Lista1 cálculo D- questões 3 e 4

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Cálculo D
Lista 1 - Questões 3 e 4
Discente:
Annie Gabrielle de Oliveira Silva
Docente:
Vilton Pinheiro
17 de outubro de 2021
Seja ψ : R→ R dada por
ψ(x) =
{
1 se x ∈ Q
−1 se x /∈ Q
Exercício 3. Seja γ : (−1, 1)→ R2a curva γ(t) = (tψ(t), t2(1− ψ(y))2).
(1) A curva γ é continua em algum t ∈ (−1, 1) ? Justifique. (2) A curva γ é derivável em
algum t ∈ (−1, 1) ? Justifique.
A função ficará dividida nos seguintes casos:
{
γ(t) = (t, 0) se t ∈ Q⇒ γ′(t) = (1, 0)
γ(t) = (−t, 4t2) se t /∈ Q⇒ γ′(t) = (−1, 8t)
Fazendo uma análise da função, vemos graficamente que, quando o domínio é dado pelos
reais, as funções são contínuas para todo os intervalos. Assim, quando uma apresentar uma
descontinuidade, devido a restrição dos racionais, a outra "completará"a vacância. Portanto, a
função é descontínua para todos os pontos da curva.
Figura 1: Fonte: Criado pela autora.
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Seja ψ : R→ R dada por
ψ(x) =
{
1 se x ∈ Q
−1 se x /∈ Q
Exercício 4. Seja γ : (−1, 1)→ R2 a curva γ(t) = (t+ t2ψ(t), t2).
(1) A curva γ é continua em algum t ∈ (−1, 1) ? Justifique.
(2) A curva γ é derivável em algum t ∈ (−1, 1) ? Justifique.
A função ficará dividida nos seguintes casos:
{
γ(t) = (t+ t2, t2) se t ∈ Q⇒ γ′(t) = (1 + 2t, 2t)
γ(t) = (t− t2, t2) se t /∈ Q⇒ γ′(t) = (1− 2t, 2t)
Fazendo uma análise da função, vemos graficamente que, quando o domínio é dado pelos
reais, as funções são contínuas para todo os intervalos. Assim, quando uma apresentar uma
descontinuidade, devido a restrição dos racionais, a outra "completará"a vacância. Portanto, a
função é descontínua para quase todos os pontos da curva. Se t=0, teremos que a derivada de
ambas as restrições se igualam e teremos γ′(t) = 0.
Figura 2: Fonte: Criado pela autora.
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