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Equação fundamental da reta - Teoria

Nessa aula, vamos ver uma forma simples de obter a equação da reta através da sua equação fundamental.

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  • play_arrowEstudo da reta: noção intuitiva de equação da reta - Teoria

    lockEquação geral da reta - Teoria

    lockEquação reduzida da reta - Teoria

    lockEquação fundamental da reta - Teoria

    lockIntersecção de retas - Teoria

    lockPosições relativas entre retas - Teoria

    lockDistância de ponto a reta - Teoria

    lockÂngulo entre retas - Teoria

    lockResumo - reta - Resumo

  • E aí, pessoal. Vamos lá.
    Agora a gente vai falar aqui de um negócio que chama equação fundamental da reta. O que é isso?
    Mais um tipo, mais uma maneira da gente escrever a equação da reta? Não, até que não.
    Isso aqui é só uma forma diferente, é um pouco mais prática talvez eu diria, de obtermos a equação da reta tanto no formato geral quanto reduzido, aí você que sabe. Formas de equações de reta é só o geral reduzido mesmo e o reduzido é o que a gente mais usa, porque como a gente viu na aula passada, ele nos traz muitas informações.
    O que seria isso aqui então? Equação fundamental da reta.
    Vamos lá. O que acontece?
    Vamos supor aqui. Eu vou construir a fórmula para vocês, para vocês entenderem bem.
    Suponhamos que eu tenho isso aqui. Eu tenho dois pontos de uma reta; ponto A (xa,ya), ponto O (xo,yo) com dois pontos, a reta está determinada como a gente bem sabe, não é? Aí eu quero descobrir então um terceiro ponto aqui de coordenadas (x,y) que eu não sei, eu quero descobrir o que é esse terceiro ponto, tenho que satisfazer, o que essas coordenadas x,y tem que satisfazer para que esse ponto pertença a essa reta, beleza? Então vamos construir isso daí.
    Está aqui. O meu ponto P, vou chamar P coordenada (x,y). Legal.
    O que eu sei, pessoal? Pensa comigo aqui.
    Vamos lá. Vamos construir isso aqui juntos.
    Bom, eu sei que se eu pegar aqui, traçar uma paralela ao eixo X, traçar uma horizontal, esse ângulo aqui vale teta, a mesma coisa aqui, a mesma reta, então se eu traço uma paralela, aqui tem a mesma inclinação teta. Não é isso?
    E eu sei calcular, eu sei já, que a tangente de teta é o coeficiente angular, é o que a gente chama de N, não é? Legal.
    E como que eu posso calcular essa tangente? Por exemplo, a partir desse triangulozinho?
    É só eu fazer isso daqui, olha: "Quanto que vale esse cateto?" O cateto oposto seria Y - Y0, seria tudo isso, menos essa parte, então aqui eu tenho que y - y0 e quanto que mede esse cateto aqui?
    Seria X que é tudo isso aqui, menos o X0 que é essa parte, então aqui é x - x0. Legal?
    Então como é que fica? A tangente de teta é Y, cateto oposto, y - y0 sobre adjacente.
    x - x0, fechou pessoal? Essa aqui é a nossa fórmula normalmente a gente escreve assim a fórmula: y - y0 é igual a M que multiplica x - x0, então isso aqui é o que a gente chama de equação fundamental da reta, é uma forma prática de escrevermos a equação de reta.
    Como assim, professor? Não sei se entendi.
    O que é cada coisa aí? O Y é um X?
    É, o Y é em X mesmo, vai ser a equação da reta, a gente não vai mexer neles, legal? X0 e Y0 são as coordenadas de um ponto qualquer que passa por essa reta e M é o seu coeficiente angular.
    Então vamos lá. Vamos fazer um exemplo que vai ficar mais simples.
    Mas aí é isso aqui de novo. É só uma fórmula nova que nos dá um jeito talvez mais prático de obtermos equações de reta.
    Vamos lá então. Aqui, olha.
    Encontre a equação reduzida da reta que passa pelos pontos (2,3) e (-1, 2). Bom, como a gente já sabe, pela equação fundamental da reta, a gente tem isso daqui: não é y - y0 é M que multiplica x - x0.
    Então basta eu escolher um ponto, então vou escolher esse ponto aqui, por exemplo, (2,3). Então o x é 2, e o y é 3.
    Então fica assim: y - y0, o y do ponto é 3 é igual a m que multiplica x - x0, o x do ponto é 2. E agora?
    Basta descobrirmos quem é o M, então vamos lá. Eu já sei que M é deltaY sobre deltaX, então é só a gente fazer.
    Quem que vai dar o nosso M? Se eu pegar, por exemplo, desse ponto para esse deltaY, 3 - 2, vai dar 1, deltaX, 2 - (-1), 2+1=3, então é 1/3. Então como que fica a equação da minha reta?
    Y -3 = 1/3 como que fica então a nossa equação? Fica aqui, olha: Y - 3 é igual a M que a gente calculou ali agora, 1/3 e multiplica x - 2.
    Fechou. Como ele quer a equação reduzida, basta eu isolar o Y.
    Se ele quisesse a geral, é só jogar tudo para um lado e igualar a zero reduzido eu isolo Y, então fica assim, olha. Y é igual distribuindo isso aqui, fica X/3, -2/3, +3, não é?
    +3. Só que esse 3, pessoal, eu posso escrever como 9/3, por quê?
    9/3 é 3, não é? Só para eu já colocar na mesma base aqui e a gente fazer essa soma, então, por fim, a minha equação reduzida é Y = X sobre 3 + 7/3 não é, pessoal?
    7/3, então essa seria a equação da minha reta, do formato reduzido. Poderia ter feito pelo determinante e depois passado para o formato reduzido?
    Poderia. Como eu disse, isso aqui é só um jeito novo aí, se você achar mais fácil, para que possamos obter a equação de reta.
    Legal? Vamos fazer mais um exercício então?
    Vamos lá. Olha: Encontre a equação geral, então eu quero a equação geral, da reta que contém esse ponto, então ele deu só um ponto e ele deu o ângulo que ela faz, não é?
    Então vamos lá, pessoal. Aqui vale mais à pena então a gente pensar primeiro, talvez, aí no formato reduzido para depois passar para o geral, então vamos lá.
    Vamos pegar a equação fundamental de y - y0 vai ser igual a M coeficiente angular que multiplica x menos x0, onde x0 e y0 são coordenadas de um ponto que contenha a reta no caso desculpa, é um ponto em que a reta contém, que seria no caso esse daqui. Então, olha só, y menos o y do ponto que é 4 é igual o coeficiente angular que seria então a tangente de 60.
    A tangente de 60 que multiplica x então, menos o x0 - 1, o X do ponto. Beleza?
    Então construímos aqui então a equação de acordo com aquela equação fundamental da reta, então fica assim, y - 4, quem é a tangente de 60, pessoal? A gente tem que lembrar, não é?
    Vale raiz de 3, raiz de 3 que multiplica x - 1, então, pronto. Fica como isso aqui?
    Y - 4 = raiz de 3x, menos raiz de 3. Como ele quer essa equação no formato geral, tenho que jogar tudo para um lado e igualar a zero.
    Vai ficar então y, aliás, colocando ali na ordem de x,y fica: - raiz de 3x + y - 4 + raiz de 3 = 0. Passei esses termos todos para lá.
    Então está aqui no formato fundamental, essa seria a equação da nossa reta. O que eu poderia fazer também seria talvez multiplicar por - 1 se você preferir raiz de 3x - y + 4 - raiz de 3 é igual a 0 que é a mesma reta, a mesma coisa, só uma maneira diferente de escrever a equação dessa reta, não é?
    Então está aí, pessoal. Nada muito complicado.
    De novo, essa fórmula nova que obtivemos, vamos lá nela, ela é só um jeito diferente de obtermos a equação de reta. É só a gente ter o coeficiente angular e um ponto que a gente consegue obter a equação da reta, beleza?
    Então é isso, pessoal. Muito obrigado pela atenção e até a próxima aula.
    ...

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