Tem-se a função f(x) = senx + cosx, x ∈ [0, π]. Portanto, sua primeira derivada é:
-> f'(x) = (senx + cosx)'
-> f'(x) = (senx)' + (cosx)'
-> f'(x) = cosx - senx
E sua segunda derivada é:
-> f''(x) = (cosx - senx)'
-> f''(x) = (cosx)' - (senx)'
-> f''(x) = - senx - cosx
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1) Ponto mínimo (x_min, y_min): f'(x_min) = 0 ; f''(x_min) > 0
2) Ponto máximo (x_max, y_max): f'(x_max) = 0 ; f''(x_max) < 0
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Portanto, os valores de x que satisfazem f'(x) = 0 é:
-> f'(x) = 0
-> cosx - senx = 0
-> senx = cosx
-> senx/cosx = 1
-> tgx = 1
Com x ∈ [0, π]:
-> x = π/4
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Como há apenas um valor de x que satisfaz f'(x) = 0, a função f(x) em x ∈ [0, π] possui ou um ponto de máximo ou um ponto de mínimo. Substituindo x = π/4 em f''(x):
-> f''(x) = - senx - cosx
-> f''(π/4) = - senπ/4 - cosπ/4
-> f''(π/4) = - √(2)/2 - √(2)/2
-> f''(π/4) = - √(2) < 0
Como f''(π/4) é menor do que zero, tem-se que o ponto correspondente a x = π/4 é um ponto de máximo.
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Substituindo x_max = π/4 em f(x), o valor de y_max é:
-> f(x_max) = senx_max + cosx_max
-> y_max = senπ/4 + cosπ/4
-> y_max = √(2)/2 + √(2)/2
-> y_max = √(2)
Portanto, a função f(x) possui um ponto de máximo igual a:
-> (x_max, ymax) = ( π/4, √(2) ).
Conforme dito antes, f(x) não possui ponto de mínimo em x ∈ [0, π].
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