Listas_de_Fixacao_Mod_1_1_2013

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Fixação – Semana 1
Temas abordados : Funções
Seções do livro: 1.1; 1.2; 1.3; 1.5; 1.6
1) Sejam x, y ∈ R tais que x = y e considere a seguinte sequência de passos
x2 = yx
x2 − y2 = yx− y2
(x− y)(x+ y) = y(x− y)
x+ y = y
2y = y
2 = 1.
Uma vez que 2 6= 1, em alguma das passagens acima existe um erro. Identifique essa
passagem e explique qual foi o erro cometido.
2) A função módulo é definida, para todo x ∈ R, como sendo
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0.
Marcando o ponto x na reta real, o módulo de x é exatamente a distância desse ponto até
o ponto 0. Utilizando a definição acima descreva o conjunto dos valores x que satisfazem
as seguintes igualdades.
(a) |2x+ 5| = 4
(b) |x− 3| = |2x+ 1|
3) Repita o exerćıcio acima considerando agora as seguintes desigualdades
(a) |3x− 8| < 4
(b) |x+ 3| ≥ 2
4) Determine o domı́nio de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x) =
3x+ 4
x2 − x− 2 (b) g(x) =
|x2 − 1|
3
√
x+ 1
(c) h(x) =
√
|x| − x
(d) r(x) =
x
√
|x| − 1
(e) p(x) =
√
1−
√
1− x2
5) Em cada um dos itens abaixo, encontre a equação da reta que satisfaz as exigências
apresentadas.
(a) passa pelos pontos (3, 4) e (−2, 5)
(b) passa pelo ponto (−1, 3) e tem inclinação igual a −1
(c) passa pelo ponto (5,−1) e é paralela à reta 2x+ 5y = 15
(d) passa pelo ponto (0, 1) e é perpendicular à reta 8x− 13y = 13
Lista de Fixação da Semana 1 - Página 1 de 12
6) Considere a função linear f(x) = 2x + 1 e δ > 0 um número dado. Verifique que, se
|x− 1| < δ, então |f(x)− f(1)| < 2δ.
7) Considere a função linear f(x) = −3x + 4 e ε > 0 um número dado. Verifique que
|f(x)− f(0)| < ε, sempre que |x− 0| < ε/3.
8) Para cada uma das funções abaixo, determine os intervalos no qual a função dada é
positiva e aqueles onde ela é negativa.
(a) s(t) = (2t− 3)(t+ 1)(2− t)
(b) m(y) =
y(1− 2y)
y + 1
9) Considerando f(x) = 2x2 − 8 e g(x) = 2/(x− 7), determine o domı́nio e a expressão de
cada uma das funções abaixo.
(a) (f + g)(x) (b) (f · g)(x) (c)
(
f
g
)
(x)
(d)
(
g
f
)
(x) (e) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) (f) (g ◦ f)(x) = g(f(x))
10) Considerando f(x) = (4− x)/x, determine a expressão de cada uma das funções abaixo.
(a) f
(
1
x
)
− 1
f(x)
(b) f(x2)− f(x)2 (c) f(f(x))
11) Dadas f(x) =
{
−x se x < 0
x2 se x ≥ 0 e g(x) =
{
1/x se x < 0√
x se x ≥ 0 , determine
(a) (f ◦ g)(x) (b) (g ◦ f)(x)
12) Denotando por x e y os lados de um retângulo cujo peŕımetro é igual a 100, determine o
domı́nio e a expressão da função d(x) que fornece o comprimento da diagonal do retângulo
em função de x.
13) A partir de uma cartolina medindo 14× 22 vamos construir uma caixa sem tampa como
segue: recortamos quadrados de lado x em cada um dos vértices da cartolina e dobramos
as abas. Determine a expressão e o domı́nio da função V (x) que fornece o volume da
caixa em função de x.
14) Sejam x, y e z os lados de um triângulo retângulo, onde x é a hipotenusa. Suponha que
o triângulo tem peŕımetro igual a 6. Determine a expressão da função A(x) que fornece
a área do triângulo em função de x.
Dica: eleve os dois lados da igualdade y + z = 6− x ao quadrado.
15) Um grama de gelo, inicialmente a −40oC, é posto em uma fonte de calor. Neste expe-
rimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T ), em calorias, para que
a amostra atinja temperatura T , em oC. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua
temperatura em 2oC. Quando atinge 0oC, são necessárias mais 80 cal para o derretimento
total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a água necessita de
1 cal para aumentar sua temperatura em 1oC.
(a) Calcule Q(−40), Q(−38), Q(0), Q(1) e Q(2).
(b) Determine a expressão de Q(T ), para T ∈ [−40, 80].
Lista de Fixação da Semana 1 - Página 2 de 12
RESPOSTAS
1) Na quarta passagem o termo (x− y) não pode ser ”cancelado”por ser igual a zero.
2) (a) x ∈
{
−9
2
,−1
2
}
(b) x ∈
{
−4, 2
3
}
3) (a) x ∈ (4
3
, 4) (b) x ∈ (−∞,−5] ∪ [−1,+∞)
4) (a) R \ {−1, 2} (b) R \ {−1} (c) R (d) (−∞,−1) ∪ (1,+∞) (e) [−1, 1]
5) (a) y = −1
5
x+ 23
5
(b) y = −x+ 2 (c) y = −2
5
x+ 1 (d) y = −13
8
x+ 1
6) |f(x)− f(1)| = |(2x+ 1)− (2 · 1 + 1)| = |2x− 2| = 2|x− 1| < 2δ
7) |f(x)− f(0)| = |(−3x+ 4)− (−3 · 0 + 4)| = | − 3x| = 3|x| < 3 · ε
3
= ε
8) (a) positiva em (−∞,−1) ∪
(
3
2
, 2
)
, negativa em
(
−1, 3
2
)
∪ (2,+∞)
(b) positiva em (−∞,−1) ∪
(
0, 1
2
)
, negativa em (−1, 0) ∪
(
1
2
,+∞
)
9) (a) 2x2 − 8 + 2
(x− 7), para x 6= 7
(b)
4x2 − 16)
(x− 7) , para x 6= 7
(c) (x2 − 4)(x− 7), para x ∈ R
(d)
1
(x− 7)(x2 − 4), para x 6∈ {−2, 2, 7}
(e)
8
(x− 7)2 − 8, para x 6= 7
(f)
2
2x2 − 15, para x 6= ±
√
15/2
10) (a)
−4(x2 − 4x+ 1)
4− x
(b)
−2(x2 − 4x+ 6)
x2
(c)
5x− 4
4− x
11) (a) (f ◦ g)(x) =
{
−1/x se x < 0
x se x ≥ 0
(b) (g ◦ f)(x) =
{ √
−x se x < 0
x se x ≥ 0
12) d(x) =
√
x2 + (50− x)2, x ∈ (0, 50)
13) V (x) = x(22− 2x)(14− 2x), x ∈ (0, 7)
14) A(x) = 9− 3x
15) (a) Q(−40) = 0, Q(−38) = 1, Q(0) = 20, Q(1) = 101, Q(2) = 102
(b) Q(T ) =
{
(T/2) + 20 se T ∈ [−40, 0]
T + 100 se T ∈ (0, 80]
Lista de Fixação da Semana 1 - Página 3 de 12
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Cálculo 1
Lista de Fixação – Semana 2
Temas abordados : Limites no ponto
Seções do livro: 2.1; 2.2; 2.3
1) Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→1
(−3x2 + 3x+ 5) (b) lim
s→0
√
2s2 + 3s− 4
4s− 4
(c) lim
x→−1
|x− 1|
x− 1 (d) limx→1
|x− 1|
x− 1
(e) lim
z→0
z2 + 2z
z
(f) lim
x→9
2
√
x− 6
x− 9
(g) lim
z→1
|z − 1|(z − 2) (h) lim
x→7
5−
√
4 + 3x
7− x
(i) lim
x→4
x2 + 2x− 8
2x− 8 (j) limt→2
t3 − 8
t− 2
(k) lim
x→2
2x2 − 6x+ 4
2− x (l) limx→1+
x2 − 5x+ 4
|x− 1|
2) Lembrando que limx→0 sen(x)/x = 1, calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→0
sen(6x)
2x
(b) lim
x→0
sen(5x)
sen(9x)
(c) lim
x→0
1− cos(x)
2x
(d) lim
x→0
1− cos(x)
x2
(e) lim
x→0
x sen(x)
1− cos(x) (f) limh→0
sen(a + h)− sen(a)
h
3) Dê um exemplo de uma função f para a qual o limite lim
x→0
|f(x)| existe, mas não existe
lim
x→0
f(x).
4) Suponha f(x) > 0 para todo x 6= 2 e f(2) = −3. Decida sobre a veracidade de cada
uma das afirmações abaixo, justificando caso ela seja verdadeira ou apresentando um
contra-exemplo caso seja falsa.
(a) lim
x→2
f(x) não existe (b) lim
x→2
f(x) = −3 (c) Se existir, lim
x→2
f(x) é positivo.
5) Dadas f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1,
x+ 1 se x > 1,
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1,
2 se x > 1,
resolva os itens abaixo.
(a) Esboce os gráficos de f e g.
(b) Calcule lim
x→1
f(x) e lim
x→1
g(x).
(c) Dê a expressão de h(x) = f(x)g(x) e verifique se existe lim
x→1
h(x).
Lista de Fixação da Semana 2 - Página 4 de 12
RESPOSTAS
1)
(a) 5 (b) 1 (c) −1 (d) não existe (e) 2 (f) 1/3
(g) 0 (h) 3/10 (i) não existe (j) 12 (k) −2 (l) −3
2) (a) 3 (b) 5/9 (c) 0 (d) 1/2 (e) 2 (f) cos(a)
3) Um exemplo é f(x) =
{
1 se x < 0
−1 se x ≥ 0
4) Todas as afirmações são falsas. Para os dois primeiros itens um posśıvel contra-exemplo
é a função f(x) =
{
1 se x 6= 2
−3 se x = 2 . Para o terceiro f(x) =
{
|x− 2| se x 6= 2
−3 se x = 2
5) (b) os limites não existem, visto que nos dois casos os limites laterais no ponto x = 1,
apesar de existirem, são diferentes.
(c) h(x) =
{
x4 + 3x2 se x ≤ 1
2x+ 2 se x > 1
, de modo que lim
x→1
h(x) = 4.
Lista de Fixação da Semana 2 - Página 5 de 12
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Cálculo 1
Lista de Fixação – Semana 3
Temas abordados : Continuidade
Seções do livro: 2.4; 2.5
1) Explique o que significa dizer que uma função f é cont́ınua no ponto x = x0.
2) Sabe-se que limx→2 f(x) = 5 e f está definida em R. Todas as afirmações abaixo são
falsas. Desenhe um contra-exemplo para cada uma delas.
(a) f(x) > 0 para x ∈ (1, 3) (b) f(2) = 5 (c) f(2) é positivo
3) Suponha que x2 cos2(x) ≤ f(x) ≤ x sen(x), para todo x ∈ (−π/2, π/2). Verifique que f
é cont́ınua em x = 0.
4) Para cada uma das funções f abaixo, verifique se existeuma função cont́ınua F : R → R
tal que F (x) = f(x) para todo x ∈ Dom(f). Em caso afirmativo, determine F (x), em
caso negativo, explique porque tal função não pode existir.
(a) f(x) =
|x|
x
(b) f(x) =
x2 − 4
x− 2
5) Decida se a função f(x) =
{
x3 cos(1/x) se x 6= 0,
1 se x = 0,
é cont́ınua em x = 0.
6) Decida se a função função g(x) =



√
x− 1
x− 1 se x 6= 1,
1/2 se x = 1,
é cont́ınua em x = 1.
7) Determine a ∈ R tal que a função f(x) =
{
1 + ax se x ≤ 0,
x4 + 2a se x > 0,
seja cont́ınua em x = 0.
8) Determine a, b ∈ R tal que a função f(x) =



−
√
2− x se x < 1,
ax+ b se 1 ≤ x < 2,
|x2 − 7x+ 12| se x ≥ 2, ,
seja
cont́ınua.
9) Para cada função abaixo determine um intervalo de comprimento 1 que possua pelo
menos uma ráız da função.
(a) f(x) = x3 + x− 1 (b) g(x) = x3 + 3x− 5 (c) h(x) = 1 + x cos
(πx
2
)
10) Verifique que existe x ∈ R tal que sen(x) = x− 1.
RESPOSTAS
1) A função f é cont́ınua no ponto x = x0 se lim
x→x0
f(x) = f(x0). Desse modo, o ponto x0 tem que estar no
domı́nio de f , o limite nesse ponto deve existir e coincidir com o valor da função no ponto.
2)
3) Fazendo x = 0 conclúımos que f(0) = 0. Além disso, como lim
x→0
x2 cos2(x) = 0 = lim
x→0
x sen(x), segue do
Teorema do Sandúıche que lim
x→0
f(x) = 0.
Lista de Fixação da Semana 3 - Página 6 de 12
4) (a) Não, pois não existe o limite lim
x→0
f(x). Esse último não existe porque os limites laterais, apesar de
existirem, são diferentes.
(b) F (x) = x+ 2
5) Não, pois lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x3 cos(1/x) = 0 6= 1 = f(0).
6) Sim, pois lim
x→1
g(x) = lim
x→1
√
x− 1
(
√
x− 1)(√x+ 1) =
1
2
= f(1).
7) a = 1/2
8) a = 3, b = −4
9) (a) f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1). Como f é cont́ınua em [0, 1] segue do TVI que existe c ∈ [0, 1] tal que
f(c) = 0
(b) [1, 2]
(c) [ 1
2
, 3
2
]
10) Use o TVI para obter uma ráız da função h(x) = x− 1− sen(x).
Lista de Fixação da Semana 3 - Página 7 de 12
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Cálculo 1
Lista de Fixação – Semana 4
Temas abordados : Limites no infinito, limites infinitos e assııntotas
Seções do livro: 2.6
1) Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→3−
1
x− 3 (b) limx→3+
1
x− 3
(c) lim
x→3+
1
(x− 3)2 (d) limx→−1−
(
3
x+ 1
− 5
x2 − 1
)
(e) lim
x→5−
√
25− x2
x− 5 (f) limx→3+
x2 − 2x+ 4
2x− 6
2) Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→−∞
(3x3 − 4) (b) lim
x→+∞
5− 4x
2x− 3 (c) limx→+∞
x2 + 4
8x3 − 1
(d) lim
x→+∞
x2 + 4
x− 1 (e) limx→±∞
√
x2 − 2x+ 2
x+ 1
(f) lim
x→−∞
x+ 3
√
x
x2 + 1
(g) lim
x→−∞
3
√
2 +
3
x
(h) lim
x→+∞
cos(x) (i) lim
x→+∞
x+ sen3(x)
5x+ 6
(j) lim
x→−∞
x2(1 + sen2(x))
(x+ sen(x))2
(k) lim
x→+∞
(
√
x2 − 1− x) (l) lim
x→+∞
x(
√
x2 − 1− x)
3) Determine as asśıntotas horizontais e verticais de cada uma das funções abaixo.
(a) g(x) =
2x2 + 1
2x2 − 3x (b) f(x) =
2x√
x2 + 4
(c) f(x) =
|x− 2|
x− 2
(d) f(x) =
x√
x2 − 4
(e) f(x) = x+ sen(x) (f) f(x) =







x+
1
3
√
x
, se x < 0
x− 4√
x− 2 se x ≥ 0, x 6= 4
4) Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, onde a > 0 e b, c, d ∈ R são dados. Mostre que f possui
pelo menos uma ráız.
5) Considere duas cargas elétricas com carga unitária e positiva, fixadas num eixo perpen-
dicular a uma parede, como na figura abaixo. O potencial elétrico gerado por essas
duas part́ıculas num ponto x ao longo desse eixo é dado, em unidades convenientes, pela
seguinte função
V (x) =
1
|x+ 1| +
1
|x− 1| , x > −1.
Lista de Fixação da Semana 4 - Página 8 de 12
(a) Verifique que o potencial elétrico é dado por
V (x) =





− 2
x2 − 1 , −1 < x < 1
2x
x2 − 1 , x > 1
(b) Determine as asśıntotas verticais e horizontais de V .
RESPOSTAS
1) (a) −∞ (b) +∞ (c) +∞ (d) −∞ (e) −∞ (f) +∞
2)
(a) −∞ (b) −2 (c) 0 (d) +∞
(e)
{
1 se x → +∞
−1 se x → −∞ (f) 0 (g)
3
√
2 (h) não existe
(i) 1/5 (j) não existe (k) 0 (l)−1/2
3) (a) Verticais: x = 0 e x = 3/2, Horizontais: y = 1
(b) Verticais: não existem, Horizontais: y = 2 e y = −2
(c) Verticais: não existem, Horizontais: y = −1 e y = 1
(d) Verticais: x = −2 e x = 2, Horizontais: y = −1 e y = 1
(e) Verticais: não existem, Horizontais: não existem
(f) Verticais: x = 0, Horizontais: não existem
4) Calcule os limites no infinito da função e use o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
5) b) As asśıntotas verticais são x = −1 e x = 1, y = 0 é a asśıntota horizontal de V .
Lista de Fixação da Semana 4 - Página 9 de 12
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Cálculo 1
Lista de Fixação – Semana 5
Temas abordados : Retas tangentes, derivadas, regras de bsicas de derivação
Seções do livro: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4
1) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) em cada um
dos casos abaixo.
(a) f(x) = x2 − x+ 1, x0 = 1 (b) f(x) = 1/x, x0 = −2
(c) f(x) =
√
x, x0 = 4 (d) f(x) = 1/
√
x, x0 = 1
2) Defina o conceito de derivada de uma função f no ponto x = x0.
3) Usando a definição calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x) = x2 − x+ 1 (b) f(x) = 1/x
(c) f(x) =
√
x (d) f(x) = 1/
√
x
4) Quantas retas tangentes ao gráfico de f(x) = x3 + 3x são paralelas à reta y = 6x + 1?
Determine a equação dessas retas tangentes.
5) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x) = 3x4 − 7x2 + 5x− 11 (b) f(x) = 2x+ 3
x2 − 1
(c) f(x) =
√
x
x2 − 2x (d) f(x) =
3
√
x+
4
x
6) Uma part́ıcula de move sobre uma linha reta de acordo com a equação s =
√
t, sendo
s a distância (em metros) da part́ıcula ao seu ponto de partida, t > 0 segundo após a
partida.
(a) Calcule a velocidade média da part́ıcula entre os instantes t = 9 e t = 16;
(b) Calcule a velocidade instantânea da part́ıcula quando t = 9.
7) Calcule a taxa de variação do volume de um balão esférico em relação ao seu raio, quando
o raio do balão for igual a 5 cm.
8) Um projétil é lançado verticalmente para cima e t > 0 segundo após o lançamento está
a s metros do solo, onde s(t) = 256t− 16t2. Calcule
(a) a velocidade do projétil t segundos após o lançamento;
(b) o tempo necessário que a altura máxima seja atingida;
(c) a altura máxima atingida pelo projétil.
9) No instante t horas um véıculo está 16
√
t3− 24t+16 quilômetros à leste de um ponto de
referência na estrada.
(a) Qual a velocidade no instante t = 1/4? Nesse instante o véıculo está se afastando
ou aproximando do ponto de referência?
Lista de Fixação da Semana 5 - Página 10 de 12
(b) Onde está o véıculo quanto a velocidade é zero?
10) Determine a, b ∈ R de modo que a função f(x) =
{
x2 se x < 1,
ax+ b se x ≥ 1, seja derivável
em x = 1.
RESPOSTAS
1) (a) y = x (b) y = −1
4
x− 1 (c) y = 1
4
x+ 1 d) y = −1
2
x+
3
2
2) A derivada de uma função f no ponto x0 é o limite
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
.
Geometricamente, a derivada f ′(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no
ponto (x0, f(x0)).
3) (a) 2x− 1 (b) − 1
x2
(c)
1
2
√
x
(d) − 1
2x
√
x
4) duas retas, com equações y = 6x− 2 e y = 6x+ 2
5)
(a) 12x3 − 14x+ 5 (b) −2x
2 − 6x− 2
(x2 − 1)2
(c)
−3x2 + 2x
2
√
x(x2 − 2x)2 (d)
1
3x2/3
− 4
x2
6) (a) 1/7 m/s (b) 1/6 m/s
7) 100π
8) (a) v(t) = 256− 32t (b) 8 segundos (c) 1024 metros
9) (a) Se aproximando a 12 km/h (b) 8 km a leste do ponto de referência
10) a = 2 e b = −1
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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Fixação – Semana 6
Temas abordados : Derivadas de funções trigonométricas
Seções do livro: 3.5
1) Usando as regras de derivação e lembrando que ( sen(x))′ = cos(x) e (cos(x))′ = − sen(x),
calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo.
(a) tan(x) =
sen(x)
cos(x)
(b) sec(x) =
1
cos(x)
(c) csc(x) =
1
sen(x)
(d) cot(x) =
cos(x)
sen(x)
Em seguida, determine as asśıntotas verticais de cada uma dessas funções.
2) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.(a) f(x) = cos(x) + (x2 + 1) sen(x) (b) f(x) =
√
x sec(x)
(c) f(x) = cos(2x) (d) f(θ) = tan(2θ)
3) Mostre que a função f(x) =
{
x2 sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0,
é derivável (e portanto cont́ınua)
em x = 0.
4) Mostre que a função f(x) =
{
x sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0,
é cont́ınua em x = 0 mas não é
derivável nesse mesmo ponto.
RESPOSTAS
1) (a) sec2(x) (b) sec(x) tan(x) (c) − csc(x) cotan(x) (d) − csc2(x)
2)
(a) (2x− 1) sen(x) + (x2 + 1) cos(x) (b) √x sec(x) tan(x) + 1
2
√
x
sec(x)
(c) −2 sen(2x) (d) 2 sec2(2θ)
3) f ′(0) = lim
h→0
f(h)− f(0)
h
= lim
h→0
h sen(1/h) = 0
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