Dados r₁, r₂, r₃, radios de los tres círculos "semi-inscritos" en el interior de un triángulo (tangentes a 2 lados y al círculo inscrito),...

ATENCIÓN: LA REDACCIÓN ORIGINAL DE ESTA PREGUNTA ERA:

Dados r₁ , r₂ , r₃ , radios de los tres círculos "semi-inscritos" en el interior de un triángulo (tangentes a 2 lados y al círculo inscrito), resolver el triángulo (lados y ángulos) ¿Es constructible el triángulo exactamente con solo regla y compás?

[ Ignoro porqué se cambia la redacción para empeorarla con errores sintácticos o ambigüedades innecesarias (el gerundio en castellano no representa una orden, mandato, encargo o petición, por eso uso el infinitivo "resolver" y no el gerundio "resolviendo", que tal vez suene a calco sintáctico del inglés , pero aún más extraño es que a su propio autor (yo mismo) le sometan a revisión su rectificación -durante días - para devolver a la pregunta su redacción original ].

He aquí un problema nada trivial que me planteé hace algún tiempo, y que me parece muy interesante. Lo publiqué como pregunta de Quora, nadie lo resolvió, y mi pregunta fue eliminada; no sé porqué. Vuelvo a repetirla, pero esta vez la contestaré yo mismo, para aquellos escasos compañeros de Quora interesados en cuestiones de esta índole.

Mi solución del problema es original, hasta donde yo sé; porque aun después de haber revisado centenares de libros, artículos y páginas WEB, no lo he encontrado resuelto en ninguna parte, ni aún enunciado siquiera. Ignoro, pues, si antes de ahora ha sido publicado el enunciado del problema, y si también se ha resuelto anteriormente.

Dedico este problema a Pablo Serrano, nuestro gran geómetra de Quora.

Para que la solución pueda seguirla, sin perderse, cualquier persona no muy versada en la geometría del triángulo, expondré previamente algunos hechos clásicos y muy conocidos, que luego empleo en la solución del problema.

FIGURA 1: El círculo inscrito y los segmentos determinados sobre los lados

Como se sabe, el centro del círculo inscrito es el punto de concurso de las tres bisectrices interiores, puesto que cada una de ellas es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados cuyo ángulo bisecan.

Nos proponemos averiguar la medida de los seis segmentos que el círculo inscrito determina sobre los lados del triángulo, es decir,

???????? y ???????? ; ???????? y ???????? ; ???????? y ????????.

Como es sabido, la geometría euclídea plana demuestra que los segmentos de las tangentes trazadas a una circunferencia desde un punto exterior a ella, cuyos extremos son el punto exterior y el punto de tangencia, tienen la misma longitud.

De modo que ???????? = ???????? ; ???????? = ???????? ; ???????? = ???????? (*). Sumando todos:

???????? + ???????? + ???????? + ???????? + ???????? + ???????? = (???????? +????????)+(???????? + ????????)+(????????+????????)=

= a+b+c = 2p, donde como siempre, p representa el semiperímetro del triángulo, es decir, la mitad del perímetro, siendo el perímetro la suma de todos los lados = a+b+c. Pero entonces, de las igualdades (*),

2 ???????? + 2 ???????? + 2 ???????? = 2 p →

???????? + ???????? + ???????? = p → ???????? = p - ( ???????? + ????????) = p - ( ???????? + ????????) = p - a.

En definitiva, ???????? = ???????? = p - a; y análogamente, ???????? = ???????? = p - b,

???????? = ???????? = p - c ; fórmulas que se recuerdan muy bien con palabras:

Cada par de segmentos iguales determinados por el círculo inscrito en uno de los ángulos del triángulo es igual a la diferencia entre el semiperímetro del triángulo y el lado opuesto al ángulo que forman (véase la FIGURA 2).

FIGURA 2

FIGURA 3 : Los tres círculos semi-inscritos.

Lo primero que debemos demostrar es que en todo triángulo (plano) pueden inscribirse los tres círculos semi-inscritos, es decir, que existen siempre tales círculos en cualquier triángulo posible.

Como se aprecia en la FIGURA 3, si se traza la perpendicular a una bisectriz interior cualquiera (en color verde) que además sea tangente al círculo inscrito (por ejemplo, en el punto U de la figura anterior), es decir, refiriéndonos a un ejemplo concreto en la figura 3, que pase por el punto (U) donde la bisectriz del ángulo B corta al círculo inscrito, esa tangente al círculo (en rojo) forma un triángulo más pequeño (dos lados negros y uno rojo) y en ese triángulo podemos siempre inscribir un círculo; ese círculo será el círculo semi-inscrito buscado, correspondiente al ángulo B, y lo mismo para los otros ángulos A y C. Y será el buscado porque por tener su centro en la bisectriz del ángulo de su vértice (B en el ejemplo) equidista de los lados del ángulo y comparte (en U) el punto de tangencia con el círculo inscrito, pues el lado perpendicular a la bisectriz es tangente común a ambos círculos, lo que deriva de la propiedad general de que la tangente a un círculo es siempre perpendicular al radio en el punto de contacto. Así que siempre se puede construir en cada ángulo interior de un triángulo su correspondiente círculo semi-inscrito (yo lo llamo así, pero la terminología es exclusivamente mía, no sé si recibe otros nombres ).

El problema que aquí nos planteamos es más difícil: es el recíproco, esto es:

si dados los radios de los círculos semi-inscritos de un triángulo desconocido, podemos reconstruir el triángulo a partir de esos tres datos. Y si podemos -o no- efectuar la construcción con solo regla y compás, es decir, si podemos -o no- resolver el triángulo geométricamente, y no solo analítica o numéricamente.

FIGURA 4: (Trazada a mano)

Vamos a establecer la conexión entre r, radio del círculo inscrito al triángulo y r₁ , radio del círculo que yo llamo semi-inscrito en el ángulo A. Lo mismo se puede hacer con los ángulos B y C, solo que con las fórmulas que obtendremos para el ángulo A deduciremos inmediatamente las de B y C mediante permutación circular, siendo éste un atajo muy útil en problemas sobre triángulos; es decir, la sustitución de A por B , B por C , C por A, y lo mismo con los lados, si es que aparecen, se transformarían igualmente a→b, b→c, c→a; esto evita repetir toda la construcción para cada ángulo, aunque los lectores "desconfiados" pueden seguir este camino más largo y repetitivo…

En la figura 4, hemos trazado a propósito el segmento ???????? paralelo a ????????, o sea, ???????? || ???????? por construcción, por lo cual, como ???????? es perpendicular a ???????? (la tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto) , toda paralela a ???????? es perpendicular a ????????, así que, en particular, será ???????? perpendicular a ????????.

En la figura 4 se ve que x = ???????? = r + r₁.

TRIÁNGULO ???????????? :

En el triángulo ???????????? tenemos áng. ???????????? = áng. ???????????? = A/2 , por ser ángulos "correspondientes": es decir, ángulos no adyacentes, uno interno y otro externo, situados del mismo lado de la secante común ????????, que corta a las dos paralelas determinadas por ???????? y ????????.

En esa situación, los ángulos "correspondientes" siempre son iguales, como afirma el teorema básico de la geometría elemental sobre una recta secante que corta a un sistema de dos o más rectas paralelas.

Evidentemente, el otro ángulo agudo en el triángulo ???????????? será el complementario,

90º - A/2 , dado que el áng. ???????????? = 90º, ya que sabemos que ???????? es perpendicular a ???????? y por tanto a ????????, siendo que están ambos sobre la misma recta.

Así que en el triángulo rectángulo ???????????? tenemos:

sen (A/2) = ????????/???????? ; cos (A/2) = ????????/???????? → (puesto que ???????? = x) →

???????? = x sen (A/2) ; ???????? = x cos (A/2) (fórmulas F.1).

TRIÁNGULO ????????????:

Consideremos ahora el triángulo ????????????. Vemos que es áng. ???????????? = 90º, por ser ???????? tangente al círculo inscrito en el punto de contacto ????.

También es áng. ???????????? = A/2, puesto que ???????? es la bisectriz del ángulo A.

En el triángulo ????????????, el lado ???????? = p-a, como hemos visto al principio, pues es uno de los segmentos determinados por el círculo inscrito sobre el lado c, y su valor será, como se ha demostrado, la diferencia entre el semiperímetro p y el lado opuesto al ángulo A, es decir, el lado a, como afirmábamos. También es, ciertamente, ???????? = r.

TRIÁNGULO ????????????:

Considerando el triángulo ????????????, vemos que ???????? = r₁ , y que el triángulo es rectángulo en ????, por ser ???????? tangente al círculo semi-inscrito en el ángulo A, luego áng. ???????????? = 90º.

áng. ???????????? = A/2, de modo que los triángulos rectángulos ???????????? y ???????????? son semejantes: ???????????? ~ ????????????, por tener en común un ángulo agudo (eso implica que los tres ángulos son iguales en ambos triángulos y por tanto, su semejanza). De modo que podemos establecer la proporcionalidad de sus lados, escribiendo la igualdad de las razones de lados que se oponen a un mismo ángulo (???????? se opone al áng. recto, como ????????, etc.):

????????/???????? = ????????/???????? = ????????/???????? → (tomando las dos últimas razones) →

r/r₁ = (p-a)/???????? → ???????? = (r₁/r) (p-a).

Ahora bien, el cuadrilátero ???????????????? es un paralelogramo, pues los lados opuestos son paralelos, ya que ???????? || ????????, por ser ambos perpendiculares a una misma recta (????????, o bien, la recta que contiene al lado c; de nuevo, el mismo argumento: la tangente en el punto de contacto es perpendicular al radio); y también es ???????? || ????????, por construcción (lo hemos elegido así); además, todos los ángulos del paralelogramo son rectos, pues ???????? y ???????? son perpendiculares al lado c, y por tanto al segmento contenido en él, ???????? ; y siendo ???????? perpendicular a ????????, toda paralela suya, como ???????? ha de ser perpendicular a ????????; de modo que el cuadrilátero ???????????????? es un rectángulo, en el que se verifica la propiedad de igualdad de los lados opuestos (también se cumple en todo paralelogramo aunque no sea rectángulo); por lo tanto,

???????? = ???????? = ???????? - ???????? = (p-a) - (r₁/r) (p-a) = (p-a) [1-(r₁/r) ].

Pero ya dedujimos antes otra fórmula para ???????? (F.1) → ???????? = x cos (A/2),

donde x = r + r₁ , así que igualando ambos valores de ???????? :

(p-a) [1-(r₁/r) ] = (r + r₁) cos (A/2) (F.2)

He aquí la clave que conecta ambos radios, el del círculo inscrito y el del círculo semi-inscrito en el ángulo A.

Suponiendo conocido el triángulo (es decir, sus lados y ángulos, o bien cualesquiera datos que permitan resolver el triángulo), se puede despejar el valor de r₁. Y de manera totalmente análoga obtendríamos igualdades homólogas para r₂ , r₃ , planteando los mismos cálculos en los ángulos B y C,

(p-b) [1-(r₂/r) ] = (r + r₂) cos (B/2) (F.3)

(p-c) [1-(r₃/r) ] = (r + r₃) cos (C/2) (F.4), fórmulas que se obtienen inmediatamente sustituyendo -en primer lugar- en la primera fórmula, relativa al ángulo A, el valor del ángulo A por el de B, el del lado a por el del lado b, y el radio r₁ por r₂; y después -en segundo lugar- sustituyendo de nuevo en la primera A por C, a por c y r₁ por r₃ . (O bien en la segunda, efectuando la sustitución circular B→C, b→c, r₂→r₃ ).

Esto resuelve, prácticamente, el problema directo para triángulos conocidos: averiguar los radios r₁ , r₂ , r₃ , pero no -todavía- el problema inverso, que es el que plantea la pregunta; esto es, conocidos r₁, r₂, r₃ resolver el triángulo (calcular sus lados y sus ángulos).

Operando con la fórmula (F.2) despejamos r₁ suponiendo lo demás conocido:

(p-a) [1-(r₁/r) ] = (r + r₁) cos (A/2) →

(p-a) - [(p-a)/r ] * r₁ = r cos (A/2) + r₁ cos (A/2) →

[ agrupando respecto a la "incógnita" r₁ ] →

[(p-a)/r ] * r₁ + r₁ cos (A/2) = (p-a) - r cos (A/2) →

r₁ * [(p-a)/r + cos (A/2) ] = (p-a) - r cos (A/2) →

r₁ = [ (p-a) - r cos (A/2) ] / [(p-a)/r + cos (A/2) ] →

r₁ = r* [ (p-a)/r - cos (A/2) ] / [(p-a)/r + cos (A/2) ] (F.5).

Sin embargo, aquí viene pintiparada la fórmula conocidísima y útil para muchísimos problemas, en particular, para éste:

r/(p-a) = tg (A/2). Se deduce inmediatamente de la FIGURA 4, ya que en el triángulo rectángulo AOM, se ve que la tangente de A/2 es igual al cateto opuesto partido por la hipotenusa, o sea, r/(p-a) = tg (A/2), como se quería probar.

Análogamente, r/(p-b) = tg (B/2) ; r/(p-c) = tg (C/2).

En los tiempos en que era un suplicio el cálculo logarítmico - trigonométrico con las tablas, sin calculadoras ni ordenadores, estas fórmulas ahorraban mucho trabajo para calcular, por ejemplo, los ángulos de un triángulo conocidos los lados y para muchas cosas más, porque son logarítmicas, es decir, no contienen sumas ni restas que forzaban a buscar antilogaritmos en la tabla, sumar o restar y volver a buscar los logaritmos. Además solo requerían los cuatro logaritmos de r, (p-a), (p-b),(p-c), lo que disminuía algunos errores de redondeo. Las dificultades aguzan el ingenio, y resulta que esas fórmulas tenían ¡y tienen! mucha utilidad por sí mismas para otros muchos fines.

Ahora, (F.5) se simplifica considerablemente:

r/(p-a) = tg (A/2) → (p-a) / r = ctg (A/2) →

r₁ = r* [(p-a)/r - cos (A/2) ] / [(p-a)/r + cos (A/2) ] →

r₁ = r* [ctg (A/2) - cos (A/2) ] / [ctg (A/2) + cos (A/2) ] =

[ multiplicando ambos términos de la fracción por tg (A/2) ]

r₁ = r* [1 - sen (A/2) ] / [1 + sen (A/2) ] ; y por analogía,

r₂ = r* [1 - sen (B/2) ] / [1 + sen (B/2) ]

r₃ = r* [1 - sen (C/2) ] / [1 + sen (C/2) ] (Fórmulas directas)

EXPRESIÓN DE LOS RADIOS r₁ , r₂ , r₃ EN FUNCIÓN DE LOS LADOS

Sustituyendo los senos de los semi-ángulos { sen (A/2) , sen (B/2) , sen (C/2) } en función de los tres lados del triángulo (a, b, c), tenemos:

sen (A/2) = √ [(p-b) (p-c)/ (bc) ]

sen (B/2) = √ [(p-a) (p-c)/ (ac) ]

sen (C/2) = √ [(p-a) (p-b)/ (ab) ], donde p = (a+b+c)/2, resulta:

r₁ = r * { 1 - √ [(p-b) (p-c) / (bc) ] } / { 1 + √ [(p-b) (p-c) / (bc) ] }

r₂ = r * { 1 - √ [(p-a) (p-c) / (ac) ] } / { 1 + √ [(p-a) (p-c) / (ac) ] }

r₃ = r * { 1 - √ [(p-a) (p-b) / (ab) ] } / { 1 + √ [(p-a) (p-b) / (ab) ] }

sustituyendo a su vez el valor de r en función de los lados r = √ [(p-a) (p-b) (p-c) / p].

La resolución de este sistema de tres ecuaciones irracionales complicadísimas con las tres incógnitas a, b, c, en teoría, daría el valor de los tres lados en función de los radios de los círculos semi - inscritos, r₁ , r₂ , r₃ , si estos radios fueran conocidos.

No obstante, la ecuación resultante tras las costosas eliminaciones sería de un grado elevadísimo y no es abordable en la práctica, porque además no sería ni siquiera factible distinguir entre la solución válida (solo una) y las demás (en el caso de que hubiera varias reales, positivas y con valores de a, b, c compatibles con ser los lados de un triángulo); aparte de la dificultad algebraica intrínseca que conllevaría la propia eliminación entre ecuaciones de tan alto grado, una vez racionalizadas.

Lo conseguiremos más adelante, atacando el problema por un procedimiento más indirecto, pero realizable mediante ecuaciones de grado no superior al segundo.

Una de las primeras consecuencias tal vez algo inesperadas a primera vista para la intuición geométrica, es que a mayor ángulo del triángulo corresponde menor valor del radio del círculo semi-inscrito. En efecto, tracemos el círculo inscrito en un triángulo obtusángulo, para que la exageración en el valor del mayor ángulo del triángulo nos muestre visualmente de forma más clara lo que afirma la observación anterior; contemplemos pues la

FIGURA 5:

Como se aprecia en la figura, cuanto mayor es el ángulo, como en el caso del ángulo obtuso, más penetra el círculo inscrito en su abertura, y deja menos espacio para el círculo semi -inscrito, algo que podría parecer en principio contrario a una primera intuición superficial. Los círculos semi-inscritos que podrían trazarse en A y en C son mayores, y por eso su radio será mayor que el del círculo semi-inscrito en B.

Sin embargo, cuando los ángulos están más próximos en sus valores no resulta evidente esta propiedad, al menos a primera vista, y vamos a demostrarla analíticamente de manera rigurosa.

Lema:

Consideremos la función real f: (0,1) → ℝ⁺ ,, f(x) = (1-x)/(1+x)

→ se verifica que f es estrictamente decreciente.

Demostración: (1-x)/(1+x) = -1 + 2/(1+x); si 0 < x < y → 1 < x+1 < y+1 →

0 < 1/(y+1) <1/(x+1) → 0 < 2/(y+1) < 2/(x+1) →

2/(y+1) -1 < 2/(x+1) - 1 → (1-y)/(1+y) < (1-x)/(1+x) →

f(x) > f(y), luego f es decreciente, como se quería demostrar.

COROLARIO: A mayor ángulo de un triángulo corresponde menor radio de su círculo semi-inscrito.

Demostración:

Sabemos que

r₁ = r* [1 - sen (A/2) ] / [1 + sen (A/2) ]

r₂ = r* [1 - sen (B/2) ] / [1 + sen (B/2) ]

Como A+B+C=180º → (A/2)+(B/2)+(C/2) = 90º, luego

0 < A/2 < 90º, 0 < B/2 < 90º → 0 < sen (A/2) < 1 ; 0 < sen (B/2) < 1 .

Supongamos ahora que el ángulo A es mayor que el B :

A > B → A/2 > B/2 → sen (A/2) > sen (B/2) , de modo que por el lema,

f( sen (A/2) ) < f( sen (B/2) ) →

[1 - sen (A/2) ] / [1 + sen (A/2) ] < [1 - sen (B/2) ] / [1 + sen (B/2) ]

Multiplicando por r, que es positivo :

r* [1 - sen (A/2) ] / [1 + sen (A/2) ] < r* [1 - sen (B/2) ] / [1 + sen (B/2) ], o bien, r₁ < r₂ , esto es,

a mayor ángulo corresponde menor radio de su círculo semi-inscrito,

como queríamos demostrar.

Los triángulos isósceles y equilátero.

De las fórmulas directas deducimos dos conclusiones más:

1) En un triángulo isósceles a los ángulos iguales corresponden radios de los círculos semi-inscritos también iguales.

2) En el triángulo equilátero los tres radios de los círculos semi-inscritos son iguales, y su valor común es r/3, donde r es el radio del círculo inscrito al triángulo.

3) En un triángulo cualquiera cualquier radio de un círculo semi-inscrito tiene un valor positivo y estrictamente menor que el radio del círculo inscrito.

Demostración: (1) De las fórmulas directas, se deduce, si por ejemplo A=B, que

sen (A/2) = sen (B/2) → r₁ = r₂. Y lo mismo si A=C (r₁ = r₃) ó B=C (r₂ = r₃).

(2) En el caso del triángulo equilátero, es A=B=C=60º , y como sen 30º = 1/2 →

r₁ = r₂ = r₃ = r*(1 - sen 30º)/(1 + sen 30º) = r* [(1/2) / (3/2)] = r/3 .

(3) Puesto que debe ser r>0 (evidentemente, pues es radio de un círculo…), se ve que:

0< r₁ = r* [1 - sen (A/2) ] / [1 + sen (A/2) ] < r * [1 + sen (A/2) ] / [1 + sen (A/2) ] = r*1=r , o sea, 0< r₁ < r y lo mismo sucede para r₂ y r₃ (C.Q.D).

Atacamos ahora el problema inverso, que es el que plantea aquí la pregunta.

Supongamos dados los valores de los radios r₁, r₂, r₃ y para ordenarlos de menor a mayor, supongamos en adelante que 0 < r₁ ≤ r₂ ≤ r₃ , o si no ocurre así, renumeremos los tres radios llamando r₁ al mínimo, r₃ al máximo y r₂ al restante dato, intermedio entre r₁ y r₃.

CÁLCULO DE r EN FUNCIÓN DE r₁ , r₂ , r₃

Suponiendo que exista un triángulo cuyos radios de los círculos semi-inscritos sean

r₁ , r₂ , r₃ , deberá cumplirse (Fórmulas directas)

r₁ = r* [1 - sen (A/2) ] / [1 + sen (A/2) ] y las análogas con r₂, r₃.

Despejemos sen (A/2) → [1 - sen (A/2) ] / [1 + sen (A/2) ] = r₁ / r.

Es muy sencillo el cálculo de cualquier modo que se efectúe, pero aquí sirve de atajo una de las conocidas propiedades elementales de las proporciones:

si a/b = c/d → (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) → (b+a)/(b-a) = (d+c)/(d-c) →

(b-a)/(b+a) = (d-c)/(d+c); aplicando esta última:

[2 sen (A/2) ]/2 = (r - r₁) / (r + r₁) , o bien,

sen (A/2) = (r - r₁) / (r + r₁) (F.6)

Y del mismo modo, por simetría (o repitiendo el cálculo):

sen (B/2) = (r - r₂) / (r + r₂) (F.7)

sen (C/2) = (r - r₃) / (r + r₃) (F.8).

La idea es eliminar de estas tres ecuaciones los ángulos A, B, C, lo que nos dará una sola ecuación de relación entre r, r₁ , r₂ , r₃ , de la que podremos despejar r en función de r₁ , r₂, r₃.

De las expresiones para sen (A/2), sen (B/2), sen (C/2) podemos deducir los cosenos mediante fórmulas gemelas de (F.6), (F.7), (F.8), esto es:

cos² (A/2) = 1 - [(r - r₁) / (r + r₁) ]² = [ 1/(r + r₁) ² ] * [(r + r₁)²- (r - r₁)² ] =

= [ 1/(r + r₁) ² ] * 4rr₁ → cos (A/2) = 2 √(rr₁) / (r + r₁) , y análogamente para los ángulos B y C, de lo que se deducen las fórmulas gemelas para los cosenos:

cos (A/2) = 2 √(rr₁) / (r + r₁) (G.6)

cos (B/2) = 2 √(rr₂) / (r + r₂) (G.7)

cos (C/2) = 2 √(rr₃) / (r + r₃) (G.8)

Teniendo en cuenta que A+B+C=180º (son los ángulos de un triángulo), será

C=180º - (A+B) (podríamos despejar otro de los valores, A ó B, pero luego se verá que simplifica mucho las cosas elegir C, que corresponde a r₃, el máximo de los tres radios (mayor o igual que los demás), lo que convierte a C en el mínimo de los tres ángulos del triángulo (menor o igual que los otros dos).

C/2 = 90º - (A/2 + B/2) →

sen (C/2) = sen [90º-(A/2 + B/2) ] = cos (A/2 + B/2) , por tanto

sen (C/2) = cos A/2 cos B/2 - sen A/2 sen B/2.

Sustituyendo aquí los senos y cosenos de los semi-ángulos mediante las fórmulas F.6, F.7, F.8 y sus gemelas G :

(r - r₃) / (r + r₃) =

[2 √(rr₁) / (r + r₁) ] * [2 √(rr₂) / (r + r₂) ] - [(r - r₁) / (r + r₁) ] * [(r - r₂) / (r + r₂) ].

Operando, y considerando como conocidos r₁ , r₂ , r₃ , y r como la incógnita de esta ecuación algebraica,

suprimimos denominadores, multiplicando todos los términos por (r + r₁) (r + r₂) (r + r₃) :

(r - r₃) (r + r₁) (r + r₂) = 4r (r + r₃) √(r₁ r₂) - (r - r₁) (r - r₂) (r + r₃).

Desarrollando los productos de binomios por medio de la regla abreviada:

(x+a)(x+b)(x+c)≡x³+(a+b+c)x²+(ab+ac+bc)x+abc, pasando todos los términos al primer miembro y simplificando,

2r³ - [4√(r₁ r₂) ]*r² + [2 r₁ r₂ - 2 r₁ r₃ - 2 r₂ r₃ - 4 r₃ √(r₁ r₂) ] * r = 0.

Esta aparente ecuación cúbica se reduce a cuadrática, observando que r no puede ser cero, de modo que dividiendo por 2r, obtenemos al fin:

r² - [2√(r₁ r₂) ] * r + [r₁ r₂ - r₁ r₃ - r₂r₃ - 2 r₃ √(r₁ r₂) ] = 0.

Resolviendo esta ecuación cuadrática en r,

r = √(r₁ r₂) ± √ [r₁ r₃ + r₂r₃ + 2 r₃ √(r₁ r₂) ] (**)

Como se sabe, se puede desdoblar un radical cuadrático doble, del tipo

√ (U ± √ V) en suma de dos radicales simples, con la condición de que U²-V sea un cuadrado perfecto; y entonces se tiene:

[√ (U + √ V) + √ (U - √ V) ]² = 2U + 2√ (U²-V )

[√ (U + √ V) - √ (U - √ V) ]² = 2U - 2√ (U²-V ), de donde:

√ (U + √ V) + √ (U - √ V) = √ [2U + 2√ (U²-V ) ]

√ (U + √ V) - √ (U - √ V) = √ [2U - 2√ (U²-V ) ],

y sumando y restando ambas igualdades, resulta:

√ (U + √ V) = (1/2)* { √ [2U + 2√ (U²-V )] + √ [2U - 2√ (U²-V )] }

√ (U - √ V) = (1/2)* { √ [2U + 2√ (U²-V )] - √ [2U - 2√ (U²-V )] },

o bien,

√ (U + √ V) = √ { [U + √ (U²-V ) ]/2 } + √ { [U - √ (U²-V ) ]/2 }

√ (U - √ V) = √ { [U + √ (U²-V ) ]/2 } - √ { [U - √ (U²-V ) ]/2 }

Empleando la primera de ellas en la fórmula (**), introduciendo antes 2r₃ en el radical : 2r₃ √( r₁ r₂) = √(4 r₁ r₂ r₃²), y tomando U = r₁ r₃ + r₂r₃,

V = 4 r₁ r₂ r₃² , se tiene U²-V= r₁² r₃² + r₂² r₃² + 2 r₁ r₂ r₃² - 4 r₁ r₂ r₃² =

= r₁² r₃² + r₂² r₃² - 2 r₁ r₂ r₃² = (r₂r₃ - r₁ r₃ )², que en efecto es cuadrado perfecto,

y tomaremos el valor no negativo de su raíz cuadrada, es decir,

+√ (U²-V ) = r₂r₃ -r₁ r₃ (es no negativo, pues r₁ ≤ r₂ ≤ r₃ → r₁ r₃ ≤ r₂r₃ )

luego √ [r₁ r₃ + r₂r₃ + 2 r₃ √(r₁ r₂) ] = √ (U + √ V) =

= √ { [U + √ (U²-V )]/2 } + √ { [U - √ (U²-V )]/2 } =

= √ { [ ( r₁ r₃ + r₂r₃) + (r₂r₃ - r₁ r₃) ] / 2 } + √ { [ ( r₁ r₃ + r₂r₃) - (r₂r₃ - r₁ r₃) ] / 2 } =

= √ ( r₁ r₃) + √ ( r₂ r₃) ; ahora en (**) expresamos finalmente r como:

r = √(r₁ r₂) ± [ √ ( r₁ r₃) + √ ( r₂ r₃) ]. Parece que hay dos soluciones, pero probaremos que la segunda no conviene al problema porque es negativa.

En efecto, si fuera r = √(r₁ r₂) - √ ( r₁ r₃) - √ ( r₂ r₃), como partimos de que

0 < r₁ ≤ r₂ ≤ r₃, será √r₁ ≤ √r₂ ≤ √r₃, luego

√ ( r₁ r₃) = √r₁ * √r₃ > √r₁ * √r₂ = √(r₁ r₂), de modo que √(r₁ r₂) - √ ( r₁ r₃) < 0, y aún más negativo será restando √ ( r₂ r₃), es decir,

√(r₁ r₂) - √ ( r₁ r₃) - √ ( r₂ r₃) < 0, como se quería demostrar. Ahora se comprende porqué despejamos el ángulo C, correspondiente al radio r₃ , de lo contrario habría sido algo más costoso demostrar que la segunda raíz de la ecuación cuadrática no es aceptable, por ser negativa, o incluso por no ser el verdadero valor de r , aunque fuera positiva.

Así pues tenemos la fórmula:

r = √(r₁ r₂) + √ ( r₁ r₃) + √ ( r₂ r₃) (***)

Es una bella fórmula simétrica en r₁, r₂, r₃.

El radio del círculo inscrito es la suma de las medias geométricas de cada par de radios de los círculos semi-inscritos.

Esta fórmula aparece en el libro Complements de Trigonometrie (…) par F.J (Paris, 1886), donde su autor la deduce de una ingeniosa construcción geométrica nada trivial que se basa finalmente en la fórmula

tg a tg b + tg a tg c + tg b tg c = 1, válida cuando a, b, c son ángulos positivos menores que 90º, tales que a + b + c = 90º ; y remite al lector a las identidades trigonométricas que pueden servir para su demostración; podría demostrarse también basándose en que en todo triángulo r/(p-a) = tg A/2, con r expresado en función de los tres lados, y lo mismo para los otros lados y ángulos: r/(p-b) = tg B/2, etc.

También aparece la misma fórmula r = √(r₁ r₂) + √ ( r₁ r₃) + √ ( r₂ r₃) en la única otra fuente que conozco para ella, en el libro Norte de Problemas (1950), de Rey Pastor y Gallego Díaz, con demostración misteriosamente "inspirada" en la misma demostración (¡prácticamente idéntica!) del texto francés de 1886, ya aludido, y difícil de encontrar hoy día. En esa demostración, se termina apelando a la fórmula

tg (a+b+c) = [tg a + tg b + tg c - tg a tg b tg c] / [1-tg a tg b - tg a tg c - tg b tg c], y el texto la aplica al caso a+b+c= π/2, escribiendo tg π/2 = ∞, de lo que "deduce" que el denominador es nulo: 1-tg a tg b - tg a tg c - tg b tg c = 0 , aludiendo a los "valores infinitos" de la tangente trigonométrica (tg 90º), lo que requeriría justificaciones delicadas basadas en límites, asunto espinoso en que no entra ninguno de los dos textos referidos.

A partir de aquí nos proponemos averiguar el valor de los tres lados del triángulo. Si el lector domina la trigonometría plana puede saltarse las siguientes demostraciones elementales, que incluyo para aquellos que lo necesiten, o puede consultarlas en cualquier manual. ¡Todo menos "creerlas"!

Hay un problema muy simple y básico en trigonometría, que es auxiliar para resolver muchísimos otros, en los que se pide resolver un triángulo conocidos los ángulos y un elemento secundario cualquiera (altura, mediana, radio del círculo inscrito, área, bisectriz, radio de un círculo exinscrito, etc.).

Resolver un triángulo, conocidos los ángulos A, B, C y el radio R del círculo circunscrito.

La solución es inmediata; se sabe, por el teorema de los senos, que

a/sen A = b/sen B = c/sen C, y esta constancia de los cocientes induce a pensar que ese valor constante se relaciona geométricamente con el triángulo; en efecto, como se demuestra fácilmente en trigonometría, el valor común de estas razones es el diámetro (2R) del círculo circunscrito:

a/sen A = b/sen B = c/sen C = 2R.

Luego a = 2R sen A ; b = 2R sen B ; c = 2R sen C (F. 9).

y el problema está resuelto.

Por tanto, si queremos resolver un triángulo conociendo los ángulos y un elemento secundario, basta expresar este último en función del radio del círculo circunscrito y los ángulos, y despejando R obtendremos los tres lados mediante las fórmulas anteriores (F. 9).

En este caso, se sabe que r = 4R sen (A/2) sen (B/2) sen (C/2) (F.10)

Puede verse la deducción de esta fórmula en los manuales de trigonometría, pero por si el lector tiene curiosidad inmediata, la deduciremos sencillamente así:

r/(p-a) = tg (A/2) ; r/(p-b) = tg (B/2); r/(p-c) = tg (C/2),

como se estableció antes →

r = (p-a) tg (A/2)

r = (p-b) tg (B/2)

r = (p-c) tg (C/2) → multiplicando las tres igualdades miembro a miembro,

r³ = (p-a) (p-b) (p-c) tg (A/2) tg (B/2) tg (C/2); multiplicando por p :

pr³ = p (p-a) (p-b) (p-c) tg (A/2) tg (B/2) tg (C/2) .

Pero sabemos que el área de un triángulo de semiperímetro p y radio del círculo inscrito r es pr ; en efecto, según la FIGURA 1, el área S del triángulo puede descomponerse como la suma de las áreas de 6 triángulos rectángulos con un cateto igual a r, y el otro vale (p-a) en dos de ellos, (p-b) en otros dos y (p-c) los dos restantes; luego el área será:

S = 2*(1/2) * r(p-a) + 2*(1/2) * r(p-b) + 2*(1/2) * r(p-c) =

r(p-a+p-b+p-c) = r(3p-2p) = pr , o bien, S = pr, como queríamos demostrar.

Se sabe también (fórmula de Herón) que el área de un triángulo en función de sus tres lados es S = √ [p (p-a) (p-b) (p-c) ], luego sustituyendo en la última igualdad obtenida,

pr³ = S² * tg (A/2) tg (B/2) tg (C/2) →

p r³ = (pr)² tg (A/2) tg (B/2) tg (C/2) → p r³ = p²r² tg (A/2) tg (B/2) tg (C/2) →

r = p tg (A/2) tg (B/2) tg (C/2) ; luego S = pr →

S = p² tg (A/2) tg (B/2) tg (C/2) ;

otra fórmula importante y clásica para el área de un triángulo es S = abc/(4R), donde R es el radio del círculo circunscrito (véase la sencilla demostración en cualquier libro de geometría métrica o de trigonometría).

Por tanto (por F.9), a = 2R sen A ; b = 2R sen B ; c = 2R sen C →

S = abc/(4R) = 8R³/(4R) * sen A sen B sen C = 2R² sen A sen B sen C .

Sustituyendo sen A = 2 sen (A/2) cos (A/2), y lo mismo para B y C,

S = 16R² * sen (A/2) cos (A/2) sen (B/2) cos (B/2) sen (C/2) cos (C/2) →

S = p² tg (A/2) tg (B/2) tg (C/2) , igualando ambas expresiones del área,

16R² * sen (A/2) cos (A/2) sen (B/2) cos (B/2) sen (C/2) cos (C/2) =

= p² [sen (A/2)/cos (A/2)] * [sen (B/2)/cos (B/2)] * [sen (C/2)/cos (C/2)]

Luego 16R² * cos² (A/2) cos² (B/2) cos² (C/2) = p² → tomando raíz cuadrada,

4R cos (A/2) cos (B/2) cos (C/2) = p, y como vimos que

r = p tg (A/2) tg (B/2) tg (C/2) →

r = 4R cos (A/2) cos (B/2) cos (C/2) tg (A/2) tg (B/2) tg (C/2) →

r = 4R sen (A/2) sen (B/2) sen (C/2), de donde

R = (r/4) / [sen (A/2) sen (B/2) sen (C/2) ] Sustituyendo en (F.9):

a=2R sen A = 4R sen (A/2) cos (A/2) = [r cos (A/2) ]/ [sen (B/2) sen (C/2) ], y análogamente para b y c (pueden deducirse mediante la permutación circular

a→b→c→a; A→B→C→A):

a = [r cos (A/2) ]/ [sen (B/2) sen (C/2) ]

b = [r cos (B/2) ]/ [sen (A/2) sen (C/2) ]

c = [r cos (C/2) ]/ [sen (A/2) sen (B/2) ]

Por fin resolvemos el problema sustituyendo los senos y cosenos de los semiángulos por sus valores dados por F.6, F.7, F.8 y sus gemelas G.6, G.7 y G.8:

sen (A/2) = (r - r₁) / (r + r₁) (F.6)

sen (B/2) = (r - r₂) / (r + r₂) (F.7)

sen (C/2) = (r - r₃) / (r + r₃) (F.8)

cos (A/2) = 2 √(rr₁) / (r + r₁) (G.6)

cos (B/2) = 2 √(rr₂) / (r + r₂) (G.7)

cos (C/2) = 2 √(rr₃) / (r + r₃) (G.8), tomando en todas ellas el valor conocido de r en función de los datos r₁, r₂, r₃ , esto es, r = √(r₁ r₂) + √ ( r₁ r₃) + √ ( r₂ r₃)

Así pues, a = [r cos (A/2) ]/ [sen (B/2) sen (C/2) ] =

= r(r + r₂)(r + r₃) * 2 √(rr₁) / [ (r + r₁) (r - r₂) (r - r₃) ]

En resumen, y aplicando la permutación circular dos veces para obtener b y c:

SOLUCIÓN: Los lados y ángulos en función de los datos r₁, r₂, r₃ :

a = { 2 r (r + r₂) (r + r₃) / [(r + r₁) (r - r₂) (r - r₃) ] } * √(rr₁)

b = { 2 r (r + r₁) (r + r₃) / [(r - r₁) (r + r₂) (r - r₃) ] } * √(rr₂)

c = { 2 r (r + r₁) (r + r₂) / [(r - r₁) (r - r₂) (r + r₃) ] } * √(rr₃)

sen (A/2) = (r - r₁) / (r + r₁)

sen (B/2) = (r - r₂) / (r + r₂)

sen (C/2) = (r - r₃) / (r + r₃)

donde r representa abreviadamente el valor r = √(r₁ r₂) + √ ( r₁ r₃) + √ ( r₂ r₃).

Vemos que por ser homogéneas de grado 1 las fórmulas para r, y para los lados a, b, c, si se multiplican (o dividen) los datos del problema, o sea, los radios r₁, r₂, r₃ por cualquier factor positivo λ, partiendo de λr₁, λr₂, λr₃ resultan los valores λr, λa, λb, λc [o bien, partiendo de r₁/λ, r₂/λ, r₃/λ, salen r/λ, a/λ, b/λ, c/λ] para el radio del círculo inscrito y para los lados, respectivamente.

Por involucrar un número finito de operaciones racionales y extracción de raíces cuadradas, el problema es resoluble con solo regla y compás, es decir, si nos dan trazados tres segmentos con medidas r₁, r₂, r₃, podemos construir los segmentos exactos iguales a los lados del triángulo buscado, puesto que conoceremos sus valores gracias a las fórmulas aquí obtenidas, todas ellas constructibles con regla y compás. Y conociendo los tres lados se construye el triángulo por el método elemental, describiendo un arco de circunferencia sobre cada uno de los extremos de uno de los lados conocidos, con radios iguales a cada uno de los otros dos lados, y el punto de corte nos da el vértice opuesto al lado base, que enlazado con los extremos del segmento nos dará gráficamente el triángulo buscado.

Los ángulos podrán calcularse sin ambigüedad, puesto que entre 0 y 1 solo hay un ángulo posible (positivo y menor de 90º) cuyo seno sea (r - r₁) / (r + r₁) , (r - r₂) / (r + r₂) y (r - r₃) / (r + r₃) . Duplicando los tres ángulos obtendremos los tres ángulos buscados A,B,C.

DISCUSIÓN: Para que el problema tenga solución no sirven cualesquiera valores positivos de r₁, r₂, r₃.

CONDICIÓN NECESARIA PARA LA SOLUBILIDAD DEL PROBLEMA

Evidentemente, debe ser r > r₁ , r > r₂ , r > r₃ (para que los senos de A/2, B/2 y C/2 sean positivos) y puesto que 0 < r₁ ≤ r₂ ≤ r₃ , bastará para ello que sea

√(r₁ r₂) + √ ( r₁ r₃) + √ ( r₂ r₃) > r₃ , ya que siendo r₃ el máximo, r será mayor que los tres valores r₁, r₂, r₃.

Si representamos √r₁ = x ; √ r₂ = y ; √ r₃ = z, con 0 < x ≤ y ≤ z , busquemos bajo qué condición es xy + xz + yz > z²

Elijamos libremente cualesquiera valores positivos para y, z con la única restricción

0 < y ≤ z.

x(y + z) > z² - yz → x ha de cumplir x > z(z - y) / (y + z) , además de x ≤ y.

Por tanto y ≥ x > z(z - y) / (y + z) → y > z(z - y) / (y+z) (1)

→ y²+yz > z² - yz → y² + 2yz > z² → (y+z)² > 2z² → y+z > z √2 →

y > z (√2 -1), de modo que debe cumplirse z (√2 -1) < y ≤ z.

Como √2 -1 = (√2 -1) (√2 +1) / (√2 +1) = 1 / (√2 +1) < 1.

Luego z (√2 -1) < z, así que podemos elegir para y cualquier valor de los infinitos posibles del intervalo semiabierto I = (z (√2 -1), z ]. Retrocediendo, una vez elegido el valor de z (libremente, solo que debe ser positivo) y el de y en ese intervalo I, se verificará (1), es decir, y > z(z - y) / (y+z), de modo que podrá elegirse x tal que z(z - y) / (y+z) < x ≤ y, lo cual implicará que se cumpla la desigualdad considerada, o sea, xy + xz + yz > z².

En definitiva, dado z > 0, para que se cumplan las desigualdades 0 < x ≤ y ≤ z ; xy + xz + yz > z² , es condición necesaria que se cumplan las tres siguientes:

z > 0 ; (z (√2 -1) < y ≤ z ; z(z-y) / (y+z) < x ≤ y.

Esta condición también es suficiente, como se ha comprobado antes.

Aplicando estas conclusiones al caso que nos ocupa, con √r₁ = x ; √ r₂ = y ; √ r₃ = z, para que el problema sea soluble, y por tanto exista un triángulo con tales valores de r₁, r₂, r₃ , siendo 0 < r₁ ≤ r₂ ≤ r₃ , elevando al cuadrado los miembros de las anteriores desigualdades, se ve que:

es condición necesaria y suficiente para que sea r > r₁ , r > r₂, r > r₃ que se tenga

r₃ > 0 ; r₃(3–2√2) < r₂ ≤ r₃ ; (r₃ - √(r₂r₃) / ( √ r₂ + √ r₃)² < r₁ ≤ r₂

Recíprocamente, demostremos que esta triple condición es también suficiente para la existencia del triángulo buscado, cuyos radios de los círculos semi-inscritos tengan los valores r₁, r₂, r₃ .

Supuesto que se cumplen las desigualdades anteriores, en particular se tendrá

√(r₁ r₂) + √ ( r₁ r₃) + √ ( r₂ r₃) > r₃ ≥ r₂ ≥ r₁ > 0, por lo cual, podremos tomar

r = √(r₁ r₂) + √ ( r₁ r₃) + √ ( r₂ r₃), y podremos determinar unívocamente los ángulos A, B, C mediante las fórmulas (F.6), (F.7), (F.8),

sen (A/2) = (r - r₁) / (r + r₁)

sen (B/2) = (r - r₂) / (r + r₂)

sen (C/2) = (r - r₃) / (r + r₃),

puesto que los valores dados para los senos de los semi-ángulos son números positivos menores que 1.

Un triángulo con radio r > 0 y ángulos A, B, C, positivos y menores que 180º existe siempre con la única condición de que A+B+C = 180º .

Por tanto, debemos asegurarnos de que, en efecto, los ángulos positivos y menores que 90º, determinados unívocamente para A/2, B/2 y C/2 por medio de las fórmulas mencionadas (F.6), (F.7), (F.8), verifican A+B+C = 180º, o lo que es equivalente,

A/2 + B/2 + C/2 = 90º , o también, C/2 = 90º - (A/2 + B/2) .

Una condición necesaria y suficiente para ello es que sea sen C/2 = cos (A/2 + B/2) ; necesaria, es inmediato, por las propiedades de los senos y cosenos de ángulos complementarios.

Para probar que es suficiente, observemos que si sen u = cos v, siendo v positivo y menor que 90º, y u igualmente positivo y menor que 90º, entonces como sen (90º- v) = cos v → sen u = sen (90º- v), y como entre 0º y 90º el seno es estrictamente creciente, es una función inyectiva, luego necesariamente

90º - v = u → u + v=90º ; de manera que en el caso que analizamos, de ser

sen C/2 = cos (A/2 + B/2), se tiene C/2 + (A/2 + B/2) = 90º, o bien,

A +B + C = 180º, como se quería demostrar.

Así pues, para probar que el triángulo buscado existe, basta probar que, en efecto,

es sen C/2 = cos (A/2 + B/2) , o lo que es equivalente,

sen C/2 = cos A/2 cos B/2 - sen A/2 sen B/2 ; sustituyamos pues sus valores por medio de las fórmulas (F.6), (F.7), (F.8) y sus gemelas (G.6), (G.7), (G.8):

sen (A/2) = (r - r₁) / (r + r₁) ; cos (A/2) = 2 √(rr₁) / (r + r₁)

sen (B/2) = (r - r₂) / (r + r₂) ; cos (B/2) = 2 √(rr₂) / (r + r₂)

sen (C/2) = (r - r₃) / (r + r₃) ; cos (C/2) = 2 √(rr₃) / (r + r₃)

¿Será cierto que

(r - r₃) / (r + r₃) = [2 √(rr₁) / (r + r₁) ] [2 √(rr₂) / (r + r₂) ] - [(r - r₁) / (r + r₁) ] [(r - r₂) / (r + r₂) ] ?

En efecto, puede comprobarse esta identidad (igualdad verdadera, independientemente de los valores de r₁, r₂, r₃ , siempre que sea 0 < r₁ ≤ r₂ ≤ r₃) tras un cálculo laborioso, después de sustituir en ella r por su valor asignado

r = √(r₁ r₂) + √ ( r₁ r₃) + √ ( r₂ r₃).

De modo que:

La condición necesaria y suficiente para que tenga solución el problema son las desigualdades

r₃ > 0 ; r₃(3–2√2) < r₂ ≤ r₃ ; (r₃ - √(r₂r₃) / ( √ r₂ + √ r₃)² < r₁ ≤ r₂,

en cuyo caso la solución del problema, obtenida calculando los lados por las fórmulas demostradas, es única.

COMPROBACIÓN:

Una vez calculada la solución mediante los datos {r₁, r₂, r₃ }, siempre que satisfagan las condiciones establecidas para la resolubilidad del problema, obtenemos como solución única los valores de r, a, b, c, sen A/2, sen B/2, sen C/2 por las fórmulas halladas, y ese triángulo existirá con seguridad puesto que la suma de los ángulos será 180º, y dados los ángulos y cualquier valor positivo de r, siempre hay un triángulo único determinado por tales valores como ya se ha probado.

De hecho, de r/(p-a) = tg A/2, r/(p-b) = tg B/2, r/(p-c) = tg C/2, se deducen

unívocamente p-a, p-b, p-c, así como su suma = 3p - 2p = p ; y conociendo ya

p, p-a, p-b, p-c, se tiene a = p-(p-a) ; b = p-(p-b) ; c = p-(p-c).

Si ahora en este triángulo se calculan los radios de los círculos semi-inscritos, se obtendrán, sencillamente y como comprobación, r₁, r₂, r₃ ; por ejemplo, para r₁ tendríamos el cálculo:

r * (1-sen A/2) / (1+sen A/2) = r* [1-(r- r₁)/(r+ r₁) ] / [1+(r- r₁)/(r+ r₁) ] =

= r * [(r+ r₁)-(r- r₁)]/ [(r+ r₁)+(r- r₁) ] = r * 2r₁/(2r) = r₁ , y lo mismo con los demás. Es decir, el triángulo hallado tiene, efectivamente, esos valores pedidos r₁, r₂, r₃ como radios de los tres círculos semi-inscritos, por lo cual es la solución correcta y única del problema propuesto.

NOTA FINAL:

Es un problema ya sencillo, a partir de la solución de éste, resolver un triángulo conociendo los radios de los tres círculos semi-inscritos de orden 2, es decir, los círculos tangentes a cada dos lados de un triángulo y al círculo semi- inscrito (de orden 1) correspondiente; y por inducción, la resolución de un triángulo conociendo los radios de los círculos semi-inscritos de orden n (con n>0 ) así como el problema directo de calcular los radios de los sucesivos círculos semi-inscritos de orden n (n>0) conocidos los tres lados del triángulo o cualesquiera otros elementos que permitan resolverlo.

Aparece así, en cada ángulo interior de un triángulo, una sucesión infinita de círculos semi-inscritos, cuyos radios son calculables mediante un nº finito de operaciones racionales y raíces cuadradas, y trazables exactamente en el triángulo propuesto con solo regla y compás.

La idea clave es que cada círculo semi-inscrito de orden n en un ángulo cualquiera A de un triángulo dado es un círculo semi-inscrito de orden 1, en un triángulo formado por la perpendicular a la bisectriz (en color rojo, FIGURA 6) y los segmentos que ella determina en los lados del ángulo A; siendo el círculo inscrito en ese triángulo el propio círculo semi-inscrito de orden n-1. Véase, como última ilustración, la figura siguiente

FIGURA 6