MATEMÁTICA_V3

Prévia do material em texto

3
MATEMÁTICA
e suas tecnologias
Herlan Fellini, Pedro Tadeu Batista e Vitor Okuhara
M
MATEMÁTICA
T
Matemática para
vestibular medicina
5ª edição • São Paulo
2019 
© Hexag Sistema de Ensino, 2018
Direitos desta edição: Hexag Sistema de Ensino, São Paulo, 2019
Todos os direitos reservados
Autores
Herlan Fellini 
Pedro Tadeu Batista
Vitor Okuhara
Diretor geral
Herlan Fellini
Coordenador geral
Raphael de Souza Motta
Responsabilidade editorial, programação visual, revisão e pesquisa iconográfica 
Hexag Sistema de Ensino
Diretor editorial
Pedro Tadeu Batista
Editoração eletrônica
Arthur Tahan Miguel Torres
Bruno Alves Oliveira Cruz
Claudio Guilherme da Silva Souza
Eder Carlos Bastos de Lima
Fernando Cruz Botelho de Souza
Matheus Franco da Silveira
Raphael de Souza Motta
Raphael Campos Silva
Projeto gráfico e capa
Raphael Campos Silva
Foto da capa
pixabay (http://pixabay.com)
Impressão e acabamento
Meta Solutions
ISBN: 978-85-9542-096-0
Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legislação, tendo por fim único e exclusivo o 
ensino. Caso exista algum texto, a respeito do qual seja necessária a inclusão de informação adicional, ficamos à disposição 
para o contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e localizar os titulares dos direitos sobre 
as imagens publicadas e estamos à disposição para suprir eventual omissão de crédito em futuras edições.
O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra é usado apenas para fins didáticos, não representando qual-
quer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.
2019
Todos os direitos reservados para Hexag Sistema de Ensino
Rua Luís Góis, 853 – Mirandópolis – São Paulo – SP
CEP: 04043-300
Telefone: (11) 3259-5005
www.hexag.com.br
contato@hexag.com.br
CARO ALUNO
O Hexag Medicina é referência em preparação pré-vestibular de candidatos à carreira de Medicina. Desde 2010, são centenas de aprovações nos 
principais vestibulares de Medicina no Estado de São Paulo, Rio de Janeiro e em todo Brasil. O material didático foi, mais uma vez, aperfeiçoado e seu conteúdo 
enriquecido, inclusive com questões recentes dos relevantes vestibulares de 2019. 
Esteticamente, houve uma melhora em seu layout, na definição das imagens, criação de novas seções e também na utilização de cores.
No total, são 103 livros, 24 cadernos de Estudo Orientado e 6 cadernos de aula.
O conteúdo dos livros foi organizado por aulas. Cada assunto contém uma rica teoria, que contempla de forma objetiva e clara o que o aluno 
realmente necessita assimilar para o seu êxito nos principais vestibulares do Brasil e Enem, dispensando qualquer tipo de material alternativo complementar. 
Todo livro é iniciado por um infográfico. Esta seção, de forma simples, resumida e dinâmica, foi desenvolvida para indicação dos assuntos mais abordados nos 
principais vestibulares, voltados para o curso de medicina em todo território nacional.
O conteúdo das aulas está dividido da seguinte forma:
TEORIA
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos, de cada coleção, tem como principal objetivo apoiar o estudante na resolução de questões propos-
tas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, completos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas que complementam as explicações 
dadas em sala de aula. Quadros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados, e compõem um conjunto abrangente de informações para o 
estudante, que vai dedicar-se à rotina intensa de estudos.
TEORIA NA PRÁTICA (EXEMPLOS)
Desenvolvida pensando nas disciplinas que fazem parte das Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Matemática e suas Tecnologias. Nesses 
compilados nos deparamos com modelos de exercícios resolvidos e comentados, aquilo que parece abstrato e de difícil compreensão torna-se mais acessível 
e de bom entendimento aos olhos do estudante.
Através dessas resoluções é possível rever a qualquer momento as explicações dadas em sala de aula.
INTERATIVIDADE
Trata-se do complemento às aulas abordadas. É desenvolvida uma seção que oferece uma cuidadosa seleção de conteúdos para complementar o 
repertório do estudante. É dividido em boxes para facilitar a compreensão, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas e livros para o aprendizado do aluno. 
Tudo isso é encontrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos temas estudados. Há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até sugestões 
de aplicativos que facilitam os estudos, sendo conteúdos essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica. Tudo é selecionado com finos 
critérios para apurar ainda mais o conhecimento do nosso estudante.
INTERDISCIPLINARIDADE
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é elaborada, a cada aula, a seção interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares de 
hoje não exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos conteúdos de cada área, de cada matéria.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como biologia e química, 
história e geografia, biologia e matemática, entre outros. Neste espaço, o estudante inicia o contato com essa realidade por meio de explicações que relacio-
nam a aula do dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizando temas da atualidade. Assim, o estudante consegue entender 
que cada disciplina não existe de forma isolada, mas sim, fazendo parte de uma grande engrenagem no mundo em que ele vive.
APLICAÇÃO NO COTIDIANO
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu distanciamento da realidade cotidiana no desenvolver do dia a dia, dificultando o 
contato daqueles que tentam apreender determinados conceitos e aprofundamento dos assuntos, para além da superficial memorização ou “decorebas” de 
fórmulas ou regras. Para evitar bloqueios de aprendizagem com os conteúdos, foi desenvolvida a seção "Aplicação no Cotidiano". Como o próprio nome já 
aponta, há uma preocupação em levar aos nossos estudantes a clareza das relações entre aquilo que eles aprendem e aquilo que eles têm contato em seu 
dia a dia.
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Elaborada pensando no Enem, e sabendo que a prova tem o objetivo de avaliar o desempenho ao fim da escolaridade básica, o estudante deve 
conhecer as diversas habilidades e competências abordadas nas provas. Os livros da “Coleção vestibulares de Medicina” contêm, a cada aula, algumas dessas 
habilidades. No compilado “Construção de Habilidades”, há o modelo de exercício que não é apenas resolvido, mas sim feito uma análise expositiva, descre-
vendo passo a passo e analisado à luz das habilidades estudadas no dia. Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a apurá-las na sua 
prática, identificá-las na prova e resolver cada questão com tranquilidade.
ESTRUTURA CONCEITUAL
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Geramos aos estudantes o máximo de recursos para orientá-los em suas trajetórias. Um deles 
é a estrutura conceitual, para aqueles que aprendem visualmente a entender os conteúdos e processos por meio de esquemas cognitivos, mapas mentais e 
fluxogramas. Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos principais conteúdos 
ensinados no dia, o que facilita sua organização de estudos e até a resolução dos exercícios.
A edição 2019 foi elaborada com muito empenho e dedicação, oferecendo ao aluno um material moderno e completo, um grande aliado para o seu 
sucesso nos vestibulares mais concorridos de Medicina.
Herlan Fellini
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA
GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
Aulas 19 e 20: Equações, inequações e funções exponenciais 7
Aulas 21 e 22: Definição e propriedades dos logaritmos 21
Aulas 23 e 24: Equações, inequações e sistemas de equações logarítmicas 35
Aulas 25 e 26: Funçõeslogarítmicas 47
 
Aulas 19 e 20: Conceitos trigonométricos 55
Aulas 21 e 22: Transformações trigonométricas 89
Aulas 23 a 26: Relações fundamentais e equações trigonométricas 101
Aulas 19 a 22: Áreas dos quadriláteros e razão de semelhanças para áreas 117
Aulas 23 e 24: Área do círculo, setor e segmento circular 133
Aulas 25 e 26: Poliedros e noções de geometria métrica de posição 141
 
 
FUVEST
A banca da Fuvest busca tanto o domínio técnico sobre exponenciais e logaritmos e suas pro-
priedades como exige uma atenção redobrada do vestibulando para a verificação das condições 
de existência e das perfeitas identificações dos intervalos do domínio e da imagem das funções 
logarítmicas.
UNESP
Tema frequente nos vestibulares da Unesp, exponenciais e logaritmos são cobrados sempre apli-
cados a um exemplo do cotidiano com auxílio de gráficos, tabelas e funções dadas.
UNICAMP
Interpretação de texto e de gráficos, domínio das propriedades logarítmicas e atenção para 
domínio, imagem e condição de existência são exigências feitas pela banca da Comvest para 
seus vestibulandos.
UNIFESP
Ao cobrar exponenciais e logaritmos, o vestibular da Unifesp foca tanto na leitura atenta do 
enunciado para a modelagem da função exponencial ou logarítmica como no domínio das pro-
priedades em questão.
ENEM/UFMG/UFRJ
A abordagem de logaritmos e de exponenciais ao longo dos anos no Enem se restringe à apli-
cação de fórmulas dadas e à leitura de gráficos e tabelas para resolução da questão. É essencial, 
portanto, fazer uma leitura atenta de todos os textos propostos.
UERJ
Leitura de gráficos, tabelas e funções dadas pelo enunciado são as abordagens mais comuns 
sobre exponenciais e logaritmos feitas pela UERJ.
FA
CU
LD
ADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de ÁLGEBRA nos principais vestibulares.
©
 kt
sd
es
ign
/S
hu
tte
rs
to
ck
19 20
M
MATEMÁTICA
T
Equações, inequações 
e funções exponenciais
Competências
1, 5 e 6
Habilidades
3, 4, 5, 19, 20, 21, 
22, 23, 24, 25 e 26
©
 kt
sd
es
ign
/S
hu
tte
rs
to
ck
19 20
M
MATEMÁTICA
T
Equações, inequações 
e funções exponenciais
Competências
1, 5 e 6
Habilidades
3, 4, 5, 19, 20, 21, 
22, 23, 24, 25 e 26
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
9
EquaçõEs ExponEnciais
Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente.
Exemplos:
2x = 8
3x+1 · 3x–2 = 27
32x–5 = 18
10 · 3x – 5 · 3x – 1 = 0
Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências de mesma base 
no primeiro e no segundo membro da equação, utilizando as definições e propriedades da potenciação. Além disso, 
usaremos o seguinte fato:
Se a > 0, a ≠ 1 e x é a incógnita da equação ax = ap, então x = p.
Exemplos:
 § Resolva a equação 4x = 512.
Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1° e o 2° membro da equação em potências 
de mesma base:
 
 
 4
x = (22)x = 22x 
512 = 29 (fatoração)
 } ä 22x = 29 ä 2x = 9 ä x = 9 __ 2 
O conjunto solução é S = { 9 __ 2 } .
 § Resolva a equação 0,5x+1 = 82x.
Reescrevendo 0,5 como um quociente temos 0,5 = 1 __ 
2
 . Utilizando as propriedades de potenciação temos 
que 1 __ 
2
 = 2–1.
Agora que ambos os termos da equação são potências de mesma base, temos:
0,5x + 1 = 82x à 2–x – 1 = 26x à –x – 1 = 6x à 7x = –1 à x = – 1 __ 
7
 
Portanto o conjunto solução é S = { – 1 __ 7 } .
Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios
Exemplo:
Resolva a equação 4x – 5 · 2x + 4 = 0.
Nesse caso, não conseguimos transformar os termos para uma mesma base de modo a obter uma equação 
do tipo ax = ap como visto anteriormente.
Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada:
4x – 5 · 2x + 4 = 0 ä (22)x – 5 · 2x + 4 = 0 ä (2x)2 – 5 · 2x + 4 = 0
Fazendo 2x = y, temos a equação do 2° grau em y:
y2 – 5y + 4 = 0
Resolvendo a equação, vem: y = 5 ± 3 _____ 
2
 ä { y' = 4 y" = 1 
Finalmente, voltando à igualdade 2x = y, obtemos: { 2x = 4 ä 2x = 22 [ x = 2 2x = 1 ä 2x = 20 [ x = 0 
S = {0,2}.
10
Função ExponEncial
A função f :R é R dada por f(x) = ax (com a > 0 e a ≠ 1) é denominada função exponencial de base a.
Por que a base deve ser positiva e diferente de 1?
Veja o porquê.
 § Se a < 0, então f(x) = ax não estaria definida para todo x real.
Por exemplo, supondo a = –2 e x = 1 __ 
2
 , teríamos: f ( 1 __ 2 ) = (–2)1/2 ⇒ f ( 1 __ 2 ) = √
__
 -2 , que não é um número real.
 § Se a = 1, então f(x) = ax é uma função constante: f(x) = 1x
f(x) = 1, para todo x real.
Função exponencial de base a com a > 1
 § Domínio R; contradomínio R+.
 § Contínua em todo o domínio.
 § A função é estritamente crescente em R e, portanto, injetiva.
 § Não tem zeros. O gráfico intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,1).
 § Admite a assíntota horizontal y = 0 quando x é −Ü.
 § Não tem assíntotas verticais nem oblíquas.
Função exponencial de base a com 0 < a < 1
 § Domínio R; contradomínio R+.
 § Contínua em todo o domínio.
 § A função é estritamente decrescente em R e, portanto, injetiva.
 § Não tem zeros. O gráfico intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,1).
 § Admite a assíntota horizontal y = 0 quando x é + Ü.
 § Não tem assíntotas verticais nem oblíquas.
11
Existem fatos que podem ser descritos por meio de uma função do tipo exponencial, tais como o juro do di-
nheiro acumulado, o crescimento ou decrescimento de populações animais ou vegetais e a desintegração radioativa.
Teoria na prática
1. Uma cultura, inicialmente com 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Suponha que, por divisão 
celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora.
a) Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial?
b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51200 bactérias?
Resolução:
a) No instante inicial, temos 100 bactérias.
Uma hora depois, teremos: 100 · 2 = 200 bactérias
Decorrida mais uma hora (após 2 horas do instante inicial), a população será de 
(100 · 22) = 100 ∙ 22 = 400 bactérias.
Decorrida outra uma hora (após 3 horas do instante inicial), a população será de 
(100 · 22) · 2 = 100 ∙ 23 = 800 bactérias. E assim por diante.
Após 3 horas, teremos 800 bactérias.
b) Depois de n horas, teremos uma população P dada por P = 100 · 2n.
De acordo com os dados do problema, temos: 51200 = 100 · 2n ä 2n = 51200 _____ 
100
 ä 2n = 512.
Resolvendo a equação, temos: 2n = 29 ä n = 9.
Então, a população da cultura será de 51200 bactérias após 9 horas.
2. Seja f(x) = 4x – 6 · 2x + 8.
a) Calcule f(0). 
b) Encontre todos os valores reais de x para os quais f(x) = 168. 
Resolução:
a) f(0) = 40 - 6 · 20 + 8 = 3.
b) 4x – 6 · 2x + 8 = 168 ⇒ 4x – 6 · 2x – 160 = 0 ⇒ (2x)2 – 6 · 2x – 160 = 0.
Resolvendo a equação temos:
2x = 16 ⇒ x = 4 ou 2x = –10 (não convém).
Portanto, x = 4. 
12
3. Se m __ n é a fração irredutível que é solução da equação exponencial 9
x – 9x-1 = 1944, calcule m – n .
Resolução:
Resolvendo a equação, encontramos:
9x – 9x-1 = 1944.
Reescrevendo a equação, temos:
9x – 9
x
 __ 
9
 = 1944.
Colocando 9x em evidência:
9x ( 1 – 1 __ 9 ) = 1944 ⇔ 9x ( 8 __ 9 ) = 1944 ⇔ 9x = 1944 ∙ 9 _______ 8 = 9x = 2187 ⇔ (32)x = 37
32x = 37 ⇔ 2x = 7 ⇔ x = 7/2.
Por conseguinte, temos m – n = 7 – 2 = 5.
4. Em um experimento no laboratório de pesquisa, observou-se que o número de bactérias de uma determi-
nada cultura, sob certas condições, evolui conforme a função B(t) = 10 · 3t - 1 em que B(t) expressa a quan-
tidade de bactérias e t representa o tempo em horas. Qual o tempo decorrido, em horas, para atingir uma 
cultura de 810 bactérias, após o início do experimento? 
Resolução:
Se B(t) = 810 , então podemos escrever:
B(t) = 810 = 10 · 3t-1 ⇒ 
3t-1 = 81 ⇒ 3t-1 = 34 ⇒ t –1 = 4 ⇒ t = 5. 
∴ 5 horas
5. As matas ciliares desempenham importante papel na manutenção das nascentes e estabilidade dos solos 
nas áreas marginais. Com o desenvolvimento do agronegócio e o crescimento das cidades, as matas ciliares 
vêm sendo destruídas. Um dos métodos usados para a sua recuperação é o plantio de mudas.
O gráfico mostra o número de mudas N(t) = ba t (0 < a ≠ 1 e b > 0) a serem plantadas no tempo t (em 
anos), numa determinada região. 
 
De acordo com os dados, qual o número de mudas a serem plantadas, quando t = 2 anos? 
a) 2.137.
b) 2.150.
c) 2.250.
d) 2.437.
e) 2.500.
13
Resolução:
Considerando os pontos (1, 1500) e (3, 3375) do gráfico, temos o seguinte sistema:
 { 1500 = b · a1 (I) 3375 = b · a3 (II) 
Fazendo (II) dividido por (I), temos:
a2 = 2,25 ⇒ a = 1,5 e b = 1000
Logo, N(t) = 1000 · (1,5)t ⇒ N(2) = 1000 · (1,5)2 = 2250 .
Alternativa C
inEquaçõEs ExponEnciais
Com base no crescimento e no decrescimento da função f(x) = ax, com a [ R*+ – {1}, podemos comparar 
quaisquer dois de seus expoentes.
Usando essas relações, e lembrando que ax1 = ax2 ä x1 = x2, podemos resolver algumas inequações exponenciais.
Exemplos:
 § Resolva a inequação ( dXX 5 ) x2 – 3x ≥ ( dXX 5 ) 4.
Como a base dXX 5 é maior que 1, temos:
 ( dXX 5 ) x2 – 3x ≥ ( dXX 5 ) 4 à x2 – 3x ≥ 4 (O sentido da desigualdade se conserva.)
x2 – 3x – 4 ≥ 0 é inequação do 2º grau.
Cálculo das raízes da função f(x) = x2 – 3x – 4 :
x2 – 3x – 4 = 0 ä 3 ± 5 _____ 
2
 { x' = 4 x" = –1 
Sinal da função f:
Para satisfazer a condição f(x) ≥ 0, devemos ter x ≤ –1 ou x ≥ 4.
S = {x [ R | x ≤ –1 ou x ≥ 4}.
14
 § Resolva a inequação ( 1 __ 3 ) 
3x –1
 < ( 1 __ 3 ) 
x+5
.
Como a base ( 1 __ 3 ) está compreendida entre 0 e 1, temos:
 ( 1 __ 3 ) 
3x –1
 < ( 1 __ 3 ) 
x+5
 ä 3x – 1 > x + 5 (O sentido da desigualdade se inverte.)
2x > 6
x > 3
S = {x [ R | x > 3}.
Teoria na prática
1. Resolver as inequações exponenciais (em ℝ):
a) 2x < 32. 
b) ( 1 __ 9 ) x ≤ 243. 
c) ( √
__
 2 ) x > 1 ____ 
 3 √
___
 16 
 .
d) 0,16x > 5 √
______
 15,625 .
e) 3t ≤ 9 
2
 
__
 t .
f) 2
-x
 _______ 
3x
2 - x – 1
 ≤ 0.
Resolução:
Aplicando as propriedades das potências e utilizando alguns artifícios algébricos, temos:
a) 2x < 32 ⇒ 2x < 25 ⇒ (base > 1) ⇒ x < 5. 
b) ( 1 __ 9 ) x ≤ 243 ⇒ (3-2)x ≤ 35 ⇒ (base > 1) ⇒ –2x ≤ 5 ⇒ 2x ≥ –5 ⇒ x ≥ – 5 __ 2 .
c) ( √
__
 2 ) x > 1 ____ 
 3 √
___
 16 
 ⇒ (21/2)x > 1 ___ 
 3 √
__
 24 
 ⇒ 2x/2 > 2-4/3 ⇒ (base > 1) ⇒ x __ 
2
 > – 4 __ 
3
 ⇒ x > – 8 __ 
3
 .
d) Utilizando a representação decimal na base 10 e decompondo os números, temos:
0,16x > 5 √
______
 15,625 ⇒ (24 ∙ 10-2)x > 5 √
______
 56 ∙10-3 ⇒ 24x ∙ 10-2x > (56 ∙ 10-3)1/5 ⇒ 24x ∙ 10-2x > 56/5 ∙ 10-3/5
Observando que 10 = 2 · 5, desmembramos cada termo 10 dessa forma e reagrupam-se as potências:
24x ∙ (2 ∙ 5)-2x > 5 6/5 ∙ (2 ∙ 5)-3/5 ⇒ 24x ∙ 2-2x ∙ 5-2x > 56/5 ∙ 2–3/5 ∙ 5-3/5 ⇒24x ∙ 2-2x ∙ 23/5 > 52x ∙ 56/5 ∙ 5-3/5
Repare que os sinais dos expoentes mudam ao trocarmos os membros, pois os termos são divididos do 
lado oposto e o sinal do expoente muda. Aplicando as propriedades de potências, temos:
 2
4x ∙ 2-2x ∙ 23/5 ____________________ 
52x ∙ 56/5 ∙ 5-3/5
 > 1 ⇒ 2
2x + 3 __ 5 _____ 
52x + 
3
 
__
 5 
 > 1 ⇒ ( 2 __ 5 ) 
2x +
 
3
 
__
 
5
 > ( 2 __ 5 ) 
0
 ⇒ (base < 1) ⇒ 2x + 3 __ 
5
 < 0 ⇒ x < – 3 ___ 
10
 . 
15
e) 3t ≤ 9 2/t ⇒ 3t ≤ (32)2/t ⇒ 3t ≤ 34/t ⇒ (base > 1) ⇒t ≤ 4 __ t ⇒ t – 
4 __ t ≤ 0 ⇒ 
t2 – 4 _____ t ≤ 0.
Analisando os intervalos, verifica-se que “t” não pode ser nulo devido ao denominador e o quociente 
assume valores negativos em ]–∙ , –2] ∪ ]0,2].
–2 0 2
t2 – 4 + – – +
t – – + +
t2 – 4/t – + – +
S = { t ∈  | t ≤ –2 ou 0 < t ≤ 2} 
f) 2
-x
 ______ 
3x2- x – 1
 ≤ 0. 
Observe que o quociente não se anula, pois o numerador é maior que zero. Além disso, é positivo, o que 
significa que o quociente será negativo somente se o denominador também o for. Temos:
 2
-x
 ______ 
3x2-x – 1
 ≤ 0 ⇒ 3x2 - x – 1 < 0 ⇒ 3x2 - x < 1 ⇒ 3x2 - x < 30 → (base > 1)⇒ x2 – x < 0 ⇒ x(x – 1) < 0. 
O produto será negativo entre as raízes 0 e 1. Isto é, t ∈ ]0,1[.
2. Após um estudo em uma colmeia de abelhas, verificou-se que, no instante t = 0, o número de abelhas 
era 1.000 e que o crescimento populacional da colmeia é dado pela função f, na qual f é definida por 
f(t) = 1000 ∙ 2 
2t
 
__
 3 , em que t é o tempo decorrido em dias. Supondo que não haja mortes na colmeia, em 
quantos dias no mínimo essa colmeia atingirá uma população de 64.000 abelhas? 
Resolução:
Queremos calcular o menor valor de t para o qual se tem f(t) ≥ 64000. Assim:
1000 ∙ 2 
2t
 
__
 3 ≥ 64000 ⇔ 2 
2t
 
__
 3 ≥ 26 ⇔ t ≥ 9.
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Sites
ACESSAR
Vídeo
Fonte: Youtube
Crescimento das Funções Exponenciais
pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-vs-
linear-growth/v/exponential-growth-functions
Introdução às funções exponenciais
16
17
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Sites
ACESSAR
Vídeo
APLICAÇÃO NO COTIDIANO
Funções exponenciais são aplicadas no nosso dia a dia nos famigerados juros compostos. Veja uma aplica-
ção rotineira:
1. (UPE-SSA) Mariana fez um empréstimo à base de juros compostos, num banco que cobra 10% ao mês. 
Ao final de 180 dias, o montante a ser pago por ela será de R$ 9.000,00 Com o dinheiro do empréstimo, 
Mariana realizou alguns pagamentos chegando a sua casa com R$ 1.250,00 Quanto ela gastou, aproxima-
damente, com os pagamentos?
Adote (1,1)6 = 1,8 
a) R$ 1.333,00
b) R$ 2.755,00
c) R$ 3.260,00
d) R$ 3.750,00
e) R$ 4.500,00
Resolução:
Sendo 180 dias correspondentes a 6 meses, considerando como sendo x o valor que Mariana pegou em-
prestado e y o valor gasto com os pagamentos, pode-se escrever:
M = C(1+i)t
M = 9000,
C = x,
i = 0,1,
t = 6,
9000 = x ∙ (1,1)6 → x = 5000
x – y = 1250 → 5000 – y = 1250 → y = 3750 reais
Alternativa D
INTERDISCIPLINARIDADE
Exponencial é um assunto com muitas aplicações interdisciplinares. Em Química e Física podemos estudar 
decaimentos e meias vidas de elementos radioativos. Em Biologia, podemos estudar o crescimento de uma cultura 
de bactérias e a decomposição de certas substâncias.
18
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Habilidade 21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a Habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resol-
ver uma situação proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
ModElo
(Enem) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a 
expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa 
realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 
anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentu-
ais. Por exemplo, em 1950, havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvol-
vidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
Países em
desenvolvimento
Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x , em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 
corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes 
no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em 
desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a popu-
lação com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:
a) 490 e 510 milhões.
b) 550 e 620 milhões. 
c) 780 e 800 milhões. 
d) 810 e 860 milhões. 
e) 870 e 910 milhões.
19
análisE Expositiva
Habilidade 21
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar 
seus conhecimentos para modelar e resolver problemas a partir da aplicação de expressões 
algébricas. 
y = 363∙e0,03∙30 ⇔ y = 363∙e0,9 ⇔ y = 363(e0,3)3 ⇔ y = 363(1,35)3 = 893
Portanto, está entre 870 e 910.
Alternativa E
Estrutura concEitual
FUNÇÃO
EXPONENCIAL
f(x) = ax
a > 0 e a ≠ 1
CRESCENTE
(a > 1)
DECRESCENTE
(0 < a < 1)
GRÁFICO
EQUAÇÕES
EXPONENCIAIS
ax = ay x = y 
MESMA BASE
IGUALA OS
EXPOENTES
DECOMPOR AS
POTÊNCIAS EM
BASES IGUAIS
ASSÍNTOTA
HORIZONTAL
INEQUAÇÕES
EXPONENCIAIS
Se a > 1
x > y
ax > ay
x < y
ax > ay
Se 0 < a < 1
ATENÇÃO!
INVERTE
O SINAL
©
 pi
xin
oo
/S
hu
tte
rs
to
ck
21 22
M
MATEMÁTICA
T
Definição e propriedades
dos logaritmos 
Competências
1, 3 e 5
Habilidades
1, 3, 4, 10, 11, 
12, 13 e 21
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão deum conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
23
O que sãO lOgaritmOs?
Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa 
potência.
Para muitos números, isso pode ser feito com facilidade. Veja alguns exemplos:
 1 = 100 0,1 = 10-1
 10 = 101 0,01 = 10–2
 100 = 102 0,001 = 10–3
 1000 = 103 0,0001 = 10–4
 10000 = 104 0,00001 = 10–5
Entretanto, na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Por exem-
plo, como os expoentes aproximados, por falta, até a 3ª casa decimal, temos:
2 = 100,301
3 = 100,477
7 = 100,845
Assim, o número 0,301 é chamado logaritmo de 2 na base 10.
Indica-se: log102 = 0,301, ou seja, 2 = 10
0,301.
O número 0,778 é chamado logaritmo de 6 na base 10.
Indica-se: log106 = 0,778, ou seja, 6 = 10
0,778.
Entretanto, os logaritmos podem ser escritos em qualquer base positiva diferente de 1.
Observe:
 § log28 = 3, porque 2
3 = 8
 § log7 2 = 0,356, porque 2 = 7
0,356
 § log5 125 = 3, porque 125 = 5
3
 § log8 47 = 1,852, porque 47 = 8
1,852
Dizemos que o logaritmo de um número positivo b (chamado logaritmando), na base a, positiva e diferente 
de 1, é o expoente x ao qual se deve elevar a para se obter b.
loga b = x ⇔ b = a
x, com b > 0, a > 0 e a ≠ 1
Se a base do logaritmo for 10, costuma-se omiti-la na sua representação.
log10 b = log b (log é logaritmo decimal)
O conjunto dos logaritmos na base 10 de todos os números reais positivos é chamado de sistema de 
logaritmos decimais.
Há, ainda, o sistema de logaritmos neperianos, no qual a base desses logaritmos é o número irracional 
e = 2,71828...
Esse sistema também é conhecido como sistema de logaritmos naturais e tem grande aplicação no estudo 
de diversos fenômenos da natureza.
loge b = In b (In é logaritmo natural)
O número e
Entre tantos números fascinantes, temos o número e, base dos logaritmos neperianos, também chamados de 
logaritmos naturais.
24
Quem o designou foi o matemático suíço Leo-
nhard Euler (1707-1783), que provou ser esse número o 
limite de ( 1 + 1 __ x ) 
x
 quando x cresce infinitamente.
O valor aproximado de e (com 9 casas decimais!) 
pode ser memorizado facilmente, quando usamos um 
artifício: e = 2,718281828... Mas, cuidado, não é uma 
dízima periódica!
Exemplos:
Calcule:
a) log6 36
log6 36 = x ä 36 = 6
x ä 6² = 6x ä x = 2
log6 36 = 2
b) log10 0,01
log10 0,01 = x ä 0,01 = 10
x ä 10– 2 = 10x ä 
ä x = – 2
log10 0,01 = –2
c) log1/4 2 
dXX 2 = x
⇒ ( 1 __ 4 ) x= 2 √
__
 2 ⇒ (2-2)x = 23/2 
–2x = 3 __ 
2
 ⇒ 
⇒ x = – 3 __ 
4
 
Calcule log 1,4. Use 2 = 100,301 e 7 = 100,845.
Usando a definição de logaritmo, temos: 
log1,4 = x ä 1,4 = 10x.
O logaritmo de 1,4 é o expoente x ao qual se 
deve elevar 10 para obter 1,4.
Resolvendo a equação exponencial, temos:
1,4 = 10x ä 14 ___ 
10
 = 10x
 2 · 7 ____ 
10
 = 10x ä 10
0,301 · 100,845 ___________ 
101
 = 10x
100,301 + 0,845 – 1 = 10x ä 100,146 = 10x ä x = 0,146
log1,4 = 0,146
Condição de existência 
de um logaritmo
Consideramos os logaritmos:
log2 4 = x ä 4 = 2
x ä 22 = 2x [ x = 2
log10 0,1 = x ä 0,1 = 10
x ä 10–1 = 
= 10x [ x = –1
Observe que não existe o logaritmo x quando o lo-
garitmando é negativo, ou quando a base é negativa, ou 
igual a 1.
Para logab existir, devemos ter:
 § Logaritmandos positivos: b > 0
 § Base positiva e diferente de 1: a > 0 e a ≠ 1
Exemplo:
Para quais valores de x existe log3 (x – 5)?
Para que o logaritmo exista, o logaritmando 
deve ser positivo e a base, positiva e diferente de 1.
Como a base é 3 (positiva e diferente de 1), de-
vemos impor apenas a condição para o logaritmando.
Logo: x – 5 > 0 ä x > 5
log3 (x – 5) existe para todo x real tal que x > 5.
Consequências da definição
1. O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 
zero.
loga 1 = 0, pois a
0 = 1
2. O logaritmo da própria base é igual a 1.
loga a = 1, pois a
1 = a
3. O logaritmo de uma potência da base é igual ao 
expoente.
loga a
m = m, pois loga a
m = p à ap = am
Portanto, p = m, então, loga a
m = m.
4. O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual 
devemos elevar a para obter b, logo:
alog b 
 
 a = b, pois ax = b à x = logab
Substituindo x por logab em a
x = 
= b, resulta alog b 
 
 a = b.
Exemplos:
Que número natural log10 (log10 10) representa?
Como log10 10 = 1, obtemos: 
log10 (log10 10) = log10 1 = 0
log10 (log10 10) = 0
Determine o valor da expressão 
log7 7
3 + log9 1
6 + 2 log2
5
.
25
Calculando o valor de cada uma das parcelas, 
temos:
log7 7
3 = 3
log9 1
6 = log9 1 = 0
2 log2
5
 = 5
log7 7
3 + log9 1
6 + 2log2
5 = 3 + 0 + 5 = 8
O valor da expressão é 8.
1ª PrOPriedade: lOgaritmO 
de um PrOdutO
O logaritmo de um produto é igual à soma dos 
logaritmos dos fatores, tomados na mesma base, isto é:
logb (a · c) = logb a + logb c, com a > 0, c > 0 e 
1 Þ b > 0
Exemplos:
1. Se log 2 = a e log 3 = b, calcule log 12 em fun-
ção de a e b.
Fatorando 12 temos que 12 = 2 · 2 · 3, portanto:
log(12) = log(2 · 2 · 3)
Aplicando a propriedade do logaritmo de um 
produto, temos:
log(2 · 2 · 3) = log2 + log 2 + log3
Substituindo os valores fornecidos, temos:
log(12) = a + a + b = 2a + b
2. Resolva a equação log2 (x + 2) + log2 (x – 2) = 5.
As condições de existência são: x + 2 > 0 e 
x – 2 > 0, portanto x > – 2 e x > 2
Então: x > 2.
Usando a propriedade do logaritmo de um pro-
duto, vamos transformar a soma dos dois loga-
ritmos no logaritmo do produto.
log2 (x + 2) + log2 (x – 2) = 5 ⇒ log2 (x + 2)
(x – 2) = 5
Pela definição de logaritmo, temos: 
(x + 2)(x – 2) = 25 ⇒ x2 – 4 = 32
x2 = 36 ⇒ x = ± 6 
Somente o valor 6 satisfaz as condições de exis-
tência. Logo, S = {6}.
Observe que, se substituimos 
x = -6 em log2(x + 2)(x – 2) = 5, obtemos: 
log2[(–4)(–8)] = 5 ⇒ log2(32) = 5, o que é 
verdadeiro.
Então por que x = – 6 não é solução do proble-
ma? Porque a equação que estamos resolvendo é 
log2 (x + 2) + log2 (x – 2) = 5, 
e não log2(x + 2)(x – 2) = 5. Apesar da segun-
da equação ser consequência da primeira, 
aplicar esta propriedade do logaritmo do 
produto (ou qualquer outra propriedade) 
só pode ser feita se a condição de existên-
cia for satisfeita.
2ª PrOPriedade: lOgaritmO 
de um quOciente
O logaritmo de um quociente é igual ao logarit-
mo do dividendo menos o logaritmo do divisor tomadas 
na mesma base, isto é:
logb 
a __ c = logb a – logb c,com a > 0, c > 0 e 1 Þ b > 0
Exemplo:
1. Sabendo que log2 = 0,301 e log3 = 0,477, 
calcule:
a) log 6
log 6 = log(2 · 3) = log2 + log3 = 
= 0,301 + 0,477 = 0,778 
log 6 = 0,778
b) log 5
log 5 = log 10 ___ 
2
 = log10 – log2 = 1 – 0,301 
= 0,699 
log 5 = 0,699
c) log 2,5
log 2,5 = log 25 ___ 
10
 = log 5 __ 
2
 = log5 – log2 =
= 0,699 – 0,301 = 0,398 
log 2,5 = 0,398
26
3ª PrOPriedade: lOgaritmO 
de uma POtência
O logaritmo de uma potência é igual ao produto 
do expoente pelo logaritmo da base da potência, isto é:
logb a
n = n · logb a, com a > 0, 1 Þ b > 0 e n [ R
Exemplo:
1. log √
__
 3 
Transformando, obtemos: 
log √
__
 3 = log3 = 1 __ 
2
 · log3 = 1 __ 
2
 · 0,477 = 0,2385
log √
__
 3 = 0,2385
Há uma consequência desta propriedade:
alogab = b
Demonstração:
Fazendo x = alogab = b 
e aplicando o logaritmo de base a em ambos os 
membros da equação temos:
loga x = logaa
logab
loga x = logab · logaa
logax = logab
Portanto x = b , logo:
alogab = b
usandO as PrOPriedades dOs 
lOgaritmOs na resOluçãO de 
sistemas
Exemplo:
1. Resolva o sistema: 
x + y = 110
log x + log y = 3
As condições de existência são x > 0 e y > 0.
Aplicamos a propriedadedo logaritmo de um 
produto na 2ª equação, obtemos:
log x + log y = 3 ⇒ log (x · y) = 3
Usando a definição de logaritmo, vem: 
log(x · y) = 3 ⇒ xy = 103
xy = 1000
Temos, então, o sistema equivalente: 
x + y = 110 (I)
xy = 1000 (II)
De (I), vem: x = 110 – y (III)
Substituindo (III) em (II), resulta: 
(110 – y) y = 1000
y2 – 110y + 1000 = 0
y9 = 100
y0 = 10
Substituindo os valores de y em (III), obtemos:
y = 100 ⇒ x = 110 – 100 ou y = 10 ⇒
⇒ x = 110 – 10
x = 10 x = 100
Como esses valores satisfazem as condições de 
existência, temos: x = 10 e y = 100 ou x = 100 e y = 10
S = {(10, 100), (100, 10)}
resumO das PrOPriedades
Se b > 0, c > 0, m [ R, a > 0 e a Þ 1 valem as 
propriedades dos logaritmos:
P1: loga (b · c) = loga(b) + loga(c)
P2: loga ( b __ c ) = loga(b) – loga(c)
P3: loga (b
m) = m loga
b
P4: a
logab= b
Exemplos de aplicação 
das propriedades
1. Determine o desenvolvimento logarítmico da ex-
pressão log ( a √
__
 b ____ 
c3
 ) .
log ( a √
__
 b ____ 
c3
 ) = log ( a · b ____ c3 ) = log ( a · b ) – log c3 = 
= log a + log b – log c3 = log a + 1 __ 
2
 · log b – 3 · log c
Logo, log ( a √
__
 b ____ 
c3
 ) = log a + 1 __ 2 · log b – 3 · log c.
2. Dados loga m = 11 e loga n = 6, qual é o valor de 
loga (m
3n2)?
loga (m
3n2) = logam
3 + loga n
2 = 
= 3 · loga m + 2 · loga n = 3 · 11 + 2 · 6 = 45
Então, loga (m
3n2) = 45.
27
3. Se log 2 = a e log 3 = b, expresse log 72 em 
função de a e b.
log 72 = log (23 · 32) = log 23 + log 32 = 
= 3 · log 2 + 2 · log 3 = 3a + 2b
Então, log 72 = 3a + 2b.
4. Sabendo que logaA = 2 logaC – 
1 __ 
3
 logaD calcule A 
em função de c e d.
loga c
2 – loga d = loga c
2 – loga 
3
 √
__
 d = loga ( c2 ___ 3 √__ d ) 
Daí:
logaA = loga ( c2 ___ 3 √__ d ) ⇔ A = c2 ___ 3 √__ d 
Logo, A = c
2
 ___ 
 3 √
__
 d 
 
5. Escreva as expressões a seguir por meio de um 
único logaritmo:
a) 3 · log4 7
3 · log4 7 = log47
3 = log4 343
b) log3 x – log32
log3 x – log32 = log3 
x __ 
2
 
c) log 6 + log 3
log 6 + log 3 = log (6 · 3) = log 18
d) log5 4 + log5 x – log5 3
log5 4 + log5 x – log5 3 = log5 4x – log5 3 = 
= log5 
4x __ 
3
 
mudança de base
Em muitas, situações encontramos logaritmos 
escritos em uma certa base, mas queremos esse mesmo 
logaritmo escrito em outra base, como, por exemplo, na 
equação logarítmica a seguir:
log2(x + 4) = log4(25)
Na resolução desta equação, se o logaritmo do 
membro da direita possuísse base 2 poderíamos encon-
trar o conjunto solução facilmente. Para realizar esta 
transformação podemos realizar uma mudança de base.
Fórmula para mudança de 
base de um logaritmo
Suponha que queremos encontrar o valor de lo-
gab, sabendo o valor de logcb e logca, sendo 
Se a > 0, a Þ 1, b > 0, c > 0 e c Þ 1. Faremos, então:
loga b = x
logc b = y
Pela definição de logaritmos, temos:
loga b = x ⇒ a
x = b
logc b = y ⇒ c
y = b
Igualando as duas primeiras expressões, temos:
ax = cy
Aplicando o logaritmo na base c em ambos os 
membros da equação, temos:
logc a
x = logc c
y ⇒ x · logc a = y · logc c
Como y = logcb e logcc = 1 segue que:
x · logc a = logc b · 1 ⇒ x = loga b = 
logc b _____ 
logc a
 
Portanto, concluímos que:
Se a > 0, a Þ 1, b > 0, c > 0 e c Þ 1:
loga b = 
 logc b _____ 
logc a
 
Exemplos:
1. log75 = 
log25 _____ 
log27
 (na base 2)
2. log75 = 
log 5
 ____ 
log 7
 (na base 10)
3. log525 = 2 ⇔ log25 5 = 
1 __ 
2
 
4. logba = 
3 __ 
4
 ⇔ loga b = 
4 __ 
3
 
Se você possuir uma calculadora que calcula 
apenas logaritmos decimais, ou seja, em base 
10. Como devemos fazer para calcular log2 5?
Pela fórmula de mudança de base, temos que
log25 = 
log10 5 ___________ 
log10 2
 ≅ 0,7 ___ 
0,3
 =2,3.
28
Consequências da fórmula 
de mudança de base
Nessa propriedade de mudança de base, fazen-
do c = b, temos um caso importante:
loga b = 
logb b _____ 
logb a
 = 1 _____ 
logb a
 
Então, podemos escrever que, quando existirem 
os logaritmos envolvidos:
loga b = 
1 _____ 
logb a
 ou logb a · loga b =1
Ou seja, quando existirem, logb a é inverso de 
loga b.
Outra consequência envolve potências da base 
do logaritmo. Considere o seguinte logaritmo:
logam (b)
A base apresenta um expoente m. Aplicando a 
fórmula de mudança de base para a base a, temos:
logam (b) = 
loga (b) _______ 
loga (a
m)
 
Veja que loga (a
m) = m · loga (a) = m, portanto:
logam (b) = 
loga (b) ______ m = 
1 __ m loga (b)
Portanto, quando a base de um logaritmo apre-
sentar um expoente, podemos transpor o inverso deste 
expoente multiplicando o logaritmo.
Propriedades operatórias 
dos logaritmos
loga (b · c) = loga b + loga c
loga 
b __ c = loga b – loga c
loga 
1 __ 
b
 = – loga b
loga b
m = m · loga b
loga 
m
 √
__
 b = 1 __ m · loga b
loga b = 
logc b _____ 
logc a
 
loga b = 
1 _____ 
logb a
 ou logab ∙ logba = 1
logam (b) = 
1 __ m loga (b).
Exemplos de aplicação da 
fórmula de mudança de base
1. Escreva log2 8 usando logaritmos na base 10.
loga b = 
logc b _____ 
logc a
 ⇒ log2 8 = 
log10 8 _____ 
log10 2
 
2. Calcule o valor da expressão log3 5 · log25 81.
log3 5 · log25 81 = log3 5 · 
log3 81 ______ 
log3 25
 = log3 5 · 
log3 3
4
 _____ 
log3 5
2 = 
= log3 5 · 
4 _______ 
2 · log3 5
 = 4 __ 
2
 = 2
cOlOgaritmO
Denomina-se cologaritmo de um número 
 N (N > 0) numa base a (a > 0 e a Þ 1) o oposto do 
logaritmo do número N na base a ou o logaritmo do 
inverso de N na base a.
cologa N = – loga N ou cologa N = loga 
 1 __ 
N
 
aPlicaçãO dOs lOgaritmOs 
na resOluçãOde equações 
exPOnenciais e de PrOblemas
Exemplos:
1. Resolva a equação 3x = 5.
Dados: log 3 ≅ 0,47712 e log 5 ≅ 0,69897
3x = 5 ⇒ log 3x = log 5 ⇒ x · log 3 = log 5 ⇒ 
⇒ x = 
log 5
 ____ 
log 3
 ⇒ x > 0,69897 _______ 
0,47712
 > 1,46
S = {1,46}.
Dados log 2 = 0,30; log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70, 
resolva a equação 52x – 7 . 5x + 12 = 0.
52x – 7 · 5x + 12 = 0 ⇒ (5x)2 – 7(5x) + 12 = 0
29
Fazendo 5x = y, temos:
y2 – 7y + 12 = 0
D = (–7)2 – 4(1) (12) = 1
y9 = 4 e y0 = 3
Daí:
5x = 4 ⇒ log 5x = log 4 ⇒ log 5x = log 22 ⇒
⇒ x · log 5 = 2 · log 2 ⇒
⇒ x = 
2 · log 2
 _______ 
log5
 = 0,60 ____ 
0,70
 > 0,86
5x = 3 ⇒ log 5x = log 3 ⇒ x · log 5 = log 3 ⇒
⇒ x = log 3/log 5 = 0,48 ____ 
0,70
 > 0,69
S = {0,69; 0,86}.
2. Resolva a equação ex – 27 = 0,
dados log e = 0,43 e log 3 = 0,48.
ex – 27 = 0 ⇒ ex = 27 ⇒ log ex = log 27 ⇒
⇒ log ex = log 33 ⇒ x · log e = 3 · log 3 ⇒
⇒ x = 
3 · log 3
 _______ 
log e
 = 3 · 0,48 ______ 
0,43
 = 3,34
S = {3,34}.
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Sites
ACESSAR
Vídeo
Introdução aos logaritmos
pt.khanacademy.org/math/algebra2/exponential-and-logarithmic-functions/introduction-to-
logarithms/v/logarithms
Logaritmos
Fonte: Youtube
30
31
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Sites
ACESSAR
Vídeo
APLICAÇÃO NO COTIDIANO
Alguns medicamentos têm comportamento exponencial ao serem eliminados pelo corpo humano. O uso de 
logaritmos permite quantificar o tempo de eliminação pelo organismo:
1. (Acafe 2017) Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, ao passar 
pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada. A quantidade de medicamentos, em miligramas, presente 
no organismo de um paciente é calculada pela função Q(t) = 30 ∙ 21 – 
t ___ 10 onde t é o tempo dado em horas.
O tempo necessário para que a quantidade de medicamento em um paciente se reduza a 40% da quanti-
dade inicial, é:
Dado: log 2 = 0,3
a) 13 horas e 33 minutos. 
b) 6 horas e 06 minutos. 
c) 13 horas e 20 minutos. 
d) 6 horas e 40 minutos. 
Resolução:
Mas, t = 0 ⇒ Q(t) 100% ⇒ Q(0) = 30 ∙ 2
1 – 
0
 ___ 10 
Para: 40% ∙ 60 = 0,4 ∙ 60 = 24
24 = 30 ∙ 21 – 
t
 ___ 10 ⇒
0,8 = 2 ⇒ log2 0,8 = log2 2
log2 0,8 = 
 log100,8 _______ 
log102
 = 
log108 – log1010____________ 
log102
 = 
log102
3 – log1010 ____________ 
log102
 = 
3 ∙ log102 – 1 __________ 
log102
 = 3 ∙ 0,3 – 1 ________ 
0,3
 = – 0,1 ____ 
0,3 
 = – 1 __ 
3
 
Assim,
- 1 __ 
3
 = 1 – t ___ 
10
 ⇒ –10 = 30 – 3t ⇒ 3t = 40 ⇒ t = 40 ___ 
3
 horas = 800min = 13h20min
Alternativa C
1 – t ___ 10 1 – 
t
 ___ 10 
INTERDISCIPLINARIDADE
Quando há um problema com uma incógnita no expoente, utilizamos-nos da ferramenta dos logaritmos 
para chegarmos a uma solução. É frequente o uso de escalas logarítmicas, tais como nos problemas da física de 
acústica que se utilizam da medida bel ou decibel (unidade que está em escala logarítmica), seja em problemas 
da geografia na medição da magnitude de um sismo. A famosa escala Richter também está em escala logarítmica. 
As questões de química, na medição de pH e de pOH, já que ambas as medidas também estão em escala cologa-
rítmica.
32
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Habilidade 21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a Habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resol-
ver uma situação proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
mOdelO
(Enem) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor 
de R$ 5.000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse 
valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) 
segundo a fórmula:
P = 5000 ∙ 1,013
n ∙ 0,013
 ____________________ 
(1,013n – 1)
 
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para 
log 400; 2,525 como aproximação para log 335.
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas, cujos valores não comprometem o 
limite definido pela pessoa, é:
a) 12.
b) 14.
c) 15.
d) 16.
e) 17.
33
análise exPOsitiva
Habilidade 21
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema e utilizar seus conheci-
mentos sobre as propriedades de logaritmicas para a sua resolução.
Cálculo:
Pmáx = 400
400 = 5000∙1,013
n∙0,013 ___________________ 
(1,013n – 1)
 ⇒ 400(1,013n –1) = 65∙1,013n⇒ 400∙1,013n – 400 = 65∙1,013n
335∙1,013n = 400 ⇒ 1,013n = 400 ____ 335 ⇒log 1,013
n = log ( 400 ____ 335 ) ⇒ n∙log 1,013 = log 400 – log 335
n∙ 0,005 = 2,602 – 2,525 ⇒ n = 15,4 ⇒ 16 parcelas
Alternativa D
estrutura cOnceitual
PROPRIEDADES
LOGARITMOS
loga b = x ax = b
loga (b ⋅ c) = loga b + logac
loga bn = n ⋅ loga b
CONSEQUÊNCIAS
DA DEFINIÇÃO
logb 1 = 0
b0 = 1
b = mlogbm
logb b = 1
b1 = b 
loga b = 
logc b
logc a
logam b = loga bm
1
mudança de base
loga (b c) = loga b – logac..
Ap
he
lle
on
/S
hu
tte
rst
oc
k
23 24
M
MATEMÁTICA
T
Equações, inequações 
e sistemas de equações 
logarítmicas
Competências
5 e 6
Habilidades
19, 21, 22, 23 
e 25
©
 
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
37
EquaçõEs logarítmicas
Vamos agora estudar as equações logarítmicas, ou seja, aquelas nas quais a incógnita está envolvida no 
logaritmando ou na base do logaritmo.
De forma geral, a maioria das equações logarítmicas podem ser reduzidas a uma das duas formas a seguir:
a) Igualdade entre um logaritmo e um número real
loga(x) = b
Utilizamos então a definição do logaritmo:
loga(x) = b
Então ab = x
Exemplo:
1. Resolver a equação log2(x – 2) = 3
Condição de existência:
x – 2 > 0
x > 2
Como loga b = c ⇒ a
c = b:
log2 (x – 2) = 3 ⇒ 2
3 = x – 2 ⇒ 8 = x – 2 ⇒ x = 10
Como 10 > 2, então o conjunto solução é S = {10}.
b) Igualdade entre logaritmos de mesma base:
loga(x) = loga(y)
Como a função logarítmica é injetiva, podemos dizer que para dois números reais quaisquer x1 e x2 temos 
que log(x1) Þ log(x2). Logo, se loga (x) = loga (y) implica que x = y:
loga (x) = loga (y) ⇒ x = y
Lembre que isto é válido somente se as bases forem as mesmas. Se isso não ocorrer, podemos aplicar a 
fórmula de mudança de base.
Exemplo:
1. Resolver a equação log2(9 – x) – log2(2x) = 0:
Condição de existência:
9 – x > 0
2x > 0 ⇒x < 9
x > 0
Portanto, 0 < x < 9.
Transpondo o termo log2(2x) para o outro membro da equação temos:
log2(9 – x) = log2(2x)
38
Como a função logarítmica é injetiva, podemos 
escrever então:
log2 (9 – x) = log2 (2x) ⇒ 9 – x = 2x
9 = 2x + x
9 = 3x
x = 3
Como x = 3 satisfaz a condição de existência, o 
conjunto solução é S = {3}.
Exemplos de equações logarítmicas
Os exemplos seguintes mostram como aplicamos 
as propriedades estudadas para resolver equações loga-
rítmicas. Vamos ver a resolução de algumas equações:
1. log2 (x – 3) + log2 x = 2
condição de existência: x – 3 > 0 e x > 0 ⇒
⇒ x > 3 e x > 0 ⇒ x > 3.
há dois modos diferentes de resolução:
I. log2 (x – 3) + log2 x = 2 ⇒
⇒ log2 [(x – 3)x] = 2
Usando a definição de logaritmo:
(x – 3)x = 22 ⇒ x2 – 3x – 4 = 0
x’ = 4 e x’’ = –1
ou
II. log2 (x – 3) + log2 x = log2 22 ⇒ 
⇒ log2 [(x – 3)x] = log2 4
Usando o fato de que a função logarítmica 
é injetiva:
(x – 3)x = 4 ⇒ x2 – 3x – 4 = 0
D = 25
x' = 4 e x’’ = –1
Verificação: como a condição de existência é 
x > 3, então 4 [ S e – 1 Ó S.
S = {4}.
2. log3 (x
2 – 3x – 1) = 1 + log3 (x – 2)
Condição de existência: x2 – 3x – 1 > 0 e
x – 2 > 0
log3 (x
2 – 3x – 1) = 1 + log3 (x – 2) ⇒
⇒ log3 (x
2 – 3x – 1) = log3 3 + log3 (x – 2) ⇒
⇒ log3 (x
2 – 3x – 1) = log3 [3(x – 2)] ⇒
⇒ x2 – 3x – 1 = 3x – 6 ⇒ x2 – 6x + 5 = 0
D = 16
x' = 5 e x’’ = 1
Verificação: 
x = 5 
x = 1 
Portanto, 5 [ S e 1 Ó S.
S = {5}.
3. log10 [1 + 2 log10 (x – 1)] = 0
Condição de existência: x – 1 > 0 e
1 + 2 . log10 (x – 1) > 0
log10 [1 + 2 · log10 (x – 1)] = 0 ⇒
⇒ 100 = 1 + 2 · log10 (x – 1) ⇒
⇒ 1 = 1 + 2 · log10 (x – 1) ⇒
⇒ 2 · log10 (x – 1) = 0 ⇒ log10 (x – 1) = 0 ⇒
⇒ 100 = x – 1 ⇒ 1 = x – 1 ⇒ x = 2
Verificação: 
x = 2 
Logo, 2 [ S.
S = {2}.
4. logx – 1 4 = 2
Condição de existência: x – 1 > 0 e x – 1 Þ 1 ⇒
⇒ x > 1 e x Þ 2
logx – 1 4 = 2 ⇒ (x – 1)
2 = 4 ⇒
⇒ x2 – 2x + 1 = 4 ⇒ x2 – 2x – 3 = 0
D = 16
x' = 3 e x’’ = –1
Verificação: x = 3: 3 > 1 e 3 Þ 2. Logo, 3 [ S.
x = –1: –1 < 1. Então, –1 Ó S.
S = {3}.
5. log2 (log3 x) = 2
Condição de existência: x > 0 e log3 x > 0
log2 (log3 x) = 2 ⇒ 2
2 = log3 x ⇒ log3 x = 4 ⇒
⇒ 34 = x ⇒ x = 81
Verificação: 81 > 0 e log3 81 = 4 > 0.
Então, 81 [ S.
S = {81}.
x2 – 3x – 1 = 25 – 15 – 1 = 9 > 0
x – 2 = 5 – 2 = 3 > 0
x2 – 3x – 1 = 1 – 3 – 1 = –3 < 0
x – 2 = 1 – 2 = –1 < 0
x – 1 = 2 – 1 = 1 > 0
1 + 2 · log10 (x – 1) = 1 + 2 · 0 = 1 > 0
39
6. log210 x – 3 · log10 x + 2 = 0
Condição de existência: x > 0
A equação pode ser escrita na forma:
(log10 x)
2 – 3 · log10 x + 2 = 0
Fazendo log10 x = y, temos:
y2 – 3y + 2 = 0
D = 1
y' = 2 e y’’ = 1
Como log10 x = y, então:
log10 x = 2 ⇒ 10
2 = x ⇒ x = 100
log10 x = 1 ⇒ 10
1 = x ⇒ x = 10
Verificação: 100 > 0 e 10 > 0. Logo, 100 [ S e 
10 [ S.
S = {10, 100}.
7. 2 · log10 x = log10 4 + log10 3x
Condição de existência: x > 0 e 3x > 0 ⇒ x > 0
2 · log10 x = log10 4 + log10 3x ⇒
⇒ log10 x
2 = log10 (4 · 3x) ⇒ x
2 = 12x ⇒
⇒ x2 – 12x = 0 ⇒ x(x – 12) = 0
x' = 0 e x’’ = 12
Verificação: como devemos ter x > 0, então 0 Ó 
S e 12 [ S.
S = {12}.
8. log9 x + log27 x – log3 x = –1
Condição de existência: x > 0
Log9 x + log27 x – log3 x = – 1
Vamos escrever os logaritmos na base 3:
 
log3 x _____ 
log3 9
 + 
log3 x ______ 
log3 27
 – log3 x = –1
Como log3 9 = 2 e log3 27 = 3, temos:
 
log3 x _____ 
2
 + 
log3 x _____ 
3
 – log3 = – 1 
⇒ 
3 · log3 x + 2 log3 x – 6 · log3 x _______________________ 
6
 = –6 ___ 
6
 ⇒
⇒ 3 · log3 x + 2 · log3 x – 6 · log3 x = –6 ⇒
⇒ –log3 x = –6 ⇒ log3 x = 6 ⇒ 3
6 = x ⇒
⇒ x = 729
Verificação: 729 > 0 ⇒ 729 [ S
S = {729}.
9. log2 (x + 7) – log2 (x – 11) = 2
Condição de existência:
x + 7 > 0 e x > -7 e
x – 11 > 0 ⇒ x > 11
log2 (x + 7) – log2 (x – 11) = 2 ⇒
⇒ log2 ( x + 7 _____ x – 11 ) = 2 ⇒ 22 = x + 7 _____ x –11 ⇒
⇒ 4 = x + 7 ________ 
x – 11
 ⇒ 4x – 44 = x + 7 ⇒
⇒ 4x – x = 7 + 44 ⇒ 3x = 51 ⇒ x = 17
Verificação: como 17 > 11, então 17 [ S.
S = {17}.
sistEmas dE EquaçõEs logarítmicas
São sistemas de equações que são resolvidos 
aplicando-se as propriedades operatórias dos logarit-
mos.
Exemplo:
1. Resolva o sistema 
log10 x – log10 y = log10 2
4x – y = 16
.
 § Condições de existência: x > 0 e y > 0
 § Preparação do sistema:
log10 x – log10 y = log10 2 ⇒ 
log10 ( x _ y ) = log10 2 ⇒
⇒ x _ y = 2 ⇒ x = 2y
4x – y = 16 ⇒ 4x – y = 42 ⇒ x – y = 2
 § Resolvendo o sistema:
x = 2y
x – y = 2
 ⇒ 2y – y = 2 ⇒ y = 2
x = 2y ⇒ x = 2(2) ⇒ x = 4
 § Verificação: x = 4 > 0 e y = 2 > 0
S = {(4, 2)}.
40
inEquaçõEs logarítmicas
As inequações a seguir:
 § log2x ≥ log4(x – 1)
2
 § ln (x2 – x) ≤ e2
 § log2(x) – 5 log(x) + 6> 0
são exemplos de inequações logarítmicas. 
Vamos estudar três casos de inequações logarítmicas.
1º caso: inequações redutíveis a 
uma desigualdade 
de logaritmos de mesma base
Exemplo: logc a> logc b
Para resolver esta inequação devemos, nos lem-
brar como se comporta uma função logarítmica de acor-
do com sua base. Considere uma função logarítmica 
f(x) = logc (x), onde x> 0, c > 0 e c ≠ 1.
Se a base c for maior que 1, a função logarít-
mica é crescente. Considerando dois valores a e b posi-
tivos em que b > a, temos:
logcb > logca ⇒ b > a
Como a função logarítmica f(x) = logc(x) é inje-
tora, podemos afirmar que, se logcb > logca, necessaria-
mente temos que b > a, ou seja, o sinal de desigual-
dade se mantém.
Agora, se a base c for menor que 1, a função 
logarítmica é decrescente. Novamente, considerando 
dois valores a e b positivos, onde b > a, temos:
logcb < logca ⇒ b > a
Neste caso, podemos concluir através do gráfico 
da função logarítmica que, se logcb < logca, necessaria-
mente temos que b > a, ou seja, o sinal de desigual-
dade inverte.
Resumindo, temos:
Se c > 1: logcb > logca ⇒ b > a (o sinal se man-
tém)
Se 0 < c < 1: logcb > logca ⇒ b < a (o sinal 
inverte)
Teoria na prática
1. Encontre o conjunto solução das seguintes ine-
quações logarítmicas:
loga (x – 1) ≤ loga (3 – x) com a > 1
 § Inicialmente, devemos sempre considerar a con-
dição de existência dos logaritmos, na qual o 
logaritmando deve ser positivo:
x – 1 > 0 ⇒ x > 1 e 3 – x > 0 ⇒ x < 3
Portanto, a condição de existência é 1 < x < 3 (I).
 § Agora, como a base é maior que 1, temos:
loga (x – 1) ≤ loga(3 – x) ⇒ x – 1 ≤ 3 – x
2x ≤ 4
x ≤ 2 (II)
A solução deve estar contida no intervalo 
1 < x < 3; portanto:
41
Portanto, o conjunto solução S do problema é:
S = {x ∈  | 1 < x ≤ 2}
log 1 __ 2 (3x – 12) > log 
1 __ 2 (9)
 § Primeiramente, calculamos a condição de exis-
tência do logaritmo:
3x – 12 > 0 ⇒ 3x > 12 ⇒ x > 4 (I)
 § Agora, como a base é 1 __ 
2
 , o sentido da desigual-
dade inverte:
log 1 __ 2 (3x – 12) > log 
1 __ 2 (9) ⇒ 3x – 12 < 9
3x < 21
x < 7 (II)
Realizando a intersecção dos intervalos (I) e (II), 
encontramos o conjunto solução:
S = {x ∈  | 4 < x < 7}
2º caso: inequações redutíveis 
a uma desigualdade entre um 
logaritmo e um número real
Exemplo: logca ≤ k
Para resolver este tipo de inequação logarítmica, 
simplesmente a transformamos em uma inequação do 
1º caso. Para isso, utilizamos uma propriedade dos lo-
garitmos:
k = logb(b
k), para k ∈ R, b ∈ R, b > 0 e b ≠ 1
Podemos provar que esta propriedade é válida, 
através da propriedade dos logaritmos de potências:
logb(b
k) = k logb (b) = k ⋅ 1 = k
Após reescrevermos a inequação, resolvemos da 
mesma maneira demonstrada anteriormente.
Teoria na prática
1. Resolva a inequação log2(15 – x) ≤ 3.
 § Como sempre, calculamos em primeiro lugar 
a condição de existência:
15 – x > 0 ⇒ x < 15 (I)
 § Agora, reescrevemos o segundo membro da 
inequação como um logaritmo e resolvemos 
a inequação:
3 = log2(2
3) = log28
log2(15 – x) ≤ log28
15 – x ≤ 8
 § x ≥ 7 (como a base é maior que 1, o sentido 
da desigualdade se mantém) (II)
Finalmente, calculamos a intersecção dos in-
tervalos (I) e (II) para encontrar o conjunto 
solução:
S = {x ∈  |7 ≤ x < 15}
2. Resolva a inequação log1 __ 3 (4 – x
2) ≥ –1.
 § Impondo a condição de existência, temos:
4 – x2 > 0 ⇒ –2 < x < 2 (I)
 § Reescrevendo o segundo membro da ine-
quação como um logaritmo e substituindo 
na inequação:
– 1 = log 1 __ 3 [ ( 1 __ 3 ) –1 ] = log 1 __ 3 3
log 1 __ 3 (4 – x
2) ≥ log 1 __ 3 3
4 – x2 ≤ 3 (como a base é um número entre 
0 e 1, o sentido da desigualdade inverte).
1 ≤ x2 
x2 – 1 $ 0
Resolvendo a inequação do segundo grau, 
temos: x ≤ – 1 ou x > 1 (II).
Portanto, o conjunto solução é a intersecção 
dos intervalos (I) e (II):
S = {x ∈  | –2 < x ≤ –1 ou 1 ≤ x < 2}
3. Qual o intervalo de x, no qual a função f(x) = ln 
(2x – 5) é negativa?
 § Calculando a condição de existência:
2x – 5 > 0 ⇒ x > 5 __ 
2
 (I)
42
 § Para a função ser negativa, temos que 
f(x) < 0, portanto:
ln(2x – 5) < 0
ln(2x – 5) < ln(e)0 ⇒ ln(2x – 5) < ln1
Como o número e, base do logaritmo natu-
ral, é um número irracional maior que 1, 
temos:
ln(2x – 5) < ln1 ⇒ 2x – 5 < 1
x < 3 (II).
Finalmente, podemos calcular o conjunto so-
lução S:
S = {x ∈  | 5/2 < x < 3}
3º caso: inequações que 
utilizam substituição por 
uma incógnita auxiliar
Algumas inequações exigem uma substituição 
de variável, de modo a facilitar sua manipulação algé-
brica. Igualmente ao segundo caso, a ideia é reduzir a 
inequação a uma inequação do 1º caso. Veja, a seguir, 
um exemplo deste tipo de inequação:
Teoria na prática
1. Encontre o conjunto solução da inequação 
log 2 2 (x – 1) – log2 (x – 1) – 6 ≤ 0.
 § Calculando a condição de existência:
x – 1 > 0 ⇒ x > 1 (I)
 § Vamos, agora, fazer a seguinte substituição 
de incógnita:
log2(x – 1) = k
Desta forma, temos a seguinte inequação do 
segundo grau: k2 – k – 6 ≤ 0.
 § Resolvendo a inequação em k:
k2 – k – 6 ≤ 0
Raízes: k1 = –2 e k2 = 3.
Concavidade.
Portanto, temos que a solução em k da ine-
quação é –2 ≤ k ≤ 3.
 § Retornando à variável original, onde k = log2 
(x – 1), temos:
–2 ≤ log2(x – 1) ≤ 3
Também podemos escrever como:
log2 (x – 1) ≥ –2
log2 (x – 1) ≤ 3
Resolvendo cada inequação, temos:
log2(x – 1) ≥ log2(2
–2) ⇒ x – 1 ≥ 2–2 ⇒ x ≥ 5 __ 
4
 
log2 (x – 1) ≤ log2 2
3 ⇒ x – 1 ≤ 23 ⇒ x ≤ 9
Portanto, 5 __ 
4
 ≤ x ≤ 9 (II).
Realizando a intersecção dos intervalos (I) e 
(II), encontramos o conjunto solução S:
S = {x ∈  | 5/4 ≤ x ≤ 9}
44
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Habilidade 25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
A Habilidade 25 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação proposta a partir da aná-
lise de gráficos e tabelas.
modElo
(Enem) Um engenheiro projetou um automóvel, cujos vidros das portas dianteiras foram desenha-
dos de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log(x), 
conforme a figura.
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e 
a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou 
uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é:
a) log ( n – √_____ n2 + 4 __________ 2 ) – log ( n – √
_____
 n2 + 4 __________ 2 ) .
b) log ( 1 + n __ 2 ) – log ( 1 – n __ 2 ) .
c) log ( 1 + n __ 2 ) + log ( 1 – n __ 2 ) .
d) log ( n – √_____ n2 + 4 __________ 2 ) .
e) 2 log ( n – √_____ n2 + 4 __________ 2 ) .
45
análisE Expositiva
Habilidade 25 
A questão exige que o aluno seja capaz de interpretar os dados fornecidos pelo gráfico para 
a sua resolução.
Montando o sistema:
log (k + n) = h __ 2 
2 log (k + n) = h
log k = - h __ 2 
–2 log k = h
Temos que:
log (k + n) = –log k
log (k + n) + log k = 0
log (k² + kn) = 0
k² + kn = 1
k² + kn – 1 = 0
Resolvendo essa equação do 2º grau, vimos que k = 
[–n + √
_______
 (n² + 4n) ]
 _______________ 2 ; assim, log (k + n).
Alternativa E
46
Estrutura concEitual
LOGARITMOS
SISTEMAS INEQUAÇÕES
SÃO 
RESOLVIDOS
APLICANDO AS 
PROPRIEDADES
OPERATÓRIAS
EQUAÇÕES
LOGARITMO E
NÚMERO REAL
LOGARITMOS DE
MESMA BASE
IGUALDADE
loga (x) = b loga (x) = loga (y)
x = y
Se c > 1 b > a 
(sinal inverte)
(sinal mantém)
Se 0 < c < 1 b < a 
TRANSFORMAR NO 1º CASO,
UTILIZANDO A SEGUINTE 
PROPRIEDADE
logc b > logc a
1º CASO 
DESIGUALDADE 
DE MESMA BASE 
2º CASO
DESIGUALDADE ENTRE 
UM LOGARITMO E UM 
NÚMERO 
3º CASO
SUBSTITUIÇÃO POR UMA 
INCÓGNITA AUXILIAR 
logc a ≤ k
K = logb (bk)
25 26
M
MATEMÁTICA
T
Funções logarítmicas 
Competências
1, 5 e 6
Habilidades
3, 4, 5, 19, 20, 
21, 22, 23, 24, 
25 e 26
©
 
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretarinformações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
49
Função logarítmica
Para todo número real positivo a Þ 1, a função exponencial f: R → R+*, f(x) = ax, é uma correspondência 
biunívoca entre R e R+*. Ela é crescente se a > 1, decrescente se 0 < a < 1 e tem a seguinte propriedade:
f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2), ou seja a
x1 + x2 = ax1 · a x2
Essas considerações garantem que f possui uma função inversa.
Observações
Dizer que f(x) é uma correspondência biunívoca é o mesmo que dizer que f é uma função bijetiva.
DeFinição Da Função logarítmica
A inversa da função exponencial de base a é a função f: R+* → R, que associa a cada número real positivo 
x o número real loga x, chamado logaritmo de x na base a, com a > 0 e a Þ 1.
Observe que f: R → R+*, dada por f(x) = ax, tem a propriedade f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2), ou seja, a
x1 + x2 = 
= ax1 · a x2. A sua inversa g: R+* → R, dada por g(x) = logax, tem a propriedade g(x1 · x2) = g(x1) + g(x2), ou seja, 
loga (x1 · x2) = loga x1 + loga x2.
Domínio da função logarítmica: R+*
Imagem da função logarítmica: R
Lembrando que se f –1(x) é função inversa de f(x) temos que f[f–1(x)] = x, como a função logarítmica é a 
inversa da função exponencial, temos:
aloga x = x e loga (a
x) = x para todo x [ R
Assim, loga x é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, 
y = loga x ⇔ a
y = x, como já vimos.
As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base a é maior do que 1. Particularmente, as de base 
10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritmos binários) e as base e (logaritmos naturais).
São exemplos de função logarítmica as funções de R+* em R definidas por:
 § f(x) = log2 x
 § g(x) = log10 x = log x
 § h(x) = loge x = ln x
 § i(x) = log x
50
gráFico Da Função logarítmica
Observe os seguintes gráficos de função loga-
rítmica:
f(x) = log2 x
x 1 __ 4 
1 __ 
2
 1 2 4
y = f(x) –2 –1 0 1 2
f(x) = log x
x 1 __ 4 
1 __ 
2
 1 2 4
y = f(x) 2 1 0 –1 –2
Veja a seguir o gráfico da função exponencial 
g(x) = 10x e da função logarítmica f(x) = log(x). Veja a 
simetria em relação à reta h(x) = x, pois f(x) e g(x) são 
funções inversas:
Como consequência da definição de função lo-
garítmica e da análise dos gráficos, podemos concluir 
que:
 § O gráfico da função logarítmica passa pelo pon-
to (1,0), ou seja, f(1) = 0, ou, ainda, loga 1 = 0;
 § O gráfico nunca toca o eixo y nem ocupa pontos 
dos quadrantes II e III, pois seu domínio é R+*;
 § Quando a > 1, a função logarítmica é crescente 
(x1 > x2 ⇔ loga x1 > loga x2);
 § Somente números positivos possuem logaritmo 
real, pois a função x → ax assume somente va-
lores positivos;
 § Se a > 1, os números maiores do que 1 têm 
logaritmo positivo e os números compreendidos 
entre 0 e 1 têm logaritmo negativo;
 § Se 0 < a < 1, os números maiores do que 1 têm 
logaritmo negativo e os números compreendidos 
entre 0 e 1 têm logaritmo positivo;
 § A função logarítmica é ilimitada, superior e 
inferiormente. No caso de a > 1 ser ilimitada 
superiormente significa que se pode dar a 
loga x um valor tão grande quanto se queira, 
desde que tomemos x suficientemente grande;
 § Ao contrário da função exponencial f(x) = ax com a 
> 1, que cresce rapidamente, a função logarítmica 
loga x com a > 1 cresce muito lentamente. Veja, 
por exemplo, que se log10 x = 1000, então 
x = 101000. Assim, se quisermos que log10 x seja 
maior do que 1000, será preciso tomar um nú-
mero x que tenha pelo menos 1001 algarismos;
51
 § A função logarítmica é injetiva, pois números 
positivos diferentes têm logaritmos diferentes. 
Ela é também sobrejetiva, pois, dado qualquer 
número real b, existe sempre um único número 
real positivo x tal que loga x = b. Portanto, ela 
é bijetiva (há uma correspondência biunívoca 
entre R+* e R).
Exemplos:
1. Encontre o domínio da função 
f(x)=logx − 2(3x − 12)
Pelas condições de existência dos logaritmos, 
temos:
Logaritmando: 3x − 12 > 0
 x > 4 (I)
Base: x − 2 > 0
 x > 2 (II)
Fazendo a intersecção de (I) e (II):
(I) ∩ (II): x > 4
Logo o domínio de f(x) é : {x∈R | x>4}
2. Dada f(x) = 2 log(500x) e g(x) =
= log(x ∙ 5 __ 
6
 ) calcule fog(120).
Calculando g(120): 
g(120) = log(120 ∙ 5 __ 
6
 )=log(100) = 2
Logo:
fog(120) = f(g(120)) = f(2) = 2 log(500 ∙ 2) =
= 2 log(1000)=2 ∙ 3 = 6
52
estrutura conceitual
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
FUNÇÃO INVERSA
DA FUNÇÃO 
EXPONENCIAL 
GRÁFICO
a > 1
f(x) = loga x
0 < a < 1
f(x) = loga x
y
x
y
x
NUNCA TOCA
O EIXO Y
f(x) = y = loga x
ay = x
f : R R*+
FUVEST
Quando o tema é trigonometria, a Fuvest espera o domínio completo das fórmulas e relações 
trigonométricas do vestibulando, tanto em aplicações de geometria plana, quanto em exercícios 
de questões trigonométricas.
UNESP
A banca da Vunesp, além de cobrar as tradicionais aplicações da trigonometria (geometria plana 
e funções trigonométricas), exige do candidato o entendimento de funções periódicas, seja em 
questões com gráfico ou de interpretação de texto.
UNICAMP
Com questões que demandam um alto nível de abstração e entendimento de texto, a Unicamp é 
exigente ao cobrar trigonometria em questões de geometria plana e de funções trigonométricas.
UNIFESP
As questões dissertativas de trigonometria da Unifesp, em sua maioria, estão ligadas com outras 
partes da matemática, como geometria espacial, plana, progressões e matrizes, além de ques-
tões interdisciplinares, relacionadas à Química e Física.
ENEM/UFMG/UFRJ
Com pouca abordagem no Enem, a trigonometria, na maioria dos exercícios, é utilizada apenas 
como ferramenta para resolução de exercícios de geometria plana.
UERJ
Trigonometria, na UERJ, é abordada com auxílio de figuras da geometria plana no exame de 
qualificação. Questões dissertativas da UERJ são focadas no domínio das fórmulas e nas resolu-
ções de equações.
FA
CU
LD
ADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de TRIGONOMETRIA nos principais vestibulares.
©
 Ap
he
lle
on
/S
hu
tte
rst
oc
k
19 20
M
MATEMÁTICA
T
Conceitos trigonométricos
Competências
2 e 3
Habilidades
6, 7, 8, 9 e 14
©
 Ap
he
lle
on
/S
hu
tte
rst
oc
k
19 20
M
MATEMÁTICA
T
Conceitos trigonométricos
Competências
2 e 3
Habilidades
6, 7, 8, 9 e 14
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificarrelações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
57
Arcos e ângulos
Vamos recordar alguns conceitos já conhecidos da geometria plana:
 § Arco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos, incluindo-os. Se os dois 
pontos coincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma volta.
 § Arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem um ângulo central que o subtende.
Arco: 
 
»
 
 CD Arco: 
 
»
 
 AB 
Ângulo central: C 
 ̂ 
 O D Ângulo central: A 
 ̂ 
 O B
 § Comprimento da circunferência de raio r: C = 2pr.
 § Comprimento de medida de arco: a medida de um arco é a medida do ângulo central que o subtende, inde-
pendentemente do raio da circunferência que contém o arco. Usam-se, geralmente, unidades como o grau 
e o radiano para medir arcos. O comprimento do arco é a medida linear do arco, sendo usadas unidades 
como “metro”, centímetro” etc.
 § Relação entre o comprimento ℓ e a medida a (em graus) do arco:
ℓ = a ___ 
360
 ·2pr, pois 2pr ___ 
360
 = ℓ __ a 
unidAdes pArA medir Arcos de circunferênciA (ou ângulos)
As unidades mais usadas para medir arcos de circunferência (ou ângulos) são o grau e o radiano.
 § Grau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes é um arco 
de um grau (1º).
58
Considere o arco 
 
»
 
 AB , que vai de A para B no sentido anti-horário:
Arco 
 
»
 
 AB de 90º Arco 
 
»
 
 AB de 180º
 (um quarto de volta) (meia volta)
Arco 
 
»
 
 AB de 270º Arco 
 
»
 
 AB de 360º
 (três quartos de volta) (uma volta ou nulo)
 § Radiano: um arco de radiano (1 rad) é um arco, cujo comprimento retificado é igual ao raio da circunferên-
cia. Isso deve ser interpretado da seguinte forma: se temos um ângulo central de medida 1 radiano, então 
ele subtende um arco de medida 1 radiano (lembre que a medida do arco é igual à medida do ângulo) e 
comprimento de 1 raio. Se temos um ângulo central de medida 2 radianos, então ele subtende um arco de 
medida 2 radianos e comprimento de 2 raios.
Se temos um ângulo central de medida x radianos, então ele subtende um arco de medida x radianos e 
comprimento de x raios. Assim, ø = xr, se a medida x do arco for dada em radianos.
Comprimento do arco 
 
»
 
 AB = comprimento de 
 
»
 
 OA (r) ou m ( 
 
»
 
 AB ) = 1 rad 
Relação entre as unidades para medir arcos
Como cada arco de comprimento ø = r tem medida de 1 rad, podemos afirmar que o arco correspondente 
à circunferência, cujo comprimento é 2 pr, tem medida 2 p rad.
a) 
 
 
»
 
 AB : arco de 360º ou arco de 2p rad.
59
b) 
 
 
»
 
 AB : arco de 90º ( 360º ____ 4 ) ou arco de 2p ___ 4 rad.
c) 
 
 
»
 
 AB : arco de 180º ( 360º ____ 2 ) ou arco de 2p ___ 2 rad.
d) 
 
 
»
 
 AB : arco de 270º ( 3 __ 4 de 360º ) ou arco de 3p ___ 2 rad.
Observação
Considerando que um arco de 180º mede p rad, podemos fazer a conversão de unidades usando uma 
regra de três simples. Porém, recomendamos que você se acostume a fazer as conversões entre grau e radiano 
mentalmente, sem recorrer à regra de três. Esse procedimento é muito simples, se for observado que:
 § 90º é 1 __ 
2
 de 180º, logo, é 1 __ 
2
 de p rad → 90º = p __ 
2
 rad.
 § 30º é 1 __ 
6
 de 180º, logo, é 1 __ 
6
 de p rad → 30º = p __ 
6
 rad.
 § 60º é 1 __ 
3
 de 180º, logo, é 1 __ 
3 
 de p rad → 60º = p __ 
3
 rad.
 § 45º é 1 __ 
4
 de 180º, logo, é 1 __ 
4
 de p rad → 45º = p __ 
4
 rad.
Você pode (e deve) memorizar essas relações para agilizar as conversões.
Veja mais uma: 120º é dobro de 60º, logo, 120º = 2 · p __ 
3
 rad = 2p ___ 
3
 rad.
60
Teoria na prática
1. Converta 30º em radianos.
Resolução:
grau radiano
180 p
30 x
 
⇒ 180 ___ 
30
 
6
1
 = p __ x ⇒ 6x = p ⇒ x = 
p __ 
6
 rad
Portanto, 30º = p __ 
6
 rad.
2. Escreva 3p ___ 
4
 rad em graus.
Resolução:
grau radiano
180 p
x 3p ___ 
4
 
 
⇒ 180 ___ x = 
p ___ 
 3p ___ 
4
 
 ⇒ 180 ___ x = 
4 __ 
3
 ⇒ 4x = 540 ⇒
⇒ x = 135º
Logo, 3p ___ 
4
 rad = 135º.
3. Transforme 18º30’ em radianos.
Resolução:
Vamos transformar em minutos os graus dados:
1º = 60’
18º 30’ = 18 . 60’ + 30 = 1080’ + 30’ = 1110’
180º = 180 . 60’ = 10800’
minuto radiano
10800 p
1110 x
 
⇒ 10800 _____ 
1110
 = p __ x ⇒ 
360 ___ 
37
 = p __ x ⇒
⇒ 360x = 37p ⇒ x = 37p ____ 
360
 
Logo, 18º 30’ = 37p ____ 
360
 rad.
4. Converta 5p ___ 
16
 rad em graus.
Resolução:
grau radiano
180 p
x 5p ___ 
16
 
 
⇒ 180 ___ x = 
p ___ 
 5p ___ 
16
 
 ⇒ 180 ___ x = 
16 ___ 
5
 ⇒ 16x = 900 ⇒
⇒ x = 56,25º
Como x = 56,25°, devemos transformar a fração 
do grau ( 0,25 ou 1 __ 4 ) em minutos:
0,25 · 60’ = 15’ ou 1 __ 
4
 de 60’ = 15’
Então, x = 56º 15’, ou seja,5p ___ 
6
 rad = 56º 15’.
5. Transforme:
a) 1 rad em graus
Resolução:
 180 ___ x = 
p __ 
1
 ⇒ px = 180 ⇒ x = 180 ___ p = 
180 ____ 
3,14
 ≈
≈ 57,3º ou 57º18’
Portanto, 1 rad ≈ 57º 18’.
b) 1 grau em radianos
Resolução:
 180 ___ 
1
 = p __ x ⇒ 180x = p ⇒ x = 
p ___ 
180
 = 3,14 ____ 
180
 ≈ 
≈ 0,017 rad
Logo, 1º ≈ 0,017 rad.
6. Em cada item, transforme em radianos ou em 
graus sem usar regra de três:
a) 120º
Resolução:
120º = 2 · 60º = 2 · p __ 
3
 = 2p ___ 
3
 
b) 330º
Resolução:
330º = 11 · 30º = 11 · π __ 
6
 = 11π ____ 
6
 
61
c) 225º
Resolução:
225º = 5 · 45º = 5 · p __ 
4
 = 5p ___ 
4
 
d) 15º
Resolução:
15º = 1 __ 
2
 · 30º = 1 __ 
2
 · p __ 
6
 = p ___ 
12
 
e) 90º
Resolução:
90º = 1 __ 
2
 · 180º = 1 __ 
2
 · p = p __ 
2
 
f) 7p ___ 
6
 
Resolução:
 7p ___ 
6
 = 7 · 30º = 210º
g) 7p ___ 
4
 
Resolução:
 7p ___ 
4
 = 7 · 45º = 315º
h) 4p ___ 
3
 
Resolução:
 4p ___ 
3
 = 4 · 60º = 240º
i) 5p ___ 
9
 
Resolução:
 5p ___ 
9
 = 5 · 180º ____ 
9
 = 5 · 20º = 100º
j) 2p ___ 
3
 
Resolução:
 2p ___ 
3
 = 2 · 60º = 120º
7. Qual é a medida, em radianos, de um arco de 20 
cm de comprimento contido numa circunferência 
de raio 8 cm?
Resolução:
ø = 20 cm; r = 8 cm
a = ø __ r = 
20 ___ 
8
 = 2,5 rad
ou
 8 cm ____ 
1 rad
 = 20 cm _____ 
x rad
 ⇒ x = 20 ___ 
8
 = 2,5 rad
8. Qual é o comprimento de um arco correspon-
dente a um ângulo central de 60º contido numa 
circunferência de raio 1 cm?
Resolução:
Vamos converter 60º em rad: 60º = 180º ____ 
3
 =
= p __ 
3
 rad
Dados a = p __ 
3
 e r = 1, temos:
a = ø __ r ⇒ ø = a · r = 
p __ 
3
 · 1 = p __ 
3
 cm
ou
 1 cm ____ 
1 rad
 = x cm _____ 
 p __ 
3
 rad
 ⇒ x = p __ 
3
 cm
Portanto, o comprimento do arco é p __ 
3
 cm, ou 
seja, aproximadamente 1,05 cm.
9. O ponteiro dos minutos de um relógio mede 10 
cm. 
Qual é a distância que sua extremidade percorre 
em 30 minutos?
Resolução:
Em 30 minutos, o ponteiro percorre 1 __ 
2
 da circun-
ferência, isto é, 180º.
Logo, a = 180º = p rad. 
Como o percurso é dado por ø = a · r, temos:
ø = p · 10 ≈ 3,14 · 10 ≈ 31,4 cm
Então, a distância percorrida é de aproximada-
mente 31, 4 cm.
62
circunferênciA unitáriA ou 
circunferênciA trigonométricA
Denomina-se circunferência unitária (ou circun-
ferência trigonométrica) a circunferência orientada, cujo 
raio tem 1 unidade de comprimento e na qual o sentido 
positivo é o anti-horário.
À circunferência unitária de centro O vamos as-
sociar um sistema de coordenadas cartesianas ortogo-
nais, fixando o ponto A de coordenadas (1, 0) como 
origem dos arcos (conforme figura abaixo).
Arcos côngruos 
(ou congruentes)
Toda vez que o ponto da circunferência, final do 
arco iniciado em (1, 0), é o mesmo para dois arcos dife-
rentes (por exemplo, 0 e 2p), chamamos esses arcos de 
côngruos ou congruentes. É conveniente notar que 
todos os arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo 
de 2p, que é o comprimento de cada volta.
Ao número 
p
 __ 
3
 está associado o ponto B.
B
A
Ao número 
p
 __ 
3
 + 2p também está associado o ponto B.
B
A
Ao número 
p
 __ 
3
 + 2 · 2p está associado o mesmo ponto B.
Na primeira figura, o ponto deslocou-se p __ 
3
 ou 
60º de A até B.
Na segunda figura, o ponto deslocou-se uma 
volta inteira (2p ou 360º) e mais p __ 
3
 ou 60º, ou seja, 
deslocou 7p ___ 
3
 ou 420º.
Na terceira figura, o ponto deslocou-se duas vol-
tas inteiras (2 · 2p ou 2 · 360º) e mais p __ 
3
 ou 60º, ou 
seja, 13p ____ 
3
 .
63
Supondo que o ponto se deslocasse k voltas, o 
número associado à extremidade B do arco 
 
»
 
 AB seria 
escrito assim:
 p __ 
3
 + k · 2p ou 60º + k · 360º, com k [ Z
Podemos, então, definir:
Dois arcos são côngruos ou congruentes 
quando suas medidas diferem de um múltiplo de 
2p rad ou 360º.
Exemplos
 § 30º e 30º + 360º ou p __ 
6
 e p __ 
6
 + 2p são côngruos;
 § 45º e 45º + 2 · 360º ou p __ 
4
 e p __ 
4
 + 2 · 2p são 
côngruos;
 § 60º e 60º – 3 · 360º ou p __ 
3
 e p __ 
3
 – 3 · 2p são 
côngruos. 
Neste último exemplo, o sinal negativo significa 
que as três voltas completas foram dadas no sentido 
horário. Dizemos, nesse caso, que 60º – 3 · 360º = – 
1020º ou – 17p ____ 
3
 são arcos negativos.
De modo geral:
 § Se um arco mede a°, os arcos côngruos a ele 
podem ser dados pela expressão a° + k · 360º, 
com k [ Z;
 § Se um arco mede x radianos, os arcos côngruos a 
ele podem ser dados pela expressão x + k · 2p ou 
x + 2kp, com k [ Z;
 § Como a cada ponto da circunferência podem es-
tar associados infinitos arcos côngruos, dizemos 
que o arco da 1ª volta positiva (entre 0 e 2p 
ou 0º e 360º), associado a um ponto da circun-
ferência, é a 1ª determinação de qualquer arco 
côngruo associado ao mesmo ponto.
determinAção de quAdrAntes
Os eixos x e y dividem a circunferência unitária 
em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, 
numeradas de 1 a 4 e contadas a partir de A no sentido 
positivo.
 
Para determinar em que quadrante se encontra 
determinado arco, basta saber em que quadrantes está 
a sua 1ª determinação. Para isso, basta reduzir cada 
arco à 1ª determinação e, depois, verificar o valor do 
arco, de acordo com os pontos iniciais e finais de cada 
quadrante:
 § 1º quadrante: 1ª determinação entre 0º e 90º ou 
0 e p __ 
2
 rad
 § 2º quadrante: 1ª determinação entre 90ª e 180º 
ou p __ 
2
 e p rad
 § 3º quadrante: 1ª determinação entre 180º e 
270º ou p e 3p ___ 
2
 rad
 § 4º quadrante: 1º determinação entre 270º e 
360º ou 3p ___ 
2
 e 2 p rad
Teoria na prática
1. Determine o menor arco não negativo côngruo 
ao arco de 1320º, ou seja, a 1ª determinação 
do arco de 1320º. Descubra também a que qua-
drante pertence o arco.
64
Resolução:
Devemos obter o menor valor não negativo de 
a, tal que a + k · 360º = 1320º, com k [ Z.
Então:
1320 360
240 3
a k
⇒ 1320º = 240º + 3 · 360º
Logo, o arco pedido mede 240º.
Observe ainda que k = 3 representa o nú-
mero de voltas completas dadas. Além disso, 
como 180º < 240º < 270º, então 1320º pertence 
ao 3º quadrante.
2. Determine o quadrante de cada arco, além 
de representar a expressão geral dos arcos 
côngruos.
Observação
É importante salientar que, para 
localizar o quadrante e encontrar a ex-
pressão geral dos arcos côngruos, é ne-
cessário achar a 1ª determinação positi-
va.
a) –1640º
Resolução:
1640 360 ⇒ – 1640º = –200º – 4 · 360º
200 4 voltas
⇒ –200º = 160º – 360º
Notamos que 90º < 160º < 180º (2º quadran-
te).
Como –1640º é côngruo de 160º, ele está no 
2º quadrante.
A expressão geral dos arcos côngruos é: 
160º + k · 360º, com k [ Z.
b) 37p ____ 
3
 rad
Resolução:
Retirando-se um número inteiro de voltas 
completas, encontraremos a 1ª determinação 
positiva. Então:
 37p ____ 
3
 = p + 36p _______ 
3
 = p __ 
3
 + 36p ____ 
3
 = p __ 
3
 + 12p =
= p __ 
3
 + 6 · 2 · p
O número de voltas é 6 e a 1ª determinação é 
p __ 
3
 ; então, a expressão geral dos arcos
côngruos é p __ 
3
 + 2 kp, com k [ Z; 
além disso,
0 < p __ 
3
 < p __ 
2
 , portanto, p __ 
3
 rad pertence ao 
1º quadrante.
3. Represente na circunferência unitária as extremi-
dades dos arcos, em rad, pela expressão x = p __ 
3
 + kp, 
com k [ Z.
Resolução:
Temos:
 § para k = 0 ⇒ x = p __ 
3
 
 § para k = 1 ⇒ x = p __ 
3
 + p = 4p ___ 
3
 
 § para k = 2 ⇒ x = p __ 
3
 + 2p ( côngruos de p __ 3 ) 
Para os demais valores de k, obtemos:
 § arcos côngruos de p __ 
3
 (com extremidades em 
P1);
 § arcos côngruos de p __ 
3
 + p (com extremidades 
em P2).
65
4. Encontre a expressão que representa todos os 
arcos côngruos aos indicados nafigura:
Resolução:
Observe que os três ângulos dividem o círcu-
lo em partes iguais a 120º, então podemos 
representar todos os arcos a partir de um de-
les, de preferência o menor, aumentando 120º; 
portanto, a expressão é 60° + k · 120º, com 
k [ Z.
A ideiA de seno, cosseno e 
tAngente de um número reAl
Os valores sen a, cos a e tg a foram definidos ape-
nas para ângulos, no primeiro quadrante, ou seja, para 
0 < a < p __ 
2
 , com a indicando a medida do ângulo em 
radianos.
Para esses valores de a foram demonstradas 
duas importantes relações:
sen2 a + cos2 a = 1 e tg a = sen a _____ cos a 
Os valores de sen a, cos a e tg a foram esten-
didos para a = 0 (ângulo nulo), a = p __ 
2
 (ângulo reto) e 
 p __ 
2
 < a < O (ângulos obtusos) para possibilitar a re-
solução de triângulos quaisquer, mas sem justificativa 
desses valores.
Agora, vamos estender a noção de sen a, cos a 
e tg a para todos os valores reais de a.
Consideremos P(x,y) um ponto da circunferência 
trigonométrica, ponto final do arco de medida a rad, 
definido a partir do número real a. Nessas condições, 
definimos:
sen a = ordenada de P
cos a = abscissa de P
tg a = sen a _____ cos a , cos a ≠ 0
Observe que essa definição coincide com aquela 
dada para ângulos agudos, pois, como todos os pontos 
da circunferência trigonométrica estão à distância 1 da 
origem, pela relação de Pitágoras, temos:
sen2 a + cos2 a = 1
Essa relação entre o cosseno e o seno de um 
arco é chamada de “relação fundamental”. Por ela con-
cluímos que sempre que tivermos o seno de um arco, 
por exemplo, podemos encontrar o valor do cosseno do 
mesmo arco.
Assim, essa definição, estendida agora para 
qualquer número real, mantém as relações fundamen-
tais.
Observe também que tg a não é defini-
da para alguns valores de a, como para a = p __ 
2
 e 3p ___ 
2
 , 
em que cos a = 0.
Dessa forma, ao associar um número real a a um 
arco da circunferência, estamos associando o número 
real ao ponto P, cuja abscissa é o cosseno de a e cuja 
ordenada é o seno de a.
Apesar da definição de seno e cosseno na circun-
ferência trigonométrica necessitar do arco em radianos 
– por causa da associação com os números reais (como 
exposto no início do capítulo) –, não há problema em se 
referir aos valores dos ângulos em graus. Então, agora 
podemos pensar em seno e cosseno de arcos (ou ângu-
los) maiores do que 90º, algo impensável quando se tra-
balhava com triângulos retângulos. Também podemos 
pensar em senos e cossenos de ângulos negativos.
Geometricamente, o cosseno de x é a abscissa 
de P e o seno de x é a ordenada de P.
Vejamos, agora, o significado geométrico de tan-
gente de um ângulo x.
66
Para isso, vamos considerar na circunferência trigonométrica a reta t, tangente à circunferência no ponto A, 
com a mesma orientação do eixo y.
Observe as figuras com P em cada um dos quadrantes:
T
 
P
 
Em todos os casos, DORP e DOAT são semelhantes.
Dessa semelhança, vem:
 
—
 PR ___ 
 
——
 OR 
 = 
—
 AT ___ 
 
——
 OA 
 ou sen x _____ cos x = 
 
—
 AT __ 
1
 Como sen x ____ cos x = tg x então temos tg x = 

 AT , ou seja, geometricamente, tg x é 
—
 AT , medida algébrica de 

 AT .
Se T é o encontro das retas 
‹
 
___
 
›
 OP e t, no caso de essas retas serem paralelas, não existe  AT e, por isso, não 
existe tg x.
Por exemplo, tg p __ 
2
 e tg 3p ___ 
2
 não existem ( veja que cos p __ 2 = 0 e cos 3p ___ 2 = 0 ) .
Como a reta t é orientada “para cima”, o ponto T (encontro de 
‹
 
___
 
›
 OP com t) é positivo, quando P é do 1° ou 
do 3° quadrante, e é negativo, quando P é do 2º ou 4º quadrante. Assim, sabemos o sinal da tangente em qualquer 
quadrante.
67
VAlores notáVeis
Valores notáveis do seno
Considerando x como a medida de um arco 
 
»
 
 AP , os valores de sen x são chamados valores notáveis, quando 
x = p __ 
6
 , x = p __ 
4
 , x = p __ 
3
 , x = 0, x = p __ 
2
 ,x = p, x = 3 p ___ 
2
 , ou x = 2 p.
 
 x = p __ 
6
 (30º) x = p __ 
3
 (60º)
 sen p __ 
6
 = 1 __ 
2
 sen p __ 
3
 = √
__
 3 ___ 
2
 
 
 x = p __ 
4
 (45º) x = 0 (0º)
 sen p __ 
4
 = √
__
 2 ___ 
2
 sen 0 = 0
 
 x = p __ 
2
 (90º) x = 3p ___ 
2
 (270º)
 sen p __ 
2
 = 1 sen 3p ___ 
2
 = –1
68
 
 x = p (180º) x = 2 p (360º)
 sen p = 0 sen 2p = 0
Veja a tabela com os valores notáveis do seno:
sen x x
0 0
 1 __ 
2
 p __ 
6
 (30º)
 
dXX 2 ___ 
2
 p __ 4
 (45º)
 
dXX 3 ___ 
2
 p __ 
3
 (60º)
1 p __ 
2
 (90º)
0 p (180º)
–1 3 p ___ 
2
 (270º)
0 2p (360º)
Valores notáveis do cosseno
1
2
 
3
2
 cos p __ 
3
 = 1 __ 
2
 cos p __ 
6
 = 
dXX 3 ___ 
2
 
 ou ou
69
 cos 60º = 1 __ 
2
 cos 30º = 
dXX 3 ___ 
2
 
 
 cos p __ 
4
 = 
dXX 2 ___ 
2
 cos 0 = 1
 ou ou
 cos 45º = 
dXX 2 ___ 
2
 cos 0º = 1
 
 cos p __ 
2
 = 0 cos p = –1
 ou ou
 cos 90º = 0 cos 180º = –1
 
 cos 3p ___ 
2
 = 0 cos 2p = 1
 ou ou
 cos 270º = 0 cos 360º = 1
70
Veja a tabela com os valores notáveis do cosseno
cos x x
1 0
 
dXX 3 ___ 
2
 p __ 
6
 (30º)
 
dXX 2 ___ 
2
 p __ 4
 (45º)
 1 __ 
2
 p __ 
3
 (60º)
0 p __ 
2
 (90º)
–1 p (180º)
0 3p ___ 
2
 (270º)
1 2p (360º)
Valores notáveis da tangente
 
 x = p __ 
6
 (30º) x = p __ 
4
 (45º)
 tg p __ 
6
 = 
dXX 3 ___ 
3
 tg p __ 
4
 = 1
71
 
 x = p __ 
3
 (60º) x = 0
 tg p __ 
3
 = dXX 3 tg 0 = 0
 
 x = p __ 
2
 x = p
 Não é definida a tg p __ 
2
 . tg p = 0.
 
 x = 3p ___ 
2
 x = 2 p
 Não é definida a tg 3p ___ 
2
 tg 2p = 0
72
Veja a tabela com os valores notáveis da tangente:
tg x x
0 0
 
dXX 3 ___ 
3
 p __ 
6
 (30º)
1 p __ 
4
 (45º)
 dXX 3 p __ 
3
 (60º)
' p __ 
2
 (90º)
0 p (180º)
' 3p ___ 
2
 (270º)
0 2p (360º)
redução Ao 1º quAdrAnte dA 1ª VoltA positiVA
Seno e cosseno, como coordenadas de um ponto, possuem sinais que dependem do quadrante em que se 
encontram conforme o diagrama abaixo:
Lembre-se:
cos a: abscissa de P
sen a: ordenada de P
tg a = sen a _____ cos a 
 § Se o arco é do 1º quadrante, o cosseno é positivo, o seno é positivo e a tangente é positiva.
 § Se o arco é do 2º quadrante, o cosseno é negativo, o seno é positivo e a tangente é negativa.
 § Se o arco é do 3º quadrante, o cosseno é negativo, o seno é negativo e a tangente é positiva.
 § Se o arco é do 4º quadrante, o cosseno é positivo, o seno é negativo e a tangente é negativa.
Vejamos, agora, como é possível determinar o valor do seno e do cosseno, em qualquer quadrante, conhe-
cidos seus valores no 1º quadrante. Isso se chama redução ao 1º quadrante. Examine cada figura considerando, 
inicialmente, apenas os valores de a da 1ª volta positiva.
73
1º caso: a está no 2º quadrante
 ( p __ 2 < a < p ) 
O ponto P’ é o simétrico de P em relação ao eixo y.
 
 sen a = sen (p – a) cos a = – cos (p – a) tg a = – tg (p – a)
2º caso: a está no 3º quadrante
(p < a < 3p ___ 2 )
O ponto P’ é o simétrico de P em relação ao ponto O.
 
 sen a = – sen (a – p) cos a = – cos (a – p) tg a = tg (a – p)
74
3º caso: a está no 4º quadrante
 ( 3p ___ 2 < a < 2p) 
O ponto P’ é o simétrico de P em relação ao eixo x.
 
 sen a = – sen (2p – a) cos a = cos (2 p – a) tg a = – tg (2p – a)
Vamos considerar os arcos medidos em graus para facilitar a compreensão inicial do processo. Lembre-se de 
que é perfeitamente adequado o uso de graus para se referir à medida de ângulos e arcos no círculo trigonométrico.
O melhor procedimento é evitar as fórmulas e, em cada caso particular, fazer a construção que fizemos 
anteriormente.
Teoria na prática
1. Determine:
a) sen 120º, cos 120º e tg 120º
Resolução:
180º – 120º = 60º
sen 120º = sen 60º = √
__
 3 ___ 
2
 
cos 120º = – cos 60º = – 1 __ 
2
 
tg 120º = – tg 60º = – √
__
 3 
75
b) sen 240º, cos 240º e tg 240º
Resolução:
240º – 180º = 60º
sen 240º = – sen 60º = – √
__
 3 ___ 
2
 
cos 240º = – cos 60º = – 1 __ 
2
 
tg 240º = tg 60º = √
__
 3 
c) sen 315º, cos 315º e tg 315º
Resolução:
360º – 315º = 45º
sen 315º = – sen 45º = – √
__
 2 ___ 
2
 
cos 315º = cos 45º = √
__
 2 ___ 
2
 
tg 315º = – tg 45º = –1
76
2. Agora, com os ângulos medidos em radianos, determine:
a) sen 
4p
 ___ 
3
 , cos 
4p
 ___ 
3
 e tg 
4p
 ___ 
3
 
Resolução:
 4p ___ 
3
 – p = 4p – 3p _______ 
3
 = p __ 
3
 
sen 4p ___ 
3
 = – sen p __ 
3
 = – √
__
 3 ___ 
2
 
cos 4p ___ 
3
 = – cos p __ 
3
 = – 1 __ 
2
 
tg 4p __ 
3 
 = tg p __ 
3
 = √
__
 3 
b) sen 
5p
 ___ 
6
 , cos 
5p
 ___ 
6
 e tg 
5p
 ___ 
6
 
Resolução:
p – 5p ___ 
6
 = 6p – 5p _______ 
6
 = p __ 
6
 
sen 5p ___ 
6
 = sen p __ 
6
 = 1 __ 
2
 
cos 5p ___ 
6
 = – cos p __ 
6
 = – √
__
 3 ___ 
2
 
tg 5p ___ 
6
 = – tg p __ 
6
 = – √
__
 3 ___ 
3
 
3. Determine x, tal que:
a) 0 ≤ x < 2p e sen x = – 1 __ 
2
 
Resolução:
Sabemos que sen p __ 
6
 = 1 __ 
2
 . Então, fazendo as simetrias necessárias, descobrimos os possíveis valores de 
x, que são 7p ___ 
6
 e 11p ____ 
6
 .
77
b) 0 ≤ x < 2p e sen x = sen 7p ___ 
9
 
Resolução:
Um dos valores de x é o próprio 7p ___ 
9
 (140º). Outro valor é 2p ___ 
9
 (40º), descoberto ao fazer uma simetria 
em relação ao eixo 0y. Logo, x = 7p ___ 
9
 ou x = 2p ___ 
9
 .
4. Simplifique:
a) cos (90º + x)
Resolução:
Vimos que, para ângulos complementares, como 90º – x e x, temos sen (90º – x) = cos x e 
cos (90º – x) = sen x.
Vamos considerar, sem perda de generalidade, que 0 < x < p __ 
2
 ; portanto 90º + x pertence ao 2º qua-
drante:
180º – (90º + x) = 90º – x
cos (90º + x) = – cos (90º – x) = – sen x
b) sen (270º – x)
Resolução:
270º – x pertence ao 3º quadrante
(270º – x) – 180º = 90° – x
sen (270º – x) = – sen (90º – x) = – cos x
78
5. Determine o valor de sen x e tg x, sabendo que p < x < 3p ___ 
2
 e cos x = – 1 __ 
3
 .
Resolução:
Aplicando a relação fundamental:
 § sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ sen2 x + ( – 1 __ 3 ) 
2
 = 1
⇒ sen2 x = 1 – 1 __ 
9
 ⇒ sen2 x = 8 __ 
9
 ⇒
⇒ sen x = ± √
___
 8/9 ⇒ sen x = ± 2 
dXX 2 ____ 
3
 
Como p < x < 3 p/2, então sen x = – 2 
dXX 2 ____ 
3
 .
 § tg x = sen x ____ cos x ⇒ tg x = 
– 2 
dXX 2 ____ 
3
 
 _____ 
– 1 __ 
3
 
 ⇒ tg x = 2 dXX 2 
trAbAlhAndo com Arcos côngruos
Conhecidos os valores de sen x e de cos x da 1ª volta positiva e usando arcos côngruos, podemos calcular 
sen x e cos x para qualquer x.
Teoria na prática
1. Calcule, em cada item, o valor do seno.
a) sen 390º
Resolução:
390º = 360º + 30º
 1 volta
sen 390º é igual a sen 30º.
Logo, sen 390º = 1 __ 
2
 .
79
b) sen 
13p
 ____ 
4
 
Resolução:
 13p ____ 
4
 = 8p ___ 
4
 + 5p ___ 
4
 
 1 volta 225º
sen 13p ____ 
4
 é igual a sen 5p ___ 
4
 , que é – 
dXX 2 ___ 
2
 , pois sen p/4 = 
dXX 2 ___ 
2
 .
Então, sen 13p ____ 
4
 = – 
dXX 2 ___ 
2
 .
c) sen 
21p
 ____ 
2
 
Resolução:
 21p ____ 
2
 = 20p ____ 
2 
 + p __ 
2
 
 10 p (5 voltas)
sen 21p ____ 
2
 = 1
80
d) sen 870°
Resolução:
870º = 720º + 150º
2 voltas
sen 870º = 1 __ 
2
 
e) sen 17p ____ 
3
 
Resolução:
 17p ____ 
3
 = 12p ____ 
3
 + 5p ___ 
3
 
4 p (2 voltas)
sen 17p ____ 
3
 = – √
__
 3 ___ 
2
 
f) sen (–120º)
Resolução:
–120º → côngruo a 240º
sen (–120º) = – √
__
 3 ___ 
2
 
2. Determine todos os valores reais de x, para os 
quais sen x = 
dXX 3 ___ 
2
 .
Resolução:
Sabemos que sen p __ 
3
 = 
dXX 3 ___ 
2
 e pela figura vemos 
também sen 2p ___ 
3
 = 
dXX 3 ___ 
2
 .
Então, os valores reais de x podem ser p __ 
3
 , 2p ___ 
3
 
e todos os arcos côngruos a eles, ou seja, 
x = p __ 
3
 + 2 kp ou x = 2p ___ 
3
 + 2kp, com k [ Z.
81
3. Calcule:
a) cos 750º
Resolução:
750º = 720º + 30º
2 voltas
Então, cos 750º é igual a cos 30º, isto é, cos 
750º = 
dXX 3 ___ 
2
 .
b) cos ( – 5p ___ 4 ) 
Resolução:
– 5p ___ 
4
 (–225°) é côngruo a 3p ___ 
4
 
Se cos p __ 
4
 = 
dXX 2 ___ 
2
 , então cos ( – 5p ___ 4 ) = – 
dXX 2 ___ 
2
 .
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Sites
ACESSAR
Vídeo
Introdução às funções exponenciais
pt.khanacademy.org/math/trigonometry/unit-circle-trig-func
Introdução aos radianos
Fonte: Youtube
82
83
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Sites
ACESSAR
Vídeo
APLICAÇÃO NO COTIDIANO
Depois de aprender todos os tópicos que compreendem a trigonometria, você como um futuro aluno de Me-
dicina, poderá modelar os batimentos cardíacos de uma pessoa através de função trigonométrica. Veja um exemplo 
a partir de uma questão dada em um vestibular:
1. (UFSM 2015) Cerca de 24,3% da população brasileira é hipertensa, quadro que pode ser agravado pelo 
consumo excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (em mmHg) de um certo indivíduo é expressa 
em função do tempo por 
P(t) = 100 − 20cos ( 8π ___ 3 t ) 
onde t é dado em segundos. Cada período dessa função representa um batimento cardíaco. 
Analise as afirmativas:
I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 batimentos por minuto.
II. A pressão em t = 2 segundos é de 110 mmHg.
III. A amplitude da função P(t) é de 30 mmHg.
Está(ão) correta(s) 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
Resolução:
I. Verdadeira. A frequência cardíaca em segundos:
 1 ___ 
 2π ___ 
 8π ___ 
3
 
 
 = 1 __ 
 3 __ 
4
 
 = 4 __ 
3
 . em minutos basta P(2) = 100 – 20 ( cos 8π ___ 3 · 2 ) multiplicar por 60, o que resulta em 
80 batimentos por minuto.
II. Verdadeira. Pois
P(2) = 100 – 20 ( cos 8π ___ 3 · 2 ) 
P(2) = 100 – 20 · ( – 1 __ 2 ) 
III. Falsa. A amplitude da função é de 20mmHg. 
Alternativa B
84
INTERDISCIPLINARIDADE
Estudar trigonometria oferece a possibilidade de estudar a periodicidade de certos fenômenos. Por exemplo, 
em Geografia, fenômenos climáticos como a variação da temperatura de acordo com o dia do ano, podem ser fenô-
menos periódicos. Em Física, podemos estudar a frequência com que as ondas do mar se movimentam em relação a 
um certo ponto (uma boia), já que as ondas do mar, vistas de perfil, assumem uma forma ondulatória. Movimento 
circular e acústica são outros dois fenômenos que se comportam com uma certa periodicidade, sendo assim, todos 
os fenômenos mencionados podem ser modelados por uma função trigonométrica.
86
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Habilidade 14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométri-
cos relacionados a grandezas e medidas.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a Habilidade 14 exige do aluno a capacidade de resol-
ver uma situação proposta com conhecimentos de geometria.
modelo
 (Enem)
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de:
a) 45°.
b) 60°.
c) 90°.
d) 120°.
e) 180°
87
Análise expositiVAHabilidade 14 
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema e utilizar seus conhecimentos 
sobre os conceitos iniciais de trigonometria para a sua resolução.
360º : 3 = 120º
120º
Alternativa D
88
estruturA conceituAl
CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS
RADIANOS
ARCOS 
CÔNGRUOS
1 rad 1 rad
γ
γ
C = 2π rad = 360º
π rad = 180º
P
RADIANOS × GRAUS
π
2
rad
π rad 0 rad
2π rad
3π
2
rad
90º
0º
360º
270º
180º
P = {60º, 420º, 780º} 
CIRCUNFERÊNCIA
TRIGONOMÉTRICA
2º Q 1º Q
4º Q3º Q
0º = 0 rad
tg
π = 180º
360º = 2π
3π
2
= 270º
π
2
= 90º
VARIAÇÃO DE SINAL
+ +
--
sen
+
+-
-
sen
cos
+
+
-
-
tg
SENO COSSENO
TANGENTE
ÂNGULOS NOTÁVEIS
sen
30º 45º 60º
cos
tg
2
3√
3 3√
1
2
2
2√
2
1
1
2
2
3√
3√ 2√
NA CIRCUNFERÊNCIA
sen
0º 90º 180º
cos
tg
270º 360º
0
0
1
11
0
0
–1 0
0
0 –1 0
E E
21 22
M
MATEMÁTICA
T
Transformações
trigonométricas
Competências
2, 4 e 5
Habilidades
6, 7, 8, 9, 15 
e 24 
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
91
Introdução
Vamos comparar sen (60° + 30°) e sen 60° + sen 30°:
sen (60° + 30°) = sen 90° = 1
sen 60° + sen 30° = √
__
 3 ___ 
2
 + 1 __ 
2
 = √
__
 3 + 1 ______ 
2
 
Logo, sen (60° + 30°) ≠ sen 60° + sen 30°.
De modo geral, podemos verificar que:
 § sen (a + b) ≠ sen a + sen b
 § sen (a – b) ≠ sen a – sen b
 § cos (a + b) ≠ cos a + cos b
 § cos (a – b) ≠ cos a – cos b
Observação
Compare também:
 § cos (60° + 30°) e cos 60° + cos 30°
 § tg (60° - 30°) e tg 60º – tg 30°
 § sen (90° + 0°) e sen 90° + sen 0°
As afirmações abaixo são ambas falsas:
sen (a + b) = sen a + sen b 
cos (a + b) = cos a + cos b 
Veremos, agora, como é possível expressar sen (a ± b) e cos (a ± b) em função de sen a, sen b, cos a e cos 
b, sendo a e b dois números reais quaisquer. Veremos também tg (a ± b) em função de tg a e tg b.
Fórmulas de adIção e subtração
Expressão de sen (a + b)
Considere o triângulo abaixo:
92
Calculando as áreas dos triângulos:
 § AABO = 
k · h sen a ________ 
2
 
 § ABOC = 
p · h sen b
 ________ 
2
 
 § AAOC = 
k · p sen (a + b)
 ____________ 
2
 
Temos ainda que:
 § cos a = h __ 
k
 ⇒ h = k · cos a
 § cos b = h __ p ⇒ h = p · cos b
A área do triângulo maior é igual à soma da área 
dos triângulos menores:
AAOC = AABO + ABOC ⇒
⇒ 
k · p sen (a + b)
 ____________ 
2
 = k · h sen a ________ 
2
 + 
p · h sen b
 ________ 
2
 ⇒
⇒ 
kp sen (a + b)
 ___________ 
2
 = 
kp cos b sen a
 ___________ 
2
 + 
kp cos a sen b
 ___________ 
2
 ⇒
⇒ sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
Essa fórmula, embora tenha sido demonstrada 
em um triângulo, pode ser utilizada para quaisquer a 
e b reais.
Exemplos
 § sen 75° = sen (45° + 30°) =
= sen 45° · cos 30° + sen 30° · cos 45° = 
= 
dXX 2 ___ 
2
 · 
dXX 3 ___ 
2
 + 1 __ 
2
 · 
dXX 2 ___ 
2
 =
= 
dXX 6 ___ 
4
 + 
dXX 2 ___ 
4
 = 
= 
dXX 6 + dXX 2 _______ 
4
 
 § sen (p + x) = sen p · cos x + sen x · cos p = 
= 0 · cos x + sen x (–1) = –sen x 
Expressão de sen (a – b)
Considerando que: 
a – b = a + (–b)
sen (–b) = –sen b
cos (–b) = cos b
Daí, temos:sen (a – b) = sen [a + (–b)].
Desenvolvendo o 2° membro, temos:
sen (a – b) = sen a · cos (–b) + sen (–b) · cos a, isto é:
sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a
Para quaisquer a e b reais.
Exemplos
 § sen (15°) = sen (45° – 30°) =
= sen 45° · cos 30° – sen 30° · cos 45° =
= 
dXX 2 ___ 
2
 · 
dXX 3 ___ 
2
 – 1 __ 
2
 · 
dXX 2 ___ 
2
 = 
dXX 6 ___ 
4
 – 
dXX 2 ___ 
4
 = 
dXX 6 – dXX 2 _______ 
4
 
 § sen (p – x) = sen p · cos x – sen x · cos p = 
= 0 – sen x · (–1) = sen x
Isso demonstra que ângulos suplementares têm 
senos iguais.
Expressão de cos (a + b)
Sabemos que cos x = sen ( p __ 2 – x ) (arcos comple-
mentares). Então:
cos (a + b) = sen [ p __ 2 – (a + b) ] = sen ( p __ 2 – a – b ) =
= sen [ ( p __ 2 – a ) – b ] ⇒
⇒ cos (a + b) = sen ( p __ 2 – a ) · cos b – cos ( p __ 2 – a ) · 
sen b
Como sen( p __ 2 – a ) = cos a e cos ( p __ 2 – a ) = sen 
a, temos:
cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b
Para quaisquer a e b reais.
Exemplos
 § cos (75°) = cos (45° + 30°) =
= cos 45° · cos 30° – sen 45° · sen 30° =
= 
dXX 2 ___ 
2
 · 
dXX 3 ___ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 · 1 __ 
2
 = 
dXX 6 ___ 
4
 – 
dXX 2 ___ 
4
 = 
dXX 6 – dXX 2 _______ 
4
 
 § cos (p + x) = cos p · cos x – sen p · sen x = 
= (–1) · cos x – 0 · sen x = –cos x
93
Expressão de cos (a – b)
Sabemos que:
a – b = a + (–b)
cos (–b) = cos b
sen (–b) = –sen b
Daí, temos cos (a – b) = cos [a + (–b)].
Desenvolvendo o 2° membro, temos:
cos (a – b) = cos a . cos (- b) – sen a . sen (- b), ou 
seja:
cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b
Para quaisquer a e b reais.
Exemplos
 § cos (15°) = cos (45° – 30°) =
= cos 45° · cos 30° + sen 45° · sen 30° = 
= 
dXX 2 ___ 
2
 · 
dXX 3 ___ 
2
 + 
dXX 2 ___ 
2
 · 1 __ 
2
 = 
dXX 6 ___ 
4
 + 
dXX 2 ___ 
4
 = 
dXX 6 + dXX 2 _______ 
4
 
 § cos (p – x) = cos p · cos x + sen p · sen x = (–1) 
· cos x + 0 · sen x = –cos x
Expressão de tg (a + b)
Para a, b e a + b ≠ p __ 
2
 + kp, com k [ Z:
tg (a + b) = 
tg a + tg b
 ___________ 
1 – tg a · tg b
 
Teoria na prática
1. Calcule o valor de tg(75°)
Resolução:
tg(75º) = tg(30º + 45º) = 
tg(30º) + tg(45º)
 ______________ 
1 - tg (30º) tg(45º)
 =
= 
 √
__
 3 ___ 
3
 + 1
 ____________ 
 1 – - √
__
 3 ___ 
3
 . 1
 = 
 √
__
 3 + 3 ______ 
3
 
 _______ 
 3 – √
__
 3 _____ 
3
 
 = √
__
 3 + 3 ______ 
3 – √
__
 3 
 
Racionalizando o denominador:
tg(75º) = √
__
 3 + 3 ______ 
3 – √
__
 3 
 . √
__
 3 + 3 ______ 
3 + √
__
 3 
 = 12 + 6 √
__
 3 ________ 
32 – √
__
 32 
 =
= 2 + √
__
 3 
Expressão de tg (a – b)
Para a, b e a – b ≠ p __ 
2
 + kp, com k [ Z:
tg (a – b) = 
tg a – tg b
 ___________ 
1 + tg a · tg b
 
Quadro-resumo
sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a
cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b
cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b
tg (a + b) = 
tg a + tg b
 ___________ 
1 – tg a · tg b
 
tg (a – b) = 
tg a – tg b
 ___________ 
1 + tg a · tg b
 
Teoria na prática
1. Dado sen x = 1 __ 
3
 , com 0 < x < p __ 
2
 , calcule 
sen ( p __ 6 – x ) .
Resolução:
Inicialmente, vamos calcular o valor de cos x:
sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ 1 __ 
9
 + cos2 x = 1 ⇒ 
⇒ cos2 x = 1 – 1 __ 
9
 = 8 __ 
9
 ⇒ cos x = ± √
__
 8 __ 
9
 = ± √
__
 8 ___ 
3
 
Como 0 < x < p __ 
2
 , temos cos x = 
dXX 8 ___ 
3
 .
Vamos aplicar a fórmula:
sen ( p __ 6 – x ) = sen p __ 6 · cos x – sen x · cos p __ 6 =
= 1 __ 
2
 · √
__
 8 ___ 
3
 – 1 __ 
3
 · √
__
 3 ___ 
2
 = √
__
 8 ___ 
6
 – √
__
 3 ___ 
6
 = √
__
 8 – √
__
 3 _______ 
6
 .
2. Dados sen x = 3 __ 
5
 e cos y = 5 ___ 
13
 , calcule cos (x + y) 
sabendo que 0 < x < p __ 
2
 e 3p ___ 
2
 < y < 2p.
Resolução:
Calculamos cos x ( 0 < x < p __ 2 ) :
cos x = + √
______
 1 – sen2x = √
______
 1 – 9 ___ 
25
 = √
___
 16 ___ 
25
 = 4 __ 
5
 
Calculamos sen y ( 3p ___ 2 < y < 2p ) :
sen y = – √
______
 1 – cos2y = – √
______
 1 – 25 ___ 
169
 = – √
_____
 144 ___ 
169
 =
= – 12 ___ 
13
 
94
Aplicando a fórmula:
cos (x + y) = cos x · cos y – sen x · sen y =
= 4 __ 
5
 · 5 ___ 
13
 – 3 __ 
5
 ( – 12 ___ 13 ) = 20 ___ 65 + 36 ___ 65 = 56 ___ 65 
3. Simplifique a expressão 
y = 
sen ( p __ 2 + x ) · cos (p – x) ____________________ 
cos ( 3p ___ 2 + x ) · cotg (p + x)
 .
Resolução:
Vamos desenvolver separadamente os termos:
sen ( p __ 2 + x ) = sen p __ 2 · cos x + sen x · cos p __ 2 = 
= 1 · cos x + sen x · 0 = cos x
cos (p – x) = cos p · cos x + sen p · sen x = 
= –1 · cos x + 0 · sen x = –cos x
cos ( 3p ___ 2 + x ) = cos 3p ___ 2 · cos x – sen 3p ___ 2 · sen x =
= 0 · cos x – (–1) · sen x = sen x
cotg (p + x) = cos (p + x) _________ 
sen (p + x)
 
= cos p · cos x – sen p · sen x ______________________ sen p · cos x + sen x · cos p 
= –1 · cos x – 0 · sen x _________________ 
0 · cos x + sen x · (–1)
 = –cos x _____ –sen x = 
cos x ____ sen x 
Vamos fazer as substituições na expressão:
y = (cos x) (– cos x) ____________ 
sen x · cos x ____ sen x 
 = (cos x) (– cos x) ____________ cos x = – cos x
Obs.: cotg (x) = 1 ____ 
tg (x)
 = cos (x) _____ 
sen (x)
 
4. Dados sen x = 4 __ 
5
 , com 0 < x < p __ 
2
 , e x + y = p __ 
3
 , 
determine sen y:
Resolução:
cos x = + √
______
 1 – sen2x = √
______
 1 – 16 ___ 
25
 = √
___
 9 ___ 
25
 = 3 __ 
5
 
Isolamos y:
x + y = p __ 
3
 ⇒ y = p __ 
3
 – x
Calculamos sen y:
sen y = sen ( p __ 3 – x ) = 
= sen p __ 
3
 · cos x – sen x · cos p __ 
3
 =
= √
__
 3 ___ 
2
 · 3 __ 
5
 – 4 __ 
5
 · 1 __ 
2
 = 3 √
__
 3 ____ 
10
 – 4 ___ 
10
 = 3 √
__
 3 – 4 _______ 
10
 
5. Aplicando as fórmulas de soma de arcos calcule 
no triângulo retângulo abaixo, a tangente de x:
Resolução:
Seja a e β, como na figura abaixo:
tg a = 3 ___ 
10
 = 0,3
tg b = 3 + 4 _____ 
10
 = 7 ___ 
10
 = 0,7
Mas:
b = a + x ⇒ x = b – a
Logo:
tg x = tg (b – a) = 
tg b – tg a
 ____________ 
1 + tg b · tg a
 =
= 0,7 – 0,3 __________ 
1 + 0,7 · 0,3
 = 0,4 _______ 
1 + 0,21
 = 0,4 ____ 
1,21
 = 40 ___ 
121
 
6. Simplifique a expressão 1 __ 
2
 cos(α) + √
__
 3 ___ 
2
 sen(α). 
Resolução:
Note que sen(30º) = 1 __ 
2
 e cos(30º) = √
__
 3 ___ 
2
 . Pode-
mos, então, reescrever a expressão:
 1 __ 
2
 cos(α) + √
__
 3 ___ 
2
 sen(α) = 
= sen(30º) cos(α) + cos(30º) sen (α)
95
Porém, como sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) = 
= sen(a + b), temos então:
sen(30º) cos(a) + cos(30º) sen(a) = 
= sen(30º + a)
Fórmulas do arco duplo
Veremos, agora, as expressões das funções tri-
gonométricas dos arcos duplos, ou seja, dos arcos de 
medida 2a. Trata-se de um caso particular das formulas 
de adição, sendo suficiente fazer b = a.
Retomando e desenvolvendo as fórmulas da adi-
ção, temos:
 § sen 2a = sen (a + a) = 
= sen a · cos a + sen a · cos a = 
= 2 · sen a · cos a ⇒ sen 2a = 2 · sen a · cos a
 § cos 2a = cos (a + a) = 
= cos a · cos a – sen a · sen a =
= cos2 a – sen2 a ⇒ cos 2a = cos2 a – sen2 a
Além dessa fórmula, para cos 2a podemos obter 
mais duas fórmulas alternativas apenas combinando a 
relação fundamental com ela:
sen2 a + cos2 a = 1 ⇒ sen2 a = 1 – cos2 a (I)
ou
cos2 a = 1 – sen2 a (II)
Substituindo (I) em cos 2a = cos2 a – sen2 a, 
temos:
cos 2a = cos2 a – (1 – cos2 a) ⇒ cos 2a = 2 · cos2 
a – 1
Substituindo (II) em cos 2a = cos2 a – sen2 a, 
temos:
cos 2a = (1 – sen2 a) – sen2 a ⇒ 
⇒ cos 2a = 1 – 2 · sen2 a
Assim, podemos escrever:
cos 2a = cos2 a – sen2 a ⇒ cos 2a = 2 · cos2 a – 1
cos 2a = 1 – 2 · sen2 a
 § tg 2a = tg (a + a) = 
tg a + tg a
 ___________ 
1 – tg a · tg a
 = 
2 · tg a
 _______ 
1 – tg2 a
 , 
válida para quando existirem as tangentes en-
volvidas.
Portanto:
tg 2a = 
2 · tg a
 _______ 
1 – tg2 a
 
Teoria na prática
1. Dado sen x = 
dXX 3 ___ 
2
 , com 0 < x < p __ 
2
 , determine sen 
2x, cos 2x e tg 2x usando as fórmulas do arco 
duplo.
Resolução:
Vamos calcular:
 § cos x ( 0 < x < p __ 2 ) 
Sendo 0 < x < p __ 
2
 e sen x = √
__
 3 ___ 
2
 , temos x = p __ 
3
 .
Daí, cos x = cos p __ 
3
 = 1 __ 
2
 .
 § tg x
Como x = p __ 
3
 , então tg x = tg p __ 
3
 = √
__
 3 .
Determinamos, agora, sen 2x, cos 2x e tg 2x:
sen 2x = 2 · sen x · cosx = 2 · √
__
 3 ___ 
2
 · 1 __ 
2
 = √
__
 3 ___ 
2
 
cos 2x = cos2 x – sen2 x = ( 1 __ 2 ) 
2
 – ( √
__
 3 ___ 
2
 ) 2 = 1 __ 4 – 3 __ 4 
= – 2 __ 
4
 = – 1 __ 
2
 
tg 2x = 
2 · tg x
 _______ 
1 – tg2 x
 = 2 · √
__
 3 _______ 
1 – ( √
__
 3 )2
 =
= 2 √
__
 3 ____ 
1 – 3
 = 2 √
__
 3 ____ 
–2
 =
= - √
__
 3 
2. Sabendo que sen x + cos x = 0,2, determine o 
valor de sen 2x.
Resolução:
Acompanhe o emprego de um artifício:
(sen x + cos x)2 = (0,2)2 ⇒
⇒ sen2 x + 2 · sen x · cos x + cos2 x = 0,04 ⇒
⇒ sen2 x + cos2 x
1
 + 2 · sen x · cos x
sen 2x
 = 0,04 ⇒
⇒ 1 + sen 2x = 0,04 ⇒ sen 2x = 0,04 – 1 ⇒
⇒ sen 2x = –0,96
96
3. Dados sen a = 1 __ 
2
 e sen b = 1 __ 
4
 , com 0 < a, b < p __ 
2
 , 
determine cos (2a + 2b).
Resolução:
 § Desenvolvendo cos (2a + 2b), temos:
cos (2a + 2b) = 
=cos 2a · cos 2b – sen 2a · sen 2b (I)
 § Vamos determinar cos a e 
cos b ( 0 < a,b < p __ 2 ) :
cos a = + √
________
 1 – sen2a = √
______
 1 – 1 ___ 
4
 = √
__
 3 __ 
4
 = √
__
 3 ___ 
2
 
cos b = + √
________
 1 – sen2b = √
______
 1 – 1 ___ 
16
 = √
___
 15 ___ 
16
 = 
= √
___
 15 ____ 
4
 
 § Determinamos cos 2a, cos 2b, sen 2a e 
sen 2b:
cos 2a = 2 · cos2 a – 1 = 2 ( √
__
 3 ___ 
2
 ) 
2
 – 1 = 
= 2 · 3 __ 
4
 – 1 = 3 __ 
2
 – 1 = 1 __ 
2
 
cos 2b = 2 · cos2 b – 1 = 2 ( √
__
 15 ___ 
4
 ) 
2
 – 1 = 
= 2 · 15 ___ 
16
 – 1 = 15 ___ 
8
 – 1 = 7 __ 
8
 
sen 2a = 2 · sen a · cos a = 2 · 1 __ 
2
 · √
__
 3 ___ 
2
 = √
__
 3 ___ 
2
 sen 2b = 2 · sen b · cos b = 2 · 1 __ 
4
 · √
___
 15 ____ 
4
 =
= √
___
 15 ____ 
8
 
 § Substituímos esses valores na igualdade (I), 
encontramos:
cos (2a + 2b) = 1 __ 
2
 · 7 __ 
8
 – √
__
 3 ___ 
2
 · √
___
 15 ____ 
8
 = 7 ___ 
16
 – √
___
 45 ____ 
16
 =
= 7 – 3 √
__
 5 _______ 
16
 
4. Demonstre a igualdade cos 2x ________ 
1 + sen 2x
 = 
1 – tg x
 ______ 
1 + tg x
 .
Resolução:
Vamos considerar cada lado da igualdade sepa-
radamente e simplificá-los:
 § f(x) = cos 2x ________ 
1 + sen 2x
 = cos
2 x – sen2 x _______________ 
 1 + 2 · sen x · cos x
 =
= cos
2 x – sen2 x _________________________ 
 sen2 x + cos2 x + 2 · sen x · cos x
 = 
= (cos x + sen x) (cos x – sen x) ______________________ 
(cos x + sen x)2
 =
= cos x – sen x __________ cos x + sen x 
 § g(x) = 
1 – tg x
 ______ 
1 + tg x
 = 
1 – sen x ____ cos x ________ 
1 + sen x ____ cos x 
 = 
 cos x – sen x __________ cos x __________ 
 cos x + sen x __________ cos x 
 =
= cos x – sen x __________ cos x + sen x 
Como f(x) = g(x), então cos 2x ________ 
1 + sen 2x
 = 
1 – tg x
 ______ 
1 + tg x
 .
5. Simplifique a expressão k = sen 3a _____ sen a – 
cos 3a _____ cos a .
Resolução:
k = sen 3a _____ sen a – 
cos 3a _____ cos a ⇒ 
⇒ k = sen 3a · cos a – sen a · cos 3a _______________________ sen a · cos a 
⇒ sen (3a – a) __________ sen a · cos a 
Sabemos que 2 · sen a · cos a = sen 2a. Então, 
multiplicando o numerador e o denominador por 
2, teremos:
k = 2 · sen 2a ____________ 
2 · sen a · cos a
 ⇒ k = 2 · sen 2a ________ 
sen 2a
 ⇒ k = 2
Fórmulas do arco metade
Estas fórmulas permitem relacionar as funções 
trigonométricas de um arco a com as funções trigono-
métricas do arco a __ 
2
 .
Expressão para o cálculo de cos 
Sabendo que cos 2x = 2 · cos2 x – 1, temos:
cos 2x = 2 · cos2 x – 1 ⇒ 2 · cos2 x = 1 + cos 2x ⇒ 
⇒ cos2 x = 1 + cos 2x ________ 
2
 
Fazendo 2x = a, temos x = a __ 
2
 e, daí:
cos2 ( a __ 2 ) = 1 + cos a _______ 2 
97
Expressão para o cálculo de sen 
Sabendo que cos 2x = 1 – 2 · sen2 x, temos:
cos 2x = 1 – 2 · sen2 x ⇒ 2 · sen2 x = 1 – cos 2x ⇒ 
⇒ sen2 x = 1 – cos 2x ________ 
2
 
Fazendo 2x = a, temos x = a __ 
2
 e, daí:
sen2 ( a __ 2 ) = 1 – cos a _______ 2 
Teoria na prática
1. Dado cos 45° = 
dXX 2 ___ 
2
 , determine sen 22° 30’, 
cos 22° 30’ e tg 22° 30’.
Resolução:
Sabemos que:
22° 30’ = 45º ___ 
2
 ⇒ 
a = 45º
 a __ 
2
 = 22º30'
Aplicando as fórmulas, temos:
 § sen2 22° 30' = 1 – cos 45º _________ 
2
 = 
1 – 
dXX 2 ___ 
2
 
 ______ 
2
 =
= 
 2 – 
dXX 2 ______ 
2
 
 ______ 
2
 = 2 – 
dXX 2 ______ 
4
 ⇒
⇒ sen 22° 30’ = dXXXXXX 2 – dXX 2 ______ 4 = 
dXXXXXX 2 – dXX 2 _______ 
2
 
 § cos2 22º 30' = 1 + cos 45º _________ 
2
 = 
1 + √
__
 2 ___ 
2
 
 ______ 
2
 =
= 
 2 + 
dXX 2 ______ 
2
 
 ______ 
2
 = 2 + √
__
 2 ______ 
4
 ⇒
⇒ cos 22° 30’ = dXXXXXX 2 + dXX 2 ______ 4 = 
dXXXXXX 2 + dXX 2 _______ 
2
 
 § tg 22º 30' = sen 22º 30' _________ 
cos 22º 30'
 = 
 
dXXXXXX 2 – dXX 2 _______ 
2
 
 _______ 
 
dXXXXXX 2 + dXX 2 _______ 
2
 
 =
= 
dXXXXXX 2 – dXX 2 _______ 
 dXXXXXX 2 + dXX 2 
 = dXXXXXX 2 – dXX 2 ______ 2 + dXX 2 =
= dXXXXXXXXXXXXXX ( 2 – dXX 2 ) ( 2 – dXX 2 ) ______________ ( 2 + dXX 2 ) ( 2 – dXX 2 ) = d
XXXXXXXXXX
 4 – 4 
dXX 2 + 2 __________ 
4 – 2
 =
= dXXXXXXX 6 – 4 dXX 2 _______ 2 = dXXXXXXX 3 – 2 dXX 2 
2. Sendo 0 < x < p __ 
2
 e cos x __ 
2
 = 4 __ 
5
 , encontre o valor 
de sen x e cos x.
Resolução:
 § cos2 x __ 
2
 = 1 + cos x _______ 
2
 ⇒ ( 4 __ 5 ) 
2
 = 1 + cos x _______ 
2
 ⇒
⇒ 16 ___ 
25
 = 1 + cos x _______ 
2
 ⇒ 25 + 25 cos x = 32 ⇒
⇒ 25 cos x = 7 ⇒ cos x = 7 ___ 
25
 
 § sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ sen2 x + ( 7 ___ 25 ) 
2
 = 1 ⇒ 
⇒ sen2 x = 1 – 49 ___ 
625
 ⇒ sen2 x = 625 – 49 _______ 
625
 ⇒
⇒ sen x = ± √
____
 576 ___ 
625
 ⇒ sen x = ± 24 ___ 
25
 
Como 0 < x < p __ 
2
 , então sen x = 24 ___ 
25
 .
3. Demonstre que sen x = 
2 · tg x __ 
2
 
 _______ 
1 + tg2 x __ 
2
 
 , 
para cos x __ 
2
 ≠ 0.
Resolução:
 
2 · tg x __ 
2
 
 _______ 
1 + tg2 x __ 
2
 
 = 
2 · 
sen x __ 
2
 
 _____ 
cos x __ 
2
 
 
 ________ 
1 + 
sen2 x __ 
2
 
 _____ 
cos2 x __ 
2
 
 
 =
= 
 
2 · sen x __ 
2
 
 _______ 
cos x __ 
2
 
 
 ____________ 
 
cos2 x __ 
2
 + sen2 x __ 
2
 
 ____________ 
cos2 x __ 
2
 
 
 = 
2 · sen x __ 
2
 · cos2 x __ 
2
 
 _____________ 
1 · cos x __ 
2
 
 =
= 2 · sen x __ 
2
 · cos x __ 
2
 = sen ( 2 · x __ 2 ) = sen x
4. Dado tg x __ 
2
 = 2, calcule sen x, cos x e tg x.
Resolução:
sen x = 
2 · tg x __ 
2
 
 _______ 
1 + tg2 x __ 
2
 
 = 2 · 2 _____ 
1 + 22
 = 4 __ 
5
 
cos x = 
1 – tg2 x __ 
2
 
 _______ 
1 + tg2 x __ 
2
 
 = 1 – 2
2
 _____ 
1 + 22
 = – 3 __ 
5
 
tg x = sen x ____ cos x = 
 4 __ 
5
 
 ___ 
– 3 __ 
5
 
 = – 4 __ 
3
 
Obs.: demonstre a relação utilizada aqui.
98
Fórmulas de transFormação de 
produto (Fórmulas de prostaFérese)
Forma fatorada de 
sen x + sen y e sen x – sen y
Sabemos que:
 § sen(a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a (I)
 § sen(a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a (II)
Fazendo (I) + (II) e (I) – (II), temos:
 § sen (a + b) + sen (a – b) = 2 · sen a · cos b
 § sen (a + b) – sen (a – b) = 2 · sen b · cos a
Indicando a + b = x e a – b = y, temos 
a = 
x + y
 ____ 
2
 e b = 
x – y
 ____ 
2
 .
Logo:
sen x + sen y = 2 · sen 
x + y
 ____ 
2
 · cos 
x – y
 ____ 
2
 
sen x – sen y = 2 · sen 
x – y
 ____ 
2
 · cos 
x + y
 ____ 
2
 
Forma fatorada de 
cos x + cos y e cos x – cos y
Sabemos que:
 § cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b (I)
 § cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b (II)
Fazendo (I) + (II) e (I) – (II), temos:
 § cos (a+ b) + cos (a – b) = 2 · cos a · cos b
 § cos (a + b) – cos (a – b) = –2 · sen a · sen b
Indicando a + b = x e a – b = y, temos 
a = 
x + y
 ____ 
2
 e b = 
x – y
 ____ 
2
 .
Logo:
cos x + cos y = 2 · cos 
x + y
 ____ 
2
 · cos 
x – y
 ____ 
2
 
cos x – cos y = –2 · sen 
x + y
 ____ 
2
 · sen 
x – y
 ____ 
2
 
Teoria na prática
1. Transforme em produto (ou seja, fatore) a ex-
pressão sen 60° + sen 30°.
Resolução:
sen 60° + sen 30° =
= 2 · sen 60º + 30º ________ 
2
 · cos 60º – 30º ________ 
2
 =
= 2 · sen 45° · cos 15°
2. Transforme em produto a expressão 
cos 5x + cos 3x.
Resolução:
cos 5x + cos 3x = 2 · cos 5x + 3x ______ 
2
 · cos 5x – 3x ______ 
2
 =
= 2 · cos 4x · cos x
3. Fatore (ou seja, transforme em produto) a ex-
pressão sen 2a – sen a.
Resolução:
sen 2a – sen a = 2 · sen 2a – a _____ 
2
 · cos 2a + a ______ 
2
 =
= 2 · sen a __ 
2
 · cos 3a __ 
2
 
4. Demonstre que sen 3x + sen x ___________ 
cos 3x + cos x
 = tg 2x.
Resolução:
Seja f(x) = sen 3x + sen x ___________ 
cos 3x + cos x
 . Então:
f(x) = 
2 · sen 3x + x _____ 
2
 · cos 3x – x _____ 
2
 
 ____________________ 
2 · cos 3x + x _____ 
2
 · cos 3x – x _____ 
2
 
 =
= 2 · sen 2x · cos x _____________ 
2 · cos 2x · cos x
 = sen 2x _____ 
cos 2x
 = tg 2x
Seja g(x) = tg 2x. Como f(x) = g(x), está demons-
trada a identidade.
99
5. Escreva em forma de produto a expressão A = sen 2x + 2 · cos x.
Resolução:
A = sen 2x + 2 · cos x.
A = sen 2x + 2 · cos x = 2 · sen x cos x + 2 · cos x =
= 2 · cos x · (sen x + 1) =
= 2 · cos x · ( sen x + sen p __ 2 ) = 
= 2 · cos x · [ 2 · sen x + 
p __ 
2
 
 _____ 
2
 · cos 
x – p __ 
2
 
 _____ 
2
 ] =
= 2 · cos x · 2 · sen ( x __ 2 + p __ 4 ) · cos ( x __ 2 – p __ 4 ) = 4 · cos x · sen ( x __ 2 + p __ 4 ) · cos ( x __ 2 – p __ 4 ) 
6. Se cos u = 3 __ 
4
 , determine o valor de 16 · sen 3u ___ 
2
 . sen u __ 
2
 .
Resolução:
Comparando a expressão com o segundo termo da fórmula cos x – cos y = – 2 · sen 
x + y
 ____ 
2
 · sen 
x – y
 ____ 
2
 , temos:
 
x + y
 ____ 
2
 = 3u ___ 
2
 
 
x – y
 ____ 
2
 = u __ 
2
 
 ⇒ x = 2u e y = u
Substituindo na fórmula:
cos 2u – cos u = – 2 sen 3u ___ 
2
 · sen u __ 
2
 ⇒
⇒ 2 cos2 u – 1 – cos u = – 2 sen 3u ___ 
2
 ‚ sen u __ 
2
 ⇒
⇒ 2 · 9 ___ 
16
 –1 – 3 __ 
4
 = – 2 sen 3u ___ 
2
 · sen u __ 
2
 ⇒
⇒ – 5 __ 
8
 = – 2 sen 3u ___ 
2
 · sen u __ 
2
 ⇒
⇒ 16 sen 3u ___ 
2
 · sen u __ 
2
 = 5
7. Demonstre que sen x · cos y = 1 __ 
2
 [sen (x – y) + sen (x + y)].
Resolução:
Sabemos que:
sen x + sen y = 2 · sen ( x + y ____ 2 ) · cos ( 
x – y
 ____ 
2
 ) 
Fazendo 
x + y
 ____ 
2
 = A e 
x – y
 ____ 
2
 = B, chegamos à conclusão de que A + B = x e A – B = y. Assim:
sen x + sen y = 2 · sen ( x + y ____ 2 ) · cos ( 
x – y
 ____ 
2
 ) ⇒
⇒ sen (A + B) + sen (A – B) = 2 · sen A · cos B ⇒
⇒ sen A · cos B = 1 __ 
2
 [sen (A + B) + sen (A – B)]
E, como essa dedução independe dos arcos considerados, podemos aplicá-la a x e y novamente.
Assim, teremos:
sen x · cos x = 1 __ 
2
 [sen (x – y) + sen (x + y)]
100
estrutura conceItual
TRANSFORMAÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
SOMA
sen(a + b) = sen(a) · cos(b) + sen(b) · cos(a)
DIFERENÇA 
sen(a – b) = sen(a) · cos(b) – sen(b) · cos(a)
ARCO DUPLO
sen(2a) = 2sen(a) · cos(a)
ARCO METADE
OPERAÇÕES 
COM SENO
a
2sen ( ) =
1 – cos(a)
2√
SOMA
cos(a + b) = cos(a) · cos(b) – sen(a) · sen(b)
DIFERENÇA 
cos(a – b) = cos(a) · cos(b) + sen(a) · sen(b)
ARCO DUPLO
cos(2a) = cos2(a) – sen2(a)
ARCO METADE
OPERAÇÕES 
COM COSSENO
a
2cos ( ) =
1 + cos(a)
2√
SOMA
DIFERENÇA 
ARCO DUPLO
OPERAÇÕES 
COM TANGENTE
tg(a + b) = tg(a) + tg(b)
1 – tg(a) · tg(b)
tg(a – b) = tg(a) – tg(b)
1 + tg(a) · tg(b)
tg(2a) = 2 tg(a)
1 – tg2(a)
23 26
M
MATEMÁTICA
T
Relações fundamentais e
equações trigonométricas
Competências
2, 4 e 5
Habilidades
6, 7, 8, 9, 14, 
15 e 24
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervençãona realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
103
Relações fundamentais
As relações entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco são denominadas relações 
trigonométricas. Veja algumas já conhecidas:
sen2 x + cos2 x = 1 para todo x [ R
tg x = sen x ____ cos x para todo x ≠ 
p __ 
2
 + kp
cotg x = cos x ____ sen x para todos x ≠ kp
sec x = 1 ____ cos x para todo x ≠ 
p __ 
2
 + kp
cossec x = 1 ____ sen x para todo x ≠ kp
Relações decoRRentes das fundamentais
A partir das relações fundamentais, podemos chegar a outras relações também importantes:
 § sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ sen
2 x _____ 
cos2 x
 + cos
2 x _____ 
cos2 x
 = 1 _____ 
cos2 x
 ⇒ tg2 x + 1 = sec2 x, para cos x ≠ 0
Assim:
tg2 x + 1 = sec2 x para x ≠ p __ 
2
 + kp, k [ Z
 § sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ sen
2 x _____ 
 sen2 x
 + cos
2 x _____ 
sen2 x
 = 1 _____ 
sen2 x
 ⇒ 1 + cotg2 x = cossec2 x, para sen x ≠ 0
Assim:
cotg2 x + 1 = cossec2 x para x ≠ kp, k [ Z
 § Sabemos que tg x = sen x ____ cos x e cotg x = 
cos x ____ sen x . Multiplicando essas expressões membro a membro, temos:
tg x · cotg x = sen x _____ cos x · 
cos x ____ sen x = ⇒ cotg x = 
1 ___ tg x , quando sen x ≠ 0 e cos x ≠ 0
Assim:
cotg x = 1 ___ tg x para x ≠ 
p __ 
2
 + kp e x ≠ p + kp, ou seja, x ≠ kp ___ 
2
 , k [ Z
Teoria na prática
1. Dado sen x = – 1 __ 
4
 , com p < x < 3p ___ 
2
 , determine tg x e sec x.
Resolução:
Aplicando as relações fundamentais:
sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ ( – 1 __ 4 ) 
2
 + cos2 x = 1 ⇒ cos2 x = 15 ___ 
16
 ⇒ cos x = ± √
___
 15 ____ 
4
 
Como x é do 3° quadrante, cos x = – √
___
 15 ____ 
4
 . Então:
tg x = sen x ____ cos x ⇒ tg x = 
– 1 __ 
4
 
 ____ 
– √
___
 15 ____ 
4
 
 ⇒ tg x = √
___
 15 ____ 
15
 
sec x = 1 ____ cos x ⇒ sec x = 
1 ______ 
 – √
___
 15 ____ 
4
 
 ⇒ sec x = – 4 √
___
 15 ____ 
15
 
104
2. Dado cossec x = 7 __ 
4
 , com p __ 
2
 < x < p, determine 
cos x.
Resolução:
Temos:
cossec x = 1 ____ sen x ⇒ 
7 __ 
4
 = 1 ____ sen x ⇒ 7 · sen x = 4 
⇒ sen x = 4 __ 
7
 
sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ ( 4 __ 7 ) 
2
 + cos2 x = 1 ⇒ 
⇒ cos2 x = 33 ___ 
49
 ⇒ cos x = ± √
___
 33 ____ 
7
 
Como x é do 2° quadrante, cos x = – √
___
 33 ____ 
7
 .
3. Determine o valor de m para que se tenha, si-
multaneamente, sen x = √
______
 ( m – 2 ) e cos x = m 
– 1.
Resolução:
Usando a relação sen2 x + cos2 x = 1 e fazendo 
as substituições, temos:
( √
_____
 m – 2 )2 + (m – 1)2 = 1 ⇒ 
⇒ m – 2 + m2 – 2m + 1 = 1 ⇒ m2 – m – 2 = 0
(equação do 2° grau em m)
D = 9
m' = 2 e m" = –1
O valor m = –1 não satisfaz, pois √
_____
 m – 2 =
= √
______
 – 1 – 2 = √
___
 –3 [ R ou porque cos x =
= –1 – 1 = –2 não satisfaz a existência do cos-
seno.
Já o valor m = 2 serve para sen x = √
_____
 2 – 2 = 0 
e cos x = 2 – 1 = 1.
Logo, m = 2.
4. Simplifique a expressão y = 
cotg x + cossec x
 _____________ sen x , 
supondo 0 < x < p __ 
2
 .
Resolução:
Escrevendo todos os termos da expressão em 
função de sen x e cos x, temos:
y = 
cotg x + cossec x
 _____________ sen x = 
 cos x ____ sen x + 
1 ____ sen x __________ sen x =
= 
 cos x + 1 _______ sen x _______ sen x = 
cos x + 1 _______ 
(sen x)2
 = cos x + 1 _______ sen x · 
1 ____ sen x =
= cos x + 1 _______ 
sen2 x
 
Como sen2 x + cos2 x = 1 ⇔ sen2 x = 1 – cos2 x, 
fazemos a substituição:
y = cos x + 1 ________ 
1 – cos2 x
 = cos x + 1 ________________ 
(1 + cos x)(1 – cos x)
 =
= 1 _______ 
1 – cos x
 
Portanto, y = 1 _______ 
1 – cos x
 .
5. Dado sen x = √
__
 2 ___ 
2
 , calcule o valor da expressão
A = sec
2 x – 1 ________ 
tg2 x + 1
 .
Resolução:
Vamos escrever a expressão dada em função de 
sen x e cos x:
A = sec
2 x – 1 ________ 
tg2 x + 1
 = 
 ( 1 ____ cos x ) 2 – 1 _________ 
 ( sen x ____ cos x ) 2 + 1
 = 
 1 _____ 
cos2 x
 – 1
 ________ 
 sen
2 x _____ 
cos2 x
 + 1
 =
= 
 1 – cos
2 x ________ 
cos2 x
 
 ___________ 
 sen
2 x + cos2 x ___________ 
cos2 x
 
 = 1 – cos
2 x ________ 
 cos2 x
 · cos
2 x ___________ 
sen2 x + cos2 x
 =
= sen
2 x _____ 
1
 = sen2 x
Como sen x = √
__
 2 ___ 
2
 , então o valor da expressão é 
A = ( √
__
 2 ___ 
2
 ) 2 = 2 __ 4 = 1 __ 2 .
6. Se sen x · cos x = 0,3, então qual o valor de 
cotg2 2x?
Resolução:
Sabemos que sen 2x = 2 · sen x · cos x, então:
sen x · cos x = 3/10 (· 2) 2 · sen x · cos x = 3 __ 
5
 ⇒
⇒ sen 2x = 3 __ 
5
 ⇒ cossec 2x = 5 __ 
3
 
Mas:
cotg2 2x + 1 = cossec2 2x ⇒ cotg2 2x = ( 5 __ 3 ) 
2
 – 1 ⇒
⇒ cotg2 2x = 25 ___ 
9
 – 1 ⇒ cotg2 2x = 16 ___ 
9
 
105
identidades tRigonométRicas
Toda igualdade envolvendo funções trigonométricas, que se verifica para todos os valores do domínio das 
funções, é uma identidade trigonométrica. Por exemplo, considerando o domínio das funções, a igualdade sen x . 
sec x = tg x é uma identidade trigonométrica, pois, independentemente do valor de x, ela se verifica. Para x ≠ p __ 
2
 + 
kp, temos:
sen x · sec x = sen x · 1 ____ cos x = 
sen x ____ cos x = tg x
Já a igualdade sen x + cos x = 1, para x [ R, não é uma identidade, pois ela não é verdadeira para todo 
x [ R. Dizemos que sen x + cos x = 1 é uma equação trigonométrica.
Para demonstrar que uma igualdade é uma identidade, há vários caminhos. Veja alguns novos exemplos de 
aplicação a seguir.
Teoria na prática
1. Demonstre que (1 – cos2 x) (cotg2 x + 1) = 1, para x ≠ kp, é uma identidade.
Resolução:
Vamos simplificar o primeiro 
membro da igualdade, expressando-o em função de sen x de cos x:
(1 – cos2 x) ( cos2 x _____ sen2 x ) + 1 = (1 – cos2 x) ( cos2 x + sen2 x ___________ sen2 x ) = sen2 x · 1 ____ sen2X = 1
2. Demonstre que 
tg x
 _______ 
1 + tg2 x
 = sen x ____ sec x é uma identidade para x ≠ 
p __ 
2
 + kp.
Resolução:
Neste problema, vamos simplificar isoladamente cada membro.
 § f(x) = 
tg x
 _______ 
1+ tg2 x
 = 
 sen x ____ cos x _____ 
sec2 x
 = 
 sen x ____ cos x _____ 
 1 _____ 
cos2 x
 
 = sen x ____ cos x · cos
2 x = sen x · cos x
 § g(x) = sen x ____ sec x = 
sen x ____ 
 1 ____ cos x 
 = sen x · cos x
3. Demonstre a identidade sec2 x – sen2 x = tg2 x + cos2 x.
Resolução:
Considerando sec2 x – sen2 x como f(x) e tg2 x + cos2 x como g(x), podemos fazer:
f(x) – g(x) = sec2 x – sen2 x – tg2 x – cos2 x = (sec2 x – tg2 x) – (sen2 x + cos2 x) = 1 – 1 = 0
se f(x) – g(x) = 0, então f(x) = g(x) ou sec2 x – sen2 x = tg2 x + cos2 x.
106
4. Demonstre que sen4 x – cos4 x = – cos 2x.
Resolução:
sen4 x – cos4 x = (sen2 x – cos2 x) (sen2 x + cos2 x) = 
= (sen2 x – cos2 x) · 1 =
= –1 (cos2 x – sen2 x) = –1 · cos 2x = –cos 2x
equações tRigonométRicas
Observe as seguintes equações:
 § sen x = 1
 § 2 · cos x = √
__
 3 
 § 1 + tg 2x = 0
Essas equações são exemplos de equações trigo-
nométricas, pois nelas a incógnita aparece nas medidas 
dos arcos ou dos ângulos de funções trigonométricas.
Não existe um modo único que permita resol-
ver todas as equações trigonométricas. Entretanto, o 
objetivo é chegar sempre a equações básicas do tipo 
sen x = a, cos x = a ou tg x = a, que nos permite obter 
a variável x a partir do conhecimento dos valores de 
a, mesmo que tenhamos que lançar mão de artifícios, 
transformações, identidades etc.
Equações de forma 
sen x = a, cos x = a e tg x = a
Teoria na prática
1. Resolva as seguintes equações:
a) sen x = 1 __ 
2
 
Resolução:
Sabemos que na 1a determinação os arcos 
com seno igual a 1 __ 
2
 são p __ 
6
 e 5p ___ 
6
 . Então, em 
todas as voltas temos x = p __ 
6
 + 2 kp ou 
x = 5p ___ 
6
 + 2 kp.
S = { x [ R | x = p __ 6 +2kp ou x = 5p ___ 6 + 2kp } 
b) tg x = 1
Resolução:
Os arcos com tangente igual a 1 na 1a de-
terminação são p __ 
4
 e 5p ___ 
4
 . Então, em todas as 
voltas x = p __ 
4
 + kp.
S = { x [ R I x = p __ 4 + kp } 
c) sen 2x = 1
Resolução:
Essa equação pode ser resolvida do mesmo 
modo que as anteriores, embora se tenha sen 
2x e não sen x.
107
Como sen p __ 
2
 = 1, temos:
2x = p __ 
2
 + 2 kp ⇒ x = 
 p __ 
2
 +2kp
 _______ 
2
 = p __ 
4
 + kp
S = { x [ R I x = p __ 4 + kp } 
d) cos ( x – p __ 3 ) = 
 dXX 3 ___ 
2
 
Resolução:
Como na 1a determinação p __ 
6
 e 11p ____ 
6
 têm cosseno igual a √
__
 3 ___ 
2
 , temos:
x – p __ 
3
 = p __ 
6
 + 2 kp ⇒x = p __ 
6
 + p __ 
3
 + 2 kp ⇒x = p __ 
2
 + 2 kp
ou
 
côngruo a p __ 
6
 ( 2p + p __ 6 ) 
x – p __ 
3
 = 11p ____ 
6
 + 2 kp ⇒ x = 11p ____ 
6
 + p __ 
3
 + 2 kp ⇒ x = 13p ____ 
6
 + 2kp = p __ 
6
 + 2kp
S = { x [ R I x = p __ 2 + 2kp ou x = 
p __ 
6
 + 2kp } 
2. Resolva a equação cos x . tg x – cos x = 0 no intervalo [0,2p].
Resolução:
cos x · tg x – cos x = 0 ⇒ cos x · (tg x – 1) = 0 ⇒ cos x = 0 ou tg x = 1
cos x = 0 ⇒ x = p __ 
2
 ou x = 3p ___ 
2
 
Mas como a tg x não é determinada para x = p __ 
2
 e x = 3p ___ 
2
 , estes valores não servem.
tg x = 1 ⇒ x = p __ 
4
 ou x = 5p ___ 
4
 , pois x [ [0,2p]
Outra resolução:
cos x = 0 ⇒ x = p __ 
2
 + kp
k = 0 ⇒ x = p __ 
2
 [ [0,2p]
k = 1 ⇒ x = p __ 
2
 + p = 3p ___ 
2
 [ [0,2p]
ou
tg x = 1 ⇒ x = p __ 
4
 + kp
k = 0 ⇒ x = p __ 
4
 [ [0,2p]
k = 1 ⇒ x = 5p ___ 
4
 [ [0,2p]
108
Os valores p __ 
2
 e 3p ___ 
2
 são do intervalo, mas não servem na equação inicial.
Portanto, S = { π __ 4 , 5p ___ 4 } .
3. Resolva a equação cos 2x + cos x + 1 = 0 para 0 < x < 2p.
Resolução:
Como cos 2x = 2 · cos2 x – 1, substituindo na equação temos:
2 · cos2 x – 1 + cos x + 1 = 0 ⇒ 2 · cos2 x + cos x = 0 ⇒ cos x · (2 · cos x + 1) = 0
Assim:
cos x = 0 ou 2 · cos x + 1 = 0
cos x = 0 ⇒ x = p __ 
2
 ou x = 3p ___ 
2
 
2 · cos x + 1 = 0 ⇒ cos x = – 1 __ 
2
 ⇒ x = 2p ___ 
3
 ou x = 4p ___ 
3
 
S = { p __ 2 , 3p ___ 2 , 2p ___ 3 , 4p ___ 3 } 
4. Resolva a equação cos x + cos 3x + cos 2x = 0 para 0 ≤ x ≤ 2p.
 Resolução:
cos x + cos 3x + cos 2x = 0 ⇒ 2 · cos x + 3x _____ 
2
 · cos x – 3x _____ 
2
 + cos 2x = 0 ⇒
 
 2 · cos 2x · cos (–x) + cos 2x = 0 ⇒ 2 · cos 2x · cos x + cos 2x = 0 ⇒
⇒ cos 2x · (2 · cos x + 1) = 0
Temos:
cos 2x = 0 ou 2 · cos x + 1 = 0
cos 2x = 0 ⇒ 2x = p __ 
2
 ou 2x = 3p ___ 
2
 ou 2x = 5p ___ 
2
 
ou
2x = 7p ___ 
2
 (pois 0 ≤ 2x ≤ 4p)
109
Assim: 
x = p __ 
4
 ou x = 3p ___ 
4
 ou x = 5p ___ 
4
 ou x = 7p ___ 
4
 
2 · cos x + 1 = 0 ⇒ cos x = – 1 __ 
2
 ⇒ x = 2p ___ 
3
 ou x = 4p ___ 
3
 
S = { p __ 4 , 3p ___ 4 , 5p ___ 4 , 7p ___ 4 , 2p ___ 3 , 4p ___ 3 } 
Equações do tipo sen a = sen b, cos a = cos b, tg a = tg b
Da redução ao 1° quadrante, temos:
 § sen a = sen b
sen a = sen b ⇒ a = b + 2 kp
a = p – b + 2 kp
 § cos a = cos b
cos a = cos b ⇒ a = ± b + 2 kp
 § tg a = tg b
tg a = tg b ⇒ a = b + 2 kp
a = p + b + 2 kp
 ⇒ a = b + kp
110
Teoria na prática
1. Resolva a equação em cada item:
a) sen x = sen 
p
 __ 
9
 
Resolução:
Como p __ 
9
 [ 1° quadrante, temos:
sen x = sen p __ 
9
 ⇒ x = p __ 
9
 + 2 kp ou
x = ( p – p __ 9 ) + 2 kp = 8p ___ 9 + 2 kp
S = { x [ R | x = p __ 9 + 2 kp ou x = 8p ___ 9 + 2kp } 
b) cos x = cos 
2p
 ___ 
5
 
Resolução:
cos x = cos 2p ___ 
5
 ⇒ x = 2p ___ 
5
 + 2kp ou
x = ( 2p – 2p ___ 5 ) + 2kπ = 8p ___ 5 + 2kπ
S = { x [ R I x = 2p ___ 5 + 2kp ou x = 8p ___ 5 + 2kp } 
Outra Resolução:
x = 2p ___ 
5
 + 2kp ou x = – 2p ___ 
5
 + 2k p
congruo a 8p ___ 
5
 
S = { x [ R I x = 2p ___ 5 + 2kp ou x = 8p ___ 5 + 2kp } 
c) tg x = tg 
3p
 ___ 
10
 
Resolução: 
tg x = tg 3p ___ 
10
 ⇒ x = 3p ___ 
10
 + kπ
S = { x [ R I x = 3p ___ 10 +kp } 
d) sen x = cos 
2p
 ___ 
5
 
Resolução:
Fazemos cos 2p ___ 
5
 = sen ( p __ 2 – 2p ___ 5 ) = sen p ___ 10 , e 
a equação fica assim: 
sen x = sen p ___ 
10
 
que é do tipo da do item a. Então:
sen x = sen p ___ 
10
 ⇒ x = p ___ 
10
 + 2kp ou
x = ( p – p ___ 10 ) + 2kp = 9p ___ 10 + 2 kp
S = { x [ R | x = p ___ 10 + 2kp ou 
x = 9p ___ 
10
 + 2kp } 
e) sen 2x = sen 
p
 __ 
8
 
Resolução:
sen 2x = sen p __ 
8
 ⇒ [ 2x = p __ 8 + 2kp ⇒ 
⇒ x = p ___ 
16
 + kp ] 
ou
 [ 2x = ( p – p __ 8 ) + 2kp ⇒ 2x = 7p ___ 8 + 2kp ⇒ 
⇒ x = 7p ___ 
16
 + kp ] 
111
S = { x [ R | x = p ___ 16 + kp ou x = 7p ___ 16 +kp } 
2. Resolva, algébrica e graficamente, a equação sen 
x = cos x.
Resolução:
sen x = cos x ⇒ sen x = sen ( p __ 2 – x ) ⇒ 
⇒ x = p __ 
2
 – x + 2kp ⇒ 2x = p __ 
2
 + 2kp ⇒
⇒ x = p __ 
4
 + kp
Graficamente: as soluções da equação sen x = 
cos x são as intersecções dos gráficos de sen x e 
de cos x, ou seja:
x = p __ 
4
 + kp.
112
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Habilidade 14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométri-
cos relacionados a grandezas e medidas.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a Habilidade 14 exige do aluno a capacidade de resol-
ver uma situação proposta com conhecimentos de geometria.
modelo
(Enem) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são 
aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, exis-
tem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços 
elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da 
safra.
A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo 
produto sazonal pode ser descrito pela função:
P(x) = 8 + 5cos ( πX – π ______ 6 ) 
Onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, 
e assim, sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro.
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é:
a) janeiro.
b) abril.
c) junho.
d) julho.
e) outubro.
113
análise expositiva
Habilidade 14 
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema e utilizar seus conhecimentos 
acerca das relações fundamentais e, das equações trigonométricas.
A produção é máxima quando preço é mínimo, ou seja, quando cos ( πX – π ______ 6 ) = –1. O menor 
valor positivo de x para o qual se tem o preço mínimo é tal que:
cos ( πX – π ______ 6 ) = cos(π + 2kπ) ⇒ πX – π ______ 6 = π + 2kπ
⇒ x = 12k + 7, k § Z.
Portanto, para k = 0, segue que x = 7, e o mês de produção máxima desse produto é julho.
Alternativa D
estRutuRa conceitual
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
TRIGONOMÉTRICAS
EQUAÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
sen2(x) + cos2 (x) = 1
sen(x) = a
cos(x) = a
tg(x) = a
sen(�) = sen(�) 
tg(�) = tg(�) 
A incógnita aparece nas medidas
dos arcos ou dos ângulos de
funções trigonométricas
Podem ser das seguintes formas
tg(x) = sen(x)
cos(x)
sec(x) = 1
cos(x)
cossec(x) = 1
sen(x)
cotg(x) = 1
tg(x)
cotg(x) = cos(x)
sen(x)
tg2(x) + 1 = sec2(x)
cotg2(x) + 1 = cossec2(x)
FUVEST
Áreas de figuras planas é tema abordado com grande extensão e alto grau de dificuldade, inclu-
sive com os demais tópicos da Matemática. Iniciativa e criatividade são demandados, além do 
domínio da matéria.
UNESP
Questões sobre as áreas de figuras planas, geralmente, estão atreladas às questões de funções, 
trigonometria e prismas.
UNICAMP
Na maioria das vezes em que áreas de figuras planas é apresentada, a Unicamp cobra outros 
tópicos da matemática, como área de gráficos cartesianose funções que expressam a área em 
função de uma variável. 
UNIFESP
A Unifesp, assim como as outras escolas paulistas, na maioria das vezes, opta por mesclar áreas 
de figuras planas e de poliedros, noções de geometria métrica e tópicos como funções, geometria 
analítica e geometria espacial.
ENEM/UFMG/UFRJ
Habilidade para calcular diversas áreas e semelhança de áreas são cobradas pelo Enem em 
situações-problema. O tópico de poliedros e conceitos de geometria espacial também são abor-
dados por meio de figuras e enunciados.
UERJ
Áreas de quadriláteros e de círculos, poliedros e noções de geometria métrica de posição são 
cobrados com auxílios de outros tópicos da Matemática. As questões costumam ser minuciosas 
e verificam se os alunos realmente dominam os fundamentos da matéria.
FA
CU
LD
ADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL nos principais vestibulares.
©
 Ap
he
lle
on
/S
hu
tte
rst
oc
k
19 22
M
MATEMÁTICA
T
Áreas dos quadriláteros e 
razão de semelhanças para 
áreas 
Competências
2 e 3
Habilidades
6, 7, 8, 9 e 14
©
 Ap
he
lle
on
/S
hu
tte
rst
oc
k
19 22
M
MATEMÁTICA
T
Áreas dos quadriláteros e 
razão de semelhanças para 
áreas 
Competências
2 e 3
Habilidades
6, 7, 8, 9 e 14
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
119
Área dos quadrilÁteros e razão de semelhança para Áreas
Áreas de figuras planas
A área de uma figura plana é, de uma maneira intuitiva, quanto esta figura ocupa no plano que está contida. 
Se adotarmos uma unidade de área, sabendo quanto ela ocupa, podemos compará-la com outras figuras:
Observe que a figura ocupa 18 unidades de área, portanto sua área é de 18 u.a. (unidades de área).
Podemos calcular a área de determinadas figuras planas se soubermos algumas de suas dimensões relevan-
tes. Vamos estudar neste capítulo quais são os quadriláteros notáveis e como calcular suas áreas.
Quadriláteros notáveis
Como já vimos, um quadrilátero é um polígono que possui 4 lados, como o polígono ABCD da figura a 
seguir:
De acordo com as características que determinado quadrilátero possui, podemos classificá-lo de diversas 
formas:
 § Trapézio;
 § Paralelogramo;
 § Losango;
 § Retângulo;
 § Quadrado.
Trapézio
Um trapézio é um quadrilátero convexo que possui pelo menos dois lados paralelos.
120
Um trapézio pode ser:
 § Isósceles: se os dois lados não paralelos forem congruentes.
 § Retângulo: se possuir dois ângulos internos retos.
 § Escaleno: se os lados não paralelos não forem congruentes.
Características do trapézio ABCD
base média = MN = 
B1 + b1 ______ 
2
 
Mediana de Euler = PQ = 
B1 – b1 ______ 
2
 
Área (ABCD) = S = ( B1 + b1 ______ 2 ) h
121
Paralelogramo
Um paralelogramo é um quadrilátero convexo que possui seus lados opostos paralelos.
Características do paralelogramo ABCD
 § Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
 § Os lados opostos são congruentes.
 § Os ângulos opostos são congruentes.
 § As diagonais cruzam-se no ponto médio.
 § As diagonais de um paralelogramo determinam nele quatro triângulos de área iguais.
Área (ABCD) = a ·h
Observação
Note que mesmo se deslocarmos o segmento DC ao longo da reta DC, paralelamente à AB e se mantiver-
mos a mesma base e altura, a área continua a mesma.
Losango
Um losango é um quadrilátero convexo que possui os quatro lados congruentes.
122
Características do losango ABCD
 § É um paralelogramo equilátero.
 § As diagonais cruzam-se no ponto médio.
 § As diagonais de um losango determinam nele quatro triângulos de áreas iguais.
 § As diagonais são perpendiculares.
 § As diagonais são bissetrizes.
 § Os ângulos opostos são congruentes.
y
Área (ABCD) = D ⋅ d ____ 
2
 = 
2x ⋅ 2y
 ______ 
2
 = 2xy 
Observe que a área do losango é a metade do produto das diagonais.
Retângulo
Um quadrilátero convexo que possui os quatro ângulo internos congruentes. Como em um quadrilátero 
convexo a soma dos ângulos internos equivale à 360º, cada ângulo interno será 360°/4 = 90°, ou seja, os quatro 
ângulos internos são retos.
 
 ̂ 
 A = 
 ̂ 
 B = 
 ̂ 
 C= 
 ̂ 
 D = 90°
Características do retângulo ABCD
 § É um paralelogramo equiângulo.
 § As diagonais são congruentes.
 § As diagonais cruzam-se no ponto médio.
 § As diagonais de um retângulo determinam nele quatro triângulos de áreas iguais.
123
Diagonal = AC = BD = √
______
 a2 + b2 
Área (ABCD) = S = a ⋅ b
Quadrado
Um quadrado é um quadriláterno convexo que possui os quatro ângulos internos congruentes e os quatro 
lados congruentes.
Como um retângulo é um quadrilátero que possui os quatro ângulos internos congruentes e um losango 
é um quadrilátero que possui os quatro lados congruentes, podemos dizer também que um quadrilátero é um 
quadrado quando for um losango e um retângulo. 
Características do quadrado ABCD
 § É um paralelogramo equiângulo e equilátero, isto é, regular.
 § As diagonais são congruentes.
 § As diagonais cruzam-se no ponto médio.
 § As diagonais de um quadrado determinam nele quatro triângulos de áreas iguais.
 § É simultaneamente retângulo e losango.
 § As diagonais são perpendiculares.
 § As diagonais são bissetrizes.
Diagonal = CA = BD = a √
__
 2 
Área (ABCD) = a2
124
Resumo das áreas:
Trapézio Área = (B + b)h _______ 2 
B = base maior
b = base menor
h = altura
Paralelogramo Área = b ⋅ h b = baseh = altura
Losango Área = D ⋅ d ____ 2 
D = diagonal maior
d = diagonal menor
Retângulo
 
Área = a ⋅ b a = base
b = altura
Quadrado Área = ø2 ø = lado
Observe que o quadrado é o caso mais particular de quadriláteros notáveis, enquanto que o trapézio é o 
caso menos particular. Podemos também observar que:
 § Todo paralelogramo é também um trapézio;
 § Todo losango é também um trapézio e um paralelogramo;
 § Todo retângulo é também um trapézio e um paralelogramo;
 § Todo quadrado é também um retângulo, losango, paralelogramo e um trapézio.
Podemos resumir isto no diagrama de Venn a seguir, no qual:
U é o conjunto de todos os quadriláteros;
T é o conjunto de todos os trapézios;
P é o conjunto de todos os paralelogramos;
L é o conjunto de todos os losangos;
R é o conjunto de todos os retângulos;
Q é o conjunto de todos os quadrados.
125
razão de semelhança para Áreas
Já estudamos como dois triângulos semelhantes possuem dimensões de segmentos correspondentes pro-
porcionais. Porém, quando temos figuras semelhantes, suas áreas não são diretamente proporcionais da mesma 
maneira que segmentos correspondentes. Veja um exemplo:
O primeiro quadrado possui lado 2, portanto sua área A1 é igual à 4 u.a.. O segundo quadrado possui como 
medida de seu lado o dobro da medida do quadrado anterior, porém sua área é igual à A2 = 16 u.a.. Ao dobrarmos 
a medida de um segmento para o obter uma figura semelhante, sua área não será o dobro da primeira.
Considere os triângulos A1B1C1 e A2B2C2 semelhantes a seguir:
A razão de semelhança k é:
k = 
b1 __ 
b2
 = 
h1 __ 
h2
 
A área S1 e S2 de cada triângulo é dada por:
S1 = 
1 __ 
2
 b1 ⋅ h1 e S2 = 
1 __ 
2
 b2 ⋅ h2
Calculando a razão entre as áreas temos:
 
S1 __ 
S2
 = 
 1 __ 
2
 b1 ⋅ h1
 _______ 
 1 __ 
2
 b2 ⋅ h2
 = 
b1 ⋅ h1 _____ 
b2 ⋅ h2
 = 
b1 __ 
b2
 ⋅ 
h1 __ 
h2
 = k ⋅ k = k2 
Portanto, temos que:
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Esta conclusão pode ser estendida para qualquer par de polígonos semelhantes.
126
Exemplo:
1. Calcule a área do triângulo ADE na figura a seguir, onde DE//BC:
Como os segmentos DE e BC são paralelos, os triângulos ABC e ADE são semelhantes. A razão de seme-
lhança k pode ser calculada pela razão das alturas:
k = 8 ___ 
12
 = 2 __ 
3
 
A área do triângulo ABC é:
SABC = 
1 __ 
2
 ⋅ 10 ⋅ 12 = 60 cm2
A razão de semelhança para áreas é dada por k², portanto podemos calcular a área SADE do triângulo ADE:
k2 = 
SADE ___ 
SABC
 
 ( 2 __ 3 ) 
2
 = 
SADE ___ 
60
 
 4 __ 
9
 = 
SADE ___ 
60
 ⇒ SADE = 
80 ___ 
3
 cm2 > 26,7 cm2
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Sites
ACESSAR
Vídeo
Área de Figuras Planas: Resultados Básicos
matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=20
Área de Figuras Planas Parte III: Losangos, Trapézios, Polígonos...
Fonte: Youtube
128
129
ASSISTIR
INTERATIVIAA DADE
Sites
ACESSAR
Vídeo
APLICAÇÃO NO COTIDIANO
Gerir o espaço e alocar áreas para que você possa otimizar o uso deste são aplicações recorrentes do tópico 
de áreas de figuras planas. Depois de estudar todas as matérias de áreas de figuras planas, veja uma aplicação que 
você poderá fazer para utilizar e otimizar o espaço a seu favor:
1. (IFSUL 2016) Uma plantação de café que está situada em um terreno retangular com dimensões de 157 
metros por 50 metros foi irrigada por um esguicho que tem a capacidade de molhar uma área circular de 
raio igual a 15 metros.
Supondo que esse esguicho foi fixado em seis pontos distintos, objetivando molhar a maior região possível, 
sendo que a mesma parte de café não foi molhada duas vezes e que os limites desse terreno não foram 
ultrapassados, a área do terreno que ainda necessita ser irrigada corresponde aproximadamente a 
a) 7.850 m2
b) 4.239 m2
c) 3.611 m2
d) 706,5 m2
Resolução:
Calculando:
 
Scafé = 157 · 50 = 7850 
Sesguicho = 6 · π · 15
2 ≈ 4239
 } 7850 – 4239 = 3611 m2
Alternativa C
INTERDISCIPLINARIDADE
Na disciplina de Geografia, no segmento de geografia física, o cálculo de áreas é frequentemente abordado. 
Extensões territoriais divididas por divisões político-administrativas, por vegetação, por clima ou de acordo com 
a necessidade do geógrafo é uma das ferramentas que o cálculo de áreas permite. Na disciplina de Física, há o 
cálculo da área de um corpo que sofreu dilatação ou contração por meio de variação de temperatura.
130
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Habilidade 14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométri-
cos relacionados a grandezas e medidas.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a Habilidade 14 exige do aluno a capacidade de resol-
ver uma situação proposta com conhecimentos de geometria.
modelo
(Enem) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centíme-
tros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima 
S que pode ser coberta pelas N placas.
Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas 
placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada.
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:
a) N/9.
b) N/6.
c) N/3.
d) 3N.
e) 9N.
anÁlise expositiva
Habilidade 14
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema utilizando cálculos de área 
de superfícies planas, neste caso, quadrados, para a sua resolução.
Antes: Depois:
Área = y∙y = y² Área = 3y∙3y = 9y²
1 placa — y² 1 placa — 9y²
N placas — S X placas — S
S = N∙y² S = X∙9y²
Igualando:
N∙y² = X∙9y²
X = N/9
Alternativa A
131
estrutura ConCeitual
TRAPÉZIO
RETÂNGULO
QUADRADO
QUADRILÁTEROS
PODE SER 
ISÓSCELES
ESCALENO
RETÂNGULO
A
b1
b2
N
B
CD
H H
Base média = MN = B1 + b1
2
Mediana de Euler = S = PQ = B1 - b1
2
Área (ABCD) = S = (B + b) h
2
PARALELOGRAMO
A B
C
h = altura
D
b
AB // CD
AD // BC
Ângulos opostos
congruentes 
Diagonais se
cruzam no
ponto médio 
Área = S = b · h
Razão de semelhança
para áreas 
É um paralelogramo 
equiângulo 
É um paralelogramo 
equilátero
Diagonais se cruzam no
ponto médio
Diagonais são perpendiculares
e bissetrizes
Ângulos opostos são
congruentes
Diagonais se cruzam
no ponto médio
Área = A = a · b
Serve para qualquer
polígono semelhante 
Ângulos internos
congruentes
Igual ao quadrado
da razão de semelhança
LOSANGO
C
B
D
d = 
diagonal
menor
D = diagonal maior
A
Ângulos internos congruentes
 = B = C = D = 90º
 
Diagonal = D = AC = √a2 + b2
Area = A = D · d
2
C
A
B
D
Db
a
É simultaneamente um
losango e um retângulo
Diagonais se cruzam no
ponto médio
Diagonais são
perpendiculares
e bissetrizes
Área = a2
Diagonal = AC = BD = a√2
C
A
B
Da
a
K = razão de semelhança dos
polígonos A1 e A2
área do polígono 1
área do polígono 2
A1
A2
K2 = A1
A2
©
 Ap
he
lle
on
/S
hu
tte
rst
oc
k
23 24
M
MATEMÁTICA
T
Área do círculo, setor
e segmento circular
Competências
2 e 3
Habilidades
6, 7, 8, 9 e 14
©
 
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
135
Área de um círculo (disco)
Já vimos que uma circunferência de raio R é o conjunto de pontos que equidistam de um ponto O denomina-
do centro da circunferência. Um círculo é o conjunto de pontos que possuem uma distância igual ou menor 
ao raio. Ou seja, o círculo é a união da região interna da circunferência com a circunferência.
Fórmula da área do círculo
A área AC da região interna da circunferência (círculo) de raio R é calculada pela fórmula:
AC = pR
2
Uma forma intuitiva de encontrar a área de um círculo é dividi-lo em pequenos setores. Na figura a seguir, 
por exemplo, dividimos uma circunferência em 8 setores e dispomos cada setor de forma conveniente: 
Ao rearranjar os setores, temos que quanto maior a quantidade de setores que dividimos a circunferência, 
mais próximo de um retângulo a nova figura se torna. Esse retângulo possui dimensões pR e R, portanto sua área 
é S = pR2.
Área de uma coroa circular
Considere a figura a seguir:
136
Sendo:
 § O: centro dos círculos concêntricos.
 § P: ponto da circunferência maior.
 § Q: ponto da circunferência menor.
 § OP = R (raio do círculo maior)
 § OQ = r (raio do círculo menor)
Área da coroa circular = S = pR2 – pr2 = p · (R2 – r2)
Área de um setor circular
Considere a figura a seguir:
R
Onde:
 § O: centro do círculo.
 § P, Q: pontos distintos da circunferência.
 § OP = OQ = R (raio do círculo = raio do setor).
 § a: medida do ângulo central.
 § d: medida linear do arco PQ.
A área AS de um setor pode ser calculada facil-
mente se soubermos o ângulo a. A área do setor é pro-
porcional ao ângulo a:
 
AS __ 
AC
 = a ____ 
360º
 
Em que AC é a área total do círculo.
360º · AS = a · AC
AS = 
a ____ 
360º
 · AC = 
a ____ 
360º
 · pR2
Área do setor circular = S = ( a ____ 360º ) pR2, a em graus.
Área do setor circular = S = ( a ___ 2p ) pR2 = a · R
2
 _____ 
2
 , a em 
radianos.
Podemos, também, calcular sua área em função 
do arco d:
Área do setor circular = S = d · R ____ 
2
 
Exemplo:
1. Na figura a seguir, temos na região interior do 
quadrado ABCD de raio 4 cm um setor circular 
de centro em A e raio 4 cm. Calcule a área da 
figura destacada.
A área destacada A é calculada pela diferença 
entre a área AQ do quadrado ABCD e a área AS 
do setor circular:
A = AQ – AS 
A área do quadrado é igual a AQ = 4² = 16 cm².
O setor circular possui ângulo central de 90° e 
raio 4cm, portanto sua área é dada por:
AS = 
90º ____ 
360º
 · p(4)2 = 1 __ 
4
 · p · 16 = 4p cm2
Portanto, a área destacada é:
A = AQ – AS
A = 16 – 4p = 4(4 – p) cm²
137
Área de um segmento circular 
Sendo:
 § O: centro do círculo.
 § P, Q: pontos distintos da circunferência.
 § OP= OQ = R (raio do círculo).
 § a: media do ângulo central.
 § Área (segmento circular) = 
S = Área (setor POQ) – Área (triângulo POQ).
 § Área (segmento circular) = 
= S = ( a ____ 360º ) · pR2 – R · R · sen a _________ 2 , a em graus.
138
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Habilidade 14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométri-
cos relacionados a grandezas e medidas.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a Habilidade 14 exige do aluno a capacidade de resol-
ver uma situação proposta com conhecimentos de geometria.
modelo
(Enem) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma 
nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 
2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.
O ponto O indica a posição da novaantena, e sua região de cobertura será um círculo, cuja circun-
ferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.
Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi 
ampliada em:
a) 8π.
b) 12π.
c) 16π.
d) 32π.
e) 64π.
139
anÁlise expositiva
Habilidade 14
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema utilizando cálculos de área 
de superfícies planas, neste caso, círculos, para a sua resolução.
Temos que a área de uma circunferência é dada pela fórmula πr².
A área ocupada pelas antenas antigas era de 8π, que temos que duas circunferências de raio 
2, ou seja, área = 2·2²·π.
Já a área coberta pela nova antena é de 16π, pois o seu raio, analisando a figura, vale 4. 
Assim, a área = 4²π.
Ou seja, a área aumentou de 8π.
Alternativa A
140
estrutura conceitual
ÁREA
CÍRCULO
COROA 
CIRCULAR
SETOR CIRCULAR SEGMENTO 
CIRCULAR
R
R
L
A
B
O
R
L
O
R R�
P Q
A = π(R2 – r2)
A = πR2
R
�º
R
O
�rad
A = . R2 �
2
A = πR2 �º
360º
L · R
2
A = A = área do setor PÔQ – área do triângulo PÔQ
A = πR2 – �º
360º
R · R sen(�)
360º
� em graus
©
 Ap
he
lle
on
/S
hu
tte
rst
oc
k
25 26
M
MATEMÁTICA
T
Poliedros e noções de
geometria métrica de 
posição 
Competência
2
Habilidades
6, 7, 8 e 9
©
 
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
143
Poliedros e noções de geometria métrica de Posição
Postulados
 § Postulado da existência: existem pontos, retas e planos. Sua existência é aceita sem prova.
 § Em uma reta existem infinitos pontos;
 § Em um plano existem infinitos pontos.
 § Postulados de determinação:
 § Dois pontos distintos determinam uma única reta.
 § Três pontos não colineares determinam um único plano.
 § Postulado de inclusão: se dois pontos de um plano determinam uma reta, então a reta também está 
contida no plano.
 § Postulado da intersecção: se dois planos distintos possuem pelo menos um ponto em comum, então a 
intersecção dos dois planos forma uma reta.
Posições relativas entre retas
 § Retas paralelas: duas retas são paralelas se, e somente se, forem coplanares sem pontos em comum ou 
forem coincidentes.
144
 § Retas concorrentes: duas retas são concor-
rentes se, e somente se, sua intersecção apre-
senta um único ponto.
 § Retas reversas: duas retas são reversas se, e 
somente se, não existe plano que contenha am-
bas.
Determinação de planos
 § Três pontos distintos: como já exposto, três 
pontos distintos determinam um único plano.
 § Duas retas concorrentes: duas retas concor-
rentes determinam um único plano.
 § Duas retas paralelas distintas: existe apenas 
um único plano que contém duas retas paralelas 
distintas.
 § Um reta e um ponto fora dela: enquanto 
existem infinitos planos que contêm uma deter-
minada reta, existe um único plano que contém 
uma reta e um ponto fora dela.
Posições relativas 
entre reta e plano
 § Reta contida no plano: uma reta está contida 
em um plano se, e somente se, todos os pontos 
da reta também estiverem contidos no plano.
 § Reta paralela ao plano: uma reta é dita pa-
ralela a um plano se, e somente se, entre eles 
não existe pontos em comum.
 § Reta concorrente ao plano: uma reta é con-
corrente a um plano se, e somente se, existir 
somente um único ponto em comum entre 
eles.
145
Posições relativas entre 
planos
 § Planos coincidentes: dois planos são coinci-
dentes, se todos os seus pontos são coincidentes.
 § Planos concorrentes (ou secantes): dois 
planos não coincidentes são concorrentes, se sua 
intersecção apresenta uma única reta.
 § Planos paralelos: dois planos são paralelos, se 
sua intersecção é vazia.
Note que não há a ideia de “planos reversos”.
Perpendicularismo
 § Entre reta e plano: uma reta r e um plano α 
são perpendiculares quando qualquer reta do 
plano α que contém o ponto de intersecção P é 
perpendicular à reta r.
 § Entre planos: dois planos são perpendiculares, 
se um deles contém uma reta que é perpendicu-
lar ao outro.
Projeção ortogonal
 § Entre ponto e plano: a projeção ortogonal P’ 
de um ponto P sobre um planoα é a intersecção 
entre a reta perpendicular a α que passa por 
P.
 § Entre reta e plano: pode acontecer de duas 
formas:
 § se a reta é perpendicular ao plano: a 
projeção ortogonal de uma reta r sobre um 
plano perpendicular a r é um ponto.
 § se a reta não é perpendicular ao plano: 
a projeção ortogonal r’ de uma reta r sobre 
um plano α é a intersecção entre o plano α 
e o plano perpendicular a α que contém a 
reta r.
146
 § Entre um segmento de reta e plano: da-
dos pontos A e B fora do plano α, a projeção 
ortogonal do segmento 

 AB sobre o plano α é 
o segmento formado pelas projeções A’ e B’ dos 
pontos A e B, respectivamente.
Como consequência, também podemos realizar 
projeções ortogonais de figuras geométricas. Veja, a se-
guir, um quadrado ABCD contido no plano β, não para-
lelo a α. Sua projeção ortogonal A’B’C’D’ no plano α é 
um retângulo:
Ângulos
 § Ângulo entre reta e plano: o ângulo θ for-
mado por uma reta r e um plano α (não para-
lelos) é o ângulo entre a projeção ortogonal r’ 
sobre α e r:
 § Ângulo entre planos: considere dois planos α 
e β, não paralelos, e a reta que representa sua 
intersecção é t. Agora, considere uma reta r em 
β que seja perpendicular a t. O ângulo entre os 
planos α e β é o ângulo formado por r e a sua 
projeção ortogonal r’ em α.
Perceba que, se r e r’ não forem perpendiculares 
a t, o ângulo formado entre elas seria menor que θ:
Poliedros
Um poliedro consiste na região delimitada por 
planos. As regiões poligonais determinadas pelos pla-
nos e suas intersecções são denominadas faces. Os la-
dos dos polígonos são as arestas do poliedro e os vérti-
ces das regiões poligonais são os vértices do poliedro.
Veja um exemplo de poliedro:
No poliedro ABCDEFGH, termos que:
 § ABCD, CDGH,..., EFGH são as faces do poliedro;
 § 

 AB , 

 BC , 

 CD ,..., 

 GH são as arestas do poliedro;
 § A, B, C,..., H são os vértices do poliedro.
Observe que:
 § faces são polígonos;
 § arestas são segmentos de reta;
 § vértices são pontos.
Veja:
147
Este poliedro possui, portanto:
 § 5 faces;
 § 8 arestas;
 § 5 vértices.
As figuras espaciais a seguir são exemplo de poliedros.
Poliedros convexos
Vamos recordar o que é uma região convexa do plano.
Uma região do plano é convexa quando o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer dessa região 
está inteiramente contido nela. Nas figuras acima, a e b são regiões convexas e c e d são regiões não convexas 
do plano. De modo equivalente, podemos dizer também que uma região plana é convexa, se qualquer reta r desse 
148
plano intersecta seu contorno em, no máximo, dois pontos:
Regiões planas convexas
Regiões planas não convexas
Um poliedro é convexo quando o segmento que liga dois de seus pontos está sempre contido nele.
De modo equivalente, podemos dizer que um poliedro é convexo, se qualquer reta não paralela a nenhuma 
das faces intersecta suas faces em, no máximo, dois pontos.
Poliedros convexos
Poliedros não convexos
Relação de Euler
O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) descobriu uma importante relação entre o número de 
vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo.
149
Observe estes exemplos:
Observe que, para cada um dos poliedros, o número de arestas é exatamente 2 unidades menos que a soma 
do número de faces com o número de vértices.
Essa relação pode ser escrita assim:
V – A + F = 2 (relação de Euler)
A relação de Euler vale para todos os poliedros convexos, porém, ela não é condição necessária e suficiente 
para que um poliedro seja convexo. Ou seja, a relação pode valer para um determinado poliedro, mas não significa 
que este seja convexo.
O valor 2 dessa expressão é uma característica de todos os poliedros convexos.
Note a relação de Euler em mais um poliedro convexo:
150
Observações: 
1. Em alguns poliedros (não em todos) não convexos, vale também a relação de Euler.
Examine um exemplo dessa afirmação no poliedro não convexo abaixo:
2. A expressão V – A + F pode assumir valores diferentes de 2, quando o poliedro não é convexo.
Examine o poliedro abaixo, que é um exemplo dessa situação. Neste caso:
Poliedro não convexo
Todo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler, mas nem todo poliedro que satisfaz a relação de Euler 
é convexo.
3. Dados três números V, A e F tal que V – A + F, nem sempre existe um poliedro que tenha V vértices, A 
arestas e F faces. Por exemplo, V = 1, A = 3 e F = 4.
4. Em uma superfície poliédrica aberta, vale a relação V – A + F = 1.
Em uma definição informal, uma superfície poliédrica aberta pode ser entendida como um poliedro, onde 
faltam uma ou mais faces adjacentes. Uma caixa de sapatos sem a tampa é uma superfície aberta.
Teoria na prática
1. Determine o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com seis faces quadrangu-
lares e quatro faces triangulares.
Resolução:
Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, temos:
6 ⋅ 4 = 24 arestas
O poliedro tem 4 faces triangulares:
4 ⋅ 3 = 12
Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é:
A = 24 + 12 _______ 
2
 = 18
Temos, então, F = 10, A = 18.
Aplicando a relação de Euler:
V – A + F = 2 ⇒ V – 18 + 10 = 2 ⇒ V = 10
151
Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.
2. Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas 
regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol, que apareceu pela primeira vez na Copa 
do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?
Resolução:
Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:
12 ⋅ 5 = 60 arestas
O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim:
20 ⋅ 6 = 120 arestas.
Logo:
F = 12 + 20 = 32
Cada aresta foi contada duas vezes; portanto, temos:
2A = 60 + 120 ⇒ 2A = 180 ⇒ A = 90
Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,
V – A + F = 2:
V – 90 + 32 = 2 ⇒ V = 2 + 90 – 32 ⇒ V = 60
Assim, o número de vértices é 60.
soma dos ângulos das faces de um Poliedro convexo
Em todo poliedro convexo, a soma dos ângulos das faces é dada por:
S = (V – 2) ⋅ 360º
Em que V é o número de vértices do poliedro.
Demonstração:
Seja n1, n2, n3,..., nF o número de lados de cada uma das F faces do poliedro.
Assim, a soma dos ângulos das faces é:
S = (n1 – 2) ⋅ 180º + (n2 – 2) ⋅ 180º+ ... (nF–2 – 2) ⋅ 180º + ... + (nF – 2) ⋅ 180º ⇒
⇒ S = 180º (n1 + n2 + ... + nF) – 180° (2 + 2 + 2 + ... + 2)
2A F parcelas
⇒ S = 180º ⋅ 2A – 180º ⋅ 2 F ⇒ S = 360º (A – F)
Da relação de Euler, V – 2 = A – F, temos:
S = (V – 2) ⋅ 360º.
152
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são regiões poligonais regulares e congruentes e em 
todos os vértices concorre o mesmo número de arestas.
 Poliedro regular Poliedro regular
Observação: 
Uma região poligonal regular é limitada por um polígono regular, ou seja, por um polígono que tem todos 
os lados e ângulos internos congruentes.
Observe agora:
ProPriedade: existem aPenas cinco Poliedros regulares 
convexos
Consideremos um poliedro regular, sendo n o número de lados de cada face e p o número de arestas que 
concorre em cada vértice.
Assim, temos:
2 A = nF = pV
O que acarreta:
A = nF __ 
2
 e V = nF __ p 
Substituindo esses valores na relação de Euler.
153
V – A + F = 2, temos:
 nF __ p – 
nF __ 
2
 + F = 2 ⇒ 
2nF – npF + 2pF
 _____________ 
2p
 = 
4p
 ___ 
2p
 ⇒
⇒ F(2n + 2 p – np) = 4 p ⇒ F = 
4p
 __________ 
2n + 2p – np
 
Precisamos ter 2n + 2p – np > 0, isto é:
2n > np – 2p ⇒
⇒ 2n > p(n – 2) ⇒
⇒ 2n ____ 
n – 2
 > p
Como p ≥ 3, temos que:
⇒2n > 3n – 6 ⇒
⇒ – n > – 6 ⇒ n < 6
Portanto, temos as seguintes possibilidades: n = 
3, n = 4 e n = 5.
 § Para n = 3:
F = 
4p
 ____ 
6 – p
 →
p = 3 → F = 4 (tetraedro)
p = 4 → F = 8 (octaedro)
p = 5 → F = 20 (icosaedro)
 § Para n = 4:
F = 
4p
 _____ 
8 – 2p
 = 
2p
 ____ 
4 – p
 → p = 3 → F = 6 (cubo)
 § Para n = 5:
F = 
4p
 ______10 – 3p
 → p = 3 → F = 12 (dodecaedro)
Examine estes desenhos:
Tetraedro: 4 faces triangulares equiláteras e 3 arestas que concorrem em cada 
vértice.
Octaedro: 8 faces triangulares equiláteras e 4 arestas que concorrem em cada 
vértice.
Icosaedro: 20 faces triangulares equiláteras e 5 arestas que concorrem em cada 
vértice.
Cubo: 6 faces quadradas e 3 arestas que concorrem em cada vértice.
Dodecaedro: 12 faces pentagonais regulares congruentes e 3 arestas que 
concorrem em cada vértice.
Poliedros de Platão
Um poliedro é denominado poliedro de Platão 
se, e somente se, forem verificadas as seguintes con-
dições:
 § Todas as faces têm o mesmo número de arestas.
 § Em todos os vértices concorrem o mesmo núme-
ro de arestas.
 § Vale a relação de Euler: V – A + F = 2.
Dessa forma, todos os poliedros regulares con-
vexos são poliedros de Platão.
Da mesma maneira que foi demonstrado que só 
existem cinco poliedros regulares convexos, podemos 
demonstrar que só existem cinco classes de poliedros 
de Plantão: tetraedros, hexaedros, octaedros, dodecae-
dros e icosaedros.
154
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
Habilidade 7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais.
A Habilidade 7 exige que o aluno consiga utilizar seus conhecimentos geométricos para realizar 
a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
modelo
Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de 
um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro 
de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada 
usando uma cor distinta das demais faces.
Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces 
do troféu?
a) 6
b) 8
c) 14
d) 24
e) 30
análise exPositiva
Habilidade 7
Nesta questão, é necessário que o aluno saiba identificar os diferentes tipos de sólido geo-
métrico e conhecer suas características e propriedades.
Após os cortes, o poliedro P resultante é um sólido com 6 + 8 = 14 faces.
Alternativa C 
155
estrutura conceitual
NOÇÕES DE GEOMETRIA
DE POSIÇÃO
DOIS PONTOS DISTINTOS DETERMINAM
UMA ÚNICA RETA
RETA CONTIDA NO PLANO
RETA PARALELA AO PLANO
RETA CONCORRENTE AO PLANO
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS
TRÊS PONTOS NÃO COLINEARES
DETERMINAM UM ÚNICO PLANO
PARALELAS
CONCORRENTES
REVERSAS
(PLANOS DISTINTOS)
s
r�
r
s
P
P
r
s
A B
r
r
r
�
�
�
r
PLANOS COINCIDENTES PLANOS CONCORRENTES
PLANOS PARALELOS
� = � 
�
� 
�
� 
PERPENDICULARISMO
ENTRE RETA E PLANOS ENTRE RETA E PLANOS
�
� 
r
s
156
POLIEDROS
TODAS AS FACES SÃO REGULARES E CONGRUENTES
RELAÇÃO DE EULER
V – A + F = 2
SOMA DOS ÂNGULOS
DAS FACES
S = (V – 2) · 360º
POLIEDROS CONVEXOS
POLIEDROS REGULARES
E H
GF
C
D
B
A
ABCD, CDGH, ... , EFGH Faces do poliedro (F)
A, B, C, D, E, F, G, H Vértices (V)
AB, BC, CD, ... , GH Arestas (A)