Aula 13 Vetores no espaço produto escalar cossenos diretores 1 2016

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“Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício do 
desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 1 
 
Curso: Engenharia de produção Ano: 2016-1° semestre 
Disciplina: Vetores e Geometria Analítica Turma: PRO215AN/MEC215AN 
Professor: Alice Lima de Souza da Cruz 
 
AULA 13 
Conteúdo: UNIDADE III – Produtos com vetores 
 
Temas: Produto escalar, projeção de vetores e cossenos diretores. 
 
Produto escalar 
 
Definição algébrica 
 
Chama-se produto escalar de dois vetores �⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� e 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗� , e se representa por �⃗� ∙ 𝑣 , ao 
número real 
�⃗� ∙ 𝑣 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 (1) 
O produto escalar �⃗� por 𝑣 também é indicado por < �⃗� ∙ 𝑣 > e lê-se “�⃗� escalar 𝑣 ”. 
 
Exemplos: 
1) Dados os vetores �⃗� = 3𝑖 − 5𝑗 + 8�⃗� e 𝑣 = 4𝑖 − 2𝑗 − �⃗� , tem-se: 
�⃗� ∙ 𝑣 = 3(4) − 5(−2) + 8(−1) = 12 + 10 − 8 = 14 
 
2) Sejam os vetores �⃗� = (3,2,1) 𝑒 𝑣 = (−1,−4,−1): Calcular 
a) (�⃗� + 𝑣 ) ∙ (2�⃗� − 𝑣)⃗⃗⃗⃗ 
Como �⃗� + 𝑣 = (2,−2,0) e 2�⃗� − 𝑣 = (6,4,2) − (−1,−4,−1) = (7,8,3), tem-se 
(�⃗� + 𝑣 ) ∙ (2�⃗� − 𝑣)⃗⃗⃗⃗ = 2(7) − 2(8) + 0(3) = 14 − 16 + 0 = −2 
b) �⃗� ∙ �⃗� 
�⃗� ∙ �⃗� = 3(3) + 2(2) + 1(1) = 32 + 22 + 12 = 9 + 4 + 1 = 14 
 
c) 0⃗ ∙ �⃗� 
0⃗ ∙ �⃗� = (0,0,0) ∙ (3,2,1) = 0(3) + 0(2) + 0(1) = 0 
 
Propriedades do produto escalar 
 
Para quaisquer vetores �⃗� , 𝑣 𝑒 �⃗⃗� e o número real 𝛼, é fácil verificar que: 
I) �⃗� ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ �⃗� 
II) �⃗� ∙ (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙⃗⃗⃗⃗ �⃗⃗� e �⃗⃗� ∙ (𝑣 + �⃗� ) = �⃗� ∙ �⃗⃗� + 𝑣 ∙⃗⃗⃗⃗ �⃗⃗� 
III) 𝛼(�⃗� ∙ 𝑣 ) = (𝛼𝑢 ⃗⃗ ⃗) ∙ 𝑣 = �⃗� ∙ (𝛼𝑣 ) 
IV) �⃗� ∙ �⃗� > 0 se �⃗� ≠ 0 e �⃗� ∙ �⃗� = 0, se �⃗� = (0,0,0) 
V) �⃗� ∙ �⃗� = |�⃗� |2 
De fato, vimos que o módulo do vetor �⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) é dado por: 
 
 
 
 
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|�⃗� | = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2. 
Tendo em vista que 
�⃗� ∙ �⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, 
conclui-se que 
 
�⃗� ∙ �⃗� = √�⃗� ∙ �⃗� , 
ou de modo equivalente, �⃗� ∙ �⃗� = |�⃗� |2. 
 
Exemplo: 
3) Sendo |�⃗� | = 4, |𝑣 | = 2 e �⃗� ∙ 𝑣 = 3, calcular (3�⃗� − 2𝑣 ) ∙ (−�⃗� + 4𝑣 ) (propriedade II) 
 
(3�⃗� − 2𝑣 ) ∙ (−�⃗� + 4𝑣 ) = 3�⃗� ∙ (−�⃗� + 4𝑣 ) − 2𝑣 ∙ (−�⃗� + 4𝑣 ) 
= −3�⃗� ∙ �⃗� + 12�⃗� ∙ 𝑣 + 2𝑣 ∙ �⃗� − 8𝑣 ∙ 𝑣 
= −3|�⃗� |2 + 14�⃗� ∙ 𝑣 − 8|𝑣 |2 
= −3|4|2 + 14(3) − 8|2|2 
= −48 + 42 − 32 
= −38 
4) Mostrar que |�⃗� + 𝑣 |2 = |�⃗� |2 + 2�⃗� ∙ 𝑣 + |𝑣 |2. 
|�⃗� + 𝑣 |2 = (�⃗� + 𝑣 ) ∙ (�⃗� + 𝑣 ) 
= �⃗� ∙ (�⃗� + 𝑣 ) + 𝑣 ∙ (�⃗� + 𝑣 ) 
= �⃗� ∙ �⃗� + �⃗� ∙ 𝑣 + 𝑣 ∙ �⃗� + 𝑣 ∙ 𝑣 
= |�⃗� |2 + 2�⃗� ∙ 𝑣 + |𝑣 |2 
 
Definição geométrica de produto escalar 
 
Se �⃗� 𝑒 𝑣 são vetores não nulos e 𝜃 o ângulo entre eles, então 
 
�⃗� ∙ 𝑣 = |�⃗� ||𝑣 | cos 𝜃 (2) 
 
Aplicando a lei dos cossenos para ângulos para a soma de dois vetores, temos 
|�⃗� + 𝑣 |2 = |�⃗� |2 + |𝑣 |2 + 2�⃗� ∙ 𝑣 
|�⃗� + 𝑣 |2 = |�⃗� |2 + |𝑣 |2 + 2|�⃗� ||𝑣 | cos𝜃 (3) 
 
Por outro lado, de acordo com o exemplo anterior 
|�⃗� + 𝑣 |2 = |�⃗� |2 + |𝑣 |2 + 2�⃗� ∙ 𝑣 (4) 
Comparando as duas igualdades (3) e (4): 
|�⃗� |2 + |𝑣 |2 + 2�⃗� ∙ 𝑣 = |�⃗� |2 + |𝑣 |2 + 2|�⃗� ||𝑣 | cos 𝜃 
E então 
�⃗� ∙ 𝑣 = |�⃗� ||𝑣 | cos𝜃 , 0° ≤ 𝜃 ≤ 180° 
Conclusão: O produto escalar de dois vetores não nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno dos 
ângulos formado por eles. 
 
 
 
 
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Exemplo: |�⃗� | = 2, |𝑣 | = 3 e 120° o ângulo entre �⃗� 𝑒 𝑣 , calcular: 
a) �⃗� ∙ 𝑣 
Pela relação 2, tem-se 
�⃗� ∙ 𝑣 = |�⃗� ||𝑣 | cos120° = (2)(3) (−
1
2
) = −3 
 
 
Como em (2) o sinal de �⃗� ∙ 𝑣 é o mesmo de cos𝜃, conclui-se que 
I) �⃗� ∙ 𝑣 > 0⇔ cos𝜃 > 0 ⇔ 0° ≤ 𝜃 < 90° 
II) �⃗� ∙ 𝑣 < 0⇔ cos𝜃 < 0 ⇔ 90° < 𝜃 ≤ 180° 
III) �⃗� ∙ 𝑣 = 0⇔ cos𝜃 ⇔ 𝜃 = 90° 
 
Esta afirmação estabelece a condição de ortogonalidade de dois vetores: 
 
“Dois vetores �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� são ortogonais se, e somente se, �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� = 𝟎”. 
Exemplo: 
5) Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais: 
a) �⃗� = (1,−2,3) 𝑒 𝑣 = (4,5,2) 
�⃗� ∙ 𝑣 = 1(4)` − 2(5) + 3(2) = 4 − 10 + 6 = 0 
 
b) 𝑖 𝑒 𝑗 
 
Cálculo do ângulo de dois vetores 
 
Da igualdade �⃗� ∙ 𝑣 = |�⃗� ||𝑣 | cos 𝜃, vem 
 
 
 
 
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cos𝜃 =
�⃗� ∙ 𝑣 
|�⃗� ||𝑣 |
 (5) 
 
fórmula a partir da qual se calcula o ângulo entre os vetores �⃗� 𝑒 𝑣 não nulos. 
 
Exemplo: 
6) Calcular o ângulo entre os vetores �⃗� = (1,1,4)𝑒 𝑣 = (−1,2,2). 
cos 𝜃 =
�⃗� ∙ 𝑣 
|�⃗� ||𝑣 |
=
(1,1,4) ∙ (−1,2,2)
√12 + 12 + 42√(−1)2 + 22 + 22
=
−1 + 2 + 8
√18√9
=
9
9√2
=
1
√2
=
√2
2
 
Logo 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos (
√2
2
) = 45° 
 
Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor 
 
Seja o vetor �⃗� = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧�⃗� não nulo. 
 
Ângulos diretores de �⃗� são os ângulos 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 que �⃗� forma com os vetores unitários 𝑖 , 𝑗 𝑒 �⃗� da base ortonormal, 
respectivamente. 
Cossenos diretores de �⃗� são os cossenos de seus ângulos diretores, ou seja, cos 𝛼, cos 𝛽 𝑒 cos 𝛾. 
 
 
 
 
Para o cálculo desses valores utilizaremos a fórmula (5): 
 
cos 𝛼 =
�⃗� ∙ 𝑖 
|�⃗� ||𝑖 |
=
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ (1,0,0)
|�⃗� |(1)
 =
𝑥
|�⃗� |
 
cos𝛽 =
�⃗� ∙ 𝑗 
|�⃗� ||𝑗 |
=
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ (0,1,0)
|�⃗� |(1)
 =
𝑦
|�⃗� |
 
cos 𝛾 =
�⃗� ∙ �⃗� 
|�⃗� ||�⃗� |
=
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ (0,0,1)
|�⃗� |(1)
 =
𝑧
|�⃗� |
 
Notemos que os cossenos diretores de �⃗� são precisamente os componentes do vetor de �⃗� . 
�⃗� 
|�⃗� |
=
𝑥, 𝑦, 𝑧
|�⃗� |
= (
𝑥
|�⃗� |
,
𝑦
|�⃗� |
,
𝑧
|�⃗� |
) = (cos𝛼, cos 𝛽 , cos 𝛾) 
 
 
 
 
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O versor é um vetor unitário, ou seja seu módulo é igual a 1, decorre imediatamente que: 
cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾 = ((
𝑥
|�⃗⃗� |
)
2
+ (
𝑦
|�⃗⃗� |
)
2
+ (
𝑧
|�⃗⃗� |
)
2
) =
𝑥2+𝑦2+𝑧2
|�⃗⃗� |2
=
|�⃗⃗� |2
|�⃗⃗� |2
= 1 (6) 
 
 
Exemplo: 
 
7) Calcular os ângulos diretores de �⃗� = (1,−1,0). 
Utilizando (6), temos: 
cos 𝛼 =
1
√2
=
√2
2
 ∴ 𝛼 = 45° 
cos𝛽 =
−1
√2
= −
√2
2
 ∴ 𝛼 = 135° 
cos 𝛾 =
0
√2
= 0 ∴ 𝛼 = 90° 
 
Observação: Todas as operações e definições propostas anteriormente, se fazem verdadeiras também para vetores 
no R². 
 
Projeção de um vetor sobre outro 
 
 
 
 
 
 
 
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O resultado é um vetor de coordenadas da projeção de �⃗⃗� sobre �⃗⃗� . 
 
 
Observação: “O comprimento do vetor �⃗⃗� sobre �⃗⃗� , sendo �⃗⃗� unitário, é igual ao módulo do produto escalar de �⃗⃗� por 
�⃗⃗� ”. 
 
Exercícios do capítulo 2 do livro Vetores e geometria analítica, Paulo Winterle, 2ª ed., Pearson. 
 
1) 
2) 
8) 
13) 
15) 
25) 
32) 
40) 
44) 
 
 
Bibliografia: 
Vetores e geometria analítica, Paulo Winterle,2ª ed., Pearson.