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Função Logarítmica APRESENTAÇÃO Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos a função logarítmica por meio de sua definição, suas propriedades e seus gráficos. Bons estudos. Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Converter equações para funções logarítmicas da forma logarítmica para a exponencial e vice-versa. • Traçar gráficos das funções logarítmicas.• Identificar as propriedades das funções logarítmicas.• DESAFIO A poluição sonora gera problemas para o ser humano, principalmente nos grandes centros urbanos. Nosso ouvido é capaz de notar uma enorme faixa de intensidade de ondas sonoras, ou seja, de som. Considere as nossas faixas extremas de intensidade sonora: Limiar de audição: 10-12 W/m2 Sensação de dor: 1 W/m2 Sabendo que a sensação da intensidade sonora varia com melhor aproximação, o nível de intensidade G medido em decibéis (dB) se define por: G = 10 log (I/10-12), sendo I a intensidade do som. A partir da função logarítmica que descreve o nível de intensidade de uma onda sonora, defina então: a. Nível (em dB) do limiar de audição do ser humano. b. Nível (em dB) do limiar de audição dolorosa do ser humano. INFOGRÁFICO O infográfico aborda como se lê a função logarítmica e os tipos de gráficos das funções logarítmicas. CONTEÚDO DO LIVRO Em geral, podemos expressar a equação x = ay (a > 0, a 1) na forma y = f(x) definindo uma função logarítmica. Acompanhe trechos extraídos do livro "Matemática Aplicada: Administração, Economia e Ciências Sociais e Biológicas", de Harshbarger e Reynolds, a partir do tópico 5.2, Funções Logarítmicas e suas propriedades (até o exemplo 4, da página 234). Essa obra foi escolhida como base teórica da nossa Unidade de Aprendizagem. A D M I N I S T R A Ç Ã O , E C O N O M I A E C I Ê N C I A S S O C I A I S E B I O L Ó G I C A S 7 a e d i ç ã o Harshbarger • Reynolds H324m Harshbarger, Ronald J. Matemática aplicada [recurso eletrônico] : administração, economia e ciências sociais e biológicas / Ronald J. Harshbarger, James J. Reynolds ; tradução: Ariovaldo Griesi, Oscar Kenjiro N. Asakura; revisão técnica: Helena Maria de Ávila Castro, Afrânio Carlos Murolo. – 7. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2013. Editado também como livro impresso em 2006. ISBN 978-85-8055-273-7 1. Matemática aplicada. 2. Administração. 3. Economia. 4. Ciências Sociais. 5. Ciências Biológicas. I. Reynolds, James J. II. Título. CDU 51-7 Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052 5.2 Funções Logarítmicas e Suas Propriedades 231 51. Modelagem Estudantes por computador A ta- bela a seguir mostra o número médio de estudan- tes por computador nas escolas públicas para os anos do calendário escolar que terminaram entre 1985 e 2000. (a) Encontre um modelo exponencial para estes dados. Considere x como o número de anos após 1980. (b) Este modelo é uma função de crescimento ou decaimento exponencial? Explique como você sabe. (c) Quantos estudantes por computador nas esco- las públicas este modelo prevê para 2010? Ano Estudantes por Computador Ano Estudantes por Computador 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 75 50 37 32 25 22 20 18 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 16 14 10,5 10 7,8 6,1 5,7 5,4 Fonte: Quality Education Data, Inc., Denver, Colorado Se P dólares forem investidos a uma taxa de juros anual r, compostos continuamente, então o valor futuro do investimento após t anos é dado por S = Pert Uma questão comum com investimentos como esse é: “Quanto tempo demora para o in- vestimento duplicar?”. Isto é, quando S = 2P? Para responder a esta questão e, conseqüente- mente, desenvolver a fórmula do “tempo de duplicação”, será preciso resolver a equação em t e para isso é necessário o uso das funções logarítmicas. PRÉ-APLICAÇÃO 5.2 Funções Logarítmicas e Suas Propriedades OBJETIVOS Converter equações para fun- ções logarítmicas da forma logarítmica para a exponen- cial, e vice e versa. Calcular alguns logaritmos especiais. Traçar gráfi cos das funções logarítmicas. Usar as propriedades das fun- ções logarítmicas para simpli- fi car expressões envolvendo logaritmos. Usar a fórmula de mudança de base. Modelar com funções logarít- micas. � � � � � � Funções Logarítmicas e Gráfi cos Antes do desenvolvimento e da grande disponibilidade das calculadoras e com- putadores, certos cálculos aritméticos, tais como (1,37)13 e 3 0916 , , eram difíceis de fazer. Os cálculos poderiam ser feitos com relativa facilidade usando os lo- garitmos, desenvolvidos no século XVII por John Napier, usando uma régua de cálculo, que, por sua vez, se baseia nos logaritmos. Atualmente, o uso dos logarit- mos como uma técnica de cálculo praticamente desapareceu, mas o estudo das funções logarítmicas ainda é muito importante, em razão das muitas aplicações existentes dessas funções. Por exemplo, consideremos novamente a cultura de bactérias descritas no início da seção anterior. Se soubermos que a cultura foi iniciada com um organis- mo e que a cada minuto todos os microorganismos presentes se dividem em dois novos, então poderemos encontrar o número de minutos que demora até que eles sejam 1.024 organismos resolvendo 1.024 = 2y A solução dessa equação pode ser escrita na forma y = log21.024 que se lê “y é igual ao logaritmo de 1.024 na base 2”. 232 Capítulo 5 Funções Exponenciais e Logarítmicas Em geral, podemos expressar a equação x = ay (a > 0, a ≠ 1) na forma y = f(x) defi nindo uma função logarítmica. Função Logarítmica Para a > 0 e a ≠ 1, a função logarítmica y = logax (forma logarítmica) tem domínio x > 0, base a e é defi nida por ay = x (forma exponencial) Conforme a defi nição, sabemos que y = loga x signifi ca x = a y. Isso signifi ca que log3 81 = 4 porque 3 4 = 81. Nesse caso, o logaritmo, 4, era o expoente ao qual temos que elevar a base 3 para obter 81. Em geral, se y = log x, então y é o expoente ao qual a base a deve ser elevada para obtermos x. O número a é chamado de base em ambos loga x = y e a y = x, e y é o logaritmo em loga x = y e o expoente em a y = x. Desse modo, podemos afi rmar que o logaritmo é um expoente. A Tabela 5.3 mostra algumas equações logarítmicas e suas formas exponen- ciais equivalentes. EXEMPLO 1 Formas Logarítmicas e Exponenciais (a) Escreva 64 = 43 na forma logarítmica. (b) Escreva log4 ( )164 3= − na forma exponencial. (c) Se 4 = log2 x, encontre x. SOLUÇÃO (a) 64 = 43 é equivalente a 3 = log4 64. (b) log4 ( ) 1 64 3= − é equivalente a 4 –3 = 164. (c) Se 4 = log2 x, então 2 4 = x e x = 16. EXEMPLO 2 Calculando Logaritmos Calcule: (a) log2 8 (b) log3 9 (c) log ( )5 125 SOLUÇÃO (a) Se y = log2 8, então 8 = 2 y. Como 23 = 8 temos log2 8 = 3. (b) Se y = log3 9, então 9 = 3 y. Como 32 = 9 temos log3 9 = 2. (c) Se y = log ( ),5 125 então 1 25 5= y. Como 5–2 = 125 , temos log5 ( ) . 1 25 2= − EXEMPLO 3 Traçando o Gráfi co de uma Função Logarítmica Trace o gráfi co de y = log2 x. SOLUÇÃO Podemos traçar o gráfi co de y = log2 x estudando o gráfi co de x = 2 y. A tabela de valores (encontrados substituindo valores para y e calculando x) e o gráfi co são mostrados na Figura 5.12 TABELA 5.3 Forma Logarítmica Forma Exponencial log10100 = 2 log100,1 = –1 log2x = y loga1 = 0 (a > 0) loga a = 1 (a > 0) 102 = 100 10–1 = 0,1 2y = x a0 = 1 a1 = a Gráfi cos 5.2 Funções Logarítmicas e Suas Propriedades 233 x = 2y y 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 –3 –2 –1 0 1 2 3 Da defi nição de logaritmos, vemos que todo logaritmo tem uma base. A maio- ria das aplicações de logaritmos envolve logaritmo na base 10 (chamado de loga- ritmo comum) ou logaritmo na base e (chamado de logaritmo natural). De fato, os logaritmos na base 10 e na base e são os únicos que têm teclas de função nas calculadoras científi cas. Assim, é importante familiarizar-se com seus nomes e no- tações. LogaritmosComuns e Naturais Logaritmos comuns: log x signifi ca log10 x. Logaritmos naturais: ln x signifi ca loge x. Os valores das funções logarítmicas comum e natural são usualmente encontra- dos com uma calculadora. Por exemplo, uma calculadora fornece log 2 ≈ 0,301 e ln 2 ≈ 0,693. Retornaremos agora à Pré-Aplicação. EXEMPLO 4 Tempo de Duplicação para um Investimento Na Pré-Aplicação observamos que o tempo de duplicação para um investimento capitalizado continuamente pode ser encontrado resolvendo a equação S = Pert em t, quando S = 2P. Isto é, devemos resolver 2P = Pert, ou (equivalentemente) 2 = ert. (a) Expresse 2 = ert na forma logarítmica e então resolva esta equação, determi- nando t, para encontrar a fórmula do tempo de duplicação. (b) Se um investimento rende 10% de juros anuais, compostos continuamente, em quanto tempo ele duplicará? SOLUÇÃO (a) Na forma logarítmica, 2 = ert é equivalente a loge2 = rt. Resolvendo, temos a fórmula para o tempo de duplicação t r r e= =log ln2 2 (b) Se a taxa de juros é r = 10%, capitalizada continuamente, o tempo necessário para que o investimento dobre é t = ≈ln , ,2 0 10 6 93 anos x y -2 2 4 6 8 -4 -2 2 4 y = log2 x Figura 5.12 234 Capítulo 5 Funções Exponenciais e Logarítmicas Observe que poderíamos escrever o tempo de duplicação para este problema como t = ≈ =ln , , , ,2 0 10 0 693 0 10 69 3 10 Em geral, podemos aproximar o tempo de duplicação para um investimento a r%, compostos continuamente, por 70r . (Em economia, isto é chamado de Regra do 70.) EXEMPLO 5 Participação no Mercado Suponha que, depois que uma companhia introduziu um novo produto, o número de meses m que leva até que sua participação no mercado seja s por cento, pode ser modelado por m s = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 20 40 40 ln Quando este produto terá uma participação de 35% no mercado? SOLUÇÃO Uma participação de 35% no mercado signifi ca s = 35. Conseqüentemente, m s = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ( ) 20 40 40 20 40 40 35 20 40 5 20 8 ln ln ln ln ≈≈ 41 6, Assim, a participação no mercado será 35% após 41,6 meses, aproximadamente. EXEMPLO 6 Logaritmo Natural Trace o gráfi co de y = In x. SOLUÇÃO Podemos traçar o gráfi co y = ln x calculando y = ln x para x > 0 (incluindo alguns valores no intervalo 0 < x < 1) com uma calculadora. O gráfi co é mostrado na Figura 5.13 x y -2 2 4 6 8 10 -2 2 4 y = ln x x y = ln x 0,05 0,10 0,50 1 2 3 5 10 –3,000 –2,303 –0,693 0,000 0,693 1,099 1,609 2,303Figura 5.13 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual da Instituição, você encontra a obra na íntegra. DICA DO PROFESSOR Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! EXERCÍCIOS 1) Calcule: log5625 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2) Quando a equação y = logax representa a mesma função que a equação x = ay? A) Quando a < 0 e a diferente de 1. B) Quando a > 0 e a diferente de 1. C) Quando a = 0 e a menor que 1. D) Quando a < -1 e a igual a 0. E) Quando a > 1 e a diferente de 0. 3) Marque a opção incorreta sobre os gráficos da função logarítmica: A) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0). B) O gráfico nunca toca o eixo y, e não ocupa pontos dos quadrantes II e III. C) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente. D) Quando 0 < a <1, a função logarítmica é decrescente. E) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (0,1). 4) Simplifique: A) 6 B) 1 C) x D) 1/6 E) 2 5) Simplifique: A) 7 B) 1 C) 0 D) 3 E) 1/7 NA PRÁTICA SAIBA MAIS Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor: FUNÇÃO LOGARÍTMICA Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Função Logarítmica e Gráfico (Aula 11 de 14) Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Função Logarítmica Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
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