Unidade 1 Limites e Derivadas

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Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
 
 
Limites e Derivadas 
 
 
Unidade 1 - Limites 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Alves Ferreira 
 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
Introdução 
Prezados alunos, o capítulo pretende apresentar alguns conceitos de 
limites, desde noções intuitivas à métodos de determinação de limites, serão 
apresentadas as propriedades, explorados exemplos ricos no uso das mesmas, 
com o intuito de que ao final o aluno seja capaz de interpretar e resolver um 
limite. Também pretende apresentar um estudo sobre continuidade e funções 
contínuas. Os conceitos aqui expostos são fundamentais, sendo a base de 
introdução para todos os demais cálculos e, além disso, refletem diretamente nos 
avanços das áreas da Economia, Estatística, Engenharia, Biologia, Física e Química, 
etc. Bons estudos! 
1. Conceitos iniciais: noção intuitiva e problemas 
O filósofo grego Zenão, do século V a.C., ficou conhecido por propor 4 
problemas, conhecidos como Paradoxos de Zenão, que desafia as ideias da época 
(STEWART, 2013). Um dos paradoxos diz respeito a uma corrida entre uma 
tartaruga e o herói Aquiles, em que foi concedida uma determinada vantagem ao 
animal. O filósofo afirmava que, por mais que Aquiles continuasse correndo, 
jamais ultrapassa a tartaruga, pois, no instante em que ele alcança a posição 
inicial da tartaruga, esta já estaria mais adiante e isso continuaria sucessivamente. 
Claro que, como conhecemos uma tartaruga, sabemos que não possui 
velocidade como característica intrínseca, mas certamente, Zenão utilizou-a na 
argumentativa com intuito real de provocação. 
Outro paradoxo de Zenão tratava-se de que uma determinada pessoa em 
um ponto de uma sala não poderia caminhar direto até a parede, que deveria 
caminhar sempre a metade da distância, e a partir de novo ponto e nova distância, 
continuar o método sucessivamente, ou seja, não teria fim nunca, porque sempre 
haverá uma distância infinitesimal. Claro que novamente sabemos que a parede 
será alcançada, mas note que a ideia em ambos os paradoxos são similares e 
ambos introduzem um conceito sobre sequências de séries cada vez menores. 
Para o caso da parede, então, podemos dizer que, uma distância inicial d, 
em que caminha metade, do restante caminha outra metade e assim sucessivas 
vezes, temos: 
 𝑑 = 𝑑/2 + 𝑑/4 + 𝑑/8 ⋅⋅⋅ +𝑑/2𝑛 
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Então, por lógica, a soma de todas as infinitas distâncias deve ser igual a 
distância inicial e é explicado intuitivamente pelo limite quando 𝑛 aproxima ao 
infinito ter valor igual a 1 (STEWART, 2013). 
𝑆 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+. . . +
1
2𝑛
∴ 𝑙𝑖𝑚
𝑛 → ∞
𝑆 = 1 
Zenão introduziu os conceitos intuitivos de aproximação de sequências, 
que nada mais são do que conceitos intuitivos de limites. 
1.1. Problema da tangente 
A palavra tangente é oriunda do latim tangens, que significa “tocando”. Uma 
reta tangente é uma reta que toca em um ponto uma determinada curva. 
Vejamos dois exemplos na Figura 1. 
 
 
Figura 1. a) uma reta tangente t em um ponto de uma circunferência; b) uma reta tangente 𝑡 em um ponto 
𝑃que coincide com a curva 𝐶 e que atravessa a mesma em outro ponto e uma outra reta 𝑙 , que apenas 
atravessa a curva 𝐶. Fonte: (STEWART, 2013). 
O primeiro caso, segundo as proposições de Euclides de Alexandria, uma 
reta tangente possui interceptação em somente um ponto de um círculo, como 
mostra a Figura 1a. O segundo caso, ilustra duas retas em um ponto 𝑃 de uma 
curva 𝐶, a reta 𝑙 ao “cortar” a curva possui uma intersecção no ponto 𝑃, enquanto 
a reta 𝑡 ao “tocar” a curva possui uma interceptação no ponto 𝑃, como mostra a 
Figura 1b. 
Você sabia? Euclides foi um matemático da Antiguidade, que ensinou em 
Alexandria, no Egito, conhecido pela obra Os Elementos (considerada a mais 
 
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duradoura de todos os tempos com mais de mil edições), dividida em 13 livros 
(consiste em uma compilação de todo o conhecimento matemático da época), 
marcada por 465 proposições verdadeiras, com axiomas muito bem 
fundamentados, que depois de muitos séculos foram indispensáveis para os 
inventores do Cálculo. Há poucos dados de sua vida, pois se trata de um nome 
muito comum antigamente (muitas ocorrências literárias). Responsável por uma 
contribuição incomparável ao legado da ciência dos dias atuais (NODARSE, 2009). 
 
Vamos imaginar um problema para determinação de uma reta tangente t 
sobre uma curva com equação 𝑦 = 𝑓(𝑥), em um dado ponto 𝑃. como mostra na 
Figura 2a. 
Como o ponto𝑃é também um ponto pertencente da reta tangente 𝑡, então 
podemos determinar a equação da reta em função da inclinação m. Porém, isso 
requer dois pontos conhecidos. Então, vamos considerar um segundo ponto 𝑄 
sobre a mesma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), conforme a Figura 2b. Assim, podemos determinar 
uma relação inicial para a inclinação 𝑚𝑃𝑄 da reta secante 𝑃𝑄, temos: 
 
𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑥) – 𝑓(𝑎)
𝑥 – 𝑎 
 
A partir de agora, pense que o ponto 𝑄 está movimento ao longo da curva 
𝑦 = 𝑓(𝑥) em direção ao ponto 𝑃, conforme a Figura 2c. Dessa forma, a reta secante 
𝑃𝑄 torna-se cada vez mais próxima da posição limite da reta tangente. 
 
 
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Figura 2 – a) reta tangente no ponto P. b) reta secante PQ. 
c) retas secantes em aproximação da reta tangente. 
Fonte: (STEWART, 2013). 
 
Assim, a inclinação 𝑚𝑃𝑄 da reta secante aproxima-se do limite da inclinação 
de 𝑚 da reta tangente, expresso simbolicamente por: 
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
𝑄 → 𝑃
𝑚𝑃𝑄 
Em outras palavras, significa que 𝑚 é o limite de 𝑚𝑃𝑄, quando Q tende ao 
ponto P, então, a equação pode ser reescrita para: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑚 =
𝑓(𝑥) – 𝑓(𝑎)
𝑥 – 𝑎 
Você sabia? O problema da tangente originou o cálculo diferencial, influenciado 
pelas ideias do matemático francês Pierre Fermat (1601-1665) com 
desenvolvimento posterior dos matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), 
Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727) e do alemão Gottfried 
Leibniz (1646-1716). A contribuição científica de “Os Elementos” de Euclides foi 
realmente indiscutível, ao influenciar grandes nomes como Copérnico, Kepler, 
Descartes, Galileo, Fermat e Newton (STEWART, 2013; ESTADO DA ARTE, 2019). 
Saiba mais sobre esse impacto na discussão histórica e filosófica no podcast Os 
Elementos de Euclides no Blog Estado da Arte, com os professores convidados 
Irineu Bicudo, João Cortese e Tiago Tranjan, disponível em: 
https://cultura.estadao.com.br/blogs/estado-da-arte/podcast-os-elementos-de-
euclides. 
 
1.2. Problema da velocidade 
 Ao pensarmos em velocidade, sabemos que a velocidade não é constante, 
seja de um maratonista, ou seja de um modo mais evidente, pelo velocímetro do 
automóvel. A velocidade varia, definida em cada momento, chamada de 
velocidade instantânea. 
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 Galileu, experimentalmente, determinou uma equação para a distância 
percorrida 𝑠(𝑡) por um objeto em queda livre (desprezando a resistência do ar) 
em um tempo (𝑡). Considerando 𝑔 = 9,82 𝑚/𝑠2, a Lei de Galileu é expressa por: 
𝑠(𝑡) =
𝑔
2
𝑡2 =
9,8
2
𝑡2 = 4,9𝑡2 
Como exemplo, uma bola demora 3 segundos para atingir o chão, então: 
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝑚𝑢𝑑𝑎𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝛥𝑠
𝛥𝑡
 
𝛥𝑠
𝛥𝑡
=
𝑠(3) − 𝑠(0)
3 − 0
=
4,9(3)2 − 4,9(0)2
3 − 0
=
4,9(9) − 0
3 − 0
= 14,7 𝑚/𝑠 
A determinação da velocidade a partir de um único instante de tempo é 
muito difícil e para contornar isso, podemos efetuar uma aproximação, com 
breves intervalos de tempo, em função de uma velocidade média, tal como 
anteriormente, com pequenos incrementos de ℎ no tempo 𝑡 desejado, como 
mostra a equação: 
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝑠(𝑡 + ℎ) − 𝑠(𝑡)
(𝑡 + ℎ) − 𝑡
=
𝑠(𝑡 + ℎ) − 𝑠(𝑡)
ℎ
 𝑐𝑜𝑚 ℎ > 0 
Vamos determinar a velocidade no instante de 2 segundos, porém, como 
podemos notar, h tem que ser diferente de 0, então vamos começar com h = 0,5. 
𝛥𝑠
𝛥𝑡
=
4,9(2 + ℎ)2 − 4,9(2)2
ℎ
=
4,9(4 + 4ℎ + ℎ2) − 4,9(4)
ℎ
=
19,6ℎ + 4,9ℎ2
ℎ
= 19,6 + 4,9ℎ 
ℎ = 0,5 →
𝛥𝑠
𝛥𝑡
= 19,6 + 4,9(0,5)2 = 22,05 𝑚/𝑠 
A Tabela 1 apresenta os demais valores, prosseguindo os cálculos da 
velocidade média com valores de ℎ cada vez menores e mais próximos de zero. 
Tabela 1 – Cálculo da velocidade média com incrementos de ℎ cada vez menores e mais 
próximo de zero. 
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Intervalo de tempo ℎ (s) Velocidade média ∆𝑠 /∆𝑡 (m/s) 
 0,5 22,05 
 0,3 21,07 
 0,10 20,09 
 0,01 19,649 
 0,001 19,6049 
 0,0001 19,60049 
Fonte: Próprio autor. 
Isto significa que a velocidade instantânea corresponde a 19,60 m/s no 
instante de 2 segundos, uma vez que ℎ está com valores muito próximos de zero. 
Vamos observar a equação geral para determinação da velocidade do 
método empregado: 
𝛥𝑠
𝛥𝑡
=
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
=
𝑓(𝑥1 + ℎ) − 𝑓(𝑥1)
(𝑥1 + ℎ) − 𝑥1
=
𝑓(𝑥1 + ℎ) − 𝑓(𝑥1)
ℎ
𝑐𝑜𝑚 ℎ ≠ 0 
Note que tais conceitos demonstram os mesmos preceitos que já vimos 
anteriormente nos paradoxos e, inclusive, na reta tangente, a observar que a 
equação acima segue o mesmo padrão de cálculo da inclinação da reta secante 
no problema da tangente. 
2. Limites 
Anteriormente, foi demonstrado como surgem os limites para cálculos de 
tangente numa curva de velocidade, agora, serão apresentadas as definições e as 
propriedades de limites, bem como os métodos para calculá-los. 
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2.1. Definição de limite 
A Definição Intuitiva de um limite consiste em: seja 𝑓(𝑥) uma função 
definida em um intervalo aberto qualquer que contenha 𝑎, exceto 𝑥 = 𝑎, como 
mostra a Figura 3a, sendo expressa pela notação: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
Leia-se: “𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende a 𝑎 é igual a 𝐿”. 
 
Figura 3 – a) ilustração para definição de limite; b) ilustração para definição precisa. 
Fonte: (STEWART, 2013). 
 
A Definição Precisa de um limite é: seja 𝑓(𝑥) uma função definida em um 
intervalo aberto qualquer que contenha 𝑎, exceto 𝑥 = 𝑎, dizemos que 𝑓(𝑥), 
quando 𝑥 tende a 𝑎 , é igual a 𝐿 e a notação expressa como: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 , ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝛿 > 0 | 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 𝑒𝑛𝑡ã𝑜|𝑓(𝑥) – 𝐿| < 𝜀 
Isso significa que os valores de 𝑓(𝑥) tendem a ficar mais próximos de 
𝐿quanto mais próximos o 𝑥 estiver do valor de 𝑎, mas não igual𝑎 . 
2.2. Propriedade de limite 
Alguns autores mencionam as Propriedades como um teorema de regras. 
Supondo que c seja um número real qualquer e os limites 𝑓(𝑥) = 𝐿 e 𝑔(𝑥) =
𝑀existam, temos as seguintes propriedades (ou de regras) dos limites. 
1) Unicidade - se o limite da função existe em um ponto, então ele é único: 
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 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 𝑒 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿2 ⇒ 𝐿1 = 𝐿2 
2) Soma - o limite de uma soma é a soma dos limites: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) + 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 + 𝑀 
3) Diferença - o limite de uma diferença é a diferença dos limites: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
[𝑓(𝑥) – 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) – 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 – 𝑀 
4) Multiplicação de uma constante - o limite de uma constante 
multiplicando uma função é a constante multiplicando o limite desta função: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
[𝑘𝑓(𝑥)] = 𝑘 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐿 
5) Produto - o limite de um produto é o produto dos limites: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) ∙ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀 
6) Quociente - o limite de um quociente é o quociente dos limites: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝑀
, 𝑠𝑒 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0 
A partir das 6 primeiras propriedades, foi possível identificar outras como 
7) Potência - usando a Propriedade do Produto, temos que o limite da 
potência de uma função é igual a potência do limite da função: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛 = [ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)]
𝑛
= 𝐿𝑛 , 𝑠𝑒 𝑛 > 0 
8) Radiciação - o limite da radiciação de uma função é igual a radiciação do 
limite da função: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
[ √ 𝑓(𝑥)
𝑛
] = √ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)𝑛 = √𝐿
𝑛
 , 𝑠𝑒𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) > 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)
≤ 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 
9) Constante e f(x) = x - o limite de uma constante é igual a constante e o 
limite de 𝑥 tendendo a 𝑎 é igual a 𝑎: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑘 = 𝑘 𝑒 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑥 = 𝑎 
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10) Seno e Cosseno - o limite do cosseno ou seno de uma função é igual ao 
cosseno ou seno do limite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑠𝑒𝑛 [𝑓(𝑥)] = 𝑠𝑒𝑛 [ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)] = 𝑠𝑒𝑛 𝐿 𝑒 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑐𝑜𝑠 [𝑓(𝑥)] = 𝑐𝑜𝑠 [ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)] = 𝑐𝑜𝑠 𝐿 
11) Exponencial - o limite de uma exponencial de uma função é igual a 
exponencial do limite da função: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)
= 𝑐𝐿 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑒𝑓(𝑥) = 𝑒
𝑙𝑖𝑚
 𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)
= 𝑒𝐿 
12) Logaritmo - o limite do logaritmo da função é igual ao logaritmo do 
limite da função: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥), 𝑏 > 0 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑙𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) 
A partir dessas propriedades, foi possível determinar o Teorema da 
Substituição Direta, em que, seja 𝑓(𝑥) uma função polinomial ou racional 
(quocientes de funções polinomiais) e 𝑎 estiver no domínio definido de 𝑓, então: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑠𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑛𝑥
𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑥
𝑛−1 … + 𝑏0 𝑜𝑢 𝑠𝑒 𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑐𝑜𝑚 𝑄(𝑎)
≠ 0 
 
Quando um limite não puder ser determinado diretamente, talvez seja 
possível determiná-lo de forma indireta, por meio do Teorema do Confronto 
(também chamado de Teorema do Sanduíche). A Figura 4 apresenta uma 
representação gráfica desse teorema. 
 
 
Figura 4 – Ilustração gráfica do Teorema do Confronto. 
Fonte: STEWART, 2013. 
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A definição consiste em: se uma função 𝑓(𝑥) com os valores limitados entre 
os valores de outras duas funções 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥), que apresentam o mesmo limite 
quando 𝑥 tende a 𝑎, então, 𝑓(𝑥) também tem o mesmo limite em 𝑎, segundo a 
notação: 
𝑠𝑒 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ⇒ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿 ∴ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
2.3. Limites determinados e indeterminados 
A determinação de limites envolve a aplicação das propriedades expostas 
anteriormente para calcular um limite, caso o limite exista. Dependendo do tipo 
de limite, é necessário efetuar algumas operações algébricas para o cálculo. Em 
alguns casos, apresentam indeterminação, isso ocorre nos casos em que o 
resultado se apresenta nas seguintes expressões (FLEMMING; GONÇALVES, 
2013): 
0
0
,
∞
∞
, ∞ − ∞, ∞ ∙ 0, 00, ∞0, 1∞ 
Dessa forma, para tais casos, não é possível afirmar nada sobre o valor do 
limite. Também é importante ressaltar que o símbolo para o infinito (∞) não 
representa nenhum número real, é adotado apenas para descrever um 
comportamento de uma função, cujos valores, em seu domínio ou imagem, 
ultrapassam os valores finitos. Vamos ver alguns exemplos e, em caso de 
indeterminação, como proceder. 
Exemplo 1) Determinar 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
𝑥2 |𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
|. 
Vamos usar o Teorema do Confronto, sabendo que todos os valores de 
uma função seno apresentam intervalo entre –1 e 1, então: 
 –1 ≤ |𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
| ≤ 1 , ∀ 𝑥 ≠ 0 
Ao multiplicar a desigualdade por 𝑥2e, em seguida, aplicar o limite, temos: 
−𝑥2 ≤ 𝑥2 |𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
| ≤ 𝑥2 , ∀ 𝑥 ≠0 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
− 𝑥2 ≤ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
𝑥2 |𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
| ≤ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
𝑥2 , ∀ 𝑥 ≠ 0 
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De acordo com as propriedades de limites, é possível determinar: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
− 𝑥2 = 0 𝑒 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
𝑥2 = 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 0 ≤ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
𝑥2 |𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
| ≤ 0 ∴ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
𝑥2 |𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
| = 0 
Exemplo 2) Determinar 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
√𝑥2 + 5 –3
𝑥 − 2
. 
Não podemos substituir de imediato x = 2 de imediato, pois numerador e 
denominador ficam nulos, o que implicaria em uma indeterminação 
0
0
. Também 
não podemos aplicar a propriedade do quociente, porque o limite do 
denominador é 0. Além disso, não há fatores em comum para efetuar fatoração, 
então, devemos multiplicar pelo conjugado do numerador (√𝑥2 + 5 + 3), para 
liberar fatores para alguma operação algébrica, assim: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
=
√𝑥2 + 5 –3
𝑥 − 2
∙
√𝑥2 + 5 + 3
√𝑥2 + 5 + 3
 
 Fazendo a distribuição dos produtos (produto notável), temos: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
(√𝑥2 + 5)2 – 9
(𝑥 − 2)(√𝑥2 + 5 + 3)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
(𝑥2 + 5) – 9
(𝑥 − 2)(√𝑥2 + 5 + 3)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
𝑥2 – 4
(𝑥 − 2)(√𝑥2 + 5 + 3)
 
Agora, podemos efetuar uma fatoração no denominador para 
simplificação: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 2)(√𝑥2 + 5 + 3)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
(𝑥 + 2)
√𝑥2 + 5 + 3
 
Agora, vamos aplicar a propriedade do quociente, da soma e da radiciação: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
(𝑥 + 2)
√𝑥2 + 5 + 3
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
(𝑥 + 2)
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
(√𝑥2 + 5 + 3)
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
2
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
√𝑥2 + 5 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
3
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
2
√ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
(𝑥2 + 5) + 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
3
 
 
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Então, agora podemos calcular e concluir que: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
=
√𝑥2 + 5 –3
𝑥 − 2
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
2
√ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
(𝑥2 + 5) + 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
3
=
2 + 2
√(22 + 5) + 3
=
2 + 2
√9 + 3
=
2 + 2
3 + 3
=
2
3
 
2.4. Limites fundamentais 
Os limites fundamentais constituem-se de proposições trigonométricas e 
exponenciais para auxiliar no cálculo de limites com indeterminação tipo 
(FLEMMING; GONÇALVES, 2013): 
0
0
, ∞0 𝑒 1∞ 
1º Caso) 𝑙𝑖𝑚
𝜃 → 0
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜃
. 
A partir da Figura 5a, podemos notar que se trata de uma função par, ou 
seja, possui simetria em relação ao eixo y, e pela análise do primeiro quadrante 
(Figura 5b), assim, podemos chegar a uma relação em termos de 𝜃 pelo 
comprimento de 𝑃𝑄, do arco 𝐴𝑃 e de 𝐴𝑇: 
𝑃𝑄 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐴𝑃 ≤ 𝐴𝑇 
 
Figura 5 – a) gráfico de 𝑓(𝜃) = (𝑠𝑒𝑛 𝜃)/𝜃 com simetria no eixo y por se tratar de uma função par; 
b) análise do primeiro quadrante para determinar relações trigonométricas. 
Fonte: (FINNEY; WEIR; GIORDANO, 2002). 
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O segmento 𝑃𝑄 equivale ao 𝑠𝑒𝑛 𝜃, enquanto o segmento 𝐴𝑇 corresponde à 
tangente do ângulo (𝑡𝑔 𝜃) e sabemos que o comprimento de um arco é o produto 
do seu ângulo (em radianos) pelo raio da circunferência (que, no caso é 𝑟 = 1), 
então: 
𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐴𝑃 = 𝜃 ∙ 𝑟 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑃𝑄
𝑟 ∴ 𝑃𝑄 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∙ 𝑟 
𝑡𝑔 𝜃 =
𝐴𝑇
𝑟 ∴ 𝐴𝑇 = 𝑡𝑔 𝜃 ∙ 𝑟 𝑡𝑔 𝜃 =
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃
∙ 𝑟 
A relação é reescrita, pode simplificar 𝑟 e, em seguida, dividir por 𝑠𝑒𝑛 𝜃: 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∙
𝑟
𝑟 ≤ 𝜃 ∙
𝑟
𝑟 ≤
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃
∙
𝑟
𝑟 
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
≤
𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
≤
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
1 ≤
𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
≤
1
𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
Aplicando tudo ao inverso (para obter os recíprocos), a relação é reescrita 
como: 
1 ≤ (
𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
)
−1
≤ (
1
𝑐𝑜𝑠 𝜃
)
−1
 ⇒ 1 ≥
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜃
≥ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
Agora, vamos aplicar o limite, quando 𝜃 tende a zero. 
𝑙𝑖𝑚
𝜃 → 0
1 ≥ 𝑙𝑖𝑚
𝜃 → 0
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜃
≥ 𝑙𝑖𝑚
𝜃 → 0
𝑐𝑜𝑠 𝜃 
1 ≥ 𝑙𝑖𝑚
𝜃 → 0
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜃
≥ 1 ∴ 𝑙𝑖𝑚
𝜃 → 0
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜃
= 1 
 
2º Caso) 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞
( 1 + 1/𝑥)𝑥 = 𝑒, 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑒 = 2,718281828459… é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑝𝑒𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜. 
Este caso não será demonstrado, pois apresenta conceitos de séries, o 
intuito é apresentar como pode ser aplicado para o cálculo de limites pela troca 
de variáveis: 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
1
𝑥
= 𝑘𝑦 ∴ 𝑥 =
𝑘
𝑦
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞
( 1 + 1/𝑥)
𝑥
)𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑦 → 0
(1 + 𝑘𝑦)𝑘/𝑦 = 𝑒𝑘 
3º Caso) 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
𝑐𝑥 − 1
𝑥
= 𝑙𝑛 𝑐, ∀ 𝑐 > 0 𝑒 𝑐 ≠ 1. 
A demonstração desse limite fundamental ocorre por troca de variáveis e, 
em seguida, aplicar logaritmos neperianos na igualdade: 
𝑡 = 𝑐𝑥 – 1 ∴ 𝑐𝑥 = 𝑡 + 1 
𝑙𝑛 𝑐𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑡 + 1) 
𝑥 𝑙𝑛 𝑐 = 𝑙𝑛 (𝑡 + 1) 
 𝑥 =
𝑙𝑛 (𝑡 + 1)
𝑙𝑛 𝑐
 
A partir da relação anterior, é possível notar que 𝑥 → 0, com 𝑥 não igual a 
0, temos que 𝑡 → 0, com 𝑡 não igual a 0, então podemos dizer que: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
𝑐𝑥 − 1
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡 → 0
𝑡
𝑙𝑛 (𝑡 + 1)
𝑙𝑛 𝑐
= 𝑙𝑛 𝑐𝑙𝑖𝑚
𝑡 → 0
𝑡
𝑙𝑛 (𝑡 + 1)
= 𝑙𝑛 𝑐𝑙𝑖𝑚
𝑡 → 0
1
𝑙𝑛 (𝑡 + 1)
𝑡
 
Aplicando as propriedades de logaritmo e do segundo limite fundamental: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
𝑐𝑥 − 1
𝑥
= 𝑙𝑛 𝑐𝑙𝑖𝑚
𝑡 → 0
1
𝑙𝑛 (𝑡 + 1)
1/𝑡
= 𝑙𝑛 𝑐
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → 0
1
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → 0
𝑙𝑛 (𝑡 + 1)
1/𝑡
= 𝑙𝑛 𝑐
1
𝑙𝑛 𝑒
= 𝑙𝑛 𝑐
1
1
= 𝑙𝑛 𝑐 
 
3. Limites laterais, limites infinitos e limites no 
infinito 
Anteriormente, foi apresentado como calcular os limites, explicado sobre 
indeterminações e como contornar, por meio das propriedades e dos teoremas. 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
Agora, vamos nos aprofundar, apresentando outros três conceitos importantes: 
limites laterais, limites infinitos e limites no infinito. 
3.1. Limites laterais 
Os limites comuns são bilaterais, porque, para que exista um limite L 
quando o 𝑥 tende a 𝑎, a função𝑓(𝑥) em questão deve ser definida em ambos os 
lados de 𝑎 e seus valores 𝑓(𝑥) se aproximar de 𝑎 de cada lado. Caso a função 𝑓(𝑥) 
não possuir um limite bilateral em 𝑎, ainda pode existir um limite lateral, isto 
significa um limite com aproximação de apenas um lado. Quando a aproximação 
for feita pelo lado direito, será chamado de limite à direita, enquanto quando a 
aproximação for pelo lado esquerdo, será um limite à esquerda. 
 É definido como o limite à esquerda de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑎 (ou o limite 
de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende a 𝑎 pela esquerda) é igual a 𝐿, se pudermos tomar os 
valores de 𝑓(𝑥) próximos de 𝐿, para 𝑥 suficientemente próximo de 𝑎 e 𝑥 < 𝑎, 
expressa pela notação: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎+ 
𝑓(𝑥) = 𝐿 
Analogamente, é definido como o limite à direita de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende 
a 𝑎 (ou o limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende a 𝑎 pela direita) é igual a 𝐿, se pudermos 
tomar os valores de f(x) próximos de 𝐿, para 𝑥 suficientemente próximo de 𝑎 e 
𝑥 > 𝑎, expressa pela notação: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎− 
𝑓(𝑥) = 𝐿 
Todas as propriedades dos limites bilaterais apresentadas anteriormente 
são válidas para os limites laterais. Porém, temos um novo teorema para a 
Relação entre Limites Laterais e Bilateral cuja definição é de que uma função 𝑓(𝑥), 
quando 𝑥 tende a 𝑎 tem um limite 𝐿 se e somente se os respectivos limites laterais 
são iguais a 𝐿, expressa pela notação: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎+ 
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑒 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎− 
𝑓(𝑥) = 𝐿 
3.2. Limites no infinito 
Os limites no infinito correspondem aos limites de quando 𝑥 tende a 
valores arbitrariamente grandes, sejam positivos ou negativos, enquanto os 
valores de uma função ficam próximos ao limite 𝐿, como mostra a Figura 6. São 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
definidos como: seja 𝑓(𝑥) uma função definida em um intervalo aberto de (𝑎, +∞), 
expressa pela notação: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → +∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 , ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝑁 > 0 | |𝑓(𝑥) – 𝐿| < 𝜀 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑥 > 𝑁 
De modo semelhante, seja 𝑓(𝑥) uma funçãodefinida em um intervalo 
aberto de (−∞, 𝑎), expressa pela notação: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → −∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 , ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝑁 < 0 | |𝑓(𝑥) – 𝐿| < 𝜀 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑥 < 𝑁 
 
Figura 6 – Gráficos demonstrativos das definições de limites no infinito, seja positivo ou negativo. 
Fonte: (STEWART, 2013). 
As propriedades de limite permanecem inalteradas se substituirmos 𝑥 →
 𝑎 por 𝑥 → +∞ ou 𝑥 → –∞. 
3.3. Limites infinitos 
Os limites infinitos correspondem aos limites em quando 𝑥 tende a 𝑎 e os 
valores da 𝑓(𝑥) se tornam arbitrariamente grandes, sejam positivos ou negativos. 
São determinados como: seja 𝑓(𝑥) uma função definida em ambos os lados de 𝑎, 
exceto quando 𝑥 é igual a 𝑎, temos: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ 
É interpretada como “o limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende a 𝑎, é infinito” ou “o 
limite de 𝑓(𝑥) cresce ilimitadamente quando 𝑥 tende a 𝑎”. Dessa forma, isso 
significa que não tende a nenhum número real e é expressado de tal forma para 
evidenciar o comportamento em que o domínio ou a imagem de uma função 
ultrapassam os valores finitos, uma vez que 𝑓(𝑥) pode ser arbitrariamente tão 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
grande quanto quisermos, quando 𝑥 está suficientemente próximo, mas não igual 
a 𝑎. 
De modo similar, ocorre quando 𝑥 tende a valores absolutos 
arbitrariamente grandes, porém negativos, temos que “o limite de 𝑓(𝑥), quando 
𝑥 tende a 𝑎, é menos infinito” ou “o limite de 𝑓(𝑥) decresce ilimitadamente, 
quando 𝑥 tende a 𝑎”. 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) =–∞ 
A seguir, vamos apresentar alguns exemplos de limites. 
Exemplo 3) Determinar 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 3+
2𝑥
𝑥 − 3
e 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 3−
2𝑥
𝑥 − 3
. 
Se, quando o 𝑥 está próximo de 3, porém, maior do que 3, então o 
denominador 𝑥 − 3 consiste de um número positivo pequeno e o numerador 
está próximo do valor 6. Logo, o quociente é um positivo arbitrariamente grande, 
então temos intuitivamente: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 3+
2𝑥
𝑥 − 3
= ∞ 
Se, quando o 𝑥 está próximo de 3, porém menor do que 3, então, o 
denominador é um número negativo pequeno, enquanto o numerador ainda é 
positivo com valor próximo de 6. Logo, o quociente é um negativo arbitrariamente 
grande, então temos intuitivamente: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 3−
2𝑥
𝑥 − 3
= −∞ 
Note: como os limites laterais são diferentes, não há limite quando 𝑥 → 3. 
Exemplo 4) Determinar 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞+
𝑥2−1
𝑥2+1
e 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞−
𝑥2−1
𝑥2+1
. 
Não podemos substituir o 𝑥 por infinito, pois cairia na indeterminação do 
tipo
∞
∞
, então, faremos uma operação algébrica para fatorar 𝑥2, temos: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞+
𝑥2 − 1
𝑥2 + 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞+
𝑥2(1 − 1/𝑥2)
𝑥2(1 + 1/𝑥2)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞+
(1 − 1/𝑥2)
(1 + 1/𝑥2)
=
(1 − 0)
(1 + 0)
= 1 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
De mesmo modo, ocorre para o outro limite lateral. Então, pelo mesmo 
processo para evitar a indeterminação: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞−
𝑥2 − 1
𝑥2 + 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞−
𝑥2(1 − 1/𝑥2)
𝑥2(1 + 1/𝑥2)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞−
(1 − 1/𝑥2)
(1 + 1/𝑥2)
=
(1 − 0)
(1 + 0)
= 1 
Nesse caso, os limites laterais são iguais e, portanto, o limite bilateral no 
infinito existe e é igual a 1. 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞
𝑥2 − 1
𝑥2 + 1
= 1 
Exemplo 5) Determinar 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 0
𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
. 
Esse exemplo é o caso de uma função oscila demais (ou seja, ela diverge) 
como mostra a Figura 7, quanto mais 𝑥 se aproxima de 0, os valores da função 
alternam ciclicamente entre 1 e -1. 
 
 
Figura 7 – Exemplo de uma função que oscila demais: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (1/𝑥)não apresenta limite à direita nem à 
esquerda quando 𝑥 tende a zero, por isso não possui limite em 𝑥 → 0. 
Fonte: (FINNEY; WEIR; GIORDANO, 2002). 
 
O limite dessa função não existe, podemos notar pela análise gráfica que, 
quando 𝑥 → 0+, os valores de 1/𝑥 tendem ao +∞, então, o seno assume valores 
positivos, enquanto quando 𝑥 → 0– os valores de 1/𝑥 tendem ao –∞, então o seno 
assume valores negativos. Portanto, a série é divergente, oscilando muito entre -
1 e 1, segundo a propriedade da relação bilateral com seus limites laterais, não 
há limite para, pois os limites laterais tendem a ser diferentes. 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
Exemplo 6) Determinar 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞
3𝑥2− 𝑥 − 2
5𝑥2 + 4𝑥 − 1
. 
Não podemos substituir o 𝑥 por infinito, pois cairia na indeterminação do 
tipo 
∞
∞
, então, faremos uma operação algébrica para fatorar 𝑥2, portanto, temos: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞
3𝑥2 − 𝑥 − 2
5𝑥2 + 4𝑥 − 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞
𝑥2(3 − 1/𝑥 − 2/𝑥2)
𝑥2(5 + 4/𝑥 − 1/𝑥2)
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞
(3 − 1/𝑥 − 2/𝑥2)
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → ∞
(5 + 4/𝑥 − 1/𝑥2)
=
(3 − 0 − 0)
(5 + 0 − 0)
=
3
5
 
Muito parecido com os demais, podemos notar que os limites laterais 
existem. 
4. Assíntotas e funções contínuas 
Agora que aprendemos os tipos de limites, precisamos apresentar alguns 
conceitos importantes de funções, tais como assíntotas e funções contínuas. As 
funções contínuas são usadas nas mais diversas atividades, tais como descrever 
o deslocamento de um objeto no espaço, o comportamento de uma reação 
química em termos de velocidade. Há também um grande emprego de funções 
descontínuas na gravação de mídia digital, tecnologia computacional, estatística 
e modelos matemáticos, isso explica o fato do tema continuidade é tão 
importante em termos teóricos e práticos. 
4.1. Assíntotas 
Existem algumas funções que geram efeitos interessantes, por isso, muito 
frequentemente durante alguma aplicação gráfica ocorrem com 
comportamentos em que a curva se aproxima de uma reta, à medida em que x 
aumenta ou diminui, mas que nunca realmente chegue. Os tipos mais comuns 
são horizontais e verticais, mas também pode ser do tipo oblíqua. 
Uma assíntota horizontal é definida como a reta 𝑦 = 𝑏 do gráfico de uma 
função 𝑦 = 𝑓(𝑥), se atender pelo menos uma das condições de limites no infinito: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → +∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → −∞
 𝑓(𝑥) = 𝑏 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
A Figura 8 apresenta ilustrações de assíntotas horizontais (𝑦 = 𝐿). 
 
Figura 8 – Ilustrações de assíntotas horizontais. 
Fonte: (STEWART, 2013). 
A Figura 9a apresenta as assíntotas horizontais de uma função 𝑦 = 1/𝑥, a 
Figura 9b assíntota horizontal do gráfico do exemplo 6 e a Figura 9c o gráfico do 
exemplo 4. 
 
Figura 9 – a) assíntota horizontal y = 0 para a função 𝑦 = 1/𝑥; 
b) assíntota horizontal 𝑦 = 0,6 do gráfico do exemplo 6; 
 c) assíntota horizontal 𝑦 = 1 do gráfico do exemplo 4. 
Fonte: (STEWART, 2013). 
Uma assíntota vertical é definida como a reta 𝑥 = 𝑏 do gráfico de uma 
função 𝑦 = 𝑓(𝑥) se atender pelo menos uma dessas condições de limites infinitos: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎+ 
𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎− 
𝑓(𝑥) = ±∞ 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
A Figura 10 apresenta ilustrações de assíntotas verticais. 
 
Figura 10 – Ilustrações de assíntotas verticais. 
Fonte: (STEWART, 2013). 
A Figura 11 apresenta alguns casos de assíntotas verticais: do exemplo 3 
(Figura 11a), da função trigonométrica 𝑡𝑔 𝑥 , que formam infinitas assíntotas 
verticais (Figura 11b) e da função 𝑙𝑛 𝑥 (Figura 11c). 
 
 
Figura 11 – a) assíntota verticais com 𝑥 = 3 do exemplo 3; b) assíntotas infinitas caso 
trigonométrico da função 𝑡𝑔 𝑥; c) assíntota da função de logaritmo natural 𝑙𝑛 𝑥. 
Fonte: (STEWART, 2013). 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
Uma assíntota oblíqua é definida como a reta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 do gráfico de uma 
função 𝑦 = 𝑓(𝑥), se atender, pelo menos, a uma das condições de limites no 
infinito: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → +∞
[𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)] = 0 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → −∞
[𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)] = 0 
A Figura 12a apresenta uma ilustração da definição de uma assíntota 
oblíqua e a Figura 12b apresenta um exemplo de assíntota da função polinomial 
𝑥3/(𝑥2 + 1), quando 𝑥 tende aos infinitos positivos e negativos.Figura 12 – a) ilustração de assíntota oblíqua; b) assíntota da função 𝑥3/(𝑥2 + 1). 
Fonte: (STEWART, 2013). 
4.2. Funções contínuas 
Anteriormente, vimos que algumas funções podem ter o limite 𝑓(𝑥) , 
quando 𝑥 tende a 𝑐, pode ser encontrado simplesmente por meio do cálculo do 
valor da função em 𝑐. Estas funções são chamadas de funções contínuas, como 
mostra a Figura 13. 
 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
Figura 13 – Continuidade nos pontos a, b e c. 
Fonte: (FINNEY; WEIR; GIORDANO, 2002). 
A definição diz que f é contínua em 𝑐 se 𝑓(𝑥) tende a 𝑓(𝑐) quando 𝑥 tende 
a 𝑐, expressa pela notação: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 
Uma função é contínua na extremidade esquerda 𝑎 ou é contínua na 
extremidade direita 𝑏 em seu domínio, respectivamente, quando: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎+ 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑏− 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) 
De acordo com a definição, podemos determinar o teste de continuidade 
para uma função, pois isso, requer três condições para que seja contínua: 
1) existe 𝑓(𝑐) (ou seja, 𝑐 pertence ao domínio da função); 
2) 𝑓(𝑥) existe; 
3) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) . 
Uma função é contínua em um intervalo se e somente se for contínua em 
cada ponto do intervalo, isto é, em todos os pontos do intervalo. Vejamos alguns 
exemplos de funções na Figura 14. 
 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
Figura 14 – A função a) é contínua em 𝑥 = 0 enquanto as funções de b) a f) são descontínuas. 
Fonte: (FINNEY; WEIR; GIORDANO, 2002). 
A função da Figura 14a é contínua em 𝑥 = 0, enquanto no caso da função 
da Figura 14b seria contínua se 𝑓(0) = 1. A função da Figura 14c também seria 
contínua se 𝑓(0) = 1, mas temos 𝑓(0) = 2. 
Os demais gráficos apresentam descontinuidades e o limite quando 𝑥 
tende a zero não existe. Na Figura 14d há descontinuidade de salto, com limites 
laterais existentes de valores distintos, na Figura 14e há descontinuidade infinita 
em 𝑥 = 0 e na Figura 14f há descontinuidade oscilante (divergente) e não há limite 
quando 𝑥 tende a zero. 
 
Os seguintes tipos de funções são contínuas em cada ponto de seus 
domínios: polinomiais; funções racionais; funções raiz (𝑦 = √𝑥
𝑛 , 𝑛 um inteiro 
positivo maior que 1); funções trigonométricas; funções trigonométricas inversas; 
funções exponenciais e funções logarítmicas. 
As propriedades de funções contínuas apresentam as mesmas 
propriedades dos limites, sendo 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) contínuas em 𝑥 = 𝑐, então as 
combinações são contínuas em 𝑥 = 𝑐, tais como: 
1) Soma: 
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 
2) Diferença: 
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 
3) Multiplicação de uma constante: 
𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) 
4) Produto: 
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) 
5) Quociente: 
𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥) , 𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑒𝑧 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑐) ≠ 0 
 Teorema da Função Composta 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
Outro método de combinar as funções contínuas é por meio da formação 
de função composta, como mostra a Figura 15. 
 
 
Figura 15 – compostas de funções contínuas são contínuas. 
Fonte: (FINNEY; WEIR; GIORDANO, 2002). 
Em que seja 𝑓(𝑥) contínua em 𝑐 e 𝑔(𝑥) contínua em 𝑓(𝑐), então, a função 
composta dada por𝑔(𝑓(𝑥))é contínua em 𝑐, portanto: 
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑐 𝑒 𝑜 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑐) 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓( 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑐) 
 Em outras palavras: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓( 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑐) 
4.3. Teorema do Valor Intermediário 
O Teorema do Valor Intermediário é uma das propriedades úteis das 
funções contínuas em intervalos para a matemática e suas aplicações. A 
propriedade é definida como: 
Se 𝑓(𝑥) é uma função contínua em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏] e 𝑁 é um 
número qualquer tal que 𝑓(𝑎) ≤ 𝑁 ≤ 𝑓(𝑏), em que 𝑓(𝑎) é diferente de 𝑓(𝑏), então, 
existe um número 𝑥 em (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓(𝑥) = 𝑁. 
A Figura 16 apresenta a definição do teorema e também uma interpretação 
geométrica de que, se for dada uma reta horizontal qualquer 𝑦 = 𝑁 entre os 
intervalos de 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏), então o gráfico da função precisa interceptar a reta em 
algum ponto. 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
 
Figura 16 – a) ilustração do Teorema do Valor Intermediário; b) interpretação geométrica do 
Teorema que existe um 𝑦 = 𝑁 que corta a função no intervalo. 
Fonte: (STEWART, 2013). 
Em outras palavras, o teorema afirma que uma função contínua assume 
todos os valores intermediários entre os valores da função 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏). 
Essa interpretação geométrica é uma das grandes aplicações desse 
teorema para a localização das raízes de uma equação, por meio de calculadoras 
gráficas e ou sistema de computação algébrica (SCA), em que, nesse caso 
específico, temos um 𝑁 = 0, ou seja, 𝑓(𝑥) = 0. 
 
Você quer ler? Algumas aplicações do Teorema do Valor Intermediário estão 
presentes na dissertação de Fábio Maia de Morais para a resolução de alguns 
problemas do Ensino Médio. Leia mais disponível em: 
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/110609/000789180.pdf. 
 
 
Síntese 
Ao longo desse estudo tivemos a oportunidade de aprender sobre noção 
intuitiva de limites, limites e continuidade, que constituem a base do cálculo para 
resolução de inúmeros problemas de funções ou variações de funções, com 
aplicações em diversas áreas, tais como Engenharias, Matemática, Economia, 
Administração. Na próxima unidade, daremos início aos estudos de derivadas e 
taxas de variação. 
Limites e Derivadas - Unidade 1 - Limites 
 
Nesta unidade, você aprendeu as seguintes habilidades: 
● Compreender a história do cálculo infinitesimal e sua contribuição 
para o avanço da ciência e tecnologia; 
● Conhecer os problemas que originaram o conceito de limites; 
● Estudar limites determinados, indeterminados, infinitos e no infinito; 
● Análise e aplicação de propriedades para o cálculo de limites; 
● Entender o comportamento das funções contínuas e descontínuas. 
 
Bibliografia 
ESTADO DA ARTE. Podcast: “Os Elementos” de Euclides. 2019. Disponível em: 
https://cultura.estadao.com.br/blogs/estado-da-arte/podcast-os-elementos-de-
euclides-2/. Acesso em: 05 jul. 2019. 
FINNEY, R. L.; WEIR, M. D.; GIORDANO, F. R. Cálculo de George B. Thomas Jr. 
Volume 1. 10. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, 
integração. 6. ed. São Paulo: 2013. 
MORAIS, F. M. Sobre o Teorema do Valor Intermediário. 2013. 51 f. Dissertação 
(Mestre em Matemática) - Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da 
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, São José do Rio Preto, 
2013. 
NODARSE, R. A. Las matemáticas y matemáticos en el mundo griego. 2009. 
Disponível em: http://euler.us.es/~libros/griegos.html. Acesso em: 04 jul. 2019. 
STEWART, J. Cálculo, volume 1. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.