Logaritmos e Funções Logarítmicas

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Logaritmos e Funções Logarítmicas 
Sumário
Logaritmos e Funções Logarítmicas 
Objetivos ..................................................................... 03
Introdução .................................................................... 04
1. O Surgimento dos Logaritmos ............................ 05
1.1 Definição de Logarítmo ...................................... 07
1.2 Propriedades Operatórias dos Logaritmos ........... 10
Referências Bibliográficas .............................................. 22
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Objetivos 
Ao final desta unidade de aprendizagem, você será capaz de:
• Conceituar e definir condições de existência de logaritmos;
• Aplicar os conceitos de logaritmo, a mudança de base e as 
propriedades operatórias na resolução de equações; 
• Solucionar equações exponenciais e logarítmicas;
• Definir função logarítmica;
• Identificar as propriedades de uma função logarítmica.
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Introdução
Desenvolvido pelo escocês John Napier (1550-1617), os 
logaritmos tinham como objetivo principal minimizar os cálculos 
realizados pelos navegadores e astrônomos da época. Por meio 
da tábua de logaritmo dos senos de 0º a 90º, desenvolvida por 
Napier em 1614, esses cálculos puderam ser mais simplificados. 
Atualmente, com o uso de computadores e calculadoras científicas, 
realizar as operações como multiplicações e divisões já não é mais 
tão exaustivo. No entanto, a utilização dos logaritmos ainda é muito 
presente em diferentes situações.
Nesta unidade de aprendizagem iremos estudar os logaritmos e 
as funções logarítmicas.Veremos sua definição, propriedades e gráficos, 
bem como algumas técnicas de resolução de equações e inequações 
exponenciais e logarítmicas.
Bons estudos!
 Fundamentos da Matemática | 5
1. O Surgimento dos Logaritmos
De acordo com a história da matemática, foi o escocês John 
Napier (1550-1617) quem elaborou a teoria dos logaritmos, embora 
outros matemáticos, como o suíço Jobsti Burgui (1552-1632) e o 
IngLês Henry Briggs (1561-1630), tenham contribuído de forma 
significativa para o desenvolvimento desta teoria.
O surgimento dessa invenção teve grande impacto nos 
meios científicos da época, pois significava um grande avanço de 
cálculo numérico que ajudariam a impulsionar o desenvolvimento 
do comércio, da navegação e da astronomia, já que, na época, 
multiplicações e divisões com números grandes eram feitas com o 
auxílio de relações trigonométricas.
A ideia de Napier era associar os termos da sequência 
(b;b²;b³;b4;...;bn) aos termos de outra sequência (1;2;3;4;...n), 
de forma que o produto de dois termos quaisquer da primeira 
sequência (bx . by = b x + y ) estivesse associado à soma dos termos da 
segunda sequência.
Veja um exemplo:
1ª sequência 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2ª sequência 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
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Para fazer 16.32, note que:
Para multiplicarmos 16 por 32, somamos os termos 
correspondentes a eles na 1ª sequência, ou seja, 4 + 5 = 9, e 
buscamos na 2ª sequência o número correspondente, que é 512. 
Logo, 16 x 32 = 512.
Na linguagem dos logaritmos, os elementos da 1ª sequência da 
tabela correspondem ao logaritmo na base 2, dos respectivos elementos 
na 2ª sequência.
Por longos anos, os logaritmos prestaram-se à finalidade para 
a qual foram inventados, que era facilitar cálculos para números muito 
grandes, porém, hoje, com o desenvolvimento das tecnologias e o 
surgimento das calculadoras eletrônicas, essa finalidade caiu em desuso.
Contudo, quando aplicados ao estudo de funções logarítmicas, 
podem ser utilizadas para descrever diversos fenômenos físicos, 
químicos, econômicos e biológicos. 
Vamos imaginar a seguinte situação:
Análise de uma cultura de bactérias:
Uma cultura de bactérias apresenta taxa de crescimento diária 
de 5%. Em quantos dias uma população B0 dessa bactéria irá triplicar, 
se a taxa de crescimento se mantiver?
Para responder a esta pergunta, devemos organizar as 
informações fornecidas.
Dia População
Início B0
1º dia B1 = B0 + B0 . 0,05 = B0 . 1,05
2º dia B2 = B1 + B1 . 0,05 = B1 . 1,05 = B0 (1,05)² 
3º dia B3 = B2 + B2 .0,05 = B2 . 1,05 = B0 (1,05)³
... ...
Enésimo dia Bn = Bn-1 + Bn-1 .0,05 = Bn-1 . 1,05 = B0 (1,05)n
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Como queremos determinar em quantos dias a população 
triplicará, teremos:
Bn = 3.B0 (I)
Como Bn = B0 (1,05)
n , podemos substituir em (I) Bn por B0 
(1,05)n , ficando assim:
B0 (1,05)n = 3.B0
(1,05)n = 3
Observe que seria impossível resolvermos esta equação usando 
o conceito de função exponencial, pois as bases são diferentes. Em 
situações como estas recorremos aos logaritmos.
Antes de iniciarmos o estudo das funções logarítmicas, 
faremos uma breve revisão do conceito de logaritmos.
1.1 Definição de Logarítmo
Chama–se logaritmo de um número b > 0 em relação a uma 
base a (0 < a ≠ 1), o expoente x a que se deve elevar a base a, a fim de 
que a potência obtida seja igual a N. 
logab = x ax = b onde, b > 0, a > 0 e a ≠ 1.
• x é o logaritmo;
• a é a base;
• b é o logaritmando ou antilogaritmo de x na base a.
Exemplo 1:
log216 = 4, pois 24 = 16
log525 = 2, pois 52 = 25
log1010000 = = 4, pois 104 = 10000
log40,25 = -1, pois 24 = 0,25
log327 = 3, pois 24 = 27
⇔
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Nos exemplos dados acima, o cálculo dos itens ‘a’, ‘b’, ‘c’ e 
‘e’ podem ser feitos mentalmente. No entanto, há casos em que esses 
cálculos não são tão simples assim – é o caso do item d. Vejamos, a 
partir da definição, o cálculo feito por meio da definição:
Calcular o log40,25
Solução:
Façamos log40,25=x, teremos então, pela definição
4x = 1/4
4x = 4-1
x = -1
Lembre que: 0,25 = ¼ =4-1, pelas propriedades de potência.
Exemplo 2:
Qual é o número real x e logx4=-2?
Solução:
Lembremos que, pela definição, x deve ser tal que 0 < x ≠ 1. Logo:
logx4=-2
x-2= 4
1/x² = 4
x²=1/4
x = ±1/2
Como 0 < x ≠ 1, teremos x = ½
Importante
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Relembrando: 
Propriedades de Potência
Propriedades Propriedades
P
1
Produto de potências de 
mesma base am. A n = am+n
55 . 52 = 55+2 = 57
P
2
Quocientes de potências de 
mesma base am: A n = am.n
128 : 12-2 = 128-(-2) = 1212
P
3
Potência de uma potência 
(am)n . A n
(31/2 )2/5 = 31/2.2/5 = 31/5
P
4
Potência de produto
(a.b )n = a n.b n
(4 . 3 )-2 = 4-2 . 3-2
P
5
Potência de quocientes
am. A n = am+n
(5 : 4 )3 = 53 . 43
Chama-se logaritmo decimal aquele cuja base é 10. Indicamos 
o logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a (a base 10 
fica subentendida), ou seja: log10a = log a.
Considerando a definição de logaritmo e as condições de 
existência, temos:
1) loga1 = 0
Exemplo: 
log61 = 0, pois se log61 = x, teremos 6x = 1 6x = 60 x = 0
2) logaa = 1
Exemplo: 
log66 = 1, pois se log66 = x, teremos 6x = 1 6x = 61 x = 1
⇒ ⇒
⇒ ⇒
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3) logaa
β = β
Exemplo:
log22
5 = 5, pois se log22
5 = x, teremos 2x = 25 x = 5 
4) logab = logac b=c
Exemplo: 
log3x = log39 log3x = log332 log3x = 2 x=3² x=9
Então log3x = log39 implica em x = 9. 
5) alogab = b
Exemplo:
5log525 = 25, pois 5log525 = x 5log5252 = x 
Então, 52= x (pois log552 = 2), logo x = 25
Essa propriedade é uma decorrência da definição, ou seja, 
logab = x ax = b.
1.2 Propriedades Operatórias dos Logaritmos
O logaritmo de um produto de dois ou mais fatores reais 
e positivos, de base real positiva e diferente de 1, é igual a soma dos 
logaritmos desses fatores, na mesma base.
Matematicamente, temos:
loga(m.n) = logam + logan, sendo 1 ≠ a > 0 e m > 0 e n > 0
Essa propriedade é válida para n fatores reais e positivos.
⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇔
⇔
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Exemplo:
Determine o valor de log 6, sabendo que log 2 = a e log 3 = b.
Solução:
Podemos escrever 6, como produto entre 3 e 2, pois 3 . 2 = 6, 
fazemos assim log (3.2)= loga3 + loga2 então log 6 = a + b.
Logaritmo de um quociente
O logaritmo de um quociente de dois números reais e 
positivos de base real, positiva e diferente de 1, é igual à diferença entre 
o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor na mesma base.
Matematicamente, temos:
logam/n = logam - logan, sendo 1 ≠ a > 0, e m > 0 e n > 0
Exemplo:
Sabendo que log2b - log2a = 5, determine o quociente b/a.
Solução:
log2b - log2a = 5
log2b/a = 5
25=b/a b/a = 32
Logaritmo de uma potência
Satisfeitas as condições de existência, o logaritmo de uma 
potência de expoente real é igual ao produto desse expoente pelo 
logaritmo da base dessa potência.
⇒
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Matematicamente, temos:
logan
k = k.logan, sendo 1 ≠ a > 0, e n > 0 
Exemplo:
Sabendo que log 2 = 0,3010, calcule o valor de log 64.
log 64 = log 26 = 6 * log 2 = 6 * 0,3010 = 1,806
Mudança de base
Há casos em que o logaritmo pode apresentar uma base que 
não convém, podendo ser substituída por outra. 
Para passarmos logab, com a e b e positivos e a ≠ 1, para a base 
c, com c > 0 e c ≠ 1, logab = logcb / logca, com logca ≠ 0. 
Exemplo 
Passando log49 para a base 2.
log49 = log29/ log24
Função Logarítmica
Chama-se função logarítmica toda função f: R+* R, tal que 
f(x) = logab, em que b é um número real, positivo e diferente de 1.
Exemplos:
a) f(x) = log2x é uma função logarítmica.
b) f(x) = log2x é uma função logarítmica.
Por meio de uma tabela, podemos obter alguns pontos dessa 
função e, a partir deles, esboçar o gráfico da função, em que x são os 
valores atribuídos e y são os valores correspondentes calculados.
 Fundamentos da Matemática | 13
Na escolha dos valores para x atribuímos potências de base 2, 
logo y é um inteiro facilmente calculado, por exemplo:
a) f(x) = log2x
b) f(x) = log1/2x
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Função Logarítmica Crescente
Uma função logarítmica é dita crescente se a > 1 para 
quaisquer que sejam os valores reais positivos de x. Observe que à 
medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y.
Graficamente vemos que a curva da função é crescente.
Observe também que, para dois valores de x(x1 e x2), temos 
logax2 > logax1 x2 > x1 para números reais positivos, com a > 1.
Função Logarítmica Decrescente
Uma função logarítmica é dita decrescente, se 0 < a < 1. Observe 
que à medida que x aumenta, y diminui. 
⇔
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Observe também que, para dois valores de x(x1 e x2), 
temos: logax2 < logax1 x2 > x1, para números reais positivos, com 
0 < a < 1.
Note que, independentemente de a função ser crescente ou 
decrescente, o gráfico da função sempre cruza o eixo das abscissas 
no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas. O 
logax2 = logax1 x2 = x1, isto para x1, x2 e para números reais 
positivos, com a ≠ 1.
• Observando os dois gráficos das funções logarítmicas 
f(x)=log2x e log1/2x, vemos que ambos estão localizados 
na direita do eixo dos y e os dois gráficos cortam o eixo 
dos x no ponto da abscissa 1;
• Se a base da função logarítmica é maior que 1, então 
a função logarítmica é crescente (ver gráfico da função 
f(x)=log2x);
• Se a base a da função logarítmica é maior que zero e 
menor que 1, então a função logarítmica é decrescente 
(ver gráfico da função log1/2x);
• A função logarítmica é inversa da função exponencial e, 
portanto, o seu gráfico é simétrico do gráfico da função 
exponencial em relação à reta y = x, sendo representada 
graficamente por:
⇔
⇔
16 | Fundamentos da Matemática
Equações e Inequações Exponenciais e Logarítmicas
Quando estudamos pela primeira vez as equações e inequações 
exponenciais, resolvemos fatorando ambos os membros e aplicando 
as propriedades das potências, a fim de conseguir igualar as bases das 
potências em ambos os membros da igualdade (ou desigualdade). 
Entretanto, há equações e inequações que não podem ser reduzidas a 
uma igualdade de potências de mesma base pela simples aplicação das 
propriedades das potências. 
Exemplo: 3x = 17 (1).
Como 3 e 17 são números primos, não é possível escrever os 
dois membros dessa igualdade como uma potência de mesma base. A 
resolução desta equação e de outras equações e inequações deste tipo 
baseia-se nas propriedades dos logaritmos.
Para resolver a equação (1), aplicamos o log em ambos os membros:
log 3x = log 17,
Aplicando a propriedade da potência, temos:
x .log 3 = log 17
x = log 17/log 3
Utilizando uma calculadora científica, obtemos:
x 2,579
Agora que já conhecemos os logaritmos e como este pode 
auxiliar na resolução de algumas equações exponenciais, podemos 
resolver a situação apresentada no início desta unidade. 
Voltemos à situação: “Uma cultura de bactérias apresenta taxa 
de crescimento diária de 5%. Em quantos dias uma população B0 dessa 
bactéria irá triplicar, se a taxa de crescimento se mantiver?”

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Vimos que após modelada a situação, chegamos a equação:
(1,05)n = 3 (1). 
Para resolvermos, recorreremos aos logaritmos, reescrevendo 
(1) da seguinte forma:
log (1,05)n = log 3
Aplicando a propriedade do logaritmo de uma potência, teremos:
n.log (1,05) = log 3
n= log 3/log(1,05)
Usando uma calculadora científica, temos que:
n 0,477/ 0,021 22,7
Logo, em 23 dias, a população B0 terá triplicado. 
Definindo Equações Logarítmicas
Equações logarítmicas são todas as equações que apresentam 
a incógnita no logarítmo ou na base de um logaritmo.
1) log4(x+3) = 1
2) log4(x – 3) = log4(– x + 7)
Para resolvermos uma equação logarítmica, o primeiro passo é 
verificar as condições de existência do logaritmo.
Lembre-se de que: logab = c existe quando
a > 0, b > 0 e a ≠ 1. 
 
Importante
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Verificada a condição de existência, resolvemos a equação, e, se 
a solução encontrada satisfizer a condição, este será o conjunto solução. 
Vejamos alguns exemplos: 
Exemplos:
1) Resolva a equação: log2(2x - 3) = 5 
Solução:
Primeiro, vamos verificar a condição de existência, ou seja, 
para quais valores de x o logaritmo existe.
log2(2x - 3), então temos que ter 2x - 3 > 0, logo x > 3/2.
Agora, vamos à solução:
Usando a definição de logaritmos, temos:
log5(2x - 3) = 2 2x - 3 = 5² 2x =25 + 3 x = 28/2 = 14
Como x =14 satisfaz, na condição de existência temos S={14}
2) Resolva as equações: log(x² -1)=log(2x-1)
Primeiro, vamos verificar a condição de existência, ou seja, 
para quais valores de x o logaritmo existe. 
No primeiro termo da equação temos log(x2 -1). Então, pela 
condição de existência:
x² - 1 > 0
x² > 1
x < -1 ou x > 1
⇔ ⇔ ⇔
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No segundo termo da equação, temos: log (2x -1). Então, 
pela condição de existência:
2x - 1 > 0 2x > 1 x > 1/2
Logo, a condição de existência é x > 1, pois satisfaz as 
duas inequações acima.
Agora vamos à solução da equação. Temos:
log(x² -1) = log(2x-1) x² - 1 = 2x -1 x²-2x = 0, então
x1=0 ou x2=2
Nesse caso, apenas x2 satisfaz a condição de existência, 
então o conjunto solução da equação é S = {2}.
Inequações Logarítmicas
Uma equação que apresenta a incógnita no logaritmando 
ou na base de um logaritmo é chamada equação logarítmica.
Assim como nas equações, as resoluções das inequações 
também se baseiam por meio das propriedades dos logaritmos, mas 
na prática devemos considerar os seguintes casos para inequação: 
logab < logac
Caso 1: (a > 1) 
A desigualdade entre f(x) e g(x) tem o mesmo sentido que 
a desigualdade entre os logaritmos, isto é:
logab < logac logab < logac.
⇔ ⇔
⇒ ⇒
⇒
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Caso 2: (0 < a < 1):
Desigualdade entre logaritmos de mesma base
A desigualdade entre f(x) e g(x) tem sentido contrário ao da 
desigualdade entre os logaritmos, isto é: 
logab < logac logab > logac.
Desigualdade entre um logaritmo e um número real:
logab < k
Neste caso, podemos aplicar a propriedade básicado 
logaritmo, mantendo intacto o símbolo da desigualdade:
logab < x b < ax ou logab > x b > ax
Exemplos:
1) Resolva a inequação log1/2(x-4) ≥ 2 
Solução:
a) Primeiro vamos verificar a condição de existência:
x - 4 >0
x > 4 (I)
b) Como a = 1/2 e 0 < a < 1, a desigualdade é invertida.
log1/2(x-4) ≥ 2
log1/2(x-4) ≥ log1/2(1/2 )2
(x-4) ≤ (1/2)2
(x-4) ≤ 1/4
x ≤ 1/4 +4
x ≤ 17/4 (II)
⇒
⇔ ⇔
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A solução da equação é dada pela intersecção entre (I) e (II), 
ou seja, x > 4 x ≤ 17/4 = 4 < x ≤ 17/4; logo, o conjunto solução será 
S= {x R/4 < x < 17/4}.
 
Vimos, nesta unidade, que o estudo de logaritmos surgiu 
inicialmente para facilitar cálculos que hoje, com o auxílio das 
tecnologias, conseguimos resolver facilmente. Porém, sua aplicação 
não ficou restrita a esses cálculos. Hoje, o logaritmo e suas funções 
são utilizados em diferentes situações e, apesar de complexo, 
seu estudo se torna viável se aprendermos suas propriedades e 
consequências de sua definição. 
∩
∈
22 | Fundamentos da Matemática
Referências Bibliográficas
BEZERRA, Manoel Jairo. Matemática para o ensino médio. São 
Paulo: Scipione, 2004.
 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática 
comercial e financeira. 3 ed. Curitiba: IBPEX, 2010.
 
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: 
funções, limite, derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2006.
 
GOLDSTEIN, Larry J. et al. Matemática aplicada: economia, 
administração e contabilidade. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
 
IEZZI, G. MURAKAMI, C. MACHADO, N. J. Fundamentos de 
matemática elementar. Volume 1. Editora Atual, 1993.
IAN, Jacques. Matemática para economia e administração. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2010.
 
LIMA, E. L. et al. A Matemática do ensino médio. Volume 1. 
Sociedade Brasileira de Matemática, 1997.
 
MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática temas e metas. Volume 
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