SOLICITAÇÕES NORMAIS E TANGENCIAIS

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GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 1 
Professor Luiz Eduardo 
TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 12/08/2021 
 
1. SOLICITAÇÕES NORMAIS E TANGENCIAIS 
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
No que segue, admite-se a premissa de que o material que constitui o componente em 
análise, deforme-se em regime linear relativamente ao carregamento externamente 
aplicado. Em outras palavras, as respostas de deformação estão linearmente associadas ao 
carregamento que solicita o componente e caracteriza-se simplificadamente, como elástico-
linear. 
Define-se RESILIÊNCIA como sendo a propriedade apresentada pelo material de 
deformar-se em regime elástico; por ELASTICIDADE entende-se a propriedade apresentada 
pelo material de recuperar totalmente a sua forma primitiva, uma vez cessado o esforço 
externo. 
Com isso, dentro de um ciclo completo de carregamento e de descarregamento do 
componente, não ocorre dissipação de energia de qualquer natureza. Portanto, processos 
de plastificação ou de danificação do material estão naturalmente excluídos da análise 
elástica. 
1.2 ESFORÇOS AXIAIS NORMAIS 
São esforços orientados segundo a direção do eixo longitudinal do componente, 
conforme ilustrado na Fig. 1.1. Portanto, atuam sobre um plano ortogonal ao eixo, o qual 
contém a seção transversal considerada. Assim, são referidos como esforços normais e 
podem ser classificados como segue: 
➢ ESFORÇOS DE TRAÇÃO, os quais atuam no sentido de alongar o componente. 
Esses esforços são considerados positivos (+) e provocam, simultaneamente, a 
contração (ou encurtamento) transversal do componente durante a deformação; 
➢ ESFORÇOS DE COMPRESSÃO, os quais atuam no sentido de encurtar o 
componente. Esses esforços são considerados negativos (-) e provocam, 
simultaneamente, o alongamento (ou expansão) transversal do componente. 
 
 
Figura 1.1 – Componentes cilíndricos submetidos a esforços de tração e de compressão. 
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1.3 CONCEITO DE TENSÃO NORMAL MÉDIA 
Define-se tensão normal média como sendo a relação entre o esforço normal, 
externamente aplicado (tração ou compressão), e a área da seção transversal do 
componente, normal ao eixo longitudinal do mesmo, conforme ilustrado na Fig. 1.2. Assim: 
𝜎𝑚 =
𝑃
𝐴
 ( 𝑒: 𝑃 = 𝜎𝑚. 𝐴) (1.1) 
 
Figura 1.2 – Força P equilibrada pela tensão normal média, σm, na seção transversal. 
No Sistema Internacional de Unidades, SI, a tensão média, a qual significa a 
quantidade de força aplicada por unidade de área, é medida em N/m2 (ou daN/cm2, 
N/mm2, etc.). 
1.3.1 PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT 
O conceito de tensão média, anteriormente apresentado, aplica-se às regiões da 
barra relativamente distantes daquelas de transmissão do carregamento externo, 
assim como às regiões relativamente afastadas daquelas de vinculação da barra ao 
meio externo (resguardado o caso de considerações adicionais de mobilidade na 
direção transversal àquela do esforço aplicado). 
Isso se deve às perturbações elásticas verificadas nas regiões próximas aos 
extremos carregados ou vinculados da barra. 
A Fig. 1.2 mostra uma seção transversal ‘confortavelmente’ situada em posição 
distante daquelas de aplicação da carga P, o que torna o conceito de tensão média 
bastante razoável, subentendendo que, em regiões afastadas daquelas de 
perturbação o conceito de tensão média é válido. Não obstante a aparente 
obviedade da questão, esse importante princípio foi enunciado por Saint-Venant da 
maneira mais geral, conforme segue: 
“Os campos de tensão, de deformação e de deslocamentos causados por dois 
conjuntos diferentes de forças estaticamente equivalentes, serão aproximadamente 
iguais em regiões suficientemente afastadas dos pontos de aplicação das cargas”. 
A Fig. 1.3 ilustra dois componentes carregados por conjuntos diferentes de forças 
estaticamente equivalentes, assim como as seções CC’ onde as tensões médias são 
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aproximadamente iguais. Para todos os efeitos, neste texto o princípio de Saint-
Venant é implicitamente considerado. 
 
Figura 1.3 – Barras carregadas por sistemas de força estaticamente equivalentes. 
EXEMPLO E1.1. Admitindo-se que a barra ilustrada na Fig.1.1 tenha seção 
transversal circular e diâmetro d=2,50 cm, e que a mesma esteja submetida a um 
esforço de tração, P= 2000,00 daN (=20 kN) pede-se determinar o valor da tensão 
normal média que atua na seção transversal, localizada no centro da barra. 
SOLUÇÃO: A área da seção transversal, A, é a que segue: 
𝐴 =
𝜋𝑑2
4
=
𝜋2,502
4
 
O valor da tensão média, calculada com a Eq. 1.1, será: 
𝜎𝑚 =
2000,00
𝜋.2,502
4
=
4.2000,00
𝜋. 2,502
= 407,434 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
EXEMPLO E1.2. Uma barra de seção transversal quadrada deve ser submetida à 
ação de uma força axial de tração cujo valor é P= 50000,00 daN. Para o problema, 
pede-se determinar o valor do a lado da seção, de tal maneira que a tensão atuante 
não ultrapasse 300,00 daN/cm2. 
 
Figura E.1.2 – Barra de seção transversal quadrada, submetida à tração. 
 
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SOLUÇÃO: 
A área da seção quadrada será: 𝐴 = 𝑎. 𝑎 = 𝑎2 
A condição de projeto impõe que σm ≤ 300,00 daN/cm2. Utilizando-se a Eq.1.1 com 
essa condição, tem-se: 
𝜎𝑚 =
𝑃
𝐴
 → 300,00 =
50000,00
𝑎2
 𝑒: 𝑎 = √
50000,00
300,00
= 12,910 𝑐𝑚 ≈ 13,0 𝑐𝑚 
Observação: O arredondamento é feito para cima, sempre, eventualmente atendendo a 
algum critério pré-estabelecido. 
EXEMPLO E1.3. Para a treliça plana apresentada na Fig. E1.3.1, pede-se verificar a 
estabilidade das barras AC e CD, com seções transversais quadradas e lados a=6,00 
cm, se a tensão normal máxima deverá ser limitada a 1,30 kN/cm2. Caso a 
estabilidade não se verifique, pede-se determinar um novo valor para o lado a da 
seção transversal, comum a ambas as barras, de tal maneira que a condição 
imposta no problema seja atendida, arredondando-se o resultado para a fração de 
0,5 cm imediatamente superior. 
 
Figura E1.3.1 – Sistema treliçado plano submetido à forças concentradas nos nós. 
SOLUÇÃO: 
Reações de apoio: Impondo-se a condição de equilíbrio das forças verticais assim 
como a condição de equilíbrio de momentos relativamente ao ponto A, obtém-se: 
RHB = RHA = 60,00 kN e: RVB =45,00kN 
Esforços nas barras: Nesse caso, os esforços nas barras de interesse podem ser 
determinados diretamente por meio da verificação do equilíbrio dos nós A e D, como 
ilustrado na Fig. E1.3.2 : 
 
Figura E1.3.2 – Ações nos nós estruturais A e D. 
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Ângulo de interesse: 
α = arctg (100/200) = 26,565051o 
• Equilíbrio do Nó A: 
∑𝐹𝑥 = 0 → + − 60,0 + 𝐹𝑎𝑐 cos 𝛼 = 0 → 𝐹𝑎𝑐 = 67,082 𝑘𝑁 
• Equilíbrio do Nó D: 
∑𝐹𝑦 = 0 ↑ + − 15,0 + 𝐹𝑐𝑑 sen𝛼 = 0 → 𝐹𝑐𝑑 = 33,541 𝑘𝑁 
O diagrama de esforços normais nessas barras é ilustrado na Fig. E1.3.3. 
 
Figura E1.3.3 – Diagramas de esforços normais nas barras de interesse. 
Verificação da seção para a tensão atuante: 
A área da seção quadrada será: 𝐴 = 𝑎. 𝑎 = 62 = 36,00 𝑐𝑚2 
A condição de projeto impõe que σm ≤ 1,3 kN/cm2. 
Tensão normal média: Para a verificação,toma-se a tensão normal de maior valor. 
𝜎𝑚 =
𝑃
𝐴
=
67,082
36,00
= 1,863
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 > 1,3 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
a qual não atende à condição de projeto. Portanto, a dimensão a deverá ser 
recalculada. Utilizando a Eq.1.1 juntamente com essa condição, tem-se: 
𝜎𝑚 =
𝑃
𝐴
 → 1,3 =
67,082
𝑎2
 𝑒: 𝑎 = √
67,082
1,3
= 7,183 𝑐𝑚 ≈ 7,5 𝑐𝑚. 
1.4 DEFORMAÇÕES ESPECÍFICAS OU UNITÁRIAS, NORMAIS. 
Considerações iniciais: Ao solicitar-se um componente axialmente, à tração ou 
compressão, o mesmo tenderá a alongar-se ou encurta-se, a depender do sentido 
do esforço axial externo, conforme ilustrado na Fig. 1. O comportamento de 
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alongamento ou de encurtamento decorre da movimentação da microestrutura do 
material. 
Para a conceituação de deformação específica normal ou deformação unitária 
normal, considera-se uma barra prismática de comprimento inicial lo, solicitada à 
tração de maneira crescente, por uma força externa de valor Pi. 
Com o crescimento progressivo da carga Pi, ocorrerão deslocamentos também 
progressivos da barra. Esses deslocamentos serão proporcionais aos valores das 
cargas aplicadas nos instantes considerados. 
Denominados δ, os alongamentos (ou encurtamentos) axiais caracterizam a 
mudança de comprimento do componente. Com sua ocorrência, a barra passará do 
comprimento inicial lo, para outro, de valor genérico, l. Assim, o deslocamento axial, 
δ, é dado por: 
𝛿 = 𝑙 − 𝑙𝑜 (1.2) 
A quantidade de alongamento sofrido pelo componente, por unidade de 
comprimento (inicial) da barra, é denominada “deformação especifica ou deformação 
unitária” normal. A sua designação representação é feita utilizando-se a letra grega 
ε, acompanhada de um índice (subscrito), o qual indica a direção da deformação: 
𝜀𝑥 =
𝑙−𝑙𝑜
𝑙𝑜
=
𝛿
𝑙𝑜
 (1.3) 
Como referido anteriormente, se o componente for carregado em sua fase 
resiliente e posteriormente descarregado, o mesmo recuperará totalmente o 
deslocamento, δ, e retornará a sua forma primitiva. 
Igualmente, a Eq. 1.3 pode ser expressa da maneira que segue: 
𝜀𝑥 = ∫
𝑑𝑙
𝑙𝑜
𝑙
𝑙𝑜
=
1
𝑙𝑜
∫ 𝑑𝑙
𝑙
𝑙𝑜
=
𝑙
𝑙𝑜
|
𝑙𝑜
𝑙
=
𝑙−𝑙𝑜
𝑙𝑜
=
𝛿
𝑙𝑜
 (1.4) 
Das Eq. 1.3 e 1.4, depreende-se que a deformação específica é um número puro, 
portanto sem dimensões. Entretanto, muitas vezes é apresentada em mm/mm, m/m 
ou percentualmente (%). 
Alternativamente (mas não usualmente), essa grandeza pode ser calculada, 
relativamente ao comprimento final do componente, l (ao invés do comprimento 
primitivo, lo). Nesse caso, tem-se: 
𝜀 = ∫
𝑑𝑙
𝑙
𝑙
𝑙𝑜
= 𝑙𝑛(𝑙)|𝑙𝑜
𝑙 = 𝑙𝑛(𝑙) − 𝑙𝑛(𝑙𝑜) = 𝑙𝑛 (
𝑙
𝑙𝑜
) (1.5) 
Essa deformação é denominada “deformação logarítmica” unitária (ou 
específica), correntemente designada εln, e encontra aplicações em análises que 
envolvem grandes deformações. 
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1.5 RELAÇÃO CONSTITUTIVA: LEI DE HOOKE PARA TENSÕES 
NORMAIS NO CASO UNIAXIAL 
Para o estudo da relação existente entre as cargas externamente aplicadas e os 
deslocamentos axiais por elas provocados, trabalha-se agora com as tensões 
normais decorrentes dessas cargas (omitindo-se o subscrito ‘m’) e com as 
deformações específicas, as quais decorrem dos deslocamentos, utilizando as Eq. 
1.1 e 1.3, aqui repetidas por conveniência: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 (1.1) 
𝜀 =
𝛿
𝑙𝑜
 (1.3) 
Com isso, pode-se trabalhar com grandezas generalistas, as quais já 
consideram, implicitamente, as grandezas geométricas (área da seção transversal e 
comprimentos do componente). Para o desenvolvimento da relação existente entre 
tensões e deformações no caso uniaxial, parte-se de uma barra prismática 
submetida a esforços de tração, conforme ilustrado na Fig. 1.4-A. 
 
Figura 1.4 - Barra submetida à tração. Curva tensão-deformação. 
Considerando-se a hipótese da elasticidade linear, ao tracionar-se 
progressivamente a barra, as respostas de deformação serão linearmente 
proporcionais às tensões decorrentes do carregamento, conforme ilustrado na Fig. 
1.4-B. Naturalmente, isso só é possível dentro do regime resiliente do material. 
O nível de tensão que delimita a relação proporcional entre as tensões e as 
deformações, ou seja, que delimita o regime resiliente, é designado σL.E (tensão-
limite de elasticidade), σL.P. (tensão-limite de proporcionalidade) ou simplesmente, σE. 
A partir desse limite as respostas não serão mais lineares, subentendendo o 
início do regime não linear de plastificação, para os materiais de comportamento 
dúctil (maioria dos metais e assemelhados), ou o início da danificação com 
microfissuração, no caso de materiais de ruptura quase frágil (rochas, concretos, 
materiais cerâmicos e assemelhados). 
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Nesses casos, havendo o descarregamento do sólido, a curva não retornará à 
origem e mostrará a existência de deformações residuais de natureza permanente. 
No caso dos materiais frágeis, uma vez ultrapassado o limite referido, o sólido 
simplesmente entra em colapso. 
Observa-se que, quanto menos deformável for o material (ou seja, quanto mais 
rígido for o mesmo), maior será a inclinação da reta σ – ε (Fig. 1.4-B), sendo o 
inverso, também verdadeiro. Portanto, a defomabilidade do material estabelece a 
relação de proporcionalidade entre tensões e deformações. A constante de 
proporcionalidade, nesse caso, é denominada “módulo de elasticidade longitudinal”, 
ou simplesmente módulo de Young do material e é representada pela letra E. 
Dentro das premissas da elasticidade linear, a curva representativa da relação 
entre tensões e deformações é uma reta, a qual passa pela origem, portanto, com 
coeficiente linear, nulo. O coeficiente angular dessa reta é o módulo de Young, E, do 
material, cujo valor coincide com aquele da tangente do ângulo α (Fig. 1.4-B). 
A relação entre deformações e tensões, denominada relação constitutiva do 
material, é dada pela Eq. 1.4, a qual segue a orientação do sistema de eixos 
referencial. Essa equação é comumente chamada de Lei de Hooke. 
Para o problema uniaxial tem-se que: 
𝜎𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥 (1.4) 
A Lei de Hooke, dada pela equação anterior é válida, tanto para tensões de 
tração (as quais causam deformações de alongamento), como para as de 
compressão (que originam deformações de encurtamento) na direção do eixo 
longitudinal. A Tab. 1.1 apresenta valores médios do módulo de elasticidade 
longitudinal, para diferentes materiais. 
Tabela 1.1 – Valores médios de módulos de elasticidade longitudinais, E. 
 
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EXEMPLO E1.4. Uma barra de aço com 50,0 cm de comprimento e seção circular 
com diâmetro d=0,80 cm é submetida à tração por meio da aplicação de uma força 
externa P= 1500,00 daN (≈ 1500,0 kgf = 15,0 tf). Se o aço que compõe a barra 
apresenta módulo de elasticidade longitudinal, E= 2100000,00 daN/cm2, pede-se 
determinar o valor do alongamento, δ, sofrido pela barra. 
 
Figura E1.4 – Desenho esquemático de uma barra de aço cilíndrica, submetida à tração 
SOLUÇÃO: Para a solução do problema, inicia-se com a equação da tensão normal, 
considerando-se, entretanto, as direções do sistema de eixos referencial: 
𝜎𝑥 =
𝑃
𝐴(1.1) 
A deformação específica normal (na direção axial) é dada por: 
𝜀𝑥 =
𝛿
𝑙𝑜
 (1.3) 
Substituindo-se a 1.1 e 1.3 na Eq. 1.4 tem-se: 
 𝜎𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥 → 
𝑃
𝐴
= 𝐸.
𝛿
𝑙𝑜
 → 𝛿 =
𝑃.𝑙𝑜
𝐴.𝐸
 𝑒: 
𝛿 =
4.1500,0. 50,0
𝜋.0,82 2100000,0
= 0,071 𝑐𝑚 
Alternativamente, o problema poderia ser resolvido como segue: 
𝜎𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥 → 𝜀𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
=
𝑃
𝐴𝐸
 → 𝜀𝑥 =
4. 1500,0
𝜋.0,802 2100000,0
 
𝜀𝑥 = 0,00142103 
Da Eq. 1.3 tem-se que: 
𝛿 = 𝜀𝑥𝑙𝑜 𝑒: 𝛿 = 0,00142103. 50,0 = 0,071 𝑐𝑚. 
EXEMPLO E1.5. Uma barra de aço com 50,0 cm de comprimento e seção circular é 
submetida à tração por meio da aplicação de uma força externa P= 2500,00 daN 
(≈ 2500,00 kgf = 25,00 tf). Se o aço que compõe a barra apresenta módulo de 
elasticidade longitudinal, E= 2100000,00 daN/cm2, pede-se determinar o valor do 
diâmetro da seção circular para que o alongamento, δ, não ultrapasse 0,01 cm. 
Arredondar o valor encontrado para a primeira casa decimal. 
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SOLUÇÃO: 
Da aplicação das Eq. 1.1 e 1.3 à Eq. 1.4, tem-se que: 
𝑃
𝐴
= 𝐸.
𝛿
𝑙𝑜
 𝑒: 𝛿 =
𝑃.𝑙𝑜
𝐴.𝐸
 
A área A da seção transversal vale: 
A= (π.d2)/4. 
Ainda, o deslocamento δ deve obedecer à condição do enunciado: 
δ= δmáx = 0,01 cm. 
Substituindo esses valores na equação anterior, decorre: 
0,01 =
4. 2500,0. 50,0
𝜋.𝑑2 2100000,0
 𝑒: 𝑑 = √
4. 2500,0. 50,0
𝜋.0,01. 2100000,0
 = 2,753 ≈ 2,80 𝑐𝑚. 
1.6 DEFORMABILIDADE TRANSVERSAL EM SOLICITAÇÕES 
UNIAXIAIS. 
Considere-se o caso de uma barra, como a esquematizada na Fig. 1.5. 
 
Figura 1.5 – Deformabilidade transversal em esforços de tração e de compressão. 
 Quando solicitada progressivamente à tração (Fig. 1.5-A), o componente 
apresentará, em um dado nível de carregamento, Pi, duas importante mudanças em 
suas características geométricas: 
• Um alongamento na direção axial, x, portanto, paralelo à direção do 
carregamento; 
• Uma contração lateral ou encurtamento, na direção transversal, y, ortogonal 
ao eixo longitudinal, com consequente diminuição do diâmetro da barra. 
Quando solicitada progressivamente à compressão (Fig. 1.5-B), a barra 
experimentará os fenômenos inversos: 
• Um encurtamento na direção axial, x, portanto, paralelo à direção do 
carregamento; 
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• Uma expansão lateral ou alongamento na direção transversal, y, ortogonal ao 
eixo longitudinal, com consequente aumento do diâmetro da barra. 
A ocorrência dessas deformações de sinais contrários, as quais ocorrem, tanto 
no caso da tração, como no caso da compressão, são devidas ao efeito de Poisson. 
 A relação entre essas deformações, transversal e longitudinal, recebe o nome de 
relação ou “coeficiente” de Poisson, ν, o qual é dado por: 
−𝜈 =
𝜀𝑦
𝜀𝑥
 (1.5) 
O sinal negativo presente na Eq. 1.5, garante a inversão do comportamento das 
deformações, relativamente aos seus sinais (+ ou -). A Eq. 1.5 pode ser rescrita para 
a determinação da deformação transversal, εy, como uma fração ou percentual da 
deformação axial, εx, qualquer que seja o seu sinal, da maneira que segue: 
𝜀𝑦 = −𝜈𝜀𝑥 (1.5a) 
Tabela 1.2 – Valores aproximados de ‘Coeficientes’ de Poisson. 
 
Observa-se que ν é a segunda constante elástica do material (a primeira é o 
modulo de Young, E), a qual pode assumir valores que variam desde zero até 
0,4999 para materiais homogêneos e isotrópicos. Valores característicos do 
“coeficiente” de Poisson são apresentados na Tab. 1. 
EXEMPLO E1.6. Uma barra de aço de alta resistência com comprimento inicial l0= 
50 cm e seção retangular quadrada de lado a=2,5 cm, é submetida à tração por uma 
força externa P=25000,00 daN. Se o módulo de elasticidade longitudinal do material 
vale E= 1900000,00 daN/cm2 e o coeficiente de Poisson 0,30, pede-se determinar: 
a) o valor do alongamento axial (direção x) sofrido pela barra; b) o valor do 
encurtamento transversal (direção y) do lado a da seção transversal; c) o menor 
valor da tensão de escoamento, fy, que o material deve apresentar. 
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SOLUÇÃO: 
a) Alongamento Axial: Utilizando a Lei de Hooke, assim como a definição de tensão 
normal, tem-se: 
𝜎𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥 → 𝜀𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
=
𝑃
𝐴𝐸
 → 𝜀𝑥 =
25000,0
 2,502 1900000,0
 
𝜀𝑥 = 0,0021053 
Da Eq. 1.3 tem-se que: 
𝛿𝑥 = 𝜀𝑥𝑙𝑜 𝑒: 𝛿 = 0,0021053 . 50,0 ≈ 0.105𝑐𝑚. 
b) Encurtamento transversal: da Eq. 1.5a tem-se o valor da deformação específica 
na direção transversal: 
𝜀𝑦 = −𝜈𝜀𝑥 𝑒: 𝜀𝑦 = −0,3. 0,0021053 = −0,0006316 
A variação de comprimento do lado a, é obtida como segue: 
𝛿𝑦 = 𝜀𝑦𝑎𝑜 𝑒: 𝛿 = −0,0006316 . 2,5 = −0.00158 ≈ −0.002 𝑐𝑚. 
𝑎′ = 𝑎 + 𝛿𝑦 = 2,498 𝑐𝑚 
c) Resistência do material: A condição de projeto impõe que a tensão solicitante seja 
menor ou igual à sua contraparte resistente. Assim, a menor resistência será: 
𝑓𝑦 = 𝜎 =
𝑃
𝐴
=
25000,0
2,502
= 4000,00
𝑑𝑎𝑁
𝑐𝑚2
. 
1.7 DETERMINAÇÃO DO DIAGRAMA σ-ε PARA OS AÇOS 
Diversas propriedades mecânicas de materiais metálicos podem ser obtidas em 
ensaios relativamente simples, de tração ou de compressão, a exemplo do ensaio 
de tração uniaxial, previstos nas principais normas técnicas nacionais e 
internacionais. 
Para o ensaio de aços correntes, a forma e dimensões relevantes usuais dos 
corpos de prova são apresentadas na Fig. 1.6. 
 
Figura 1.6 – Corpo de prova para ensaios correntes de tração do aço. 
Para a determinação das propriedades mais comuns, usualmente os ensaios de 
tração direta são realizados a partir da utilização de corpos de prova extraídos de 
peças cilíndricas, sendo que as dimensões mínimas dos corpos de prova são 
definidas nas diversas normas técnicas. Observa-se, entretanto, que, quando não for 
possível atendê-las, deve-se, ao menos, guardar a relação mínima entre elas. 
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 A Fig. 1.7 ilustra em escala, um corpo de prova usinado com aço mecânico ASTM-
A36. 
 
Figura 1.7 – Corpo de prova para de tração do aço. 
Esse tipo de ensaio consiste em aplicar ao corpo de prova uma força de tração 
crescente e aferirem-se, ao longo do tempo e com frequência regular (1 Hz, 2 Hz, 3 
Hz, etc.), as deformações associadas às tensões provocadas pela força aplicada. 
Para a determinação das deformações axiais, presentemente são utilizados 
transdutores de deslocamentos de variação linear. Esses transdutores são sensores 
capazes de acompanhar, ao longo do tempo, as variações sofridas por certo 
“comprimento” (ou base), pré-fixado na região central do corpo de prova, antes que 
o ensaio tenha início. 
Opcionalmente, o sensor pode ser constituído de duas partes distintas, as quais 
são fixadas ao sólido a uma distância lo uma da outra. Nesse caso, o sensor detecta 
os afastamentos Δli sofrido pelas partes do conjunto, durante o alongamento do 
corpo de prova. 
Esses afastamentos, aquisitados pelo sistema de controle do ensaio em cada 
instante i, são utilizados para a determinação das deformações específicas 
correspondentes, εx(i), fazendo-se: 
𝜀𝑥(𝑖) =
∆𝑙𝑖
𝑙0
 (1.6) 
A dependerdo sistema utilizado, as deformações são automaticamente 
calculadas pelo software. Por outro lado, os resultados de deslocamento (e de força) 
e são disponibilizados ao final do ensaio, de tal maneira que a sua utilização por 
meio de planilhas eletrônicas (Excel, etc.), torna-se tarefa extremamente simples. 
Via de regra, a tensão aplicada no mesmo instante de tempo, i, é 
automaticamente calculada pelo software do sistema a partir do valor da força 
aplicada pelo equipamento, naquele instante, o qual divide o valor da força pela área 
da seção transversal do corpo de prova. Com isso, o conjunto de dados de tensões 
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e deformações é armazenado para a determinação das diversas propriedades de 
interesse. 
1.7.1 DIAGRAMAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
A Fig. 1.8 esquematiza dois gráficos distintos onde as tensões são grafadas em 
função das deformações. 
 
Figura 1.8 - Diagrama Tensão x Deformação de aços. 
Nessa figura (1.8-A) são indicadas as diversas fases que caracterizam o 
comportamento do material, assim como os principais parâmetros que as delimitam. 
Observa-se que, como ordenadas podem-se ter Resistências (R), ou Tensões 
Solicitantes (S). Ressalta-se que a terminologia utilizada varia entre as diferentes 
normas técnicas ou mesmo entre livros-texto de resistência dos materiais. 
Fazendo referência à Fig. 1.8-A, as fases do diagrama são as que seguem: 
FASE 1- Trecho O - σLP: nesse trecho a resposta é elástica-linear no qual as tensões 
são proporcionais às deformações. Portanto, a fase é resiliente e obedece à Lei de 
Hooke. Por essa razão é utilizada para a determinação do módulo de elasticidade, E. 
Se o sólido for descarregado nesta fase, o mesmo recuperará a sua forma primitiva. 
FASE 2- Trecho σLP – fy: O material deixa de apresentar resposta elástica-linear, 
indicando a existência de processos inelástico os quais implicam a impossibilidade 
de aplicação de Lei de Hooke. Portanto, a resposta já não é resiliente. Se o sólido 
for descarregado nessa fase, ocorrerão deformações irreversíveis (permanentes) 
após o total descarregamento. A tensão fy é o nível de resistência que caracteriza o 
escoamento do material (y= yielding=escoamento); 
FASE 3 – Patamar de escoamento: Nesse nível de tensão e de deformação, o sólido 
se alonga praticamente sem acréscimo de tensões, apresentando deformação 
continuada. Nessa fase ocorre o fenômeno de movimentação das discordâncias, 
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que são defeitos microestruturais. Esse processo diminui rapidamente dado que as 
discordâncias que se movimentaram, impedem a movimentação de outras; 
FASE 4 – Rampa de encruamento: O material volta a ganhar resistência, em virtude 
das acomodações das discordâncias e passa a apresentar comportamento de 
endurecimento ou encruamento (hardening), processo descrito por uma rampa 
curva. Essa curva diminui sua declividade até atingir que a tensão última, σu, seja 
atingida; 
FASE 5 – Nessa fase o corpo de prova já se encontra excessivamente deformado, 
apresentando grande estricção da seção transversal (necking). Com isso a 
capacidade de carregamento cai rapidamente e o sólido entra em colapso no nível 
de tensão σr. A ruptura, no caso dos aços, ocorre por cisalhamento. 
1.7.2 PARÂMETROS CONVENCIONAIS 
Com efeito, há aços que não apresentam patamares de escoamento definidos, 
conforme ilustrado na Fig. 1.8-B. 
Assim, tornou-se necessário convencionar um nível de resistência ao 
escoamento, fyconv (ou Rconv) com vistas às atividades de projeto. Essa resistência 
corresponde a uma deformação residual, também convencional, de valor igual a 
0,002 (0,2%). 
O valor de fyconv é obtido traçando-se uma reta paralela à rampa ascendente do 
regime elástico, partindo-se de ε =0,002; o ponto onde essa reta intercepta a curva 
σ-ε corresponde, no eixo das ordenadas, ao valor da resistência fyconv. 
1.8 PROPRIEDADES MECÂNICAS DETERMINADAS A PARTIR 
DOS DIAGRAMAS σ-ε 
Os diagramas tensão-deformação permitem a determinação de diversas 
propriedades mecânicas de interesse. Algumas delas são descritas a seguir: 
❖ Módulo de Resiliência: É um quantificador da resiliência, ou seja, da 
capacidade apresentada pelo material de deformar-se em regime elástico, 
acumulando, durante o carregamento, energia potencial elástica (também 
chamada de energia de deformação), U. O módulo de resiliência é 
determinado por meio da área sob o diagrama tensão-deformação, no limite 
de resiliência: 
• 𝑈𝑅 =
𝜎𝐿𝐸.𝜀𝐿𝐸
2
 (1.7) 
Aplicando a Lei de Hooke à tensão limite de elasticidade, pode-se escrever: 
𝜎𝐿𝐸 = 𝐸. 𝜀𝐿𝐸 𝑜𝑢: 𝜀𝐿𝐸 =
𝜎𝐿𝐸
𝐸
 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑈𝑅 =
𝜎𝐿𝐸.𝜎𝐿𝐸 
2𝐸
=
𝜎𝐿𝐸
2
2𝐸
 (1.8) 
❖ Ductilidade: É a propriedade mecânica apresentada pelo material de 
deformar-se elástica e plasticamente, dissipando energia potencial elástica 
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até a completa ruptura do corpo de prova (ou sólido). A sua avaliação pode 
ser procedida percentualmente de duas maneiras distintas: 
• Por meio da relação entre a variação Δl de certo comprimento inicial l0 
marcado sobre o corpo de prova e aquele verificado após a ruptura, lu, 
e o comprimento primitivo, l0. Essa propriedade é medida 
percentualmente: 
𝑍% =
𝑙𝑢−𝑙0
𝑙0
. 100 (1.9) 
• Por meio da relação entre a variação ΔA da área da seção transversal 
primitiva, Ao, e aquela verificada após a estricção e ruptura da mesma, 
e a área primitiva, Ao. Essa propriedade é medida percentualmente: 
• 𝐴% =
𝐴𝑜−𝐴𝑟𝑢𝑝
𝐴𝑜
. 100 (1.10) 
❖ Tenacidade: Expressa a capacidade apresentada pelo material de absorver e 
dissipar energia até o momento do colapso. Portanto, a tenacidade diz 
respeito à quantidade de energia absorvida por unidade de volume do corpo 
de prova (densidade de energia de deformação) e é obtida por meio da área 
sob o diagrama σ-ε, passada a fase elástica. 
Em termos expeditos, a tenacidade pode ser calculada como segue: 
• 𝑈𝑇 =
𝜎𝐿𝐸+𝜎𝑈
2
. 𝜀𝑅 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑑ú𝑐𝑡𝑒𝑖𝑠; (1.11) 
• 𝑈𝑇 =
2
3
𝜎𝑈 . 𝜀𝑅 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑓𝑟á𝑔𝑒𝑖𝑠. (1.12) 
Para maiores informações sugere-se a leitura das normas que seguem (em suas 
versões mais atuais): NBR-ISO 6892, NBR 6207 e NBR 1031, da ABNT. 
1.9 CONCEITO DE COEFICIENTE DE SEGURANÇA 
Suponha-se um sólido ou componente estrutural progressivamente tensionado. 
Aumentando-se as componentes de tensão, em um determinado instante o sólido 
alcançará um estado de tensão limite, acima do qual o material falhará, ou seja, 
entrará em colapso, microfissurará ou plastificará, a depender do regime de ruptura 
do mesmo. 
Por sua vez, as tensões de falha ou de colapso do material, σLIM, as quais são 
“características” dos diferentes materiais, são determinadas a partir de resultados de 
ensaios experimentais, os quais devem ser tão simples quanto possível, de maneira 
a tornar factíveis as atividades cotidianas da engenharia. 
Para materiais de ruptura dúctil (a exemplo da maioria dos aços, dos metais 
puros, etc.), essa tensão característica é ditada, via de regra, pela tensão de 
escoamento do material, fy. 
Para materiais frágeis, utiliza-se o valor da tensão de ruptura, σR ou a tensão 
máxima alcançada no ensaio. Uma vez colocadas as noções de tensão solicitante e 
de resistência, pode-se definir o coeficiente de segurança,γm, como um indicador do 
quanto se pode elevar o estado de tensão solicitante, antes que o material que 
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constitui o componente atinja uma condição limite de ruina, falha ou danificação, o 
que ocorre quando σ=σLIM. Alternativamente, pode ser entendido como um 
indicador de proximidade entre a tensão solicitante, σ, e a tensão limite σLIM. 
Assim, pode-se definir o coeficiente de segurança, γm, da maneira que segue: 
𝛾𝑚 =
𝜎𝑙𝑖𝑚
𝜎
 (1.13) 
Quando a tensão solicitante decorre da simplificação racional do estado 
complexo de tensão (bi ou triaxial), de tal maneira que a sua representação possa 
ser feita por meio de uma ou poucas variáveis de resistência, a tensão solicitante 
recebe a designação “tensão equivalente”, σEQ. 
Muitas vezes essa “transformação” permite a comparação direta entre o estado 
de tensão e a sua contraparte resistente, já referida como tensão característica (fy, 
σR, etc.), o que é feito quando da utilização de critérios de escoamento e ruptura 
específicos, a exemplo dos critérios de von Mises, de Tresca, de Drucker-Prager, 
dentre outros, os quais serão estudados oportunamente. Entretanto, no caso de 
solicitações uniaxiais, de tração ou de compressão, a tensão equivalente, σEQ, 
confunde-se com a própria tensão solicitante em sua forma primitiva, σ, o que 
permite desprezar o subscrito de equivalência, ao menos na atual fase de estudos. 
Os coeficientes de segurança são abordados de duas maneiras distintas, a 
depender do tipo de análise estrutural em desenvolvimento, da maneira que segue: 
• Atividades de Síntese: a síntese é a atividade por meio da qual se verifica a 
suficiência do componente estrutural. Nesse caso, compara-se a tensão 
limite (característica) do material com o estado de tensão solicitante em 
conformidade com a Eq. 1.9, e determina-se o valor do coeficiente de 
segurança envolvido. A síntese é muito utilizada quando do desenvolvimento 
de componentes com geometrias complexas ou quando complexamente 
carregados, especialmente em atividades de otimização da forma 
(geometria). Essas otimizações são feitas, via de regra, utilizando-se métodos 
numéricos, a exemplo dos métodos dos elementos finitos e dos elementos de 
contorno; 
• Atividades de Projeto: nesse caso, a atividade de dimensionamento é a 
preponderante. Assim, as dimensões do componente estrutural são 
determinadas em função do estado de carregamento e das propriedades 
resistentes do material sendo utilizado. Consequentemente, o coeficiente de 
segurança pode ser pré-fixado pelo projetista, de maneira a garantir o nível 
de segurança desejado. Para tanto, a resistência do material, no que diz 
respeito a sua condição limite, é minorada. Essa minoração simula uma 
resistência menor que a real. Com isso, origina-se uma “margem” de 
segurança. O exposto permite definir o conceito de tensão admissível, �̅�, da 
maneira que segue: 
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�̅� =
𝜎𝑙𝑖𝑚
𝛾𝑚
 (1.14) 
onde γm é um número maior que a unidade. 
Em outras palavras, a tensão admissível limita as tensões operacionais a 
níveis inferiores àqueles da própria resistência, conforme ilustra a Fig. 1.9. 
Nessa figura, a tensão de escoamento, fy, corresponde à tensão limite, 
característica do material (σLIM). 
 
Figura 1.9 – Região de projeto delimitada pelo coeficiente de segurança, γm. 
A única situação de exceção que se faz à utilização da Eq. 1.14, é aquela na 
qual se deseja saber o valor da tensão admissível mínima para um material, quando 
se conhecem os valores das tensões solicitantes e o coeficiente de segurança a ser 
aplicado. Nesse caso, essas duas grandezas são multiplicadas entre si para a 
determinação da tensão admissível. 
EXEMPLO E1.7 Para a treliça apresentada na Figura E1.3, pede-se verificar a 
estabilidade das barras CD se a tensão de ruptura do material vale σrup= 220,00 
daN/cm2 e o coeficiente de segurança a ser adotado tem valor γm=1,15. Inicialmente, 
a seção transversal é quadrada com 6,00cm de lado. 
Caso haja estabilidade, pede-se verificar o valor real do coeficiente de segurança 
envolvido no problema e redimensionar a seção, caso seja oportuno, arredondando 
o resultado para a fração de 0,5cm imediatamente superior. 
SOLUÇÃO: 
A) Síntese: 
• Tensão admissível do material (máxima tensão que pode ser atingida): 
�̅� =
𝜎𝑙𝑖𝑚
𝛾𝑚
=
220,0
1,15
= 191,304 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
• Tensão solicitante (de serviço). 
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Esforço axial: 
 𝐹𝐶𝐷 = 33,541 𝑘𝑁 = 3354,10 𝑑𝑎𝑁 
𝜎 =
𝐹𝐶𝐷
𝐴
=
3354,10 
6,002
= 93,169
𝑑𝑎𝑁
𝑐𝑚2
 
• Conclusão: 
𝜎 ≪ �̅� → 𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑧. 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 é 𝑒𝑠𝑡á𝑣𝑒𝑙. 
• Valor real do coeficiente de segurança envolvido no problema: 
𝛾𝑚 =
𝜎𝑙𝑖𝑚
𝜎
=
220,0
93,169
= 2,361 ( 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑠𝑖𝑣𝑜‼). 
Essa barra pode ser redimensionada objetivando tornar a estrutura mais econômica. 
B) Projeto: 
• Redimensionamento; Tensão atuante: 
𝜎 =
𝐹𝐶𝐷
𝐴
=
3354,10
𝑎2
 
Condição de projeto: 
𝜎 ≤ 𝜎 ̅(= 191,304
𝑑𝑎𝑁
𝑐𝑚2
) 
3354,10
𝑎2
= 191,304 → 𝑎 = √
3354,10 
191,304
= 4,187 ≈ 4,50𝑐𝑚 (𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜). 
O coeficiente de segurança final será dado por: 
𝜎 =
𝐹𝐶𝐷
𝐴
=
3354,10
4,52
= 165, 635 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
𝛾𝑚 =
𝜎𝑙𝑖𝑚
𝜎
=
220,0
165,635 
= 1,328 ( 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑎𝑧𝑜á𝑣𝑒𝑙, 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑜 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜). 
EXEMPLO E1.8 Determinar os diâmetros das barras AC e CB do sistema 
apresentado, se: P=8000,00 daN, �̅� = 2500,00 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 e E=2,10 x 106daN/cm2. 
 
Figura E1.8-Conjunto de barras biarticuladas, solicitadas à tração. 
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SOLUÇÃO: 
a) Equilíbrio das forças no nó C 
∑𝐹𝑖 = 0 ↑ +
 
𝑖
 → 2𝑇. cos(45°) = 8000,00 
𝑇 =
8000,00 
2 cos(45°)
= 5656,854 𝑑𝑎𝑁 
b) Dimensionamento: 
Condição de Projeto: 𝜎 ≤ �̅� 
𝜎 =
𝑃
𝐴
=
5656,854
𝜋 𝑑2
4
 
𝑑 = √
4 . 5656,854
𝜋. 2500
= 2,881 𝑐𝑚 (𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜) 
c) Deslocamento vertical do ponto C 
 
Figura E1.8.1 – Deslocamento na extremidade C do conjunto de barras. 
• Deslocamento na direção da barra: 
𝛿 =
𝑃.𝑙
𝐴.𝐸
=
5656,854. 450,00. 4
𝜋 2,8812 2,1𝑥106
= 0,186 𝑐𝑚 
• Deslocamento vertical 
𝛿𝑉 =
𝛿
𝑠𝑒𝑛(45)
=
0,186. 2
√2
= 0,263 𝑐𝑚 
2. ESFORÇOS E TENSÕES DE CISALHAMENTO 
Os esforços de cisalhamento, também designados esforços tangenciais, são 
esforços externos orientados segundo a direção transversal à direção dos esforços 
normais. Por sua natureza, esses esforços atuam paralelamente aos planos das 
seções transversais consideradas no sentido de “cortar” o componente, conforme 
ilustra a Fig. 2.1 (a, b). 
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Figura 2.1 – Esforços tangenciais e tensões de cisalhamento. 
A tensão média de cisalhamento, τm, é dada pela relação entre a força tangencial 
que solicita o sólido ao corte, e a área A da seção transversal que o resiste, da 
maneira que segue: 
𝜏𝑚 =
𝐹𝑠
𝐴
 (2.1) 
Essadefinição de tensão média de cisalhamento encontra ampla aplicação no 
dimensionamento de parafuso, rebites e pinos que unem chapas tracionadas ou 
comprimidas, a exemplo daquelas que compõe cascos de navios, fuselagens de 
aviões e em estruturas de aço em geral (pontes, torres, etc.). 
Das Fig. 2.1 e 2.2 depreende-se que, para caso idealizado envolvendo o 
carregamento auto equilibrado, são duas as áreas preferenciais de ruptura, por 
corte, devido ao cisalhamento. 
 
Figura 2.2 – Componente cilíndrico submetido ao cisalhamento. 
EXEMPLO E2.1 Três chapas de aço deverão ser interligadas por pinos de seção 
quadrada de lado a = 0,80 cm, dispostos em linha, para resistirem a um esforço total 
de tração de valor P=20000,00 daN, conforme indicado na Fig. E2.1. Se a 
resistência ao cisalhamento do aço que compõe os pinos, τy, tem o valor de 
fy= 3450,00 daN/cm2, pede-se: a) Determinar o número de pinos necessários à 
união das chapas. Utilizar um coeficiente de segurança γm= 1,15; 
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b) Com o mesmo coeficiente de segurança, verificar a estabilidade das chapas às 
tensões normais (de esmagamento), se o aço das chapas apresenta fy= 2900,00 
daN/cm2 e a espessura de cada uma das chapas é de 2,5 cm. 
 
Figura E2.1 – Chapas de aço interligadas por pinos quadrados. 
SOLUÇÃO: 
a) Tensões admissíveis: 
Pinos: Tensão admissível ao cisalhamento: 
𝜏̅ =
𝑓𝑦
𝛾𝑚
=
3450
1,15
= 3000,00 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
Chapas: Tensão admissível à compressão: 
�̅� =
𝑓𝑦
𝛾𝑚
=
2900
1,15
= 2521,739 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
Tensões solicitantes: As tensões que solicitam o componente ao corte, assim 
como ao esmagamento, são apresentadas esquematicamente na Fig. E2.2: 
 
Figura E2.2 – Tensões normais e de cisalhamento que solicitam os componentes. 
Cisalhamento: Determinação do numero ‘n’ de pinos: As tensões de 
cisalhamento solicitante, τm, considerando-se a simetria do modelo (carga P/2) e a 
existência de uma (única) área resistente na parte simétrica considerada será: 
𝜏𝑚 =
𝑃
2⁄
𝑛.𝐴
=
10000,0
𝑛. (1,0 . 0,82)
=
15625,00 
𝑛
 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
Condição de projeto: 
 𝜏𝑚 ≤ 𝜏̅ 
15625,00 
𝑛
= 3000,00 𝑒: 𝑛 = 5,20833 ≈ 6 pinos. 
Alternativamente, essa determinação poderia ter partido do cálculo da força unitária 
admissível de cada pino. Partimos de: 
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𝜏 =
𝐹
𝐴
 → 𝐹 = 𝜏. 𝐴 
A força admissível unitária (de cada pino) será: 
�̅�𝑢𝑛𝑖𝑡 = 𝜏̅. 𝐴 
�̅�𝑢𝑛𝑖𝑡 = 3000,0 . 0,80
2 = 1920,00 𝑑𝑎𝑁 
Ou seja, cada pino resiste a essa parcela de força. Portanto, o número de pinos 
necessários será: 
𝑛 =
𝐹/2
�̅�𝑢𝑛𝑖𝑡
=
10000,00
1920,00
= 5,20833 ≈ 6 pinos. 
b) Tensões normais: da observação da Fig. E2.2 depreende-se que que a chapa 
central é a mais solicitada ao esmagamento, por meio da totalidade da força P. A 
área unitária de contato entre o pino e a chapa central será: 
𝐴𝑢𝑛𝑖𝑡 = 0,80. 2,5 = 2,0 𝑐𝑚
2 
e a tensão normal solicitante (na chapa) resultará: 
𝜎 =
𝑃
𝑛⁄
𝐴𝑢𝑛𝑖𝑡
=
20000,0
6⁄
2,0
= 1666,667
𝑑𝑎𝑁
𝑐𝑚2
, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑑𝑒 �̅� ( = 2521,739
𝑑𝑎𝑁
𝑐𝑚2
) . 
Portanto, conclui-se que o conjunto é estável. 
EXEMPLO E2.2 Uma barra com 6,00 cm de largura deverá ser submetida à tração 
por uma força externa P= 6000,00 daN/cm2. A barra deverá ser vinculada e 
carregada conforme ilustrado na Fig. E2.2. Se a tensão de ruptura à tração e à 
compressão do material vale σR=150,00 daN/cm2 e aquela relativa ao cisalhamento, 
τR, tem valor igual a 90 daN/cm2, pede-se determinar as dimensões a, b e c, 
utilizando um coeficiente γm=1,20. Arredondar os resultados para a fração de meio 
centímetro, imediatamente superior. 
 
Figura E2.2 – Barra entalhada, submetida à tração externa. 
SOLUÇÃO: 
a) Tensões admissíveis: 
• Tração e compressão: �̅� =
𝜎𝑅̅̅ ̅̅
𝛾𝑅
=
150,0
1,2
= 125,00 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
• Cisalhamento: 𝜏̅ =
𝜏𝑅̅̅̅̅
𝛾𝑅
=
90,0
1,2
= 75,00 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
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b) Dimensão b: Lançando mão da simetria do modelo, pode-se analisar apenas 
metade do modelo, com metade do valor da carga. Assim, a tensão de cisalhamento 
atuante será: 
𝜏 =
𝑃
2⁄
𝐴
=
3000,0
𝑏. 6
=
500,0 
𝑏
 
A condição de projeto impõe que: 
𝜏 ≤ 𝜏̅ → 
500,0 
𝑏
= 75,00 → 𝑏 =
500
75
= 6,667 ≈ 7,0𝑐𝑚 
c) Dimensão a: Nesse caso, será verificada a tensão normal de maneira a impedir o 
esmagamento da região à esquerda do entalhe. A condição de projeto impõe que: 
𝜎 ≤ �̅� → 
3000,0 
6. 𝑎
= 125,00 → 𝑎 =
500,0
125,0
= 4,00 𝑐𝑚 
d) Dimensão c: A ruptura dessa região, por tração, deverá ser verificada para a 
totalidade da carga. Aplicando a condição de projeto: 
𝜎 ≤ �̅� → 
6000,0 
6. 𝑐
= 125,00 → 𝑐 =
1000,0
125,0
= 8,00 𝑐𝑚 
Com isso, fica determinada a altura da peça: 
ℎ = 2𝑎 + 𝑐 = 16 𝑐𝑚. 
2.1 DEFORMAÇÕES TANGENCIAIS DE CISALHAMENTO. 
São deformações específicas ou unitárias que decorrem de tensões de 
cisalhamento. As deformações de cisalhamento podem ser, tanto lineares, como 
angulares. Quando angulares, são designadas distorções e serão focadas 
prioritariamente nesta parte introdutória dos estudos da resistência dos materiais. 
Para exemplificar as deformações de cisalhamento, toma-se uma chapa 
(componente estrutural onde duas dimensões prevalecem sobre a terceira, no caso, 
a espessura), externamente carregadas como ilustra a Fig. 2.3. 
 
Figura 2.3- (I): Chapa solicitada por carregamento auto equilibrado; (II e III): Deformações 
angulares de cisalhamento (distorções). 
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Nessa chapa toma-se uma pequena área imaginária de forma losangular 
(regular), descrita pelas posições A, B, C e D a qual representa a configuração não 
deformada ou primitiva desse elemento de área (Fig. 2.3-I). Entretanto, após o 
carregamento a chapa se deforma e os pontos primitivos passam às novas posições 
A’, B’, C’ e D’ (Fig. 2.3-II), permitindo observar que: 
• os ângulos 𝐷�̂�𝐵 e 𝐷�̂�𝐵, primitivamente com 90o, passam ao valor (90o+γ); 
• os ângulos 𝐴�̂�𝐶 e 𝐴�̂�𝐶, primitivamente com 90o, passam ao valor (90o- γ); 
Agora, fazendo-se coincidir graficamente os pontos D e D’, o pequeno ângulo γ 
fica evidenciado. Esse ângulo mede a distorção ou deformação angular unitária 
ocorrida durante o processo de deformação. Para pequenas deformações esse 
ângulo é dado por: 
𝑡𝑔 𝛾 ≈ 𝛾 =
𝐴𝐴′
𝐴𝐷
 (2.2) 
2.2 RELAÇÃO CONSTITUTIVA: LEI DE HOOKE PARA TENSÕES 
DE CISALHAMENTO NO CASO UNIAXIAL 
Para o estudo da relação existente entre as tensões de cisalhamento e as 
deformações angulares (ou tangenciais) específicas (ou unitárias) por elas 
provocadas, evoca-se novamente a Lei de Hooke, agora escrita em função das 
grandezas referidas. 
Para o desenvolvimento da relação existente entre tensões e deformações no 
caso do cisalhamento, parte-se de um bloco prismático submetido a esforços diretos 
de cisalhamento, conforme ilustrado na Fig. 2.4A. 
 
Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação em solicitações de cisalhamento. 
Considerando-se as hipóteses da elasticidade linear, ao solicitar-se 
progressivamente a barra com uma tensão de cisalhamento crescente τ (=Fs /A), as 
respostas dedeformação angular, γ, serão linearmente proporcionais às tensões 
decorrentes do carregamento, conforme ilustrado na Fig. 2.4B. 
Também no caso do cisalhamento, isso só é possível dentro do regime 
resiliente. 
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O nível de tensão que delimita a relação proporcional entre as tensões e as 
deformações angulares, ou seja, que delimita o regime resiliente, é designado τLE 
(tensão-limite de elasticidade), τLP (tensão-limite de proporcionalidade) ou 
simplesmente, τE. 
A partir desse limite as respostas não serão mais lineares, subentendendo o 
início do regime não linear de plastificação, para os materiais de comportamento 
dúctil (maioria dos metais e assemelhados), ou o início da danificação com 
microfissuração, no caso de materiais de ruptura quase frágil (rochas, concretos, 
materiais cerâmicos e assemelhados). 
Nesses casos, havendo o descarregamento do sólido, a curva não retornará à 
origem e mostrará, ao final, a existência de deformações angulares residuais de 
natureza permanente. 
Observa-se que, quanto menos deformável for o material (ou seja, quanto mais 
rígido for o mesmo), maior será a inclinação da reta τ – γ (Fig. 2.4-B), sendo que, o 
inverso também é verdadeiro. Portanto, a deformabilidade do material estabelece a 
relação de proporcionalidade entre tensões e deformações. 
A constante de proporcionalidade, nesse caso, é denominada “módulo de 
elasticidade transversal”, ou simplesmente módulo de cisalhamento do material e é 
representada pela letra G. 
Dentro das premissas da elasticidade linear, a curva representativa da relação 
entre tensões e deformações é uma reta, a qual passa pela origem, portanto, com 
coeficiente linear, nulo. O coeficiente angular da reta é o módulo de cisalhamento, G, 
do material, e seu valor coincide com aquele da tangente do ângulo α. 
A relação entre deformações e tensões, denominada relação constitutiva do 
material, é dada pela Eq. 2.3, a qual segue a orientação do sistema de eixos 
referencial. Essa equação é comumente chamada de Lei de Hooke para 
cisalhamento. Para o problema tem-se que: 
𝜏𝑦𝑥 = 𝐺 𝛾𝑦𝑥 (2.3) 
Observe-se na Eq. 2.3, a existência de dois índices, x e y, associados à tensão 
de cisalhamento, τ. O primeiro deles, y, indica a direção do vetor normal ao plano 
onde atua a tensão, no caso, a direção y. O segundo deles, x, indica a direção da 
própria tensão. 
Em futuro muito próximo se estudará que, por mera questão de equilíbrio, as 
tensões de cisalhamento são complementares, ou seja, τyx = τxy. Com isso, escrever 
τyx ou τxy é absolutamente indiferente. 
Essa questão ficará mais bem esclarecida quando do estudo do cisalhamento na 
flexão de vigas. 
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2.2.1 RELAÇÃO ENTRE AS CONSTANTES ELÁSTICAS DO MATERIAL 
A relação entre as constantes elásticas do material, quais sejam, o módulo de 
elasticidade longitudinal (módulo de Young) E, o módulo de elasticidade transversal 
(modulo de cisalhamento) G, e a relação de Poisson, ν, é dada pela Eq. 2.4: 
𝐺 =
𝐸
2(1+𝜈)
 (2.4) 
3. TENSÕES SOBRE PLANOS INCLINADOS 
Nas abordagens anteriores, as tensões solicitantes em barras tracionadas ou 
comprimidas axialmente foram analisadas sobre seções transversais ortogonais ao 
eixo longitudinal do componente. 
Agora, analisa-se o caso de tensões que atuam sobre planos genéricos, 
inclinados de um ângulo θ, qualquer. Para tanto, considera-se uma barra engastada 
em uma das extremidades e livre na outra, submetida a um carregamento externo P, 
conforme ilustrado na Fig. 3.1. 
 
Figura 3.1 – Tensões sobre a seção reta e sobre a seção inclinada. 
Sobre o plano que contém a seção transversal reta, AA’, as únicas tensões 
existentes são de natureza normal. Entretanto, a inclinação gradual da sessão 
relativamente ao eixo longitudinal do componente, dará origem (também gradual), às 
tensões de cisalhamento. 
A área da seção transversal reta, 1-2, tem valor A, ao passo que a área da seção 
arbitrariamente inclinada, 1-3, referente ao corte BB’, vale Aθ =A/cosθ. Chamando 
de R a resultante das tensões σx, R’ a resultante das tensões σθ, e Fs a resultante 
das tensões cisalhantes, tem-se: 
• 𝑅 = 𝜎𝑥𝐴 (3.1) 
• 𝑅′ = 𝜎𝜃𝐴𝜃 = 𝜎𝜃
𝐴
cos𝜃
 (3.2) 
• 𝐹𝑠 = 𝜏𝜃
𝐴
cos𝜃
 (3.3) 
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Somando-se as forças relativamente ao eixo inclinado x’ tem-se: 
∑𝐹𝑥′ = 0 ↖ + 𝑅
′ − 𝑅. 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0 
Substituindo-se 3.1 e 3.2 decorre: 
𝜎𝜃
𝐴
cos𝜃
− 𝜎𝑥𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 𝑜𝑢: 𝜎𝜃 =
𝜎𝑥𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃cos𝜃
𝐴
 𝑒: 
𝝈𝜽 = 𝝈𝒙 𝒄𝒐𝒔
𝟐𝜽 (3.4) 
Agora, somando-se as forças relativamente ao eixo inclinado, y’, tem-se: 
∑𝐹𝑦′ = 0 ↗ + 𝐹𝑠 − 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 → 
𝜏𝜃 𝐴 
cos𝜃
 − 𝜎𝑥𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 → 𝜏𝜃 = 𝜎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑒: 
𝝉𝜽 =
𝝈𝒙
𝟐
 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 (3.5) 
Da observação da Eq. 3.4 depreende-se o valor da tensão σθ passa por um 
máximo, quando cos2 θ =1, ou seja, quando θ=0. Naturalmente quando isso ocorre, 
as tensões σx e σθ terão o mesmo valor. Em outras palavras, a maior tensão normal 
tem o valor de σx, e ocorre sobre a seção reta (θ=0). 
Ainda, por ser a tensão normal de maior valor, essa tensão é denominada 
tensão principal, e recebe a designação σ1. 
Por outro lado, da observação da Eq. 3.5 depreende-se que a tensão τθ atingirá 
um valor máximo quando sen 2 θ =1, ou seja, quando 2 θ =90o e θ =45o. Nesse caso 
a tensão de cisalhamento máxima, considerando-se a Eq. 3.5, valerá τmáx= σx / 2. 
3.1 REPRESENTAÇÃO DO ESTADO DE TENSÃO NO PLANO DE 
MORH 
Também designado círculo de Mohr, o plano das tensões é constituído por um 
sistema de eixos coordenados, onde as ordenadas representam as tensões de 
cisalhamento, τ, e as abscissas, as tensões normais, σ. 
Para o problema deduzido no item anterior, inicialmente marca-se em escala 
conveniente e sobre o eixo das abscissas, o valor da tensão normal máxima σx. 
Por ser máxima, essa tensão é denominada tensão principal maior. Portanto, no 
caso σx = σ1. Essa tensão ocorre sobre o plano da seção transversal reta e, em 
conformidade com a Eq. 3.5, o cisalhamento será nulo, portanto definindo um ponto 
notável sobre o eixo das tensões normais (abscissas). 
Por outro lado, o ponto onde a tensão é mínima (σy=0) coincide com a origem dos 
eixos e define uma segunda tensão designada tensão principal menor, designada 
σ2, no presente caso de valor igual a zero. Nesse ponto a tensão de cisalhamento 
também será nula. 
Do exposto conclui-se que, sobre os planos onde atuam tensões principais, 
o cisalhamento é nulo. 
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Portanto, as posições de σ1 e σ2 (no caso iguais às de σx e σy) definem duas 
posições, diametralmente opostas, pelas quais passará o círculo de Mohr. 
Ainda, a posição de coordenadas (σy e -τxy) é um ponto de extremo interesse, 
denominado Polo das Normais. No presente caso, esse ponto coincide com a 
origem dos eixos. 
Por esses dois pontos (σx e σy) traça-se o circulo de Mohr, com centro em 
O=(σx + σy)/2. Posteriormente, pelo polo das normais (no caso, a origem dos eixos), 
e com abertura de interesse, θi, traça-se uma reta a qual interceptará o círculo em 
uma posiçãoP. 
As coordenadas desse ponto terão os valores de σθ e τθ respectivamente, dadas 
pelas Eq. 3.4 e 3.5. 
EXEMPLO E3.1 Para a barra resolvida no EXEMPLO E2.2, deseja-se fazer um 
pequeno alongamento, adicionando-se um suplemento à direita, o qual deverá ser 
colado por meio de um adesivo químico (Fig. E3.1). O adesivo será aplicado sob 
uma superfície cuja normal encontra-se inclinada de 25o, relativamente à direção 
horizontal. Para o problema pede-se: a) calcular as resistências, normal e ao 
cisalhamento, para o adesivo; b) Representar o problema no círculo de Mohr. 
Dados: P= 6000,00 daN; b= 6,00 cm; h=16,00cm. Utilizar um coeficiente de 
segurança γ=1,2 para o adesivo. 
 
Figura E3.1 – Extensão do comprimento de uma barra tracionada. 
SOLUÇÃO: 
a) Tensões atuantes sobre a seção inclinada: 
• Tensão normal, σθ: 
𝜎𝜃 = 𝜎𝑥 𝑐𝑜𝑠
2𝜃 =
6000,00
6,0. 16,0
 𝑐𝑜𝑠225𝑜 = 𝟓𝟏, 𝟑𝟑𝟕 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
• Tensão, τθ: 
𝜏𝜃 =
𝜎𝑥
2
 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 =
6000,00
2(6,0. 16,0)
𝑠𝑒𝑛50𝑜 = 𝟐𝟑, 𝟗𝟑𝟗 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
as quais correspondem às tensões-limite de instabilidade da resina. 
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Tensões admissíveis: Esse cálculo é procedido considerando-se o coeficiente de 
segurança pré-estabelecido de 20%, da maneira que segue: 
Tensão normal admissível: �̅� = 51,337. 1,2 = 61,602 ≈ 62,00
𝑑𝑎𝑁
𝑐𝑚2
; 
Tensão admissível ao cisalhamento: 𝜏̅ = 23,939. 1,2 = 28,727 ≈ 29,00 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2. 
Bastante cuidado deve ser tomado quando da utilização da noção de coeficiente 
de segurança. 
No presente caso, observa-se que a relação matemática é diferente daquela 
previamente aplicada. 
b) Representação do problema no círculo de Mohr: 
A representação é feita graficamente, a partir do valor da tensão σx e do ângulo θ. 
 
Figura E3.2 – Representação gráfica de Mohr. Os valores são grafados e lidos em escala. 
4. PROBLEMAS AXIAIS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS 
Em diversos problemas de engenharia envolvendo esforços axiais, quer de 
tração, quer de compressão, muitas vezes as equações do equilíbrio estático não 
são suficientes à solução dos mesmos. 
Com isso, temos que buscar condições complementares que viabilizem as 
soluções desejadas. Isso usualmente ocorre em problemas hiperestáticos e em 
outros, os quais abrangem solicitações de sólidos constituídos por diferentes 
materiais. 
Essas condições especiais podem ser, por exemplo, aquelas de compatibilidade 
de deformações, onde assumimos, por exemplo, perfeita aderência entre diferentes 
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materiais que se deformam simultaneamente, ou de compatibilidade de 
deslocamentos ou conjunto de deslocamentos que devem apresentar valores 
uniformes ou nulos. 
Para expressar a questão com maior agilidade, ou seja, para continuarmos 
restritos às questões de Resistência dos Materiais (o que exclui o já estudado em 
Teoria das Estruturas), passamos diretamente à solução de exemplos concretos. 
EXEMPLO E4.1 Um cilindro de aço de diâmetro daço=10 cm, encontra-se no interior 
de um tubo de cobre, com diâmetro externo dcobre= 20 cm. Esse conjunto é 
uniformemente solicitado em compressão por uma prensa hidráulica que lhe 
transmite uma força P= 50000,00 daN, conforme ilustrado na Fig. E4.1. Para o 
problema pede-se determinar: a) O valor das tensões no cilindro de aço e no tubo de 
cobre; b) As deformações específicas na peça de cobre, εc. 
DADOS: Eaço= 2,10x 106 daN/cm2; Ecobre= 1,10x106 daN/cm2. 
 
Figura E4.1 – Cilindro constituído por dois materiais, submetido à compressão. 
SOLUÇÃO: As deformações unitárias do cobre e do aço, por questões de 
compatibilidade de deformações, deverão ser iguais, o que faz pressupor a perfeita 
aderência entre os materiais. Entretanto, as tensões em cada um dos materiais 
(σ=E. ε) variarão entre si em função dos valores dos Módulos de Elasticidade. 
Assim: 
• Tensão genérica no aço: 𝜎𝑎ç𝑜 = 𝐸𝑎ç𝑜. 𝜀 
• Deformação no aço: 𝜀 = 
𝜎𝑎ç𝑜
𝐸𝑎ç𝑜
 (A) 
• Tensão genérica no Cobre: 𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 𝐸𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒. 𝜀 
• Deformação no cobre: 𝜀 = 
𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
𝐸𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
 (B) 
DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES: 
Igualando A e B, dado que essas deformações específicas devem ser iguais, tem-se: 
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𝜎𝑎ç𝑜
𝐸𝑎ç𝑜
=
𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
𝐸𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
 → 𝜎𝑎ç𝑜 =
𝐸𝑎ç𝑜
𝐸𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 (C) 
Da Eq. C, tem-se a razão modular, α: 
𝛼 =
𝐸𝑎ç𝑜
𝐸𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
 𝑒: 𝜎𝑎ç𝑜 = 𝛼 𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 (D) 
FORÇA NO AÇO: 
A força que atua no aço parte da equação da tensão: σ=P/A. Assim, P= σ. A e: 
𝑃𝑎ç𝑜 = 𝜎𝑎ç𝑜 . 𝐴𝑎ç𝑜 = (𝛼. 𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒). 𝐴𝑎ç𝑜 
𝑃𝑎ç𝑜 = (
𝐸𝑎ç𝑜
𝐸𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒)⏟ 
𝜎𝑎ç𝑜
. 𝐴𝑎ç𝑜 
FORÇA NO COBRE: 
𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 =
𝑃𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
𝐴𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
 
𝑃𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 
TENSÃO NO COBRE: 
Condição de Equilíbrio de forças na direção vertical: 
∑ 𝐹𝑖 = 0 ↑ +
 
𝑖 → 𝑃𝑎ç𝑜 + 𝑃𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 − 𝑃 = 0 
(𝛼. 𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒). 𝐴𝑎ç𝑜 + 𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 − 𝑃 = 0 
Rearranjando e substituindo os valores, a tensão no cobre valerá: 
𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 =
𝑃
𝛼. 𝐴𝑎ç𝑜+𝐴𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
=
50000,00
(
2,1
1,1
)
 𝜋10,02
4
+
𝜋(20,02−10,02)
4
= 129,682 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
TENSÃO NO AÇO: 
𝜎𝑎ç𝑜 = 𝛼 𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 =
2,1
1,1
129,682 = 247,574𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
Deformações Específicas nos Materiais: 
Dada à compatibilidade assumida, as deformações específicas serão iguais. Assim: 
𝜀 =
𝜎𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
𝐸𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
= 
𝜎𝑎ç𝑜
𝐸𝑎ç𝑜
=
247,574
2,10𝑥106
= 0,000118 
EXEMPLO E4.2 Determinar os valores dos esforços de tração nas barras AC e BC, 
as quais são de cobre, assim como na barra central, DC, a qual é de aço, do sistema 
apresentado na Fig. E4.2. Determinar, também, as tensões decorrentes desses 
esforços. As extremidades das barras são articuladas. 
DADOS: Aço: Módulo de Elasticidade: Ea; Área: Aa. Cobre: idem, Ec, Ac. 
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Figura E4.2 – Conjunto de três barras solicitadas à tração. 
SOLUÇÃO: 
a) Equilíbrio do nó C: 
∑𝐹𝑖 = 0 ↑ +
 
𝑖
 → 𝑋 + 2𝑌𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑃 
b) Deformações Específicas e Tensões para as barras de cobre: 
𝜀𝐶 =
𝛿𝑙
𝑙𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
=
(𝛿 cos𝛼)
ℎ
cos𝛼
=
(𝛿 cos𝛼)cos𝛼
ℎ
=
𝛿 cos2𝛼
ℎ
 (𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝛼) 
𝜎𝐶 = 𝐸𝐶𝜀𝐶 =
𝐸𝐶𝛿 cos
2𝛼
ℎ
 
c) Deformações Específicas e Tensões para a barra de aço: 
𝜀𝐴 =
𝛿
ℎ
 
𝜎𝐴 = 𝐸𝐴𝜀𝐴 = 
𝐸𝐴𝛿
ℎ
 
d) Forças nas barras (hiperestáticos): 
Barra de Aço: 
𝜎𝐴 =
𝐹𝐴
𝐴𝐴
=
𝑋
𝐴𝐴
 → 𝑋 = 𝜎𝐴𝐴𝐴 
𝑋 = (
𝐸𝐴𝛿
ℎ
)𝐴𝐴 
Barras de Cobre: 
𝑌 = 𝜎𝐶𝐴𝐶 
𝑌 =
𝐸𝐶𝛿 cos
2𝛼
ℎ
𝐴𝐶 𝑜𝑢: 
𝑌 =
𝑋 cos2 𝛼
ℎ
(
𝐴𝐶𝐸𝐶
𝐴𝐴𝐸𝐴
) 
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5. TENSÕES E DEFORMAÇÕES COM ORIGENS TÉRMICAS 
As deformações térmicas são aquelas que têm origens em variações de 
temperatura impostas a um sólido (deformado ou não). 
Essas deformações apresentam as seguintes características: 
• Podem ser de alongamento ou de encurtamento, a depender da natureza da 
variação de temperatura, Δt imposta ao sólido (positiva →aquecimento; 
negativa → resfriamento); 
• Podem ocorrer em todas as direções, ou seja, axialmente, no plano ou 
tridimensionalmente. 
• Para variações uniformes de temperatura, as deformações apresentam 
características meramente hidrostáticas (ou esféricas), isto é, são 
responsáveis pela mudança do comprimento, da área ou do volume do sólido 
e não da sua forma; 
• Podem apresentar valores iguais ou diferentes segundo as direções, a 
depender da natureza térmica do material: isotrópico, ortotrópico ou 
anisotrópico. 
Se o sólido puder se movimentar livremente durante a deformação, ou seja, 
durante a aplicação da variação térmica, essas deformações não estarão 
associadas a tensões. 
Porém, se as deformações forem total ou parcialmente impedidas, haverá a 
geração de esforços internos, a exemplo de tensões de tração ou de compressão. 
Ainda, se a variação de temperatura for desigual entre as faces do sólido, 
ocorrerá a geração combinada de momentos fletores e de esforços normais 
(tração/compressão). 
5.1 EQUAÇÕES PARA A ANÁLISE DAS DEFORMAÇÕES 
TÉRMICAS. 
A deformação térmica, εt, é calculada por meio da equação que segue: 
𝜀𝑡 = 𝛼0 ∆𝑡 (5.1) 
onde α0 é o coeficiente de expansão térmica do material, dada em 1/oC, e Δt a 
variação de temperatura (+ ou -). 
Para os elementos lineares (elementos de barra), a variação de comprimento 
decorrente da variação de temperatura (Fig. 5. 1) é calculada com a Eq. 5.2: 
𝛿𝑡 = ∆𝑙𝑡 = 𝜀𝑡𝑙0 = ( 𝛼0 ∆𝑡 )𝑙0 (5.2) 
Observa-se que, para o elemento de barra (linear), a referência de alongamento 
ou encurtamento térmico é sempre o eixo longitudinal da barra, o qual passa pelo 
centro de gravidade da seção transversal da mesma. 
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Figura 5.1 – Viga isostática sujeita a carregamento térmico. 
Da observação da Fig. 5.1b, depreende-se que o alongamento isostático da 
barra, consequente das deformações após a carga térmica, ocorre sem qualquer 
impedimento, significando que as deformações são desacompanhadas de tensões. 
Assim, em um estado composto de solicitação, as deformações térmicas 
apresentam características aditivas e a lei de Hooke, para o caso uniaxial, passa a 
ser escrita como segue: 
𝜎 = 𝐸𝜀 + 𝜀𝑡 (5.3) 
Entretanto, se ocorrerem restrições (quer totais, quer parciais) ao livre 
alongamento do sólido (causadas, por exemplo, pela vinculação externa do 
componente), surgirão tensões de devidas ao confinamento. Muitas vezes, essas 
tensões apresentam intensidades bastante significativas. 
A Tab. 5.1fornece valores usuais dos coeficientes α0 para alguns materiais. 
Tabela 5.1 – Alguns valores de coeficientes de expansão térmica. 
MATERIAL α0 (1/oC . 10-6) 
Alumínio - Ligas 23,0-24,0 
Aços 11,7 a 12,0 
Bronze 18,0 
Chumbo 29,0 
Cobre e ligas de Cobre 16,9 
Concretos 10,0 
Latão (liga cobre-zinco) 18,9 
Ouro 14,3 
Platina 9,0 
Prata 19 
Tungstênio 4,3 
Vidro comum 9,0 
Zinco 17,0 
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5.2 INDUÇÕES DE TENSÕES DE NATUREZA TÉRMICAS 
Como referido anteriormente, se o sólido puder se deformar e (se deslocar) 
livremente durante a aplicação da carga térmica, o processo estará 
desacompanhado de quaisquer tipos de tensões. 
 Entretanto, se esse destocamento for impedido (conforme já aventado no item 
5), três situações poderão imergir: 
• A geração de esforços axiais, tanto de compressão, se a variação térmica for 
positiva, como de tração, se a carga térmica for negativa; 
• A geração de momentos fletores, se a carga térmica for diferencial, isso quer 
dizer, se uma das faces do componente apresentar variação térmica superior 
ou inferior que à variação térmica da face oposta. Para tanto, também é 
necessário que o giro seja impedido, o que ocorre no caso de engastamentos. 
Esse caso será apresentado posteriormente; 
• A geração de esforços normais e de momentos fletores, em decorrência da 
combinação dos itens anteriores. 
Para um melhor entendimento, desenvolve-se um exemplo literal. 
EXEMPLO 5.1 A Fig. E5.1-A ilustra um cilindro com comprimento lo, sessão 
transversal de área A, módulo de elasticidade, E, e coeficiente de expansão térmica, 
α0. A vinculação externa é hiperestática e a barra encontra-se em repouso mecânico, 
ou seja, livre de tensões iniciais, quer decorrentes de cargas externamente 
aplicadas, quer oriundas de variações de temperatura. Subsequentemente, a barra é 
submetida a uma carga térmica uniforme de valor ∆t. (Fig. E5.1-B ). Para o 
problema, pede-se determinar o valor da força normal e da tensão normal 
decorrentes da aplicação da carga térmica. 
 
Figura E5.1 – cilindro submetido à carga térmica. 
SOLUÇÃO: 
• Determinação da força normal: 
Da definição de tensão, σ=P/A e da Lei de Hooke, σ=E.ε tem-se, por substituição: 
𝑃
𝐴
= 𝐸. 𝜀 (a) 
Da Eq. 5.1 sabe-se que: 
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𝜀 = 𝜀𝑡 = 𝛼0∆𝑡 (5.1) 
Decorrendo de (a) que: 
𝑃
𝐴
= 𝐸. 𝜀 = 𝐸. 𝛼0∆𝑡 
a força de compressão, em módulo, valerá: 
𝑃 = 𝐸. 𝐴. 𝛼0∆𝑡 
• Determinação da tensão normal 
A tensão normal decorre da definição de tensão média, como já visto: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
= 
𝐸.𝐴.𝛼0∆𝑡
𝐴
 
𝜎 = 𝐸. 𝐴. 𝛼0∆𝑡 
ENFOQUE ALTERNATIVO 
Alternativamente, pode-se considerar o cilindro engastado em uma extremidade e 
livre na outra. Aplicando-se a carga térmica, ocorrerá um deslocamento δ. Assim, o 
problema consiste em determinar o valor da foça P, necessária a restituir esse 
deslocamento, da maneira que segue: 
𝛿𝑡 = 𝜀𝑡𝑙 = 𝛼0∆𝑡 𝑙 (b) 
e: 
𝛿 =
𝑃𝑙
𝐴𝐸
 (c) 
Substituindo (b) em (c) e isolando P, tem-se: 
𝛼0∆𝑡 𝑙 =
𝑃𝑙
𝐴𝐸
 → 𝑃 = 𝐴𝐸𝛼0∆𝑡 
Como se depreenderá nos exemplos que seguem, para a solução de problemas 
termo elásticos, via de regra são utilizadas relações auxiliares àquelas do equilíbrio 
estático (equilíbrio de forças). As relações usuais para esse fim são as de 
compatibilidade de deformações e as de continuidade de deslocamentos. 
EXEMPLO E5.2. Um parafuso de aço com área de seção transversal AA= 6,0cm2 
passa pelo interior de um tubo de cobre com área de seção transversal 
AC= 12,0 cm2 (Fig. E5.2). Admitindo-se que ao conjunto seja aplicada uma carga 
térmica Δt= +35 oC, pede-se determinar as forças e tensões resultantes em cada um 
dos componentes. Desprezar a influência das arruelas. Dados: 
EA= 2 100 000,00 daN/cm2; 𝛼0(𝐴) = 11,7𝑥10
−6/𝑜𝐶 
EC=1 200 000,00 daN/cm2. 𝛼0(𝐶) = 16,9𝑥10
−6/𝑜𝐶 
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Figura E5.2 – Componente misto submetido à carga térmica. 
SOLUÇÃO: Tendo em vista a natureza do problema (indeterminação não levantável 
somente com as equações de equilíbrio), para a resolução das incógnitas solicitadas 
lança-se mão da equação de compatibilidade de deformações. 
Isso é possível uma vez que, ao final da aplicação da carga térmica, as deformações 
específicas em ambos os materiais serão iguais. 
a) Relações de deformação: 
• Deformação mecânica devida às forças normais nas partes: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 → 𝜎 = 𝐸𝜀𝑚 → 𝜀𝑚 =
𝑃
𝐴𝐸
 
• Deformação térmica, devidas à variação de temperatura: 
𝜀𝑡 = 𝛼0 ∆𝑡 
b) Equação de compatibilidade: As deformações unitárias axiais serão iguais; assim:𝜀𝐴 = 𝜀𝐶 
As deformações totais, para os distintos materiais, serão: 
𝜀 =
𝑃
𝐴𝐴𝐸𝐴
+ 𝛼0(𝐴) ∆𝑡; 
𝜀 = 
−𝑃
𝐴𝐶𝐸𝐶
+ 𝛼0(𝐶) ∆𝑡 
Aplicando a compatibilidade: 
𝑃
𝐴𝐴𝐸𝐴
+ 𝛼0(𝐴) ∆𝑡 = 
−𝑃
𝐴𝐶𝐸𝐶
+ 𝛼0(𝐶) ∆𝑡; 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃: 
 
𝑃 =
∆𝑡(𝛼0(𝐶)−𝛼0(𝐴))
(𝐴𝐴𝐸𝐴+𝐴𝐶𝐸𝐶)
(𝐴𝐴𝐸𝐴. 𝐴𝐶𝐸𝐶) 
 
𝑃 =
∆𝑡(𝛼0(𝐶)−𝛼0(𝐴))𝐴𝐴𝐸𝐴
1+(
𝐴𝐴𝐸𝐴
𝐴𝐶𝐸𝐶
)
=
35,0.(16,9−11,7)𝑥10−6. 2,1𝑥106.6,0 
1+(
6,0. 2,1
12,0. 1,2
)
 
 
𝑃 = 1223,040 𝑑𝑎𝑁 
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Em virtude do equilíbrio de forças na direção vertical, o componente de aço estará 
tracionado e o de cobre, comprimido. 
c) Tensões no cilindro de aço e no tubo de cobre: 
𝜎(𝐴) =
1223,040 
6,0
= 203,840 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2(𝑡𝑟𝑎çã𝑜); 
𝜎(𝐶) =
1223,040 
12,0
= 101,920 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2(𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜). 
EXEMPLO E5.3. Duas barras cilíndricas, a primeira (1), com l0= 100,0cm e a 
segunda (2), com l0= 50,0cm, encontram-se alinhadas, apenas em contato em uma 
das extremidades e engastadas nas outras. Para o problema, pede-se determinar o 
valor da força normal nos engastes, N, e as tensões normais nas barras, se ao 
conjunto for aplicada uma carga térmica Δt= +20 oC. Dados: 
𝛼0(1) = 16,7𝑥10
−6/𝑜𝐶; E1=1200000,00 daN/cm2; d1=9,5 cm; 
𝛼0(2) = 23,0𝑥10
−6/𝑜𝐶; E2= 700000,00 daN/cm2; d2=5,0 cm. 
 
Figura E5.3 – Barras em contato submetidas a carregamento térmico. 
SOLUÇÃO: Para o equacionamento do problema, utiliza-se nesse caso a condição 
de compatibilidade de deslocamentos: 
a) Variação de compr. da barra 1 devida à variação de temperatura, 𝛿1
𝑡
: 
• 𝛿1
𝑡 = 𝜀1
𝑡 . 𝑙1 = (𝛼0(1)∆𝑡)𝑙1 = (16,7𝑥10
−6. 20,0). 100,0 = 0,0334 c𝑚 
b) Variação de compr. da barra 2 devida à variação de temperatura, 𝛿2
𝑡
; 
• 𝛿2
𝑡 = 𝜀2
𝑡 . 𝑙2 = (𝛼0(2)∆𝑡)𝑙2 = (23,0𝑥10
−6. 20,0). 50,0 = 0,0230𝑐𝑚 
c) Variação de comprimento, da barra 1 devida ao esforço normal, 𝛿1
𝑚
: 
• 𝛿1
𝑚 =
𝑁. 𝑙1
𝐸1𝐴1
=
𝑁. 100,0. 4
1200000,0. 𝜋.9,52
= 1,1757𝑥10
−6𝑁 
d) Variação de comprimento, da barra 2 devida ao esforço normal, 𝛿2
𝑚
: 
• 𝛿2
𝑚 =
𝑁. 𝑙2
𝐸2𝐴2
=
𝑁. 50,0. 4
700000,0. 𝜋. 5,02
= 3,6378𝑥10
−6𝑁 
e) Equação de compatibilidade de deslocamentos: 
𝛿1
𝑡 + 𝛿1
𝑚 + 𝛿2
𝑡 + 𝛿2
𝑚 = 0,0 
0,0334 + 0,0230 + 1,1757𝑥10−6𝑁 + 3,6378𝑥10−6𝑁 = 0,0 
Valor da força reativa: 
𝑁 = -11717,046 daN (compressão). 
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f) Tensões solicitantes: 
Barra 1: 𝜎(1) =
−11717,046. 4
𝜋. 9,52
= 165,303 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2(𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜). 
Barra 2: 𝜎(2) =
−11717,046. 4
𝜋. 5,02
= 596,744 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2(𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜). 
Observação: tendo em vista a condição de compatibilidade imposta ao problema 
(Σδ=0), o deslocamento no ponto de contato entre as barras é nulo. 
EXEMPLO E5.4. Duas barras inicialmente a 18 oC de temperatura, a primeira de 
alumínio (barra 1), com l0= 30,0cm e a segunda de aço (barra 2), com l0= 25,0cm, 
encontram-se alinhadas e engastadas em uma das extremidade. A separação entre 
elas nas extremidades livres é de 0,05 cm, conforme mostrado na Fig. E5.4. Para o 
problema, pede-se determinar o valor da força normal, N, nos engastes e as tensões 
em cada uma das barras, se ao conjunto for aplicada uma carga térmica que o eleve 
à temperatura final, t= 138 o C. Dados: γm=1,15; 
α0(1)= 23,0x10-6/ oC; E1= 700000,0 daN/cm2; A1= 20,0 cm2; fy=1800,0 daN/cm2; 
α0(2) = 11,7x10-6/ oC E1= 2100000,0 daN/cm2; A2= 8,0 cm2, fy= 2750,0 daN/cm2; 
 
 
Figura E5.4 – Barras separadas submetidas a carregamento térmico. 
SOLUÇÃO: 
a) Variação de temperatura: 
 Δt = 138-18=120 oC 
b) Variação de compr. da barra 1, devida à variação de temperatura, 𝛿1
𝑡
: 
• 𝑙1
𝑡 = (𝛼0(1)∆𝑡)𝑙1 = (23,0𝑥10
−6. 120). 30,0 = 0,0828𝑐𝑚 
c) Variação de compr. da barra 2, devida à variação de temperatura, 𝛿2
𝑡
: 
• 𝛿2
𝑡 = (𝛼0(2)∆𝑡)𝑙2 = (11,7𝑥10
−6. 120). 25,0 = 0,0351𝑐𝑚 
d) Variação de comprimento, da barra 1 devida ao esforço normal, 𝛿1
𝑚
: 
• 𝛿1
𝑚 =
𝑁
𝐸1𝐴1
. 𝑙1 =
𝑁
700000,0. 20,0
. 30,0 = 2,1429𝑥10−6𝑁 
e) Variação de comprimento, da barra 2 devida ao esforço normal, 𝛿2
𝑚
: 
• 𝛿2
𝑚 =
𝑁
𝐸2𝐴2
. 𝑙2 =
𝑁
2100000,0. 8,0
. 25 = 1,4881𝑥10−6𝑁 
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f) Equação de compatibilidade de deslocamentos: 
𝛿1
𝑡 + 𝛿1
𝑚 + 𝛿2
𝑡 + 𝛿2
𝑚 = 0,05𝑐𝑚 
0,0828 + 0,0351 + 2,1429𝑥10−6𝑁 + 1,4881𝑥10−6𝑁 = 0,05 𝑐𝑚 
Valor da força reativa: 
𝑁 = -18700,083 daN (compressão). 
g) Tensões normais nas barras 1 e 2: 
𝜎(1) =
−18700,083
20,0
= 935,004
𝑑𝑎𝑁
𝑐𝑚2
; 𝜎(2) =
−18700,083
8,0
= 2337,510 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
h) Verificação da estabilidade relativamente ao esmagamento das seções: 
Aço: 
�̅� =
𝑓𝑦
𝛾𝑚
=
2750,00
1,15
= 2391,304 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 > 2337,510 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 ∴ 𝒆𝒔𝒕á𝒗𝒆𝒍 
Alumínio (5052-H34): 
�̅� =
𝑓𝑦
𝛾𝑚
=
1800,00
1,15
= 1565,217 
𝑑𝑎𝑁
𝑐𝑚2
> 935,004 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 ∴ 𝒆𝒔𝒕á𝒗𝒆𝒍 
EXEMPLO E5.5. Um pequeno cilindro de aço deve ser fortemente encaixado a 
um componente mecânico, por meio de “tensões iniciais” (Fig. E5.5). Para tanto, 
o cilindro foi projetado com uma diferença de comprimento da ordem de 
0,005cm, a maior, relativamente à abertura de adaptação. 
Se o cilindro encontra-se a uma temperatura inicial, t0= 35 0C, pede-se 
determinar: 
A) A variação de temperatura que deve ser aplicada ao mesmo, para que o 
encaixe seja possível; 
B) O valor da tensão normal que resultará no cilindro, quando o mesmo 
voltar à temperatura inicial. 
DADOS: α0=11,7x10-6 (1/oC) ; E= 11,7x106 daN/ cm2 
 
Figura E5.5 – Encaixe de um cilindro de aço por meio de ações térmicas. 
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SOLUÇÃO: 
a) Encurtamento térmico a ser aplicado ao cilindro: 
𝛿 = 𝑙−𝑙0 = 10,000 − 10,005 = −0,005𝑐𝑚 
b) Variação de temperatura necessária ao encurtamento: 
• Equação básica: 
𝜀𝑡 = 𝛼0 ∆𝑡 
∆𝑡 = 
𝜀𝑡
𝛼0
= (
𝑙−𝑙0
𝑙0
) 
1
𝛼0
=
−0,005
10,005
1
11,7𝑥10−6
≅ −42,714 ℃ 
Assim, a temperatura deverá cair até -7,714 oC. 
c) Valor da tensão de compressão, após o retorno à temperatura inicial: 
• Equação básica: 
𝛿 =
𝑃. 𝑙0
𝐴. 𝐸
 
𝑃
𝐴
=
𝛿. 𝐸
𝑙0
 → 𝜎 =
𝛿. 𝐸
𝑙0
=
−0,005. 11,7𝑥10−6
10,005
= −1049,475 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 
Em muitas situações práticas, componentes submetidos a esforços normais de 
tração ou de compressão simples, assim como a esforços decorrentes da flexão e 
da torção, podem apresentar variações, bruscas ou não, em sua geometria. 
Essas variações da geometria acarretam, inevitavelmente, a concentrações de 
tensões nessas regiões. Por conseguinte, o componente pode ser levado ao 
colapso mais rapidamente. Em outras palavras, o componente tem sua capacidade 
reduzida por meras questões geométricas. 
Entretanto, há outros fatores que promovem as concentrações de tensões, a 
exemplo de entalhes, furos, fissuras, defeitos, etc., conforme ilustra a Fig. 5.1. Esses 
fatores são comumente designados concentradores de tensão. 
 
Figura 5.1 – Componentesestruturais com concentradores de tensão. 
Por essa razão, as soluções de problemas de engenharia que os quais envolvem 
concentrações de tensões são bastante elaboradas (para não dizer complicadas), 
dado que subentendem a solução de equações diferenciais particulares aos 
diferentes casos. 
Com isso, tem se mostrado mais simples a utilização de tabelas, ábacos e 
monogramas, objetivando a solução mais expedita desse tipo de problema. Dentre 
eles e bastante popularizados, encontram-se os denominados diagramas de Neuber.