resposta da atv 3 de calculo numerico PDF

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de 
Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da 
última 
atualização 
05/06/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos 
Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
▪ Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (
Capstone) 
▪ Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
▪ Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. 
 
 
 
 
 
 
 
Determino os pontos: h(x) = x³ e g(x) = 2x² + 20x – 30, e pelo método gráfico -f(x) = g(x)- h(x), vamos analisar as 
raízes e gráfico de h(x) e g(x). 
A função g(x) = x³, e temos que g(x), é então x³ = 0, isto implica que a raiz é zero. 
 
 
Podemos identificar que h(x) = 2² + 20 -30 que representa uma função de segundo grau, que a cavidade é voltada 
para cima, por que a = 2. 
Na raiz temos que , se os termos forem divididos por 2, temos que x² + 10x – 15 = 0, ∆ = 102 – 4 * 1 * (-15) = 160 
(-10±√160/2). 
 
 
 
 
 
 
 
O valor encontrado será de aproximadamente 1,324 e -11,324. Ele (gráfico) mostra uma parábola com cavidade 
para cima, e corta o eixo do y em -30. 
 
Com os dois pontos no mesmo lugar, fazendo intercessão. Não encontramos as raízes, mais 
entendemos que os pontos são entre -10 e +10. 
 
 
 
 
 
De acordo com a função analisada, temos uma função f(x) e h(x), começa sendo maior, entre (-
5 e -4), a função g(x) passa a ser maior, entre (1 e 2) a função h(x) passa a ser maior entre (4 e 
5) a função g(x) passa a ser maior. Como as raízes se encontram ambas as funções são iguais, 
temos três raízes de f(x) que estão nos intervalos (-5,-4)(1,2) e (4,5), teremos 1 negativa e 2 
positiva. 
 
 
 
 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 
X³ - 2x – 20x +30 X³ 2x² + 20x - 30 
 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
Os pontos encontrados A,B e C, correspondem exatamente ao que foi encontrado em : 1) pontos 
de intersecção, portanto as raízes de f(x) então nos intervalos (-5,-4), (1,2) e (4,5), assim 1 
negativa e 2 positivas. 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) aproximação 
da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
Dados os números : x² - 10 = 0, então x² = 10 como (-3)² = 9 e (-4)² = 16 também, 3² = 9 e 4² = 16, afirmamos 
assim que uma raiz está no intervalo [-4,-3] e a outra [3,4]. Então vamos considerar o intervalo [a,b] = [3,4]. 
 
 
𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| 
3,15625 -0,038086 0,031250 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 
 
𝑥29 𝑓(𝑥29) |𝑥29 − 𝑥28| 
3,1622777 0 0 
 
 
 
 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥29. 
 
Realizando o cálculo na calculadora √10, obtemos: 3,16227766017. 
Assim comparando o valor com o valor obtido na planilha do Excel temos que ambos representam uma mesma 
quantidade, portanto temos uma excelente aproximação para a raiz de f(x), no Excel está apenas representando 
menos casas decimais da raiz, devido ao número de casas utilizadas para o arredondamento. 
 
 
 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 1, 
isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
 
 
 
 
𝜀 (Tolerância) 
Nº mínimo de 
iterações 
𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 
10−1 2 -2,354305393352 -0,000169474846 
10−4 3 -2,354242758736 -0,000000001390 
10−9 4 -2,35424275223 0,000000000514 
 
Assim encontramos o intervalo onde g(x) e h(x) encontram-se e podemos analisa0r que g(x) está sempre 
entre -1 e 1, como g(x) é uma reta que passa no ponto (-2,0), teríamos que as funções cruzam em [-3,-2] 
ou [-2,-1], como no intervalo [-3,-0] a função é h(x) sendo negativa, e em [-2,-1] é g(x) sendo positiva onde 
descartamos uma hipótese de raiz que esta no intervalo. Portanto a raiz está no intervalo [-3,-2]. 
Como g(x) e h(x) são retas continuas , temos que f(x) continua num mesmo intervalo, além disso temos: 
F(x) = 2x – sem (x) +4 
F’ (x) = 2 – cos (x) positiva; 
F” (x) = sin(x) negative no interval [-3,-2]; 
F’(-3)F”(-3) = 0,26 (𝑥0 não pode ser menor que -3); 
F’(-2)F”(-2) = -0,83 (𝑥0 pode ser maior que -2). 
 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. 
 
 
F(x) = 2x – sin(x) +4 
A = √(𝑓,−11.09,11.09) 
(-2.35,0) 
 
 
 
 
 
 
Podemos comparar o valor obtido em Ꜫ≤ 10-9, assim temos já uma aproximação para a raiz da 
função. 
 
 
 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥) e 𝑥0 = 0,5. Justificando 
sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
 
Método gráfico para isolar as raízes: g(x) = x³ e h(x) = cos(x). 
 
As linhas que se cruzam na parte em que ambas coordenam positivas, a função g(x) passa pelos pontos 
(0,0) e (1,1) e cresce para valores maiores do que 1, a função h(x) está sempre entre os eixos -1 e 1 na 
reta y, percebemos que elas se cruzam no intervalo [0,1]. Procedendo com a verificação das hipóteses 
do método da intenção linear, assim sabemos que a função f(x) de fato é continua em [0,1], pois g(x) e 
h(x), possui zero no intervalo. Encontramos a função de interação onde temos f(x) = x³ - cos(x) = 0, assim 
devemos isolar um valor de x. 
x³ - cos(x) = 0 => x³ = cos(x), 
tendo assim duas possibilidades : 
x = √cos(𝑥)
3
 ou x = arc cos (x³), 
assim, f(x) = √cos⁡(𝑥)
3
 ou f(x) = arc cos (x³). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No Excel, 
levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 
 
𝑥𝑛 Raiz aproximada 𝑓(𝑥𝑛) Erro (|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1|) 
𝑥5 0,8667538751 0,8650399272 0,005068762479 
𝑥15 0,8654740586 0,8654740244 0,0000001009455659 
𝑥18 0,8654740321 0,8654740334 0,000000003926832415 
𝑥32 0,8654740331 0,8654740331 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas 
para a raiz encontrada (𝑥32). 
 
 
 
 
 
 
 
No geogebra encontramos:0,87 
No excel: 0,8654740331, 
Como no excel temos erros iguais a zero, temos as garantias do valor da raiz. 
 
 
 
 
 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 
2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987