gabarito_prova1_s2_2010

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EMA094N - Profa. Adriana S. França – 1ª Avaliação – 2o Sem.2010 
 
Nome: GABARITO 
 
1. (12 pontos) Uma barra longa cilíndrica (k=0,5 W/m K, 200 mm de diâmetro) está sujeita a 
geração de calor volumétrica uniforme a uma taxa de 25000 W/m3. A barra é envolta por uma 
camisa circular (k=4 W/m K) com diâmetro externo de 350 mm, cuja superfície externa está 
exposta a ar a 27oC (h=25 W/m2K). Avalie as temperaturas das superfícies interna (T1) e 
externa (T2) da camisa. Sabendo que o material da barra se funde a 250 oC, verifique se existe 
necessidade de se trocar o fluido de resfriamento (Avalie o valor máximo de temperatura que 
será alcançado na barra). 
 
Desenho esquemático: (1,0) 
 
ar, 27oC
r2
r1
r1 = 100 mm
r2 = 175 mm
T2
T1
Tágua 
 
 
Avaliação de T2: (3,0) 
 
Todo o calor produzido pela barra cilíndrica é transferido para o ar por convecção 
 ( ) ( )∞∞ −××=×⇒−== TTLrπ2hLrπqTThAVqq 22212 && ( ) ( )27T175,02251,025000 22 −×××=× ( )K6,328C6,55T o2 = 
 
Avaliação de T1: (3,0) 
 ( )( ) ( )( )
Lrπ2h
1
kLπ2
r/rln
TT
kLπ2
r/rln
TTLrπqq
2
12
1
12
212
1
+
−=−=×= ∞& 
 
( ) ( )( ) )K346(C73T
42
1,0/175,0ln
6,55T1,025000 o11
2 =⇒
×
−=× 
 
 
 
 
 
 
Avaliação da temperatura máxima da barra (5,0) 
 
Considerações 
 
(1) regime estacionário 
(2) unidimensional (variações somente ao longo do raio) 
 
Equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas: 
q
z
Tk
z
Tk
r
1
r
Tkr
rr
1
t
Tc 2p &+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ∂
∂
φ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂
∂ρ 
0 (consideração 1) 0(consideração 2) 
rq
r
Tkr
r
&−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
 
Integrando uma vez: 
r
C
k2
rq
r
TC
2
rq
r
Tkr 1
2
+−=∂
∂⇒+−=∂
∂ && 
Integrando novamente: 21
2
CrlnC
k4
rq)r(T ++−= & 
Aplicação das condições de contorno: 
1) não há fluxo de calor em r=0 (simetria) 0C0
r
T
1 =⇒=∂
∂ 
2) T=T1 em r1 1
2
1
22
2
1
1 Tk4
rqCC
k4
rqT +=⇒+−= && 
Portanto: 
( ) 1221 Trrk4q)r(T +−= & 
 
( ) ( )K471C198T73
5,04
1,025000TTr
k4
q)0(TT omax
2
max1
2
1max =⇒+×
×=⇒+== & 
 
 
O sistema de resfriamento está adequado, visto que a temperatura máxima é inferior a 
temperatura de fusão do material. 
 
 
 
 
2. (13 pontos) Água em um tanque é aquecida pelo contato com um tubo de cobre (k=400 W/mK) 
de 50mm de diâmetro interno e 3mm de espessura, submerso no tanque. Gases quentes de 
combustão (T = 750K) escoam no interior do tubo. Para aumentar a transferência de calor para 
a água, quatro aletas planas de seção transversal uniforme são inseridas no interior do tubo, 
formando um cruzamento (vide figura). As aletas apresentam 5mm de espessura e também são 
feitas de cobre. Se a temperatura da superfície do tubo que está em contato com a água é 350K, 
e o coeficiente de transferência de calor por convecção do lado do gás é 30 W/m2K, qual a taxa 
de transferência de calor para a água por metro de tubo? Sabendo que a água se encontra a 
340K, avalie o valor do coeficiente convectivo para a água. Dica: Considere que a parede do 
tubo pode ser aberta e aproximada por uma parede plana com 4 aletas conforme o desenho 
esquemático. 
 
água
gases Di/2
πDe
 
 
Circuito térmico equivalente e definição das resistências (3,0) 
 
 
TáguaTgases
Te
L/kA1/ηghAt 1/hA
ln(r2/r1)
(2πkL)
ou
 
 
Avaliação dos parâmetros da aleta: 
t
L
Tb
w
x
Too, h
 
obs: a aleta tem um metro de largura (unidade de comprimento do tubo) ( ) ( )
( ) 23sr
3
m005,01051wtA
m01,210512tw2P
=×==
=×+=+=
−
−
(1,0) 
 
 
 
( ) ( )( ) 49,5005,0400/01,230kA/hPm 2/12/1sr =××== (0,5) 
 
m1025L 3−×= (0,5) 
 
NÃO SE DEVE efetuar correção do comprimento, pois pela simetria do problema não há fluxo de 
calor nas extremidades das aletas. A correção do comprimento somente é efetuada quando a 
extremidade da aleta está em contato com o fluido. 
 ( ) 99,0
mL
mLtanh
ηa == (1,0) 
 
23
a m0503,0102501,2PLA =××== − (1,0) 
 
sreat NAwDπNAA −+= 
 ( ) 23t m357,0005,0411056π0503,04A =×−××+×= − (2,0) 
 
( ) 996,0η1
A
NA1η a
t
a
g =−−= (1,0) 
 
( ) 09376,0357,030996,0 111056π400 103hAη 1kALR 3
3
tg
t =××+×××
×=+= −
−
(1,0) 
 
W4266
09376,0
350750
R
TT
q
t
egases
t =−=
−= (1,0) 
 ( ) Km/W2425hTTwDπhW4266q 2aguaaguaeeaguat =⇒−== (1,0)