Cálculo Integral - 20211 B - Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário

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42245 . 7 - Cálculo Integral - 20211.B 
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) – Questionário 
OBS: RESPOSTAS EM REALCE TODAS CORRETAS 
 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio delas, obtém-se uma 
medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é 
essencial. Existem inúmeros métodos de integração, cada um para um fim definido. O método de integração 
por partes é um deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções. 
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das derivadas, realizando 
manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade. 
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv em outra em termos 
de du e um termo independente de integral. 
IV. A função cos(x) é integrável por esse método. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I, III e IV. 
2. 
I, II e IV. 
3. 
II e IV. 
4. 
II e III. 
5. 
I, II e III. 
Resposta correta 
2. Pergunta 2 
/1 
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas que se tem 
uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de funções. 
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser definidas em termos 
de subtrações ou soma de outras integrais. 
II. ( ) A fórmula representa o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de 
rotação em x. 
III. ( ) representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma função. 
IV. ( ) pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de 
rotação y. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
2. 
F, F, V, F. 
3. 
V, V, F, F 
4. 
V, V, F, V. 
5. 
V, F, V, V. 
3. Pergunta 3 
/1 
Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes de Cálculo Integral. 
Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, sem eles, não seriam resolvidas. Um dos 
métodos importantes de integração é o método conhecido como frações parciais. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a 
sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração: 
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas integrais. 
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial. 
( ) Substituir os valores nas integrais. 
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações. 
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
3, 4, 2, 1, 5 
2. 
2, 1, 3, 4, 5. 
3. 
5, 2, 3, 4, 1. 
4. 
5, 1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
5. 
2, 4, 1, 5, 3. 
4. Pergunta 4 
/1 
As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados 
matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de funções racionais por frações 
parciais é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de funções racionais por 
frações parciais, é correto afirmar que: 
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o método das frações parciais 
ou fazer alguma outra substituição para sua resolução. 
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, 
as quais são mais fáceis de se integrar. 
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como uma soma de frações 
parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P. 
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
2. 
I e III. 
3. 
II e III. 
4. 
II e IV. 
5. 
III e IV. 
5. Pergunta 5 
/1 
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas 
assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros 
conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos vão 
gerando outros, e assim sucessivamente. 
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas 
funções é relevante para a integração por partes porque: 
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1. 
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral 
por partes. 
2. 
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do método de 
integração por partes. 
Resposta correta 
3. 
deve-se derivar as funções antes de integrá-las 
4. 
ambas são axiomas da matemática. 
5. 
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos. 
6. Pergunta 6 
/1 
O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a integração por substituições 
trigonométricas possui diversas aplicações no escopo do cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas 
substituições são as únicas saídas para resolver uma integral definida cujo valor numérico equivale, por 
exemplo, à área sob uma curva, a um volume de rotação ou translação, ao comprimento de um arco, etc. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições trigonométricas em 
integrais, pois isolando y encontramos a raiz de a² – x². 
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a substituição x = 
asen(w), devido ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w. 
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição para integração em 
casos específicos, nos quais pode-se recorrer a certas substituições, baseando-se nas identidades 
trigonométricas, para chegar a expressões integráveis. 
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições trigonométricas, nem 
sempre é preciso retornar à variável x original. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e III. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
II e III. 
4. 
II e IV. 
5. 
I, II e IV. 
7. Pergunta 7 
/1 
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos 
que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes por algumas 
funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x). 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições 
trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os 
processos de substituição descritos: 
1) x²/√(4 – x²). 
2) 1/√(16 + x²). 
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16). 
4) (x² – 16). 
( ) Substituição x = 2sen(w). 
( ) Substituição x = 4sec(w). 
( ) Substituição x = 4tg(w). 
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
1, 4, 3, 2. 
2.2, 1, 3, 4. 
3. 
2, 3, 1, 4. 
4. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
5. 
1, 3, 2, 4. 
8. Pergunta 8 
/1 
O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e complexos métodos. 
Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de funções trigonométricas específicas para a 
eliminação de uma estrutura determinada do integrando. 
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale 
V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando. 
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis. 
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse método. 
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, F. 
2. 
V, V, F, F. 
3. 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
4. 
V, V, V, F. 
5. 
F, F, V, V. 
9. Pergunta 9 
/1 
A integral definida possui diversas interpretações geométricas importantes. A mais simples é a da integral de 
uma função definida em um intervalo, que nos dá o valor da área da região sob a curva. Os intervalos de 
integração da integral definida podem ser manipulados para a resolução dessas integrais de outras 
maneiras. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral definida e com seus conhecimentos acerca 
dos diversos métodos de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A área delimitada pela curva f(x) = 1/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. 
II. ( ) Mesmo que a função não seja convergente, é possível calcular sua área dividindo o intervalo em 
subintervalos. 
III. ( ) A área delimitada pela curva h(x) = 2/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. 
IV. ( ) A força em um deslocamento de 100m é dada por f(x) = x - 50. Sabendo que o trabalho dessa força é 
dado pela integral da força vezes o deslocamento, pode-se dizer que o trabalho dessa força é nulo para esse 
deslocamento. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, V. 
Resposta correta 
2. 
F, F, V, F. 
3. 
V, F, F, F. 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
F, V, F, V. 
10. Pergunta 10 
/1 
O estudo dos métodos de integração é importante no uso das ferramentas do cálculo por nos possibilitar a 
encontrar uma função primitiva F(x) de uma certa função f(x). Além do método da substituição, outra técnica 
de integração importante é o da integração por partes, na qual tomamos uma função e a separamos em duas 
partes para acharmos sua integral indefinida. 
Considerando f(x) = u e g(x) = v, de forma que f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv e de acordo com seus 
conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir. 
I. A Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação. 
II. Integrar por partes significa fazer a integral de u.dv igual a uv menos a integral de v.du. 
III. A técnica da integração por partes corresponde à Regra do Quociente para a derivação. 
IV. Assim como na derivação, existem regras que sempre garantem a obtenção da integral indefinida de uma 
função. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e III. 
2. 
I, e IV. 
3. 
I, II e III. 
4. 
I e II. 
Resposta correta 
5. 
II e IV.