Prove por indução matemática as seguintes igualdades: a) 2+6 +10+...+(4n -2)= 2n² b) 1+5 +9 +... +(4n-3) =n(2n-1) c) 1²+2²+3²+ ⋯+????²=????(????+1)(2????+1)/6

a) 2 + 6 + 10 + ⋯ + (4???? − 2) = 2????2

i) Provando que é verdadeiro para n=1

L.E. = 2

L.D = 2.12

Portanto, é verdadeiro para n=1

ii) (Hipótese de indução) Supondo que é verdadeiro para n=k

2+4+6+10+ ⋯ + (4k − 2) = 2k2

iii) Provando que é verdadeiro para n=k+1

2+4+6+10 + ⋯ + (4k − 2)+[4(k+1)-2] = 2(k+1)2

2+4+6+10 + ⋯ + (4k − 2)+[4k+4-2] = 2(k+1)2

2+4+6+10 + ⋯ + (4k − 2)+(4k+2) = 2(k+1)2

Com essa hipótese da indução, temos que:

 2+4+6+10 + ⋯ + (4k − 2)= 2k2

Que ao substituir, resulta em:

2k2 + 4k + 2=2(k2+2k+1)= 2(k+1)2

que é igual ao L.D.

Portanto: 

2 + 6 + 10 + ⋯ + (4???? − 2) = 2????2,   n1