Um contador Geiger-Muller é um detector de radiação que consiste basicamente de um cilindro oco (o catodo) de raio ra e um fio cilíndrico coaxial (o anodo) de raio rb . A carga por unidade de comprimento no anodo é λ, enquanto que a carga por unidade de comprimento no catodo é -λ . a) mostre que o módulo da diferença de potencial entre o fio e o cilindro é:
b) mostre que o módulo do campo elétrico nesta região é dado por:
onde r é a distância do centro do anodo ao ponto onde o campo deve ser calculado.
Lei de Gauss: tem-se uma carga total Qint, localizada dentro de uma superfície fechada de permissividade elétrica ε₀ (vácuo), que gera um campo elétrico E no elemento de área dA da superfície. Com isso, a equação da Lei de Gauss é:
-> ∫ E dA = Qint/ε₀
Considerações:
. Considerando uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento l, a área lateral do cilindro é A = 2πr⋅l.
. Com densidade linear de carga igual a λ no anodo, a carga dentro da superfície gaussiana é Qint = λ⋅l.
Com isso, a equação do campo elétrico E gerado pelo cilindro é:
-> ∫ E dA = Qint/ε₀
-> E⋅A = Qint/ε₀
-> E⋅2πr⋅l = λ⋅l/ε₀
-> E = λ/(2πr⋅ε₀) (I)
---------------------------------------------------------------
a)
O campo elétrico encontrado (E) possui apenas o componente radial. Portanto, a equação da diferença de potencial elétrico (ΔV) entre um ponto 'a' (a uma distância r_a do centro do cilindro) e um ponto 'b' (em relação a uma distância r_b do centro do cilindro) fica da seguinte forma:
-> ΔV = ∫ E dr
-> ΔV = ∫ λ/(2πr⋅ε₀) dr
-> ΔV = λ/(2πε₀) ∫ dr/r
Integrando em r_b < r < r_a:
-> ΔV = λ/(2πε₀)[ ln(r) ]
-> ΔV = λ/(2πε₀)[ ln(r_a) - ln(r_b) ]
-> ΔV = λ/(2πε₀) ln(r_a/r_b) (II)
---------------------------------------------------------------
b)
Equações (I) e (II):
{ E = λ/(2πr⋅ε₀) (I)
{ ΔV = λ/(2πε₀) ln(r_a/r_b) (II)
Multiplicando e dividindo a equação (II) por r:
-> ΔV = λ/(2πε₀) ln(r_a/r_b) ⋅ (r/r)
-> ΔV = λ/(2πr⋅ε₀) r⋅ln(r_a/r_b)
Substituindo a equação E = λ/(2πr⋅ε₀) (I):
-> ΔV = λ/(2πr⋅ε₀) r⋅ln(r_a/r_b)
-> ΔV = E⋅r⋅ln(r_a/r_b)
-> ΔV/[ r⋅ln(r_a/r_b) ] = E
-> E = ΔV/[ ln(r_a/r_b) ]⋅(1/r) (III)
---------------------------------------------------------------
Se gostou, dá um joinha!
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta
Compartilhar