Cálculo Diferencial e Integral I

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Cálculo Diferencial e Integral I 
Aula 1 
Universidade Federal de São João Del-Rei 
Campus do Alto do Paraopeba - Ouro Branco/MG 
Raquel Gomes de Oliveira 
E-mail: raqgoliveira@gmail.com 
 
01/2018 
Planejamento 
Limite - 15/01 – 17/01 
Derivada - 22/01 – 25/01 
Integral - 29/01 – 01/02 
 
P1 18/01 
P2 26/01 
P3 02/02 
Exercícios 
E1 - 18/01 
E2 - 26/01 
E3 - 01/02 
Provas 
3 Provas (45%) 
3 Listas de Exercícios (40%) 
Exercícios em Sala (15%) 
• James Stewart - Volume 1 – Tradução da 6ª edição 
Limites 
 Introdução 
 O limite de uma função 
 Limites laterais 
 Limites Infinitos 
 Propriedades dos Limites 
 Continuidade 
 Limites no Infinito 
 Limites Infinitos no Infinito 
Limites 
 O problema da área 
A área do círculo é o limite 
das áreas dos polígonos 
inscritos. 
Limites 
 O problema da área 
Limites 
 O problema da área 
Limites 
 O problema da tangente 
A palavra tangente vem do latim tangens, que significa “tocando”. 
 
 
 
 
 
Para o círculo: A tangente é uma reta que intercepta o círculo uma 
única vez. 
 
Para curvas mais complicadas essa definição é inadequada. 
 
Limites 
 EXEMPLO (Entregar) 
a)Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x² no ponto P (1,1) 
b) Encontre o valor de m para o ponto Q (1,5, 2,25) 
 
• Encontrar a inclinação 
• Equação fundamental da reta: 
 
𝑦 − 𝑦0 = m (x - 𝑥0) 
 
• Escolher um ponto próximo: Q (x, x²) 
 
Limites 
Resolução: 
a) 
m=? 
𝑦 − 𝑦0 = m (x - 𝑥0) 
P (1, 1) Q (x, x²) 
x y 
x ² - 1 = m (x - 1) 
b) Para o ponto Q (1,5, 2,25) 
Limites 
A inclinação da reta tangente é o limite das inclinações das retas secantes: 
Supondo m=2 e P (1,1), temos a seguinte equação: 
Limites 
 O problema da velocidade 
 
EXEMPLO 2: Suponha que uma bola é solta a partir do ponto de 
observação no alto da Torre CN em Toronto, 450 m acima do solo. 
Encontre a velocidade da bola após 5 segundos. 
Limites 
 Resolução: 
 
A distância percorrida por qualquer objeto em queda livre é 
proporcional ao quadrado do tempo em que ele esteve caindo 
 
Lei de Galileu: 
s(t) = 4,9 t² 
Limites 
 Resolução 
 
Velocidade média = 
mudança de posição
tempo decorrido 
 
Limites 
 
 
 
 
 
 
A velocidade instantânea quando t=5 é definida como o valor limite 
das velocidades médias em períodos de tempo cada vez menores, 
assim: 
 
Velocidade instantânea (t=5) = 49m/s 
Limites 
 Exercícios para entregar 
 
1)Uma bola é atirada no ar com velocidade 
de 10 m/s. Sua altura em metros após t 
segundos é dada por y = 10t - 4,9t². 
 
a) Encontre a velocidade média para o 
período de tempo que começa quando t = 
1,5 e dura 
I. 0,5 s 
II. 0,05 s 
III. 0,1 s 
IV. 0,01 s 
 
b)Estime a velocidade instantânea quando 
t = 1,5. 
2) A tabela mostra a posição de um ciclista 
 
 
 
 
a) Encontre a velocidade média nos 
períodos de tempo a seguir: 
I. [1,3] 
II. [2,3] 
III. [3,5] 
IV. [3,4] 
 
b) Use o gráfico de s como uma função de t 
para estimar a velocidade instantânea 
quando t = 3. 
 
 
t 
segundos 
0 1 2 3 4 5 
s 
metros 
0 1,4 5,1 10,7 17,7 25,8 
O Limite De Uma Função 
Analisar o comportamento da função y = x² - x +2 para valores de x próximos 
de 2. 
“O limite da função f(x) = x² - x + 2, quando x 
tende a dois é igual a quatro” 
O Limite De Uma Função 
Escrevemos: 
 
 
 
 
E dizemos “O limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L” 
O Limite De Uma Função 
EXEMPLO: Estime o valor de: 
O Limite De Uma Função 
Fazer em casa: 
 
Estime o valor de 
 
 
 Construa uma tabela com os valores de x próximos a 0, mas diferentes de 0. 
 Considere até 8 casas decimais. 
 Valores do ângulo em radianos. 
Limites Laterais 
O limite existe quando a função tende a um mesmo valor (L) pela 
direita (a+) e pela esquerda (a-) 
x>a x<a 
Limites Laterais 
EXEMPLO: Tem-se o gráfico da função g abaixo. Use-o para dizer os 
valores dos seguintes limites: 
Limites Infinitos 
 EXEMPLO: Encontre, se existir, o 
O valor da função não tende a um número e 
o limite não existe, 
 
Comportamento: 
Limites Infinitos 
 Resolva: 
Limites Infinitos 
 Definições similares podem ser dadas no caso de limites laterais. 
Limites Infinitos 
 EXEMPLO: Encontre o 
 
Propriedades Dos Limites 
 
Propriedades Dos Limites 
Outras propriedades: 
 
 
 Propriedade da potência 
 
 
 Propriedade da raíz 
Propriedades Dos Limites 
EXEMPLO: Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem. 
Propriedades Dos Limites 
EXEMPLO: Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem. 
Propriedades Dos Limites 
 EXEMPLO: Encontre o 
Continuidade 
O limite de uma função quando x tende a “a” pode ser encontrado 
calculando o valor da função em “a”  Funções contínuas. 
 
 
 Definição: Uma função f é 
 contínua em número “a” 
 se: 
Continuidade 
 EXEMPLO: Em quais números f é descontínua e por quê? 
Continuidade 
 EXEMPLO: Onde a seguinte função é descontínua? 
 
 
Continuidade 
 Exercício para entregar: Onde a seguinte função é descontínua? 
 
 
Continuidade 
 Exercício para entregar: Onde a seguinte função é descontínua? 
 
 
Continuidade 
Definição 1 
• Uma função f é 
contínua em um 
número a se: 
 
 
• lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) 
Definição 2 
• Uma função é 
contínua à direita ou 
a esquerda em um 
número a se: 
 
• lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) 
• lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) 
Definição 3 
• Uma função f é 
contínua em um 
intervalo se for 
contínua em todos 
os números do 
intervalo. 
Continuidade 
 Exercício para entregar: 
Mostre que a função f(x) = 1 - 1 − 𝑥² é contínua no intervalo [-1,1] 
 
1. Se -1 < a < 1 
2. Pela definição 1 ? lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) ? 
3. Pela definição 2? lim
𝑥→−1+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1 −
𝑓 𝑥 
4. Pela definição 3? 
 
 
 
Continuidade 
 TEOREMA: 
a) Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é 
contínuo em (-∞,∞). 
b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida; 
ou seja, é contínua em seu domínio 
 
Continuidade 
 EXEMPLO: Encontre 
Continuidade 
 Onde é descontínua? 
Continuidade 
 Exercício para entregar: 
Explique por que a função é descontínua no número dado a. 
 
a) f(x) = ln |x – 2 | b) Onde a função 
1
1+ 𝑒1/𝑥
 é descontínua e por
 que? 
Continuidade 
c) 
 
Continuidade 
d) 
Limites no Infinito 
Análise do comportamento da função: 
Limites no Infinito 
 Notação 
 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)= L 
Limites no Infinito 
 A reta y = L é chamada assíntota horizontal da curva y = f(x) 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)= L 
Limites no Infinito 
 Assíntotas horizontais e verticais 
Limites no Infinito 
 Exercício para entregar: Encontre os valores de x e y das assíntotas 
verticais e horizontais. 
Assíntotas verticais: 
x = -1 
x = 2 
 
Assíntotas horizontais 
y = 4 
y = 2 
 
Limites no Infinito 
 EXEMPLO: 
Limites no Infinito 
 EXEMPLO: 
 
 
 
 
 Primeiro passo: 
Limites no Infinito 
 Resolução 
Limites no Infinito 
 Exercícios para entregar: 
Encontre: 
 
a) c) 
 
 
 
b) 
Limites no Infinito 
 EXEMPLO: Calcule 
 
Limites no Infinito 
 Exercício para entregar: 
 
a) 
 
Limites no Infinito 
 Exercício para entregar: 
 
b) 
 
Limites Infinitos no Infinito 
Indicam que os valores de f(x) se tornam grandes quando x se torna 
grande. 
 
 
 
 
Encontre: 
Limites Infinitos no Infinito 
EXEMPLO: Encontre 
Obrigada! 
Entrega da lista: 18/01 
Prova: 18/01 na parte da manhã. 
 
Aula 17/01: Resolução em grupo da lista e tirar dúvidas sobre a lista. 
 
 
Início de Derivadas: 22/01 na parte da tarde.