(Integral Dupla)b (x2+ y2) dx dy onde B = {(x, y) ∈ ℝ2| 1 ≤ x2+ y2≤ 4}.

Integral dupla:

-> A = ∫∫ (x² + y²) dx dy

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Aplicando coordenadas polares, tem-se x = rcosθ, y = rsenθ, x² + y² = r² e dx dy = r dr dθ.

Com { (x, y) ∈ ℝ² | 1 ≤ x²+ y² ≤ 4 }, os limites de r e θ são:

-> 1² ≤ r² ≤ 2²

{ 1 < r < 2

{ 0 < θ < 2π

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Com isso, a integral fica da seguinte forma:

-> A = ∫∫ (x² + y²) dx dy

-> A = ∫∫ (r²) r dr dθ

-> A = ∫∫ r³ dr dθ

Integrando em r e substituindo 1 < r < 2:

-> A = ∫ [ r⁴/4 ] dθ

-> A = ∫ [ 2⁴/4 - 1⁴/4 ] dθ

-> A = ∫ [ 16/4 - 1/4 ] dθ

-> A = 15/4 ∫ dθ

Integrando em θ e substituindo 0 < θ < 2π, o valor da integral é:

-> A = 15/4 [ θ ]

-> A = 15/4 [ 2π - 0 ]

-> A = 15/4 [ 2π ]

-> A = 30π/4

-> A = 7,5π

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Solução: 7,5π.

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