Exercícios de Fixação_05

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 5
Temas abordados : Regras de derivac¸a˜o; Derivadas de func¸o˜es trigonome´tricas
Sec¸o˜es do livro: 3.1; 3.2; 3.3; 3.4
1) Defina o conceito de derivada de uma func¸a˜o f no ponto x = x0.
2) Usando a definic¸a˜o calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = x2 − x+ 1 (b) f(x) = 1/x
(c) f(x) =
√
x (d) f(x) = 1/
√
x
3) Quantas retas tangentes ao gra´fico de f(x) = x3 + 3x sa˜o paralelas a` reta y = 6x + 1?
Determine a equac¸a˜o dessas retas tangentes.
4) Usando as regras de derivac¸a˜o e lembrando que ( sen(x))′ = cos(x) e (cos(x))′ = − sen(x),
calcule a derivada das func¸o˜es trigonome´tricas abaixo.
(a) tan(x) =
sen(x)
cos(x)
(b) sec(x) =
1
cos(x)
(c) csc(x) =
1
sen(x)
(d) cot(x) =
cos(x)
sen(x)
Em seguida, determine as ass´ıntotas verticais de cada uma dessas func¸o˜es.
5) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = 3x4 − 7x2 + 5x− 11 (b) f(x) = 2x+ 3
x2 − 1
(c) f(x) =
√
x
x2 − 2x (d) f(x) =
√
x sec(x)
(e) f(x) = 3
√
x+
4
x
(f) f(x) = cos(x) + (x2 + 1) sen(x)
6) Uma part´ıcula de move sobre uma linha reta de acordo com a equac¸a˜o s =
√
t, sendo
s a distaˆncia (em metros) da part´ıcula ao seu ponto de partida, t > 0 segundo apo´s a
partida.
(a) Calcule a velocidade me´dia da part´ıcula entre os instantes t = 9 e t = 16;
(b) Calcule a velocidade instantaˆnea da part´ıcula quando t = 9.
7) Calcule a taxa de variac¸a˜o do volume de um bala˜o esfe´rico em relac¸a˜o ao seu raio, quando
o raio do bala˜o for igual a 5 cm.
8) Um proje´til e´ lanc¸ado verticalmente para cima e t > 0 segundo apo´s o lanc¸amento esta´
a s metros do solo, onde s(t) = 256t− 16t2. Calcule
(a) a velocidade do proje´til t segundos apo´s o lanc¸amento;
(b) o tempo necessa´rio que a altura ma´xima seja atingida;
(c) a altura ma´xima atingida pelo proje´til.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 1 de 2
9) No instante t horas um ve´ıculo esta´ 16
√
t3− 24t+16 quiloˆmetros a` leste de um ponto de
refereˆncia na estrada.
(a) Qual a velocidade no instante t = 1/4? Nesse instante o ve´ıculo esta´ se afastando
ou aproximando do ponto de refereˆncia?
(b) Onde esta´ o ve´ıculo quanto a velocidade e´ zero?
10) Determine a, b ∈ R de modo que a func¸a˜o f(x) =
{
x2 se x < 1,
ax+ b se x ≥ 1, seja deriva´vel
em x = 1.
11) Mostre que a func¸a˜o f(x) =
{
x2 sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0,
e´ deriva´vel (e portanto cont´ınua)
em x = 0.
12) Mostre que a func¸a˜o f(x) =
{
x sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0,
e´ cont´ınua em x = 0 mas na˜o e´
deriva´vel nesse mesmo ponto.
RESPOSTAS
1) A derivada de uma func¸a˜o f no ponto x0 e´ o limite
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 .
Geometricamente, a derivada f ′(x0) e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no
ponto (x0, f(x0)).
2) (a) 2x− 1 (b) − 1
x2
(c)
1
2
√
x
(d) − 1
2x
√
x
3) duas retas, com equac¸o˜es y = 6x− 2 e y = 6x+ 2
4) (a) sec2(x) (b) sec(x) tan(x) (c) − csc(x) cotan(x) (d) − csc2(x)
5)
(a) 12x3 − 14x+ 5 (b) −2x
2 − 6x− 2
(x2 − 1)2
(c)
−3x2 + 2x
2
√
x(x2 − 2x)2 (d)
√
x sec(x) tan(x) +
1
2
√
x
sec(x)
(e)
1
3x2/3
− 4
x2
(e) (2x− 1) sen(x) + (x2 + 1) cos(x)
6) (a) 1/7 m/s (b) 1/6 m/s
7) 100pi
8) (a) v(t) = 256− 32t (b) 8 segundos (c) 1024 metros
9) (a) Se aproximando a 12 km/h (b) 8 km a leste do ponto de refereˆncia
10) a = 2 e b = −1
11) f ′(0) = lim
h→0
f(h)− f(0)
h
= lim
h→0
h sen(1/h) = 0
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 2 de 2