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Equação geral da reta - Teoria

Agora vamos ver os elementos da equação geral da reta através de exemplos.

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  • play_arrowEstudo da reta: noção intuitiva de equação da reta - Teoria

    lockEquação geral da reta - Teoria

    lockEquação reduzida da reta - Teoria

    lockEquação fundamental da reta - Teoria

    lockIntersecção de retas - Teoria

    lockPosições relativas entre retas - Teoria

    lockDistância de ponto a reta - Teoria

    lockÂngulo entre retas - Teoria

    lockReta - Resumo

  • E aí, turma. Tranquilo?
    Então como a gente terminou em nossa aula passada, a gente vai discutir agora aqui a equação geral da reta que tem esse formato como eu cheguei a comentar na aula anterior e como a gente meio que já tem uma noção de acordo com as retas que a gente já construiu na aula passada não é, pessoal? O formato geral seria isso.
    Tudo bem. Como que eu obtenho algo desse tipo esse A, esse B e C são constantes.
    Então, por exemplo, um exemplo de regra seria a reta 3x + 2y + 1=0, entendeu? São constantes.
    E como que funciona esse método? Como vou chegar em uma equação desse tipo?
    Não é para complicar não, pessoal. Vamos lá.
    Vamos fazer um exemplo aqui. Como a gente já sabe, eu preciso de pelo menos dois pontos.
    E dois pontos são suficientes para que eu determine uma reta. E um terceiro ponto ele pode ou não estar contido em uma reta, a gente discutiu aquela condição do alinhamento dos pontos.
    Mas por dois pontos eu determino uma reta. A gente viu que se eu tenho dois pontos quaisquer sempre eles estão alinhados, sempre existe uma reta que os contém e esta reta é única, não é?
    Beleza. Então está aqui.
    Eu tenho dois pontos, tenho uma reta, legal. E aí?
    Como que eu faço para achar equação dela? Pessoal, a gente vai usar exatamente aquela condição do alinhamento.
    Por exemplo, pega um ponto qualquer dessa reta aqui, qualquer um, e chama de XY as coordenadas dele. Sei lá que ponto que é esse, então umas coordenadas genéricas quaisquer, então vamos dizer aqui que a coordenada é X e Y, certo?
    Então esse ponto é qualquer um, pode estar aqui embaixo, o ponto de coordenada X, Y, pode estar lá em cima, então vou achar qual condição que esse X e Y tem que satisfazer para que esse ponto pertença a essa reta, entenderam? Então vamos lá.
    Primeiro, o que a gente precisa fazer então? Eu sei que se eles estão sobre a mesma reta, aquele determinante nosso lá tem que dar 0 não é, pessoal?
    Vocês lembram disso? Então vamos construir exatamente isso.
    Olha, se eu colocar os pontos aqui. X, Y - 1 -3, esse primeiro ponto, esse ponto seria 5 e 2, e o ponto genérico qualquer, que tem em qualquer lugar, seria o ponto de coordenadas XY, não é?
    Legal, e agora? Agora eu repito não é, pessoal?
    Eu completo ele a última com 1's. Esse é o meu determinante, isso tem que ser igual a 0, não é?
    Como que a gente faz para calcular o determinante, pessoal? Bom, eu vou repetir aqui.
    Essas duas primeiras colunas, então eu vou aqui, olha, -1, 5 e X e aqui -3, 2, e Y, não é? E esse determinante tem que ser igual a zero, tem que colocar aqui do lado.
    Esse determinante tem que dar exatamente igual a zero. Então vamos lá, pessoal.
    O que a gente sabe? A gente faz os produtos aqui, essas diagonais principais aqui e a gente não troca o sinal desses, não é?
    Então vamos lá. Como é que vai ficar isso daí?
    -1x2=-2 x 1= -2. -3 x 1 = -3 x X = -3x, não é?
    E aqui também 1x5=5 x y = 5y. + 5y.
    Beleza. E agora o que a gente faz?
    Agora a gente faz esses produtos aqui. Então, olha.
    1x2=2 x X= 2x, então -2x, não é isso? Aqui também.
    Aqui vai ficar -1x1=-1 x y = -y, então +y. E aqui por último então -3x5 = -15 x 1= - 15, +15 aqui então.
    E tudo isso, pessoal, tem que ser igual a zero. Então vai ficar -5x + 5y + y + 6y -2 + 15 é + 13, não é, pessoal?
    + 13=0. Fechou.
    Essa aqui é a nossa equação geral da reta, essa é a equação que representa aquela reta. Vamos entender o que a gente fez e por que isso deu certo.
    Perceba só que, sim, a equação está de acordo com esse formato que a gente conversou, ax + by + c, aqui são as constantes a, b e c. Vamos discutir duas coisas aqui então antes da gente fazer mais um exemplo, beleza?
    Que é o seguinte; bom, pessoal, porque o que a gente fez dá certo? O que eu escolhi, para quem não me entendeu, foi escolher um ponto qualquer de coordenadas X e Y arbitrárias e eu fiz essa equacionei esse determinante e falei que ele tem que ser igual a zero, ou seja, eu disse que esses três pontos estão alinhados.
    Ou seja, o que eu achei? Isso aqui é uma equação que qualquer ponto de coordenadas X,Y dessa reta tem que satisfazer, então é por isso que essa equação descreve exatamente aquela reta.
    Todos os pontos de coordenadas X,Y quaisquer daquela reta, eles têm que satisfazer essa equação, então essa equação é de fato a equação que descreve todos os pontos que pertencem a essa reta. Se eu pegar esse ponto aqui, depois você pode fazer o teste.
    Pega esse ponto, pega o X dele que é -1, o y dele que é -3, joga aqui, e vai ter que dar igual a zero. Pega esse ponto aqui, pega o X dele e o Y dele, joga aqui, faz isso aqui, multiplica, tal, soma com 13, tem que dar igual a zero.
    Qualquer ponto que você pegar dessa reta tem que satisfazer a essa equação. Entenderam?
    É importante a gente entender o que de fato é uma equação de reta, não é? Então é importante a gente ter esse entendimento, legal?
    Então vamos fazer mais um exemplo aí para a gente fixar isso. Está aqui.
    Encontre a equação geral da reta determinada pelos pontos 1, 2, -1 e 5. Já tenho os dois pontos, pessoal.
    O que eu vou fazer? Não preciso nem desenhar para imaginar o que está rolando não, não é?
    Vamos lá. Monto o determinante, olha.
    O primeiro ponto 1, 2, segundo ponto -1 e 5, terceiro ponto xy, pontos quaisquer. Como é que a gente vai determinar?
    Completo a terceira coluna com 1's, não é? Beleza.
    Esse determinante tem que ser igual a zero. Só que aí para calcular esse determinante, como que a gente faz?
    Repete aqui as duas primeiras colunas (2, 5, y), o determinante vai ter que dar zero. Então vamos lá, vamos fazer um pouco mais rápido aqui.
    1x5=5x1=5. Não é?
    Aqui vai ficar 2x1=2, 2x, não é? Então + 2x e aqui eu vou ficar com -y.
    -y, legal? Beleza.
    Então vamos lá. Se eu fizer os produtos aqui agora 1x5=5, 5x, - 5x.
    Aqui eu vou ficar com y 1 x 1 x y, então -y, e aqui eu vou ficar com 2x-1=-2x1-2, então +2, tudo isso tem que ser igual a zero, o determinante tem que dar exatamente igual a zero, então a gente faz a soma, olha. -5x+2x= -3x.
    -y e -y = -2y + 5 + 2 = +7, e isso aqui é igual a 0. Então essa é a equação geral da reta, que contém esses dois pontos, a reta determinada por esses pontos, beleza?
    Agora, pessoal, um detalhe que vale a pena a gente já comentar é o seguinte: a equação da reta ela não é única Como assim? Por exemplo, eu posso pegar isso aqui é igual a isso.
    Então se eu multiplicar, por exemplo, por -1 de um lado, vai continuar sendo igual se eu fizer do outro. Então, por exemplo, se eu multiplicar por -1 os dois lados ficaria assim, olha: 3x + 2y - 7 = 0.
    Eu não alterei a igualdade, alterei? Não, não alterei.
    Eu multipliquei pela mesma coisa dos dois lados então continua sendo igual. Perceba que a equação é diferente, está escrita de um jeito diferente porém é a mesma, é o mesmo objeto geométrico.
    Se eu fosse analisar no plano é a mesma reta, é o mesmo objeto geométrico. É no mesmo local, porém eu só escrevi de forma diferente a equação.
    A equação no formato geral, ela tem um pouco disso então. Ela não é única, por exemplo, poderia multiplicar por dois nos dois lados dessa equação, por exemplo.
    Então a minha equação ia ficar como? 6x + 4y - 14 = 0.
    De novo, é uma outra equação, mas é o mesmo objeto geométrico. Legal?
    Então a ideia é isso, pessoal. Daqui, se eu simplificar, se eu dividir por 2 e depois ficar -1, eu volto para cá.
    Enfim, tem formas distintas de representarmos a equação da reta no formato geral, mas todas no final das contas se a gente fizesse simplificações e tal, cai na mesma coisa e também todas representam o mesmo objeto geométrico. Legal?
    Então é isso, pessoal, essa é a ideia para a gente obter a equação de reta quando dois pontos determinam uma reta então é só fazer o cálculo determinante utilizando um ponto x,y qualquer que eu vou obter a equação dessa reta. Legal, pessoal?
    Beleza. Então, na próxima aula a gente vai discutir agora um outro formato de obter a equação da reta que é um formato talvez um pouco mais interessante para a gente mas a gente discute esses detalhes lá, beleza?
    Muito obrigado pela atenção então, pessoal. Até a próxima aula.
    ...

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