APS - CALCULO COMPUTACIONAL

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ENGENHARIA QUÍMICA
Jonatas Francisco de Souza
Matricula: 141151151
ATIVIDADE 3 - CÁLCULO NÚMERICO COMPITACIONAL 
Salvador 
2021
1- Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: f (x) = x3 − 2x2 − 20x + 30.
R: Considerando h(x) = x3 e g(x) = 2x2 + 20x − 30 temos que f (x) = g(x) − h(x). Pelo método gráfico, vamos analisar as raízes e gráficos de h(x) e g(x). 
Analisando a função g(x) = x3 temos que g(x) = 0 se x3 = 0, portanto, isto implica que a única raiz de é o zero. Além disso o seu gráfico é dado por: 
A função h(x) = 2x2 + 20x – 30 ​representa uma função de segundo grau, cuja concavidade é voltada para cima, pois a = 2. Analisando as suas raízes temos: 
h(x) = 0 se e somente se 2x² + 20x - 30 = 0, dividindo ambos os termos por 2, temos que é equivalente a X² + 10X – 15 = 0 portanto temos: 
Δ = 10² - 4 .1. (− 5) = 160 (− 10 ±√160) /2
 Portanto as raízes serão aproximadamente 1,324 e -11,324. Um esboço do gráfico será dado por uma parábola com concavidade para cima, e cortando o eixo do y em -30. Portanto teremos:
Colocando os dois gráficos no mesmo plano cartesiano;
Não foi possível determinar as raízes, porém é possível perceber que elas estão entre -10 e 10 analisando neste intervalo, temos:
	
	-10
	-9
	-8
	-7
	-6
	-5
	-4
	-3
	-2
	-1
	g(x)
	-1000
	-729
	-512
	-343
	-216
	-125
	-64
	-27
	-8
	-1
	h(x)
	-30
	-48
	-62
	-72
	-78
	-80
	-78
	-72
	-62
	-48
	
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	g(x)
	0
	1
	8
	27
	64
	125
	216
	343
	512
	729
	1000
	h(x)
	-30
	-8
	18
	48
	82
	120
	162
	208
	258
	312
	370
Analisando a tabela, temos que a função h(x) começa sendo a maior, entre -5 e -4, a função g(x) passa a ser maior, entre 1 e 2 a função h(x) passar a ser maior e entre 4 e 5 a função g(x) passa a ser maior. Como as raízes é onde ambas as funções são iguais, temos três raízes de f(x) estão nos intervalos (-5,-4) (1,2) e (4,5), portanto uma negativa e duas positivas.
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para g(x) e h(x).
	f(x) = g (x) – h (x) 
	g (x) 
	h (x)
	x³ - 2x² - 20x + 30
	X³ 
	2x² + 20x - 30
Representando as funções g(x) e h(x) no Geogebra e em seguida marcando os pontos de intersecção entre das duas funções encontramos os pontos D, E e F que correspondem exatamente ao que encontramos em 1). Temos pontos de intersecção (e, portanto, as raízes de f(x)) nos intervalos (-5,-4), (1,2) e (4,5), logo uma negativa e duas positivas. 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (x4) aproximação da raiz positiva da função f (x) = x²- 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo de [a, b] (a e b naturais) de comprimento 1, isto é, b − a = 1.
	Portanto os valores são:
	X4
	f(x4)
	|x4 – x3|
	3,15625
	-0,038085938
	0,03125
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (x29) aproximação da raiz. Calculando o valor de (x29) com o uso da função Se do Excel, obtemos;
	X29
	f(x29)
	|x29 – x28|
	3,16227766
	1,03875E-09
	9,31323E-10
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com x 29 
R: Calculando √10 na calculadora obtemos: 3.16227766017
 Comparando o valor com o valor obtido no Excel temos que ambos representam a mesma quantidade, portanto temos uma excelente aproximação para a raiz de f(x). No Excel está apenas representado menos casas decimais da raiz, devido ao número de casas utilizadas para o arredondamento.
ETAPA 3: Método de Newton 
6. No Excel, isolando a raiz de f (x) = 2x − sen (x) + 4 num intervalo [a, b] (a e b inteiros) de comprimento 1, isto é, b − a = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo:
	(Tolerância) 
	Nº mínimo de iterações
	xn
	f (xn)
	
	2
	-2,354305393352
	-0,000169474846
	
	3
	-2,354242758736
	-0,000000001390
	
	4
	-2,354242758223
	0,000000000514
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função f(x) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é ε ≤ 
Desenhando a função f(x) no geogebra e marcando a sua raíz, obtemos o seguinte:
Comparando com o valor obtido em ε ≤ obtemos já uma boa aproximação para a raíz da função.
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função f (x)= x³ - cos(x) e X0 = 0,5. Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração f (x)? 
R: Considerando g(x) = x³ e h(x) = cos(x), representando as funções geometricamente temos:
Pelo gráfico sabemos que elas se cruzam na parte em que ambas coordenadas são positivas, além disso a função g(x) passa pelos pontos (0,0) e (1,1) e cresce para valores maiores do que 1, e a função h(x) está sempre entre -1 e 1 no eixo y, podemos perceber que elas se cruzam no intervalo [0,1]. 
Procedendo com a verificação das hipóteses do método da iteração linear, sabemos que a função f(x) de fato é contínua em [0,1] (pois g(x) e h(x) são) e possui um zero neste intervalo. 
Encontrando a função interação temos f (x) = x³ - cos(x) = 0, devemos isolar um valor de x. 
X³ − cos(x) = 0 
X³ = cos(x) 
Temos duas possibilidades:
 
x = ∛ cos(x) ou x = arc cos (x³). Consequentemente F(x) = ∛ cos(x) ou F(x) = arc cos (x).
Considerando F(x) = ∛ cos(x), temos que será sempre menor do que 1 no intervalo considerado, portanto temos a garantia da convergência.
9. Sejam f (x) = x³ - cos(x), xo = 0,5 e uma função de iteração convenientemente escolhida. No Excel levando em consideração a sequência de raízes xn, complete a tabela abaixo:
	Xn
	Raiz aproximada
	F(xn)
	Erro (|xn – xn-1|)
	X5
	0,8667538751 
	0,8650399272
	0,005068762479
	X15
	0,8654740586 
	0,8654740244
	0,0000001009455659
	X18
	0,8654740321 
	0,8654740334
	0,000000003926832415
	X32
	0,8654740331
	0,8654740331
	0
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função f(x) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada (x32).
Comparando o valor encontrado no Geômetra 0,87 e 0,8654740331 no Excel. A função dada não é uma função fácil de encontrar a solução analiticamente, como no Excel temos erros iguais a zero, temos a garantia do valor da raiz.
na_nb_nx_nf(a_n) IMAGEMf(b_n)IMAGEMf(x_n)Erro
0343,5-162,25
133,53,25-12,250,56250,25
233,253,125-10,5625-0,2343750,125
33,1253,253,1875-0,2343750,56250,160156250,0625
43,1253,18753,15625-0,2343750,16015625-0,0380859380,03125
na_nb_nx_nf(a_n) IMAGEMf(b_n)IMAGEMf(x_n)Erro
0343,5-162,25
133,53,25-12,250,56250,25
233,253,125-10,5625-0,2343750,125
33,1253,253,1875-0,2343750,56250,160156250,0625
43,1253,18753,15625-0,2343750,16015625-0,0380859380,03125
53,156253,18753,171875-0,0380859380,160156250,0607910160,015625
63,156253,1718753,1640625-0,0380859380,0607910160,0112915040,0078125
43,156253,16406253,16015625-0,0380859380,011291504-0,0134124760,00390625
83,160156253,16406253,162109375-0,0134124760,011291504-0,0010643010,001953125
93,1621093753,16406253,163085938-0,0010643010,0112915040,0051126480,000976563
103,1621093753,1630859383,162597656-0,0010643010,0051126480,0020239350,000488281
113,1621093753,1625976563,162353516-0,0010643010,0020239350,0004797580,000244141
123,1621093753,1623535163,162231445-0,0010643010,000479758-0,0002922860,00012207
133,1622314453,1623535163,16229248-0,0002922860,0004797589,3732E-056,10352E-05
143,1622314453,162292483,162261963-0,0002922869,3732E-05-9,92781E-053,05176E-05
153,1622619633,162292483,162277222-9,92781E-059,3732E-05-2,77325E-061,52588E-05
163,1622772223,162292483,162284851-2,77325E-069,3732E-054,54793E-057,62939E-06
173,1622772223,1622848513,162281036-2,77325E-064,54793E-052,1353E-053,8147E-06
183,1622772223,1622810363,162279129-2,77325E-062,1353E-059,28989E-061,90735E-06
193,1622772223,1622791293,162278175-2,77325E-069,28989E-063,25832E-069,53674E-07
203,1622772223,1622781753,162277699-2,77325E-063,25832E-062,42537E-074,76837E-07213,1622772223,1622776993,16227746-2,77325E-062,42537E-07-1,26535E-062,38419E-07
223,162277463,1622776993,162277579-1,26535E-062,42537E-07-5,11409E-071,19209E-07
233,1622775793,1622776993,162277639-5,11409E-072,42537E-07-1,34436E-075,96046E-08
243,1622776393,1622776993,162277669-1,34436E-072,42537E-075,40506E-082,98023E-08
253,1622776393,1622776693,162277654-1,34436E-075,40506E-08-4,01927E-081,49012E-08
263,1622776543,1622776693,162277661-4,01927E-085,40506E-086,92895E-097,45058E-09
273,1622776543,1622776613,162277658-4,01927E-086,92895E-09-1,66319E-083,72529E-09
283,1622776583,1622776613,162277659-1,66319E-086,92895E-09-4,85145E-091,86265E-09
293,1622776593,1622776613,16227766-4,85145E-096,92895E-091,03875E-099,31323E-10