(x) explicitamente, somente implicitamente, mas já temos uma informação a respeito da sua derivada. Como o nosso objetivo é calcular a inclina ção da reta tangente em P, precisamos calcular y'(3). Como y(3) = -4, a fórmula (5.20) dá:

Em (5.19) derivamos implicitamente com respeito a x. Isto é, calculamos formalmente a derivada de y(x) supondo que ela existe. Vejamos um outro exemplo.

Exemplo 5.23. Considere a curvaγ do plano denida pelo conjunto dos pontos (x; y) que satisfazem à condição

(5.21)

Observe que o pontopertence a essa curva. Qual é a equação da reta tangente à curva em P?

Supondo que a curva pode ser descrita por uma função y(x) na vizinança de P e

derivando (5.21) com respeito a x,

Logo, a inclinação da reta tangente em P valee a sua equação é

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Rafael Belmont

Há mais de um mês

A derivação implícita, combinada com a regra da cadeia, foi utilizada para encontrar a derivada das funções trigonométricas inversas. De um modo semelhante, deduzimos também a derivada da função ln e vimos a derivação logarítmica.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos estudantes