Determine a solução da equação diferencial 2y''-8y'+8y=0 que atenda às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=7?

A equação diferencial 2y''-8y'+8y=0 é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. Para resolvê-la, podemos assumir que a solução é da forma y=e^(rt), onde r é uma constante a ser determinada. Substituindo y=e^(rt) na equação, temos: 2r^2e^(rt) - 8re^(rt) + 8e^(rt) = 0 Dividindo toda a equação por e^(rt), temos: 2r^2 - 8r + 8 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: r1 = 1 + i r2 = 1 - i Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y(t) = c1e^(t+it) + c2e^(t-it) Simplificando, temos: y(t) = e^t(c1cos(t) + c2sen(t)) Usando as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=7, podemos encontrar os valores de c1 e c2: y(0) = 2 = c1 y'(0) = 7 = c1 + c2 Portanto, c1=2 e c2=5. Assim, a solução da equação diferencial que atende às condições iniciais é: y(t) = 2e^t(cos(t) + 2sen(t))