AOL4 CALCULO INTEGRAL

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Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário
Paulo Renato Castro da Gama
Pergunta 1 -- /1
Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral reescrevendo as integrais 
complexas em integrais mais simples e facilmente solucionáveis.
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de integração, associe os itens 
a seguir com os significados descritos:
1) Integração por partes.
2) Integração por substituição trigonométrica.
3) Integração por frações parciais.
4) Integração por substituição u du.
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de integrais.
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções.
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos.
( ) Utilizado para integração de funções racionais.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
3, 4, 2, 1.
7/10
Nota final
Enviado: 04/06/21 22:46 (BRT)
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1, 2, 4, 3.
2, 1, 3, 4.
Resposta correta4, 1, 2, 3.
1, 2, 3, 4.
Pergunta 2 -- /1
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos que 
são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes por algumas funções 
trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x).
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições 
trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os 
processos de substituição descritos:
1) x²/√(4 – x²).
2) 1/√(16 + x²).
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16).
4) (x² – 16).
( ) Substituição x = 2sen(w).
( ) Substituição x = 4sec(w).
( ) Substituição x = 4tg(w).
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta correta1, 4, 2, 3.
Incorreta: 1, 4, 3, 2.
2, 3, 1, 4.
1, 3, 2, 4.
2, 1, 3, 4.
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Pergunta 3 -- /1
O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental importância no que diz 
respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de 
integração. Esse método consiste em reescrever a função como a soma de frações cujos denominadores são 
fatores do denominador original e, apenas após isso, realizar a integração de fato.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por frações parciais, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser calculada pelo método da 
integração de frações parciais.
Porque:
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas divisões polinomiais, 
obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), para então integrar utilizando a regra da integral da 
soma de vários termos.
Agora, assinale a alternativa correta:
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições falsas.
Incorreta: A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Resposta correta
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da 
I. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
Pergunta 4 -- /1
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O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz respeito à integração de 
funções mais complexas do que as habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste 
em substituir um dos termos por uma função trigonométrica, para que se encontre alguma identidade que 
simplifica a expressão, possibilitando a sua integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por substituições 
trigonométricas, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada pelo método da substituição 
trigonométrica, por meio da substituição x = 2sec(w).
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x = 2sec(w), temos que √(x²+4) = 
√[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e como sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula inicial e 
integrando, encontramos a expressão dada.
Agora, assinale a alternativa correta:
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Resposta corretaAs asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I
Pergunta 5 -- /1
As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma integral indefinida, onde 
muitas vezes não há um passo direto para encontrarmos a primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa 
forma, dependendo do arranjo algébrico dos termos de f(x), decidimos por diferentes técnicas de integração, 
como o método da substituição, o da integração por partes, o das frações parciais, e etc.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida pelo método de 
integração por partes e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da integração por partes, por se 
tratar do produto de duas funções.
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II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
integral f left parenthesis x right parenthesis space g space apostrophe left parenthesis x space right 
parenthesis d x space equals space f left parenthesis x right parenthesis space g space left parenthesis x right 
parenthesis space minus integral g left parenthesis x right parenthesis space f apostrophe left parenthesis x 
right parenthesis d x plus C
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C.
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente igual a 6,28.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Resposta corretaF, V, V, V.
V, V, F, F.
Incorreta: V, F, F, V.
F, V, V, V.
F, F, V, F.
Pergunta 6 -- /1
Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes de Cálculo Integral. 
Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, sem eles, não seriam resolvidas. Um dos 
métodos importantes de integração é o método conhecido como frações parciais.
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a 
sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração:
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas integrais.
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial.
( ) Substituir os valores nas integrais.
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações.
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
3, 4, 2, 1, 5
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5, 2, 3, 4, 1.
Resposta correta5, 1, 4, 2, 3.
2, 1, 3, 4, 5.
2, 4, 1, 5, 3.
Pergunta 7 -- /1
O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à integração de 
funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método 
consiste em separar a função em duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais 
fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar.Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por partes, analise as 
asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C.
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv = cos(x)dx, de forma 
que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma 
integral parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral 
cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta:
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
Resposta correta
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da 
I.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições falsas.
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Pergunta 8 -- /1
O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a integração por substituições 
trigonométricas possui diversas aplicações no escopo do cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas 
substituições são as únicas saídas para resolver uma integral definida cujo valor numérico equivale, por 
exemplo, à área sob uma curva, a um volume de rotação ou translação, ao comprimento de um arco, etc.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as 
afirmativas a seguir:
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições trigonométricas em 
integrais, pois isolando y encontramos a raiz de a² – x².
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a substituição x = 
asen(w), devido ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w.
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição para integração em casos 
específicos, nos quais pode-se recorrer a certas substituições, baseando-se nas identidades trigonométricas, 
para chegar a expressões integráveis.
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições trigonométricas, nem 
sempre é preciso retornar à variável x original.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e III.
I, II e IV.
Resposta corretaI, II e III.
II e IV.
I e III.
Pergunta 9 -- /1
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A integral definida possui diversas interpretações geométricas importantes. A mais simples é a da integral de 
uma função definida em um intervalo, que nos dá o valor da área da região sob a curva. Os intervalos de 
integração da integral definida podem ser manipulados para a resolução dessas integrais de outras maneiras.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral definida e com seus conhecimentos acerca 
dos diversos métodos de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F 
para a(s) falsa(s).
I. ( ) A área delimitada pela curva f(x) = 1/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2.
II. ( ) Mesmo que a função não seja convergente, é possível calcular sua área dividindo o intervalo em 
subintervalos.
III. ( ) A área delimitada pela curva h(x) = 2/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2.
IV. ( ) A força em um deslocamento de 100m é dada por f(x) = x - 50. Sabendo que o trabalho dessa força é 
dado pela integral da força vezes o deslocamento, pode-se dizer que o trabalho dessa força é nulo para esse 
deslocamento.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
F, V, F, V.
V, V, F, F.
V, F, F, F.
Resposta corretaV, F, F, V.
F, F, V, F.
Pergunta 10 -- /1
O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e complexos métodos. 
Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de funções trigonométricas específicas para a 
eliminação de uma estrutura determinada do integrando.
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale 
V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando.
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis.
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse método.
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração.
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Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, F, F.
V, V, F, F.
Resposta corretaV, V, F, V.
F, F, V, V.
V, V, V, F.