MATEMÁTICA_V3

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3
MATEMÁTICA
e suas tecnologias
Herlan Fellini, Pedro Tadeu Batista e Vitor Okuhara
M
MATEMÁTICA
T
Matemática para
vestibular medicina
5ª edição • São Paulo
2019 
© Hexag Sistema de Ensino, 2018
Direitos desta edição: Hexag Sistema de Ensino, São Paulo, 2019
Todos os direitos reservados
Autores
Herlan Fellini 
Pedro Tadeu Batista
Vitor Okuhara
Diretor geral
Herlan Fellini
Coordenador geral
Raphael de Souza Motta
Responsabilidade editorial, programação visual, revisão e pesquisa iconográfica 
Hexag Sistema de Ensino
Diretor editorial
Pedro Tadeu Batista
Editoração eletrônica
Arthur Tahan Miguel Torres
Bruno Alves Oliveira Cruz
Claudio Guilherme da Silva Souza
Eder Carlos Bastos de Lima
Fernando Cruz Botelho de Souza
Matheus Franco da Silveira
Raphael de Souza Motta
Raphael Campos Silva
Projeto gráfico e capa
Raphael Campos Silva
Foto da capa
pixabay (http://pixabay.com)
Impressão e acabamento
Meta Solutions
ISBN: 978-85-9542-096-0
Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legislação, tendo por fim único e exclusivo o 
ensino. Caso exista algum texto, a respeito do qual seja necessária a inclusão de informação adicional, ficamos à disposição 
para o contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e localizar os titulares dos direitos sobre 
as imagens publicadas e estamos à disposição para suprir eventual omissão de crédito em futuras edições.
O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra é usado apenas para fins didáticos, não representando qual-
quer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.
2019
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CARO ALUNO
O Hexag Medicina é referência em preparação pré-vestibular de candidatos à carreira de Medicina. Desde 2010, são centenas de aprovações nos 
principais vestibulares de Medicina no Estado de São Paulo, Rio de Janeiro e em todo Brasil. O material didático foi, mais uma vez, aperfeiçoado e seu conteúdo 
enriquecido, inclusive com questões recentes dos relevantes vestibulares de 2019. 
Esteticamente, houve uma melhora em seu layout, na definição das imagens, criação de novas seções e também na utilização de cores.
No total, são 103 livros, 24 cadernos de Estudo Orientado e 6 cadernos de aula.
O conteúdo dos livros foi organizado por aulas. Cada assunto contém uma rica teoria, que contempla de forma objetiva e clara o que o aluno 
realmente necessita assimilar para o seu êxito nos principais vestibulares do Brasil e Enem, dispensando qualquer tipo de material alternativo complementar. 
Todo livro é iniciado por um infográfico. Esta seção, de forma simples, resumida e dinâmica, foi desenvolvida para indicação dos assuntos mais abordados nos 
principais vestibulares, voltados para o curso de medicina em todo território nacional.
O conteúdo das aulas está dividido da seguinte forma:
TEORIA
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos, de cada coleção, tem como principal objetivo apoiar o estudante na resolução de questões propos-
tas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, completos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas que complementam as explicações 
dadas em sala de aula. Quadros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados, e compõem um conjunto abrangente de informações para o 
estudante, que vai dedicar-se à rotina intensa de estudos.
TEORIA NA PRÁTICA (EXEMPLOS)
Desenvolvida pensando nas disciplinas que fazem parte das Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias. Nesses 
compilados nos deparamos com modelos de exercícios resolvidos e comentados, aquilo que parece abstrato e de difícil compreensão torna-se mais acessível 
e de bom entendimento aos olhos do estudante.
Através dessas resoluções é possível rever a qualquer momento as explicações dadas em sala de aula.
INTERATIVIDADE
Trata-se do complemento às aulas abordadas. É desenvolvida uma seção que oferece uma cuidadosa seleção de conteúdos para complementar o 
repertório do estudante. É dividido em boxes para facilitar a compreensão, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas e livros para o aprendizado do aluno. 
Tudo isso é encontrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos temas estudados. Há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até sugestões 
de aplicativos que facilitam os estudos, sendo conteúdos essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica. Tudo é selecionado com finos 
critérios para apurar ainda mais o conhecimento do nosso estudante.
INTERDISCIPLINARIDADE
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é elaborada, a cada aula, a seção interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares de 
hoje não exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos conteúdos de cada área, de cada matéria.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como biologia e química, 
história e geografia, biologia e matemática, entre outros. Neste espaço, o estudante inicia o contato com essa realidade por meio de explicações que relacio-
nam a aula do dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizando temas da atualidade. Assim, o estudante consegue entender 
que cada disciplina não existe de forma isolada, mas sim, fazendo parte de uma grande engrenagem no mundo em que ele vive.
APLICAÇÃO NO COTIDIANO
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu distanciamento da realidade cotidiana no desenvolver do dia a dia, dificultando o 
contato daqueles que tentam apreender determinados conceitos e aprofundamento dos assuntos, para além da superficial memorização ou “decorebas” de 
fórmulas ou regras. Para evitar bloqueios de aprendizagem com os conteúdos, foi desenvolvida a seção "Aplicação no Cotidiano". Como o próprio nome já 
aponta, há uma preocupação em levar aos nossos estudantes a clareza das relações entre aquilo que eles aprendem e aquilo que eles têm contato em seu 
dia a dia.
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Elaborada pensando no Enem, e sabendo que a prova tem o objetivo de avaliar o desempenho ao fim da escolaridade básica, o estudante deve 
conhecer as diversas habilidades e competências abordadas nas provas. Os livros da “Coleção vestibulares de Medicina” contêm, a cada aula, algumas dessas 
habilidades. No compilado “Construção de Habilidades”, há o modelo de exercício que não é apenas resolvido, mas sim feito uma análise expositiva, descre-
vendo passo a passo e analisado à luz das habilidades estudadas no dia. Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a apurá-las na sua 
prática, identificá-las na prova e resolver cada questão com tranquilidade.
ESTRUTURA CONCEITUAL
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Geramos aos estudantes o máximo de recursos para orientá-los em suas trajetórias. Um deles 
é a estrutura conceitual, para aqueles que aprendem visualmente a entender os conteúdos e processos por meio de esquemas cognitivos, mapas mentais e 
fluxogramas. Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos principais conteúdos 
ensinados no dia, o que facilita sua organização de estudos e até a resolução dos exercícios.
A edição 2019 foi elaborada com muito empenho e dedicação, oferecendo ao aluno um material moderno e completo, um grande aliado para o seu 
sucesso nos vestibulares mais concorridos de Medicina.
Herlan Fellini
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA
GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
Aulas 19 e 20: Equações, inequações e funções exponenciais 7
Aulas 21 e 22: Definição e propriedades dos logaritmos 21
Aulas 23 e 24: Equações, inequações e sistemas de equações logarítmicas 35
Aulas 25 e 26: Funçõeslogarítmicas 47
 
Aulas 19 e 20: Conceitos trigonométricos 55
Aulas 21 e 22: Transformações trigonométricas 89
Aulas 23 a 26: Relações fundamentais e equações trigonométricas 101
Aulas 19 a 22: Áreas dos quadriláteros e razão de semelhanças para áreas 117
Aulas 23 e 24: Área do círculo, setor e segmento circular 133
Aulas 25 e 26: Poliedros e noções de geometria métrica de posição 141
 
 
FUVEST
A banca da Fuvest busca tanto o domínio técnico sobre exponenciais e logaritmos e suas pro-
priedades como exige uma atenção redobrada do vestibulando para a verificação das condições 
de existência e das perfeitas identificações dos intervalos do domínio e da imagem das funções 
logarítmicas.
UNESP
Tema frequente nos vestibulares da Unesp, exponenciais e logaritmos são cobrados sempre apli-
cados a um exemplo do cotidiano com auxílio de gráficos, tabelas e funções dadas.
UNICAMP
Interpretação de texto e de gráficos, domínio das propriedades logarítmicas e atenção para 
domínio, imagem e condição de existência são exigências feitas pela banca da Comvest para 
seus vestibulandos.
UNIFESP
Ao cobrar exponenciais e logaritmos, o vestibular da Unifesp foca tanto na leitura atenta do 
enunciado para a modelagem da função exponencial ou logarítmica como no domínio das pro-
priedades em questão.
ENEM/UFMG/UFRJ
A abordagem de logaritmos e de exponenciais ao longo dos anos no Enem se restringe à apli-
cação de fórmulas dadas e à leitura de gráficos e tabelas para resolução da questão. É essencial, 
portanto, fazer uma leitura atenta de todos os textos propostos.
UERJ
Leitura de gráficos, tabelas e funções dadas pelo enunciado são as abordagens mais comuns 
sobre exponenciais e logaritmos feitas pela UERJ.
FA
CU
LD
ADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de ÁLGEBRA nos principais vestibulares.
©
 kt
sd
es
ign
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hu
tte
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to
ck
19 20
M
MATEMÁTICA
T
Equações, inequações 
e funções exponenciais
Competências
1, 5 e 6
Habilidades
3, 4, 5, 19, 20, 21, 
22, 23, 24, 25 e 26
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MATEMÁTICA
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Equações, inequações 
e funções exponenciais
Competências
1, 5 e 6
Habilidades
3, 4, 5, 19, 20, 21, 
22, 23, 24, 25 e 26
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
9
EquaçõEs ExponEnciais
Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente.
Exemplos:
2x = 8
3x+1 · 3x–2 = 27
32x–5 = 18
10 · 3x – 5 · 3x – 1 = 0
Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências de mesma base 
no primeiro e no segundo membro da equação, utilizando as definições e propriedades da potenciação. Além disso, 
usaremos o seguinte fato:
Se a > 0, a ≠ 1 e x é a incógnita da equação ax = ap, então x = p.
Exemplos:
 § Resolva a equação 4x = 512.
Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1° e o 2° membro da equação em potências 
de mesma base:
 
 
 4
x = (22)x = 22x 
512 = 29 (fatoração)
 } ä 22x = 29 ä 2x = 9 ä x = 9 __ 2 
O conjunto solução é S = { 9 __ 2 } .
 § Resolva a equação 0,5x+1 = 82x.
Reescrevendo 0,5 como um quociente temos 0,5 = 1 __ 
2
 . Utilizando as propriedades de potenciação temos 
que 1 __ 
2
 = 2–1.
Agora que ambos os termos da equação são potências de mesma base, temos:
0,5x + 1 = 82x à 2–x – 1 = 26x à –x – 1 = 6x à 7x = –1 à x = – 1 __ 
7
 
Portanto o conjunto solução é S = { – 1 __ 7 } .
Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios
Exemplo:
Resolva a equação 4x – 5 · 2x + 4 = 0.
Nesse caso, não conseguimos transformar os termos para uma mesma base de modo a obter uma equação 
do tipo ax = ap como visto anteriormente.
Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada:
4x – 5 · 2x + 4 = 0 ä (22)x – 5 · 2x + 4 = 0 ä (2x)2 – 5 · 2x + 4 = 0
Fazendo 2x = y, temos a equação do 2° grau em y:
y2 – 5y + 4 = 0
Resolvendo a equação, vem: y = 5 ± 3 _____ 
2
 ä { y' = 4 y" = 1 
Finalmente, voltando à igualdade 2x = y, obtemos: { 2x = 4 ä 2x = 22 [ x = 2 2x = 1 ä 2x = 20 [ x = 0 
S = {0,2}.
10
Função ExponEncial
A função f :R é R dada por f(x) = ax (com a > 0 e a ≠ 1) é denominada função exponencial de base a.
Por que a base deve ser positiva e diferente de 1?
Veja o porquê.
 § Se a < 0, então f(x) = ax não estaria definida para todo x real.
Por exemplo, supondo a = –2 e x = 1 __ 
2
 , teríamos: f ( 1 __ 2 ) = (–2)1/2 ⇒ f ( 1 __ 2 ) = √
__
 -2 , que não é um número real.
 § Se a = 1, então f(x) = ax é uma função constante: f(x) = 1x
f(x) = 1, para todo x real.
Função exponencial de base a com a > 1
 § Domínio R; contradomínio R+.
 § Contínua em todo o domínio.
 § A função é estritamente crescente em R e, portanto, injetiva.
 § Não tem zeros. O gráfico intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,1).
 § Admite a assíntota horizontal y = 0 quando x é −Ü.
 § Não tem assíntotas verticais nem oblíquas.
Função exponencial de base a com 0 < a < 1
 § Domínio R; contradomínio R+.
 § Contínua em todo o domínio.
 § A função é estritamente decrescente em R e, portanto, injetiva.
 § Não tem zeros. O gráfico intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,1).
 § Admite a assíntota horizontal y = 0 quando x é + Ü.
 § Não tem assíntotas verticais nem oblíquas.
11
Existem fatos que podem ser descritos por meio de uma função do tipo exponencial, tais como o juro do di-
nheiro acumulado, o crescimento ou decrescimento de populações animais ou vegetais e a desintegração radioativa.
Teoria na prática
1. Uma cultura, inicialmente com 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Suponha que, por divisão 
celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora.
a) Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial?
b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51200 bactérias?
Resolução:
a) No instante inicial, temos 100 bactérias.
Uma hora depois, teremos: 100 · 2 = 200 bactérias
Decorrida mais uma hora (após 2 horas do instante inicial), a população será de 
(100 · 22) = 100 ∙ 22 = 400 bactérias.
Decorrida outra uma hora (após 3 horas do instante inicial), a população será de 
(100 · 22) · 2 = 100 ∙ 23 = 800 bactérias. E assim por diante.
Após 3 horas, teremos 800 bactérias.
b) Depois de n horas, teremos uma população P dada por P = 100 · 2n.
De acordo com os dados do problema, temos: 51200 = 100 · 2n ä 2n = 51200 _____ 
100
 ä 2n = 512.
Resolvendo a equação, temos: 2n = 29 ä n = 9.
Então, a população da cultura será de 51200 bactérias após 9 horas.
2. Seja f(x) = 4x – 6 · 2x + 8.
a) Calcule f(0). 
b) Encontre todos os valores reais de x para os quais f(x) = 168. 
Resolução:
a) f(0) = 40 - 6 · 20 + 8 = 3.
b) 4x – 6 · 2x + 8 = 168 ⇒ 4x – 6 · 2x – 160 = 0 ⇒ (2x)2 – 6 · 2x – 160 = 0.
Resolvendo a equação temos:
2x = 16 ⇒ x = 4 ou 2x = –10 (não convém).
Portanto, x = 4. 
12
3. Se m __ n é a fração irredutível que é solução da equação exponencial 9
x – 9x-1 = 1944, calcule m – n .
Resolução:
Resolvendo a equação, encontramos:
9x – 9x-1 = 1944.
Reescrevendo a equação, temos:
9x – 9
x
 __ 
9
 = 1944.
Colocando 9x em evidência:
9x ( 1 – 1 __ 9 ) = 1944 ⇔ 9x ( 8 __ 9 ) = 1944 ⇔ 9x = 1944 ∙ 9 _______ 8 = 9x = 2187 ⇔ (32)x = 37
32x = 37 ⇔ 2x = 7 ⇔ x = 7/2.
Por conseguinte, temos m – n = 7 – 2 = 5.
4. Em um experimento no laboratório de pesquisa, observou-se que o número de bactérias de uma determi-
nada cultura, sob certas condições, evolui conforme a função B(t) = 10 · 3t - 1 em que B(t) expressa a quan-
tidade de bactérias e t representa o tempo em horas. Qual o tempo decorrido, em horas, para atingir uma 
cultura de 810 bactérias, após o início do experimento? 
Resolução:
Se B(t) = 810 , então podemos escrever:
B(t) = 810 = 10 · 3t-1 ⇒ 
3t-1 = 81 ⇒ 3t-1 = 34 ⇒ t –1 = 4 ⇒ t = 5. 
∴ 5 horas
5. As matas ciliares desempenham importante papel na manutenção das nascentes e estabilidade dos solos 
nas áreas marginais. Com o desenvolvimento do agronegócio e o crescimento das cidades, as matas ciliares 
vêm sendo destruídas. Um dos métodos usados para a sua recuperação é o plantio de mudas.
O gráfico mostra o número de mudas N(t) = ba t (0 < a ≠ 1 e b > 0) a serem plantadas no tempo t (em 
anos), numa determinada região. 
 
De acordo com os dados, qual o número de mudas a serem plantadas, quando t = 2 anos? 
a) 2.137.
b) 2.150.
c) 2.250.
d) 2.437.
e) 2.500.
13
Resolução:
Considerando os pontos (1, 1500) e (3, 3375) do gráfico, temos o seguinte sistema:
 { 1500 = b · a1 (I) 3375 = b · a3 (II) 
Fazendo (II) dividido por (I), temos:
a2 = 2,25 ⇒ a = 1,5 e b = 1000
Logo, N(t) = 1000 · (1,5)t ⇒ N(2) = 1000 · (1,5)2 = 2250 .
Alternativa C
inEquaçõEs ExponEnciais
Com base no crescimento e no decrescimento da função f(x) = ax, com a [ R*+ – {1}, podemos comparar 
quaisquer dois de seus expoentes.
Usando essas relações, e lembrando que ax1 = ax2 ä x1 = x2, podemos resolver algumas inequações exponenciais.
Exemplos:
 § Resolva a inequação ( dXX 5 ) x2 – 3x ≥ ( dXX 5 ) 4.
Como a base dXX 5 é maior que 1, temos:
 ( dXX 5 ) x2 – 3x ≥ ( dXX 5 ) 4 à x2 – 3x ≥ 4 (O sentido da desigualdade se conserva.)
x2 – 3x – 4 ≥ 0 é inequação do 2º grau.
Cálculo das raízes da função f(x) = x2 – 3x – 4 :
x2 – 3x – 4 = 0 ä 3 ± 5 _____ 
2
 { x' = 4 x" = –1 
Sinal da função f:
Para satisfazer a condição f(x) ≥ 0, devemos ter x ≤ –1 ou x ≥ 4.
S = {x [ R | x ≤ –1 ou x ≥ 4}.
14
 § Resolva a inequação ( 1 __ 3 ) 
3x –1
 < ( 1 __ 3 ) 
x+5
.
Como a base ( 1 __ 3 ) está compreendida entre 0 e 1, temos:
 ( 1 __ 3 ) 
3x –1
 < ( 1 __ 3 ) 
x+5
 ä 3x – 1 > x + 5 (O sentido da desigualdade se inverte.)
2x > 6
x > 3
S = {x [ R | x > 3}.
Teoria na prática
1. Resolver as inequações exponenciais (em ℝ):
a) 2x < 32. 
b) ( 1 __ 9 ) x ≤ 243. 
c) ( √
__
 2 ) x > 1 ____ 
 3 √
___
 16 
 .
d) 0,16x > 5 √
______
 15,625 .
e) 3t ≤ 9 
2
 
__
 t .
f) 2
-x
 _______ 
3x
2 - x – 1
 ≤ 0.
Resolução:
Aplicando as propriedades das potências e utilizando alguns artifícios algébricos, temos:
a) 2x < 32 ⇒ 2x < 25 ⇒ (base > 1) ⇒ x < 5. 
b) ( 1 __ 9 ) x ≤ 243 ⇒ (3-2)x ≤ 35 ⇒ (base > 1) ⇒ –2x ≤ 5 ⇒ 2x ≥ –5 ⇒ x ≥ – 5 __ 2 .
c) ( √
__
 2 ) x > 1 ____ 
 3 √
___
 16 
 ⇒ (21/2)x > 1 ___ 
 3 √
__
 24 
 ⇒ 2x/2 > 2-4/3 ⇒ (base > 1) ⇒ x __ 
2
 > – 4 __ 
3
 ⇒ x > – 8 __ 
3
 .
d) Utilizando a representação decimal na base 10 e decompondo os números, temos:
0,16x > 5 √
______
 15,625 ⇒ (24 ∙ 10-2)x > 5 √
______
 56 ∙10-3 ⇒ 24x ∙ 10-2x > (56 ∙ 10-3)1/5 ⇒ 24x ∙ 10-2x > 56/5 ∙ 10-3/5
Observando que 10 = 2 · 5, desmembramos cada termo 10 dessa forma e reagrupam-se as potências:
24x ∙ (2 ∙ 5)-2x > 5 6/5 ∙ (2 ∙ 5)-3/5 ⇒ 24x ∙ 2-2x ∙ 5-2x > 56/5 ∙ 2–3/5 ∙ 5-3/5 ⇒24x ∙ 2-2x ∙ 23/5 > 52x ∙ 56/5 ∙ 5-3/5
Repare que os sinais dos expoentes mudam ao trocarmos os membros, pois os termos são divididos do 
lado oposto e o sinal do expoente muda. Aplicando as propriedades de potências, temos:
 2
4x ∙ 2-2x ∙ 23/5 ____________________ 
52x ∙ 56/5 ∙ 5-3/5
 > 1 ⇒ 2
2x + 3 __ 5 _____ 
52x + 
3
 
__
 5 
 > 1 ⇒ ( 2 __ 5 ) 
2x +
 
3
 
__
 
5
 > ( 2 __ 5 ) 
0
 ⇒ (base < 1) ⇒ 2x + 3 __ 
5
 < 0 ⇒ x < – 3 ___ 
10
 . 
15
e) 3t ≤ 9 2/t ⇒ 3t ≤ (32)2/t ⇒ 3t ≤ 34/t ⇒ (base > 1) ⇒t ≤ 4 __ t ⇒ t – 
4 __ t ≤ 0 ⇒ 
t2 – 4 _____ t ≤ 0.
Analisando os intervalos, verifica-se que “t” não pode ser nulo devido ao denominador e o quociente 
assume valores negativos em ]–∙ , –2] ∪ ]0,2].
–2 0 2
t2 – 4 + – – +
t – – + +
t2 – 4/t – + – +
S = { t ∈  | t ≤ –2 ou 0 < t ≤ 2} 
f) 2
-x
 ______ 
3x2- x – 1
 ≤ 0. 
Observe que o quociente não se anula, pois o numerador é maior que zero. Além disso, é positivo, o que 
significa que o quociente será negativo somente se o denominador também o for. Temos:
 2
-x
 ______ 
3x2-x – 1
 ≤ 0 ⇒ 3x2 - x – 1 < 0 ⇒ 3x2 - x < 1 ⇒ 3x2 - x < 30 → (base > 1)⇒ x2 – x < 0 ⇒ x(x – 1) < 0. 
O produto será negativo entre as raízes 0 e 1. Isto é, t ∈ ]0,1[.
2. Após um estudo em uma colmeia de abelhas, verificou-se que, no instante t = 0, o número de abelhas 
era 1.000 e que o crescimento populacional da colmeia é dado pela função f, na qual f é definida por 
f(t) = 1000 ∙ 2 
2t
 
__
 3 , em que t é o tempo decorrido em dias. Supondo que não haja mortes na colmeia, em 
quantos dias no mínimo essa colmeia atingirá uma população de 64.000 abelhas? 
Resolução:
Queremos calcular o menor valor de t para o qual se tem f(t) ≥ 64000. Assim:
1000 ∙ 2 
2t
 
__
 3 ≥ 64000 ⇔ 2 
2t
 
__
 3 ≥ 26 ⇔ t ≥ 9.
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Fonte: Youtube
Crescimento das Funções Exponenciais
pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-vs-
linear-growth/v/exponential-growth-functions
Introdução às funções exponenciais
16
17
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APLICAÇÃO NO COTIDIANO
Funções exponenciais são aplicadas no nosso dia a dia nos famigerados juros compostos. Veja uma aplica-
ção rotineira:
1. (UPE-SSA) Mariana fez um empréstimo à base de juros compostos, num banco que cobra 10% ao mês. 
Ao final de 180 dias, o montante a ser pago por ela será de R$ 9.000,00 Com o dinheiro do empréstimo, 
Mariana realizou alguns pagamentos chegando a sua casa com R$ 1.250,00 Quanto ela gastou, aproxima-
damente, com os pagamentos?
Adote (1,1)6 = 1,8 
a) R$ 1.333,00
b) R$ 2.755,00
c) R$ 3.260,00
d) R$ 3.750,00
e) R$ 4.500,00
Resolução:
Sendo 180 dias correspondentes a 6 meses, considerando como sendo x o valor que Mariana pegou em-
prestado e y o valor gasto com os pagamentos, pode-se escrever:
M = C(1+i)t
M = 9000,
C = x,
i = 0,1,
t = 6,
9000 = x ∙ (1,1)6 → x = 5000
x – y = 1250 → 5000 – y = 1250 → y = 3750 reais
Alternativa D
INTERDISCIPLINARIDADE
Exponencial é um assunto com muitas aplicações interdisciplinares. Em Química e Física podemos estudar 
decaimentos e meias vidas de elementos radioativos. Em Biologia, podemos estudar o crescimento de uma cultura 
de bactérias e a decomposição de certas substâncias.
18
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Habilidade 21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a Habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resol-
ver uma situação proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
ModElo
(Enem) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a 
expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa 
realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 
anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentu-
ais. Por exemplo, em 1950, havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvol-
vidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
Países em
desenvolvimento
Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x , em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 
corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes 
no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em 
desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a popu-
lação com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:
a) 490 e 510 milhões.
b) 550 e 620 milhões. 
c) 780 e 800 milhões. 
d) 810 e 860 milhões. 
e) 870 e 910 milhões.
19
análisE Expositiva
Habilidade 21
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar 
seus conhecimentos para modelar e resolver problemas a partir da aplicação de expressões 
algébricas. 
y = 363∙e0,03∙30 ⇔ y = 363∙e0,9 ⇔ y = 363(e0,3)3 ⇔ y = 363(1,35)3 = 893
Portanto, está entre 870 e 910.
Alternativa E
Estrutura concEitual
FUNÇÃO
EXPONENCIAL
f(x) = ax
a > 0 e a ≠ 1
CRESCENTE
(a > 1)
DECRESCENTE
(0 < a < 1)
GRÁFICO
EQUAÇÕES
EXPONENCIAIS
ax = ay x = y 
MESMA BASE
IGUALA OS
EXPOENTES
DECOMPOR AS
POTÊNCIAS EM
BASES IGUAIS
ASSÍNTOTA
HORIZONTAL
INEQUAÇÕES
EXPONENCIAIS
Se a > 1
x > y
ax > ay
x < y
ax > ay
Se 0 < a < 1
ATENÇÃO!
INVERTE
O SINAL
©
 pi
xin
oo
/S
hu
tte
rs
to
ck
21 22
M
MATEMÁTICA
T
Definição e propriedades
dos logaritmos 
Competências
1, 3 e 5
Habilidades
1, 3, 4, 10, 11, 
12, 13 e 21
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão deum conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
23
O que sãO lOgaritmOs?
Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa 
potência.
Para muitos números, isso pode ser feito com facilidade. Veja alguns exemplos:
 1 = 100 0,1 = 10-1
 10 = 101 0,01 = 10–2
 100 = 102 0,001 = 10–3
 1000 = 103 0,0001 = 10–4
 10000 = 104 0,00001 = 10–5
Entretanto, na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Por exem-
plo, como os expoentes aproximados, por falta, até a 3ª casa decimal, temos:
2 = 100,301
3 = 100,477
7 = 100,845
Assim, o número 0,301 é chamado logaritmo de 2 na base 10.
Indica-se: log102 = 0,301, ou seja, 2 = 10
0,301.
O número 0,778 é chamado logaritmo de 6 na base 10.
Indica-se: log106 = 0,778, ou seja, 6 = 10
0,778.
Entretanto, os logaritmos podem ser escritos em qualquer base positiva diferente de 1.
Observe:
 § log28 = 3, porque 2
3 = 8
 § log7 2 = 0,356, porque 2 = 7
0,356
 § log5 125 = 3, porque 125 = 5
3
 § log8 47 = 1,852, porque 47 = 8
1,852
Dizemos que o logaritmo de um número positivo b (chamado logaritmando), na base a, positiva e diferente 
de 1, é o expoente x ao qual se deve elevar a para se obter b.
loga b = x ⇔ b = a
x, com b > 0, a > 0 e a ≠ 1
Se a base do logaritmo for 10, costuma-se omiti-la na sua representação.
log10 b = log b (log é logaritmo decimal)
O conjunto dos logaritmos na base 10 de todos os números reais positivos é chamado de sistema de 
logaritmos decimais.
Há, ainda, o sistema de logaritmos neperianos, no qual a base desses logaritmos é o número irracional 
e = 2,71828...
Esse sistema também é conhecido como sistema de logaritmos naturais e tem grande aplicação no estudo 
de diversos fenômenos da natureza.
loge b = In b (In é logaritmo natural)
O número e
Entre tantos números fascinantes, temos o número e, base dos logaritmos neperianos, também chamados de 
logaritmos naturais.
24
Quem o designou foi o matemático suíço Leo-
nhard Euler (1707-1783), que provou ser esse número o 
limite de ( 1 + 1 __ x ) 
x
 quando x cresce infinitamente.
O valor aproximado de e (com 9 casas decimais!) 
pode ser memorizado facilmente, quando usamos um 
artifício: e = 2,718281828... Mas, cuidado, não é uma 
dízima periódica!
Exemplos:
Calcule:
a) log6 36
log6 36 = x ä 36 = 6
x ä 6² = 6x ä x = 2
log6 36 = 2
b) log10 0,01
log10 0,01 = x ä 0,01 = 10
x ä 10– 2 = 10x ä 
ä x = – 2
log10 0,01 = –2
c) log1/4 2 
dXX 2 = x
⇒ ( 1 __ 4 ) x= 2 √
__
 2 ⇒ (2-2)x = 23/2 
–2x = 3 __ 
2
 ⇒ 
⇒ x = – 3 __ 
4
 
Calcule log 1,4. Use 2 = 100,301 e 7 = 100,845.
Usando a definição de logaritmo, temos: 
log1,4 = x ä 1,4 = 10x.
O logaritmo de 1,4 é o expoente x ao qual se 
deve elevar 10 para obter 1,4.
Resolvendo a equação exponencial, temos:
1,4 = 10x ä 14 ___ 
10
 = 10x
 2 · 7 ____ 
10
 = 10x ä 10
0,301 · 100,845 ___________ 
101
 = 10x
100,301 + 0,845 – 1 = 10x ä 100,146 = 10x ä x = 0,146
log1,4 = 0,146
Condição de existência 
de um logaritmo
Consideramos os logaritmos:
log2 4 = x ä 4 = 2
x ä 22 = 2x [ x = 2
log10 0,1 = x ä 0,1 = 10
x ä 10–1 = 
= 10x [ x = –1
Observe que não existe o logaritmo x quando o lo-
garitmando é negativo, ou quando a base é negativa, ou 
igual a 1.
Para logab existir, devemos ter:
 § Logaritmandos positivos: b > 0
 § Base positiva e diferente de 1: a > 0 e a ≠ 1
Exemplo:
Para quais valores de x existe log3 (x – 5)?
Para que o logaritmo exista, o logaritmando 
deve ser positivo e a base, positiva e diferente de 1.
Como a base é 3 (positiva e diferente de 1), de-
vemos impor apenas a condição para o logaritmando.
Logo: x – 5 > 0 ä x > 5
log3 (x – 5) existe para todo x real tal que x > 5.
Consequências da definição
1. O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 
zero.
loga 1 = 0, pois a
0 = 1
2. O logaritmo da própria base é igual a 1.
loga a = 1, pois a
1 = a
3. O logaritmo de uma potência da base é igual ao 
expoente.
loga a
m = m, pois loga a
m = p à ap = am
Portanto, p = m, então, loga a
m = m.
4. O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual 
devemos elevar a para obter b, logo:
alog b 
 
 a = b, pois ax = b à x = logab
Substituindo x por logab em a
x = 
= b, resulta alog b 
 
 a = b.
Exemplos:
Que número natural log10 (log10 10) representa?
Como log10 10 = 1, obtemos: 
log10 (log10 10) = log10 1 = 0
log10 (log10 10) = 0
Determine o valor da expressão 
log7 7
3 + log9 1
6 + 2 log2
5
.
25
Calculando o valor de cada uma das parcelas, 
temos:
log7 7
3 = 3
log9 1
6 = log9 1 = 0
2 log2
5
 = 5
log7 7
3 + log9 1
6 + 2log2
5 = 3 + 0 + 5 = 8
O valor da expressão é 8.
1ª PrOPriedade: lOgaritmO 
de um PrOdutO
O logaritmo de um produto é igual à soma dos 
logaritmos dos fatores, tomados na mesma base, isto é:
logb (a · c) = logb a + logb c, com a > 0, c > 0 e 
1 Þ b > 0
Exemplos:
1. Se log 2 = a e log 3 = b, calcule log 12 em fun-
ção de a e b.
Fatorando 12 temos que 12 = 2 · 2 · 3, portanto:
log(12) = log(2 · 2 · 3)
Aplicando a propriedade do logaritmo de um 
produto, temos:
log(2 · 2 · 3) = log2 + log 2 + log3
Substituindo os valores fornecidos, temos:
log(12) = a + a + b = 2a + b
2. Resolva a equação log2 (x + 2) + log2 (x – 2) = 5.
As condições de existência são: x + 2 > 0 e 
x – 2 > 0, portanto x > – 2 e x > 2
Então: x > 2.
Usando a propriedade do logaritmo de um pro-
duto, vamos transformar a soma dos dois loga-
ritmos no logaritmo do produto.
log2 (x + 2) + log2 (x – 2) = 5 ⇒ log2 (x + 2)
(x – 2) = 5
Pela definição de logaritmo, temos: 
(x + 2)(x – 2) = 25 ⇒ x2 – 4 = 32
x2 = 36 ⇒ x = ± 6 
Somente o valor 6 satisfaz as condições de exis-
tência. Logo, S = {6}.
Observe que, se substituimos 
x = -6 em log2(x + 2)(x – 2) = 5, obtemos: 
log2[(–4)(–8)] = 5 ⇒ log2(32) = 5, o que é 
verdadeiro.
Então por que x = – 6 não é solução do proble-
ma? Porque a equação que estamos resolvendo é 
log2 (x + 2) + log2 (x – 2) = 5, 
e não log2(x + 2)(x – 2) = 5. Apesar da segun-
da equação ser consequência da primeira, 
aplicar esta propriedade do logaritmo do 
produto (ou qualquer outra propriedade) 
só pode ser feita se a condição de existên-
cia for satisfeita.
2ª PrOPriedade: lOgaritmO 
de um quOciente
O logaritmo de um quociente é igual ao logarit-
mo do dividendo menos o logaritmo do divisor tomadas 
na mesma base, isto é:
logb 
a __ c = logb a – logb c,com a > 0, c > 0 e 1 Þ b > 0
Exemplo:
1. Sabendo que log2 = 0,301 e log3 = 0,477, 
calcule:
a) log 6
log 6 = log(2 · 3) = log2 + log3 = 
= 0,301 + 0,477 = 0,778 
log 6 = 0,778
b) log 5
log 5 = log 10 ___ 
2
 = log10 – log2 = 1 – 0,301 
= 0,699 
log 5 = 0,699
c) log 2,5
log 2,5 = log 25 ___ 
10
 = log 5 __ 
2
 = log5 – log2 =
= 0,699 – 0,301 = 0,398 
log 2,5 = 0,398
26
3ª PrOPriedade: lOgaritmO 
de uma POtência
O logaritmo de uma potência é igual ao produto 
do expoente pelo logaritmo da base da potência, isto é:
logb a
n = n · logb a, com a > 0, 1 Þ b > 0 e n [ R
Exemplo:
1. log √
__
 3 
Transformando, obtemos: 
log √
__
 3 = log3 = 1 __ 
2
 · log3 = 1 __ 
2
 · 0,477 = 0,2385
log √
__
 3 = 0,2385
Há uma consequência desta propriedade:
alogab = b
Demonstração:
Fazendo x = alogab = b 
e aplicando o logaritmo de base a em ambos os 
membros da equação temos:
loga x = logaa
logab
loga x = logab · logaa
logax = logab
Portanto x = b , logo:
alogab = b
usandO as PrOPriedades dOs 
lOgaritmOs na resOluçãO de 
sistemas
Exemplo:
1. Resolva o sistema: 
x + y = 110
log x + log y = 3
As condições de existência são x > 0 e y > 0.
Aplicamos a propriedadedo logaritmo de um 
produto na 2ª equação, obtemos:
log x + log y = 3 ⇒ log (x · y) = 3
Usando a definição de logaritmo, vem: 
log(x · y) = 3 ⇒ xy = 103
xy = 1000
Temos, então, o sistema equivalente: 
x + y = 110 (I)
xy = 1000 (II)
De (I), vem: x = 110 – y (III)
Substituindo (III) em (II), resulta: 
(110 – y) y = 1000
y2 – 110y + 1000 = 0
y9 = 100
y0 = 10
Substituindo os valores de y em (III), obtemos:
y = 100 ⇒ x = 110 – 100 ou y = 10 ⇒
⇒ x = 110 – 10
x = 10 x = 100
Como esses valores satisfazem as condições de 
existência, temos: x = 10 e y = 100 ou x = 100 e y = 10
S = {(10, 100), (100, 10)}
resumO das PrOPriedades
Se b > 0, c > 0, m [ R, a > 0 e a Þ 1 valem as 
propriedades dos logaritmos:
P1: loga (b · c) = loga(b) + loga(c)
P2: loga ( b __ c ) = loga(b) – loga(c)
P3: loga (b
m) = m loga
b
P4: a
logab= b
Exemplos de aplicação 
das propriedades
1. Determine o desenvolvimento logarítmico da ex-
pressão log ( a √
__
 b ____ 
c3
 ) .
log ( a √
__
 b ____ 
c3
 ) = log ( a · b ____ c3 ) = log ( a · b ) – log c3 = 
= log a + log b – log c3 = log a + 1 __ 
2
 · log b – 3 · log c
Logo, log ( a √
__
 b ____ 
c3
 ) = log a + 1 __ 2 · log b – 3 · log c.
2. Dados loga m = 11 e loga n = 6, qual é o valor de 
loga (m
3n2)?
loga (m
3n2) = logam
3 + loga n
2 = 
= 3 · loga m + 2 · loga n = 3 · 11 + 2 · 6 = 45
Então, loga (m
3n2) = 45.
27
3. Se log 2 = a e log 3 = b, expresse log 72 em 
função de a e b.
log 72 = log (23 · 32) = log 23 + log 32 = 
= 3 · log 2 + 2 · log 3 = 3a + 2b
Então, log 72 = 3a + 2b.
4. Sabendo que logaA = 2 logaC – 
1 __ 
3
 logaD calcule A 
em função de c e d.
loga c
2 – loga d = loga c
2 – loga 
3
 √
__
 d = loga ( c2 ___ 3 √__ d ) 
Daí:
logaA = loga ( c2 ___ 3 √__ d ) ⇔ A = c2 ___ 3 √__ d 
Logo, A = c
2
 ___ 
 3 √
__
 d 
 
5. Escreva as expressões a seguir por meio de um 
único logaritmo:
a) 3 · log4 7
3 · log4 7 = log47
3 = log4 343
b) log3 x – log32
log3 x – log32 = log3 
x __ 
2
 
c) log 6 + log 3
log 6 + log 3 = log (6 · 3) = log 18
d) log5 4 + log5 x – log5 3
log5 4 + log5 x – log5 3 = log5 4x – log5 3 = 
= log5 
4x __ 
3
 
mudança de base
Em muitas, situações encontramos logaritmos 
escritos em uma certa base, mas queremos esse mesmo 
logaritmo escrito em outra base, como, por exemplo, na 
equação logarítmica a seguir:
log2(x + 4) = log4(25)
Na resolução desta equação, se o logaritmo do 
membro da direita possuísse base 2 poderíamos encon-
trar o conjunto solução facilmente. Para realizar esta 
transformação podemos realizar uma mudança de base.
Fórmula para mudança de 
base de um logaritmo
Suponha que queremos encontrar o valor de lo-
gab, sabendo o valor de logcb e logca, sendo 
Se a > 0, a Þ 1, b > 0, c > 0 e c Þ 1. Faremos, então:
loga b = x
logc b = y
Pela definição de logaritmos, temos:
loga b = x ⇒ a
x = b
logc b = y ⇒ c
y = b
Igualando as duas primeiras expressões, temos:
ax = cy
Aplicando o logaritmo na base c em ambos os 
membros da equação, temos:
logc a
x = logc c
y ⇒ x · logc a = y · logc c
Como y = logcb e logcc = 1 segue que:
x · logc a = logc b · 1 ⇒ x = loga b = 
logc b _____ 
logc a
 
Portanto, concluímos que:
Se a > 0, a Þ 1, b > 0, c > 0 e c Þ 1:
loga b = 
 logc b _____ 
logc a
 
Exemplos:
1. log75 = 
log25 _____ 
log27
 (na base 2)
2. log75 = 
log 5
 ____ 
log 7
 (na base 10)
3. log525 = 2 ⇔ log25 5 = 
1 __ 
2
 
4. logba = 
3 __ 
4
 ⇔ loga b = 
4 __ 
3
 
Se você possuir uma calculadora que calcula 
apenas logaritmos decimais, ou seja, em base 
10. Como devemos fazer para calcular log2 5?
Pela fórmula de mudança de base, temos que
log25 = 
log10 5 ___________ 
log10 2
 ≅ 0,7 ___ 
0,3
 =2,3.
28
Consequências da fórmula 
de mudança de base
Nessa propriedade de mudança de base, fazen-
do c = b, temos um caso importante:
loga b = 
logb b _____ 
logb a
 = 1 _____ 
logb a
 
Então, podemos escrever que, quando existirem 
os logaritmos envolvidos:
loga b = 
1 _____ 
logb a
 ou logb a · loga b =1
Ou seja, quando existirem, logb a é inverso de 
loga b.
Outra consequência envolve potências da base 
do logaritmo. Considere o seguinte logaritmo:
logam (b)
A base apresenta um expoente m. Aplicando a 
fórmula de mudança de base para a base a, temos:
logam (b) = 
loga (b) _______ 
loga (a
m)
 
Veja que loga (a
m) = m · loga (a) = m, portanto:
logam (b) = 
loga (b) ______ m = 
1 __ m loga (b)
Portanto, quando a base de um logaritmo apre-
sentar um expoente, podemos transpor o inverso deste 
expoente multiplicando o logaritmo.
Propriedades operatórias 
dos logaritmos
loga (b · c) = loga b + loga c
loga 
b __ c = loga b – loga c
loga 
1 __ 
b
 = – loga b
loga b
m = m · loga b
loga 
m
 √
__
 b = 1 __ m · loga b
loga b = 
logc b _____ 
logc a
 
loga b = 
1 _____ 
logb a
 ou logab ∙ logba = 1
logam (b) = 
1 __ m loga (b).
Exemplos de aplicação da 
fórmula de mudança de base
1. Escreva log2 8 usando logaritmos na base 10.
loga b = 
logc b _____ 
logc a
 ⇒ log2 8 = 
log10 8 _____ 
log10 2
 
2. Calcule o valor da expressão log3 5 · log25 81.
log3 5 · log25 81 = log3 5 · 
log3 81 ______ 
log3 25
 = log3 5 · 
log3 3
4
 _____ 
log3 5
2 = 
= log3 5 · 
4 _______ 
2 · log3 5
 = 4 __ 
2
 = 2
cOlOgaritmO
Denomina-se cologaritmo de um número 
 N (N > 0) numa base a (a > 0 e a Þ 1) o oposto do 
logaritmo do número N na base a ou o logaritmo do 
inverso de N na base a.
cologa N = – loga N ou cologa N = loga 
 1 __ 
N
 
aPlicaçãO dOs lOgaritmOs 
na resOluçãOde equações 
exPOnenciais e de PrOblemas
Exemplos:
1. Resolva a equação 3x = 5.
Dados: log 3 ≅ 0,47712 e log 5 ≅ 0,69897
3x = 5 ⇒ log 3x = log 5 ⇒ x · log 3 = log 5 ⇒ 
⇒ x = 
log 5
 ____ 
log 3
 ⇒ x > 0,69897 _______ 
0,47712
 > 1,46
S = {1,46}.
Dados log 2 = 0,30; log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70, 
resolva a equação 52x – 7 . 5x + 12 = 0.
52x – 7 · 5x + 12 = 0 ⇒ (5x)2 – 7(5x) + 12 = 0
29
Fazendo 5x = y, temos:
y2 – 7y + 12 = 0
D = (–7)2 – 4(1) (12) = 1
y9 = 4 e y0 = 3
Daí:
5x = 4 ⇒ log 5x = log 4 ⇒ log 5x = log 22 ⇒
⇒ x · log 5 = 2 · log 2 ⇒
⇒ x = 
2 · log 2
 _______ 
log5
 = 0,60 ____ 
0,70
 > 0,86
5x = 3 ⇒ log 5x = log 3 ⇒ x · log 5 = log 3 ⇒
⇒ x = log 3/log 5 = 0,48 ____ 
0,70
 > 0,69
S = {0,69; 0,86}.
2. Resolva a equação ex – 27 = 0,
dados log e = 0,43 e log 3 = 0,48.
ex – 27 = 0 ⇒ ex = 27 ⇒ log ex = log 27 ⇒
⇒ log ex = log 33 ⇒ x · log e = 3 · log 3 ⇒
⇒ x = 
3 · log 3
 _______ 
log e
 = 3 · 0,48 ______ 
0,43
 = 3,34
S = {3,34}.
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Vídeo
Introdução aos logaritmos
pt.khanacademy.org/math/algebra2/exponential-and-logarithmic-functions/introduction-to-
logarithms/v/logarithms
Logaritmos
Fonte: Youtube
30
31
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APLICAÇÃO NO COTIDIANO
Alguns medicamentos têm comportamento exponencial ao serem eliminados pelo corpo humano. O uso de 
logaritmos permite quantificar o tempo de eliminação pelo organismo:
1. (Acafe 2017) Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, ao passar 
pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada. A quantidade de medicamentos, em miligramas, presente 
no organismo de um paciente é calculada pela função Q(t) = 30 ∙ 21 – 
t ___ 10 onde t é o tempo dado em horas.
O tempo necessário para que a quantidade de medicamento em um paciente se reduza a 40% da quanti-
dade inicial, é:
Dado: log 2 = 0,3
a) 13 horas e 33 minutos. 
b) 6 horas e 06 minutos. 
c) 13 horas e 20 minutos. 
d) 6 horas e 40 minutos. 
Resolução:
Mas, t = 0 ⇒ Q(t) 100% ⇒ Q(0) = 30 ∙ 2
1 – 
0
 ___ 10 
Para: 40% ∙ 60 = 0,4 ∙ 60 = 24
24 = 30 ∙ 21 – 
t
 ___ 10 ⇒
0,8 = 2 ⇒ log2 0,8 = log2 2
log2 0,8 = 
 log100,8 _______ 
log102
 = 
log108 – log1010____________ 
log102
 = 
log102
3 – log1010 ____________ 
log102
 = 
3 ∙ log102 – 1 __________ 
log102
 = 3 ∙ 0,3 – 1 ________ 
0,3
 = – 0,1 ____ 
0,3 
 = – 1 __ 
3
 
Assim,
- 1 __ 
3
 = 1 – t ___ 
10
 ⇒ –10 = 30 – 3t ⇒ 3t = 40 ⇒ t = 40 ___ 
3
 horas = 800min = 13h20min
Alternativa C
1 – t ___ 10 1 – 
t
 ___ 10 
INTERDISCIPLINARIDADE
Quando há um problema com uma incógnita no expoente, utilizamos-nos da ferramenta dos logaritmos 
para chegarmos a uma solução. É frequente o uso de escalas logarítmicas, tais como nos problemas da física de 
acústica que se utilizam da medida bel ou decibel (unidade que está em escala logarítmica), seja em problemas 
da geografia na medição da magnitude de um sismo. A famosa escala Richter também está em escala logarítmica. 
As questões de química, na medição de pH e de pOH, já que ambas as medidas também estão em escala cologa-
rítmica.
32
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Habilidade 21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a Habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resol-
ver uma situação proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
mOdelO
(Enem) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor 
de R$ 5.000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse 
valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) 
segundo a fórmula:
P = 5000 ∙ 1,013
n ∙ 0,013
 ____________________ 
(1,013n – 1)
 
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para 
log 400; 2,525 como aproximação para log 335.
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas, cujos valores não comprometem o 
limite definido pela pessoa, é:
a) 12.
b) 14.
c) 15.
d) 16.
e) 17.
33
análise exPOsitiva
Habilidade 21
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema e utilizar seus conheci-
mentos sobre as propriedades de logaritmicas para a sua resolução.
Cálculo:
Pmáx = 400
400 = 5000∙1,013
n∙0,013 ___________________ 
(1,013n – 1)
 ⇒ 400(1,013n –1) = 65∙1,013n⇒ 400∙1,013n – 400 = 65∙1,013n
335∙1,013n = 400 ⇒ 1,013n = 400 ____ 335 ⇒log 1,013
n = log ( 400 ____ 335 ) ⇒ n∙log 1,013 = log 400 – log 335
n∙ 0,005 = 2,602 – 2,525 ⇒ n = 15,4 ⇒ 16 parcelas
Alternativa D
estrutura cOnceitual
PROPRIEDADES
LOGARITMOS
loga b = x ax = b
loga (b ⋅ c) = loga b + logac
loga bn = n ⋅ loga b
CONSEQUÊNCIAS
DA DEFINIÇÃO
logb 1 = 0
b0 = 1
b = mlogbm
logb b = 1
b1 = b 
loga b = 
logc b
logc a
logam b = loga bm
1
mudança de base
loga (b c) = loga b – logac..
Ap
he
lle
on
/S
hu
tte
rst
oc
k
23 24
M
MATEMÁTICA
T
Equações, inequações 
e sistemas de equações 
logarítmicas
Competências
5 e 6
Habilidades
19, 21, 22, 23 
e 25
©
 
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
37
EquaçõEs logarítmicas
Vamos agora estudar as equações logarítmicas, ou seja, aquelas nas quais a incógnita está envolvida no 
logaritmando ou na base do logaritmo.
De forma geral, a maioria das equações logarítmicas podem ser reduzidas a uma das duas formas a seguir:
a) Igualdade entre um logaritmo e um número real
loga(x) = b
Utilizamos então a definição do logaritmo:
loga(x) = b
Então ab = x
Exemplo:
1. Resolver a equação log2(x – 2) = 3
Condição de existência:
x – 2 > 0
x > 2
Como loga b = c ⇒ a
c = b:
log2 (x – 2) = 3 ⇒ 2
3 = x – 2 ⇒ 8 = x – 2 ⇒ x = 10
Como 10 > 2, então o conjunto solução é S = {10}.
b) Igualdade entre logaritmos de mesma base:
loga(x) = loga(y)
Como a função logarítmica é injetiva, podemos dizer que para dois números reais quaisquer x1 e x2 temos 
que log(x1) Þ log(x2). Logo, se loga (x) = loga (y) implica que x = y:
loga (x) = loga (y) ⇒ x = y
Lembre que isto é válido somente se as bases forem as mesmas. Se isso não ocorrer, podemos aplicar a 
fórmula de mudança de base.
Exemplo:
1. Resolver a equação log2(9 – x) – log2(2x) = 0:
Condição de existência:
9 – x > 0
2x > 0 ⇒x < 9
x > 0
Portanto, 0 < x < 9.
Transpondo o termo log2(2x) para o outro membro da equação temos:
log2(9 – x) = log2(2x)
38
Como a função logarítmica é injetiva, podemos 
escrever então:
log2 (9 – x) = log2 (2x) ⇒ 9 – x = 2x
9 = 2x + x
9 = 3x
x = 3
Como x = 3 satisfaz a condição de existência, o 
conjunto solução é S = {3}.
Exemplos de equações logarítmicas
Os exemplos seguintes mostram como aplicamos 
as propriedades estudadas para resolver equações loga-
rítmicas. Vamos ver a resolução de algumas equações:
1. log2 (x – 3) + log2 x = 2
condição de existência: x – 3 > 0 e x > 0 ⇒
⇒ x > 3 e x > 0 ⇒ x > 3.
há dois modos diferentes de resolução:
I. log2 (x – 3) + log2 x = 2 ⇒
⇒ log2 [(x – 3)x] = 2
Usando a definição de logaritmo:
(x – 3)x = 22 ⇒ x2 – 3x – 4 = 0
x’ = 4 e x’’ = –1
ou
II. log2 (x – 3) + log2 x = log2 22 ⇒ 
⇒ log2 [(x – 3)x] = log2 4
Usando o fato de que a função logarítmica 
é injetiva:
(x – 3)x = 4 ⇒ x2 – 3x – 4 = 0
D = 25
x' = 4 e x’’ = –1
Verificação: como a condição de existência é 
x > 3, então 4 [ S e – 1 Ó S.
S = {4}.
2. log3 (x
2 – 3x – 1) = 1 + log3 (x – 2)
Condição de existência: x2 – 3x – 1 > 0 e
x – 2 > 0
log3 (x
2 – 3x – 1) = 1 + log3 (x – 2) ⇒
⇒ log3 (x
2 – 3x – 1) = log3 3 + log3 (x – 2) ⇒
⇒ log3 (x
2 – 3x – 1) = log3 [3(x – 2)] ⇒
⇒ x2 – 3x – 1 = 3x – 6 ⇒ x2 – 6x + 5 = 0
D = 16
x' = 5 e x’’ = 1
Verificação: 
x = 5 
x = 1 
Portanto, 5 [ S e 1 Ó S.
S = {5}.
3. log10 [1 + 2 log10 (x – 1)] = 0
Condição de existência: x – 1 > 0 e
1 + 2 . log10 (x – 1) > 0
log10 [1 + 2 · log10 (x – 1)] = 0 ⇒
⇒ 100 = 1 + 2 · log10 (x – 1) ⇒
⇒ 1 = 1 + 2 · log10 (x – 1) ⇒
⇒ 2 · log10 (x – 1) = 0 ⇒ log10 (x – 1) = 0 ⇒
⇒ 100 = x – 1 ⇒ 1 = x – 1 ⇒ x = 2
Verificação: 
x = 2 
Logo, 2 [ S.
S = {2}.
4. logx – 1 4 = 2
Condição de existência: x – 1 > 0 e x – 1 Þ 1 ⇒
⇒ x > 1 e x Þ 2
logx – 1 4 = 2 ⇒ (x – 1)
2 = 4 ⇒
⇒ x2 – 2x + 1 = 4 ⇒ x2 – 2x – 3 = 0
D = 16
x' = 3 e x’’ = –1
Verificação: x = 3: 3 > 1 e 3 Þ 2. Logo, 3 [ S.
x = –1: –1 < 1. Então, –1 Ó S.
S = {3}.
5. log2 (log3 x) = 2
Condição de existência: x > 0 e log3 x > 0
log2 (log3 x) = 2 ⇒ 2
2 = log3 x ⇒ log3 x = 4 ⇒
⇒ 34 = x ⇒ x = 81
Verificação: 81 > 0 e log3 81 = 4 > 0.
Então, 81 [ S.
S = {81}.
x2 – 3x – 1 = 25 – 15 – 1 = 9 > 0
x – 2 = 5 – 2 = 3 > 0
x2 – 3x – 1 = 1 – 3 – 1 = –3 < 0
x – 2 = 1 – 2 = –1 < 0
x – 1 = 2 – 1 = 1 > 0
1 + 2 · log10 (x – 1) = 1 + 2 · 0 = 1 > 0
39
6. log210 x – 3 · log10 x + 2 = 0
Condição de existência: x > 0
A equação pode ser escrita na forma:
(log10 x)
2 – 3 · log10 x + 2 = 0
Fazendo log10 x = y, temos:
y2 – 3y + 2 = 0
D = 1
y' = 2 e y’’ = 1
Como log10 x = y, então:
log10 x = 2 ⇒ 10
2 = x ⇒ x = 100
log10 x = 1 ⇒ 10
1 = x ⇒ x = 10
Verificação: 100 > 0 e 10 > 0. Logo, 100 [ S e 
10 [ S.
S = {10, 100}.
7. 2 · log10 x = log10 4 + log10 3x
Condição de existência: x > 0 e 3x > 0 ⇒ x > 0
2 · log10 x = log10 4 + log10 3x ⇒
⇒ log10 x
2 = log10 (4 · 3x) ⇒ x
2 = 12x ⇒
⇒ x2 – 12x = 0 ⇒ x(x – 12) = 0
x' = 0 e x’’ = 12
Verificação: como devemos ter x > 0, então 0 Ó 
S e 12 [ S.
S = {12}.
8. log9 x + log27 x – log3 x = –1
Condição de existência: x > 0
Log9 x + log27 x – log3 x = – 1
Vamos escrever os logaritmos na base 3:
 
log3 x _____ 
log3 9
 + 
log3 x ______ 
log3 27
 – log3 x = –1
Como log3 9 = 2 e log3 27 = 3, temos:
 
log3 x _____ 
2
 + 
log3 x _____ 
3
 – log3 = – 1 
⇒ 
3 · log3 x + 2 log3 x – 6 · log3 x _______________________ 
6
 = –6 ___ 
6
 ⇒
⇒ 3 · log3 x + 2 · log3 x – 6 · log3 x = –6 ⇒
⇒ –log3 x = –6 ⇒ log3 x = 6 ⇒ 3
6 = x ⇒
⇒ x = 729
Verificação: 729 > 0 ⇒ 729 [ S
S = {729}.
9. log2 (x + 7) – log2 (x – 11) = 2
Condição de existência:
x + 7 > 0 e x > -7 e
x – 11 > 0 ⇒ x > 11
log2 (x + 7) – log2 (x – 11) = 2 ⇒
⇒ log2 ( x + 7 _____ x – 11 ) = 2 ⇒ 22 = x + 7 _____ x –11 ⇒
⇒ 4 = x + 7 ________ 
x – 11
 ⇒ 4x – 44 = x + 7 ⇒
⇒ 4x – x = 7 + 44 ⇒ 3x = 51 ⇒ x = 17
Verificação: como 17 > 11, então 17 [ S.
S = {17}.
sistEmas dE EquaçõEs logarítmicas
São sistemas de equações que são resolvidos 
aplicando-se as propriedades operatórias dos logarit-
mos.
Exemplo:
1. Resolva o sistema 
log10 x – log10 y = log10 2
4x – y = 16
.
 § Condições de existência: x > 0 e y > 0
 § Preparação do sistema:
log10 x – log10 y = log10 2 ⇒ 
log10 ( x _ y ) = log10 2 ⇒
⇒ x _ y = 2 ⇒ x = 2y
4x – y = 16 ⇒ 4x – y = 42 ⇒ x – y = 2
 § Resolvendo o sistema:
x = 2y
x – y = 2
 ⇒ 2y – y = 2 ⇒ y = 2
x = 2y ⇒ x = 2(2) ⇒ x = 4
 § Verificação: x = 4 > 0 e y = 2 > 0
S = {(4, 2)}.
40
inEquaçõEs logarítmicas
As inequações a seguir:
 § log2x ≥ log4(x – 1)
2
 § ln (x2 – x) ≤ e2
 § log2(x) – 5 log(x) + 6> 0
são exemplos de inequações logarítmicas. 
Vamos estudar três casos de inequações logarítmicas.
1º caso: inequações redutíveis a 
uma desigualdade 
de logaritmos de mesma base
Exemplo: logc a> logc b
Para resolver esta inequação devemos, nos lem-
brar como se comporta uma função logarítmica de acor-
do com sua base. Considere uma função logarítmica 
f(x) = logc (x), onde x> 0, c > 0 e c ≠ 1.
Se a base c for maior que 1, a função logarít-
mica é crescente. Considerando dois valores a e b posi-
tivos em que b > a, temos:
logcb > logca ⇒ b > a
Como a função logarítmica f(x) = logc(x) é inje-
tora, podemos afirmar que, se logcb > logca, necessaria-
mente temos que b > a, ou seja, o sinal de desigual-
dade se mantém.
Agora, se a base c for menor que 1, a função 
logarítmica é decrescente. Novamente, considerando 
dois valores a e b positivos, onde b > a, temos:
logcb < logca ⇒ b > a
Neste caso, podemos concluir através do gráfico 
da função logarítmica que, se logcb < logca, necessaria-
mente temos que b > a, ou seja, o sinal de desigual-
dade inverte.
Resumindo, temos:
Se c > 1: logcb > logca ⇒ b > a (o sinal se man-
tém)
Se 0 < c < 1: logcb > logca ⇒ b < a (o sinal 
inverte)
Teoria na prática
1. Encontre o conjunto solução das seguintes ine-
quações logarítmicas:
loga (x – 1) ≤ loga (3 – x) com a > 1
 § Inicialmente, devemos sempre considerar a con-
dição de existência dos logaritmos, na qual o 
logaritmando deve ser positivo:
x – 1 > 0 ⇒ x > 1 e 3 – x > 0 ⇒ x < 3
Portanto, a condição de existência é 1 < x < 3 (I).
 § Agora, como a base é maior que 1, temos:
loga (x – 1) ≤ loga(3 – x) ⇒ x – 1 ≤ 3 – x
2x ≤ 4
x ≤ 2 (II)
A solução deve estar contida no intervalo 
1 < x < 3; portanto:
41
Portanto, o conjunto solução S do problema é:
S = {x ∈  | 1 < x ≤ 2}
log 1 __ 2 (3x – 12) > log 
1 __ 2 (9)
 § Primeiramente, calculamos a condição de exis-
tência do logaritmo:
3x – 12 > 0 ⇒ 3x > 12 ⇒ x > 4 (I)
 § Agora, como a base é 1 __ 
2
 , o sentido da desigual-
dade inverte:
log 1 __ 2 (3x – 12) > log 
1 __ 2 (9) ⇒ 3x – 12 < 9
3x < 21
x < 7 (II)
Realizando a intersecção dos intervalos (I) e (II), 
encontramos o conjunto solução:
S = {x ∈  | 4 < x < 7}
2º caso: inequações redutíveis 
a uma desigualdade entre um 
logaritmo e um número real
Exemplo: logca ≤ k
Para resolver este tipo de inequação logarítmica, 
simplesmente a transformamos em uma inequação do 
1º caso. Para isso, utilizamos uma propriedade dos lo-
garitmos:
k = logb(b
k), para k ∈ R, b ∈ R, b > 0 e b ≠ 1
Podemos provar que esta propriedade é válida, 
através da propriedade dos logaritmos de potências:
logb(b
k) = k logb (b) = k ⋅ 1 = k
Após reescrevermos a inequação, resolvemos da 
mesma maneira demonstrada anteriormente.
Teoria na prática
1. Resolva a inequação log2(15 – x) ≤ 3.
 § Como sempre, calculamos em primeiro lugar 
a condição de existência:
15 – x > 0 ⇒ x < 15 (I)
 § Agora, reescrevemos o segundo membro da 
inequação como um logaritmo e resolvemos 
a inequação:
3 = log2(2
3) = log28
log2(15 – x) ≤ log28
15 – x ≤ 8
 § x ≥ 7 (como a base é maior que 1, o sentido 
da desigualdade se mantém) (II)
Finalmente, calculamos a intersecção dos in-
tervalos (I) e (II) para encontrar o conjunto 
solução:
S = {x ∈  |7 ≤ x < 15}
2. Resolva a inequação log1 __ 3 (4 – x
2) ≥ –1.
 § Impondo a condição de existência, temos:
4 – x2 > 0 ⇒ –2 < x < 2 (I)
 § Reescrevendo o segundo membro da ine-
quação como um logaritmo e substituindo 
na inequação:
– 1 = log 1 __ 3 [ ( 1 __ 3 ) –1 ] = log 1 __ 3 3
log 1 __ 3 (4 – x
2) ≥ log 1 __ 3 3
4 – x2 ≤ 3 (como a base é um número entre 
0 e 1, o sentido da desigualdade inverte).
1 ≤ x2 
x2 – 1 $ 0
Resolvendo a inequação do segundo grau, 
temos: x ≤ – 1 ou x > 1 (II).
Portanto, o conjunto solução é a intersecção 
dos intervalos (I) e (II):
S = {x ∈  | –2 < x ≤ –1 ou 1 ≤ x < 2}
3. Qual o intervalo de x, no qual a função f(x) = ln 
(2x – 5) é negativa?
 § Calculando a condição de existência:
2x – 5 > 0 ⇒ x > 5 __ 
2
 (I)
42
 § Para a função ser negativa, temos que 
f(x) < 0, portanto:
ln(2x – 5) < 0
ln(2x – 5) < ln(e)0 ⇒ ln(2x – 5) < ln1
Como o número e, base do logaritmo natu-
ral, é um número irracional maior que 1, 
temos:
ln(2x – 5) < ln1 ⇒ 2x – 5 < 1
x < 3 (II).
Finalmente, podemos calcular o conjunto so-
lução S:
S = {x ∈  | 5/2 < x < 3}
3º caso: inequações que 
utilizam substituição por 
uma incógnita auxiliar
Algumas inequações exigem uma substituição 
de variável, de modo a facilitar sua manipulação algé-
brica. Igualmente ao segundo caso, a ideia é reduzir a 
inequação a uma inequação do 1º caso. Veja, a seguir, 
um exemplo deste tipo de inequação:
Teoria na prática
1. Encontre o conjunto solução da inequação 
log 2 2 (x – 1) – log2 (x – 1) – 6 ≤ 0.
 § Calculando a condição de existência:
x – 1 > 0 ⇒ x > 1 (I)
 § Vamos, agora, fazer a seguinte substituição 
de incógnita:
log2(x – 1) = k
Desta forma, temos a seguinte inequação do 
segundo grau: k2 – k – 6 ≤ 0.
 § Resolvendo a inequação em k:
k2 – k – 6 ≤ 0
Raízes: k1 = –2 e k2 = 3.
Concavidade.
Portanto, temos que a solução em k da ine-
quação é –2 ≤ k ≤ 3.
 § Retornando à variável original, onde k = log2 
(x – 1), temos:
–2 ≤ log2(x – 1) ≤ 3
Também podemos escrever como:
log2 (x – 1) ≥ –2
log2 (x – 1) ≤ 3
Resolvendo cada inequação, temos:
log2(x – 1) ≥ log2(2
–2) ⇒ x – 1 ≥ 2–2 ⇒ x ≥ 5 __ 
4
 
log2 (x – 1) ≤ log2 2
3 ⇒ x – 1 ≤ 23 ⇒ x ≤ 9
Portanto, 5 __ 
4
 ≤ x ≤ 9 (II).
Realizando a intersecção dos intervalos (I) e 
(II), encontramos o conjunto solução S:
S = {x ∈  | 5/4 ≤ x ≤ 9}
44
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Habilidade 25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
A Habilidade 25 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação proposta a partir da aná-
lise de gráficos e tabelas.
modElo
(Enem) Um engenheiro projetou um automóvel, cujos vidros das portas dianteiras foram desenha-
dos de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log(x), 
conforme a figura.
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e 
a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou 
uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é:
a) log ( n – √_____ n2 + 4 __________ 2 ) – log ( n – √
_____
 n2 + 4 __________ 2 ) .
b) log ( 1 + n __ 2 ) – log ( 1 – n __ 2 ) .
c) log ( 1 + n __ 2 ) + log ( 1 – n __ 2 ) .
d) log ( n – √_____ n2 + 4 __________ 2 ) .
e) 2 log ( n – √_____ n2 + 4 __________ 2 ) .
45
análisE Expositiva
Habilidade 25 
A questão exige que o aluno seja capaz de interpretar os dados fornecidos pelo gráfico para 
a sua resolução.
Montando o sistema:
log (k + n) = h __ 2 
2 log (k + n) = h
log k = - h __ 2 
–2 log k = h
Temos que:
log (k + n) = –log k
log (k + n) + log k = 0
log (k² + kn) = 0
k² + kn = 1
k² + kn – 1 = 0
Resolvendo essa equação do 2º grau, vimos que k = 
[–n + √
_______
 (n² + 4n) ]
 _______________ 2 ; assim, log (k + n).
Alternativa E
46
Estrutura concEitual
LOGARITMOS
SISTEMAS INEQUAÇÕES
SÃO 
RESOLVIDOS
APLICANDO AS 
PROPRIEDADES
OPERATÓRIAS
EQUAÇÕES
LOGARITMO E
NÚMERO REAL
LOGARITMOS DE
MESMA BASE
IGUALDADE
loga (x) = b loga (x) = loga (y)
x = y
Se c > 1 b > a 
(sinal inverte)
(sinal mantém)
Se 0 < c < 1 b < a 
TRANSFORMAR NO 1º CASO,
UTILIZANDO A SEGUINTE 
PROPRIEDADE
logc b > logc a
1º CASO 
DESIGUALDADE 
DE MESMA BASE 
2º CASO
DESIGUALDADE ENTRE 
UM LOGARITMO E UM 
NÚMERO 
3º CASO
SUBSTITUIÇÃO POR UMA 
INCÓGNITA AUXILIAR 
logc a ≤ k
K = logb (bk)
25 26
M
MATEMÁTICA
T
Funções logarítmicas 
Competências
1, 5 e 6
Habilidades
3, 4, 5, 19, 20, 
21, 22, 23, 24, 
25 e 26
©
 
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretarinformações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
49
Função logarítmica
Para todo número real positivo a Þ 1, a função exponencial f: R → R+*, f(x) = ax, é uma correspondência 
biunívoca entre R e R+*. Ela é crescente se a > 1, decrescente se 0 < a < 1 e tem a seguinte propriedade:
f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2), ou seja a
x1 + x2 = ax1 · a x2
Essas considerações garantem que f possui uma função inversa.
Observações
Dizer que f(x) é uma correspondência biunívoca é o mesmo que dizer que f é uma função bijetiva.
DeFinição Da Função logarítmica
A inversa da função exponencial de base a é a função f: R+* → R, que associa a cada número real positivo 
x o número real loga x, chamado logaritmo de x na base a, com a > 0 e a Þ 1.
Observe que f: R → R+*, dada por f(x) = ax, tem a propriedade f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2), ou seja, a
x1 + x2 = 
= ax1 · a x2. A sua inversa g: R+* → R, dada por g(x) = logax, tem a propriedade g(x1 · x2) = g(x1) + g(x2), ou seja, 
loga (x1 · x2) = loga x1 + loga x2.
Domínio da função logarítmica: R+*
Imagem da função logarítmica: R
Lembrando que se f –1(x) é função inversa de f(x) temos que f[f–1(x)] = x, como a função logarítmica é a 
inversa da função exponencial, temos:
aloga x = x e loga (a
x) = x para todo x [ R
Assim, loga x é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, 
y = loga x ⇔ a
y = x, como já vimos.
As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base a é maior do que 1. Particularmente, as de base 
10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritmos binários) e as base e (logaritmos naturais).
São exemplos de função logarítmica as funções de R+* em R definidas por:
 § f(x) = log2 x
 § g(x) = log10 x = log x
 § h(x) = loge x = ln x
 § i(x) = log x
50
gráFico Da Função logarítmica
Observe os seguintes gráficos de função loga-
rítmica:
f(x) = log2 x
x 1 __ 4 
1 __ 
2
 1 2 4
y = f(x) –2 –1 0 1 2
f(x) = log x
x 1 __ 4 
1 __ 
2
 1 2 4
y = f(x) 2 1 0 –1 –2
Veja a seguir o gráfico da função exponencial 
g(x) = 10x e da função logarítmica f(x) = log(x). Veja a 
simetria em relação à reta h(x) = x, pois f(x) e g(x) são 
funções inversas:
Como consequência da definição de função lo-
garítmica e da análise dos gráficos, podemos concluir 
que:
 § O gráfico da função logarítmica passa pelo pon-
to (1,0), ou seja, f(1) = 0, ou, ainda, loga 1 = 0;
 § O gráfico nunca toca o eixo y nem ocupa pontos 
dos quadrantes II e III, pois seu domínio é R+*;
 § Quando a > 1, a função logarítmica é crescente 
(x1 > x2 ⇔ loga x1 > loga x2);
 § Somente números positivos possuem logaritmo 
real, pois a função x → ax assume somente va-
lores positivos;
 § Se a > 1, os números maiores do que 1 têm 
logaritmo positivo e os números compreendidos 
entre 0 e 1 têm logaritmo negativo;
 § Se 0 < a < 1, os números maiores do que 1 têm 
logaritmo negativo e os números compreendidos 
entre 0 e 1 têm logaritmo positivo;
 § A função logarítmica é ilimitada, superior e 
inferiormente. No caso de a > 1 ser ilimitada 
superiormente significa que se pode dar a 
loga x um valor tão grande quanto se queira, 
desde que tomemos x suficientemente grande;
 § Ao contrário da função exponencial f(x) = ax com a 
> 1, que cresce rapidamente, a função logarítmica 
loga x com a > 1 cresce muito lentamente. Veja, 
por exemplo, que se log10 x = 1000, então 
x = 101000. Assim, se quisermos que log10 x seja 
maior do que 1000, será preciso tomar um nú-
mero x que tenha pelo menos 1001 algarismos;
51
 § A função logarítmica é injetiva, pois números 
positivos diferentes têm logaritmos diferentes. 
Ela é também sobrejetiva, pois, dado qualquer 
número real b, existe sempre um único número 
real positivo x tal que loga x = b. Portanto, ela 
é bijetiva (há uma correspondência biunívoca 
entre R+* e R).
Exemplos:
1. Encontre o domínio da função 
f(x)=logx − 2(3x − 12)
Pelas condições de existência dos logaritmos, 
temos:
Logaritmando: 3x − 12 > 0
 x > 4 (I)
Base: x − 2 > 0
 x > 2 (II)
Fazendo a intersecção de (I) e (II):
(I) ∩ (II): x > 4
Logo o domínio de f(x) é : {x∈R | x>4}
2. Dada f(x) = 2 log(500x) e g(x) =
= log(x ∙ 5 __ 
6
 ) calcule fog(120).
Calculando g(120): 
g(120) = log(120 ∙ 5 __ 
6
 )=log(100) = 2
Logo:
fog(120) = f(g(120)) = f(2) = 2 log(500 ∙ 2) =
= 2 log(1000)=2 ∙ 3 = 6
52
estrutura conceitual
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
FUNÇÃO INVERSA
DA FUNÇÃO 
EXPONENCIAL 
GRÁFICO
a > 1
f(x) = loga x
0 < a < 1
f(x) = loga x
y
x
y
x
NUNCA TOCA
O EIXO Y
f(x) = y = loga x
ay = x
f : R R*+
FUVEST
Quando o tema é trigonometria, a Fuvest espera o domínio completo das fórmulas e relações 
trigonométricas do vestibulando, tanto em aplicações de geometria plana, quanto em exercícios 
de questões trigonométricas.
UNESP
A banca da Vunesp, além de cobrar as tradicionais aplicações da trigonometria (geometria plana 
e funções trigonométricas), exige do candidato o entendimento de funções periódicas, seja em 
questões com gráfico ou de interpretação de texto.
UNICAMP
Com questões que demandam um alto nível de abstração e entendimento de texto, a Unicamp é 
exigente ao cobrar trigonometria em questões de geometria plana e de funções trigonométricas.
UNIFESP
As questões dissertativas de trigonometria da Unifesp, em sua maioria, estão ligadas com outras 
partes da matemática, como geometria espacial, plana, progressões e matrizes, além de ques-
tões interdisciplinares, relacionadas à Química e Física.
ENEM/UFMG/UFRJ
Com pouca abordagem no Enem, a trigonometria, na maioria dos exercícios, é utilizada apenas 
como ferramenta para resolução de exercícios de geometria plana.
UERJ
Trigonometria, na UERJ, é abordada com auxílio de figuras da geometria plana no exame de 
qualificação. Questões dissertativas da UERJ são focadas no domínio das fórmulas e nas resolu-
ções de equações.
FA
CU
LD
ADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de TRIGONOMETRIA nos principais vestibulares.
©
 Ap
he
lle
on
/S
hu
tte
rst
oc
k
19 20
M
MATEMÁTICA
T
Conceitos trigonométricos
Competências
2 e 3
Habilidades
6, 7, 8, 9 e 14
©
 Ap
he
lle
on
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hu
tte
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oc
k
19 20
M
MATEMÁTICA
T
Conceitos trigonométricos
Competências
2 e 3
Habilidades
6, 7, 8, 9 e 14
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar