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Equação reduzida da reta - Teoria

Aprenda sobre a equação reduzida da reta e seus componentes: coeficiente angular e coeficiente linear.

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  • play_arrowEstudo da reta: noção intuitiva de equação da reta - Teoria

    lockEquação geral da reta - Teoria

    lockEquação reduzida da reta - Teoria

    lockEquação fundamental da reta - Teoria

    lockIntersecção de retas - Teoria

    lockPosições relativas entre retas - Teoria

    lockDistância de ponto a reta - Teoria

    lockÂngulo entre retas - Teoria

    lockResumo - reta - Resumo

  • E aí, pessoal. Vamos lá então, vamos falar agora da equação reduzida da reta como eu tinha prometido.
    Vamos lá. Vocês vão ver que essa equação é muito legal, porque ela traz muita informação para a gente, a gente vai entender como que isso funciona, beleza?
    Então vamos lá. A equação reduzida da reta é basicamente isso daqui a gente colocar nesse formato.
    Então, por exemplo, só para vocês entenderem aqui, não é nada muito complicado. Se eu tiver lá uma equação de 2x sei lá, -2x + 2y - 6= 0 Isso aqui é uma equação de formato geral como a gente viu, não é?
    Então como que eu faço para passar para o formato reduzido? Primeiro, isolo o Y, então vou jogar tudo para o lado de lá exceto o Y, então vou deixar aqui 2y = 2x + 6, não é?
    E aí divido por dois dos dois lados, então Y = X + 3. Fechou.
    Eu tenho a mesma reta, o mesmo objeto geométrico, só que escrito de formas distintas, então isso que aparece aqui é a mesma reta que está descrita por essa equação. Legal?
    Não tem segredo nenhum, mas a gente vai entender por que às vezes é muito mais interessante eu escrever nesse formato, porque ele traz mais informações para a gente. Beleza?
    Tudo bem então. Vamos lá.
    Só um detalhe aqui, pessoal. É que no formato reduzido, eu só tenho também uma única maneira de representar a equação de reta, isso aí às vezes por si só já é um grande adianto.
    Porque a gente viu que tem várias formas e tal, mas aqui a fórmula é única, não é? Então você já pode resolver também e ajudar a gente, não é?
    Então vamos lá pessoal, vamos entender o que é cada coisa nessa reta. Bom, a gente vai começar falando aqui, só para vocês entenderem, esse M, é o que a gente chama de coeficiente angular.
    Legal? Isso aqui é o coeficiente angular e a gente vai discutir ele agora.
    O coeficiente angular da reta. A gente vai entender como que a gente calcula ele e tal.
    E esse aqui é o coeficiente linear. Legal?
    Coeficiente linear, então pessoal, lá no formato geral da reta, nesse aqui, na equação geral, ax + by + c = 0, esses coeficientes nem nome eles recebem por quê? Porque eles não trazem informação nenhuma.
    Aqui esses coeficientes, eles já até recebem nome, porque cada um deles vai nos informar uma coisa sobre a reta e isso pode ajudar a gente muito a escrever a equação dela, então a gente vai entender e discutir cada um deles aqui, beleza? Vamos lá então.
    Coeficiente angular primeiro. Bom, o que é esse coeficiente angular?
    Coeficiente angular M então. Então vamos lá.
    Vamos falar sobre ele. Bom, pessoal, ele é nada mais, nada menos do que a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo Y.
    Como assim? Por exemplo, deixa eu fazer um desenho.
    Se eu tenho um plano cartesiano aqui, olha, y e x, beleza? E aí eu tenho uma certa reta que faz um ângulo aqui, vamos dizer, teta com o sentido positivo aqui do eixo x, beleza?
    Então, quem é esse M, pessoal? Esse M nada mais, nada menos é do que a tangente desse ângulo.
    Então o M aqui. Duas formas de eu calcular coeficiente angular, é a tangente de teta, legal?
    Então isso por si só já nos diz muita coisa, por quê? Porque vocês lembram que a tangente se eu estou de 0 a 90, ela é positiva.
    Se eu estou de 90 a 180, ela vai ser negativa, então o próprio m se ele é positivo ou negativo, eles nos fala se a reta é crescente ou decrescente. A gente vai discutir isso daqui a pouco.
    Um outro jeito de eu calcular o M é o seguinte: o que é tangente, pessoal? Pensa só.
    Se eu tenho aqui um certo qualquer espaço na verdade serve, vamos dizer que eu pego esse espaço aqui. Beleza?
    Aqui está o meu teta. Meu mesmo ângulo teta.
    A tangente em um triângulo retângulo aqui, seria o quê? O cateto oposto sobre a hipotenusa.
    O que seria o cateto oposto? Seria um delta Y, uma certa variação em Y, e o que seria o cateto adjacente?
    Tangente é o cateto oposto pelo adjacente. Delta X aqui.
    Então o outro jeito de eu calcular o coeficiente angular se eu tiver dois pontos, imagina que eu tenho esse ponto e esse ponto. Basta eu fazer Delta Y sobre Delta X, então assim as duas formas na verdade elas têm muito a ver.
    Isso aqui seria só pela definição da tangente, mas está aí. Dois jeitos de interpretar esse coeficiente angular, legal?
    Então se eu tiver o ângulo, se eu souber quem que é o ângulo, basta eu pegar a tangente dele. Se eu não tiver um ângulo, mas tiver dois pontos, só lembrar da definição de tangente em um triângulo retângulo que é o cateto oposto pela adjacente, delta Y sobre Delta X.
    Legal? Vamos colocar um resuminho aqui do que eu conversei com vocês que é o seguinte: se o coeficiente angular é positivo, é maior do que 0, a reta a gente fala que ela é crescente.
    Você lembra desse estudo de função de primeiro grau? Reta Crescente e tal?
    Então aqui todas essas retas que aparecem aqui são retas crescentes, são retas que têm o "m", o coeficiente angular positivo, legal? Já se o M for negativo, a reta vai ser decrescente.
    Então, por exemplo, se eu tiver retas assim, são retas decrescentes, são retas que tem o quê? O coeficiente angular negativo, por exemplo, uma reta do tipo, só para ficar claro aqui, é uma reta do tipo y = - 2x + qualquer coisa, sei lá, mais cinco, seria uma reta decrescente.
    E eu também tenho o caso do M ser zero que seria o caso mais simples, que a gente viu naquela primeira aula de retas, não é? Porque, olha só, eu tenho a equação assim Y = MX + n.
    Se o M é zero, tudo isso zera, então fica y = n. Y é igual a uma certa constante, não é?
    Então seriam retas o quê? Retas horizontais, a gente discutiu isso, é um caso bem simples, por exemplo, se o meu "n" é três, então teria essa reta, y = 3, meu é um, Y = 1 teria essa reta que passa aqui do Y=1.
    Seria um caso mais simples não é, pessoal? Mas então a gente já viu que é legal a gente colocar a equação da reta nesse formato porque olha a informação aqui, que ela dá para a gente.
    Se eu tenho, por exemplo, uma equação geral aqui se isso é negativo, se isso é positivo, isso não me diz muita coisa. Agora, aqui já me diz, eu já sei que essa reta, ela é crescente, então já ajuda, eu leio a equação já entendendo um pouco da geometria dessa figura, então está aí, o coeficiente angular, formas de calculá-lo, daqui a pouco a gente faz alguns exemplos e como que a gente interpreta ele.
    Tá legal? Então vamos lá.
    Agora o coeficiente linear. O coeficiente linear, pessoal, ele fala aqui, olha.
    É onde a reta intercepta o eixo Y. Como assim?
    Só para a gente entender então. O coeficiente linear seria o "n" lá, do y = mx + n.
    Então, por exemplo, essas retas aqui, olha, para a gente entender então. Como que eu escreveria a equação delas?
    Aqui seria Y = mx, eu não sei quanto é o coeficiente angular mais 3. Então está aqui o coeficiente linear é exatamente o número, o Y, no qual a reta intercepta o eixo das ordenadas.
    Qual é o valor da ordenada onde a reta intercepta o eixo das ordenadas? Legal?
    Aqui inclusive eu posso dizer até mais, esse M aqui eu sei que ele é negativo, porque essa reta aqui é decrescente, não é? Então seria, sei lá, y = -2x + 3.
    Então isso aqui tem que ser negativo. Então está vendo como a gente entender o coeficiente angular e o linear já dá para a gente uma boa ideia de como é a reta, de como entendê-la?
    Por exemplo, essa outra aqui então, seria y = mx - 2, onde por quê? Porque a reta intercepta o eixo das ordenadas em -2, inclusive aqui também eu posso dizer mais, não é?
    Esse M tem que ser o quê? Positivo, não é, pessoal.
    A reta é crescente. Então vocês enxergaram como essa equação é bem mais legal?
    Porque essas informações já ajudam muito a gente entender como é essa reta e tal. Então está aí, pessoal.
    O M então tem a ver com onde a reta intercepta o eixo Y. Se você quiser entender o porquê não é muito complicado não.
    A nossa equação é isso aqui, não é? Y = mx + n.
    Quando o x vale zero, esse termo zera. O que fica?
    Y = n. Mas o que é o x valendo zero?
    O X valendo zero é exatamente um ponto sobre o eixo Y. Entenderam?
    Então é por isso que o intercepto com o eixo Y está aqui, Y = n, quando o x vale zero. Então é por isso que o n me dá o próprio intercepto com o eixo Y, porque é quando o x zera.
    Entenderam? Então está aí, pessoal.
    Duas coisas muito importantes que tem que saber então. O coeficiente angular, todas essas propriedades dele aqui de reta crescente, decrescente e o linear para que isso já nos dá uma boa ideia sobre quem é a reta que a gente está querendo descrever.
    Legal? Então vamos lá.
    Vamos fazer um exemplo aqui então. Encontre a equação reduzida da reta que passa por esses pontos.
    Bom, pessoal, o que a gente pode fazer? A gente vai fazer de dois jeitos.
    O primeiro jeito aqui vai ser o quê? Encontrar a equação geral que a gente já sabe como é que faz, depois eu só passo para o formato reduzido, então como que a gente faz para fazer o formato geral?
    Olha, vamos lá, coloco os pontos (0, 1), (1,3) e (x, y), não é? Beleza.
    Aqui eu completo com 1's e esse determinante tem que dar zero, não é? Repito essas colunas (0,1,x), as duas primeiras colunas (0,1,x) e (1,3,y). E isso tem que ser igual a zero, não é?
    Então vamos fazer. Zero aqui vai zerar, não é?
    Vai zerar. 1 x 1 x X, vai dar X e aqui 1 x 1 x Y, vai dar Y, + Y.
    Legal. Se eu fizer agora aqui então a outra diagonal, as diagonais secundárias 1 x 3 = 3 x X = - 3x.
    0 x qualquer coisa, aqui vai zerar, 1 x 1 x 1 + 1 no caso -1, tudo isso tem que ser = 0, e o determinante tem que ser zero, porque os pontos estão alinhados. Tá.
    Como que ficaram então? Y - 2x - 1 = 0.
    Se eu quiser passar para o formato reduzido, é só eu fazer assim: y = 2x + 1. Legal.
    Obtivemos a equação da reta do formato reduzido. Agora olha como a gente poderia obter ainda mais facilmente, ainda mais rapidamente se a gente souber bem essas propriedades de coeficiente angular e linear.
    Olha só. O segundo jeito da gente resolver.
    A gente quer obter isso daqui, não é? Y = mx + n.
    Bom, eu já sei que o n eu intercepto com o eixo Y, ou seja, o n acontece quando o x vale zero. Olha ele aqui então.
    O "X" vale zero e o meu Y vale um, então eu já tiro aqui que o meu "n" é igual a um. Então o meu "n" é exatamente igual a um.
    Vocês lembram? A gente discutiu ali agora pouco, a gente fez o gráfico aqui, olha.
    E a gente concluiu, a gente fez a discussão aqui, ...

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