ED 10º SEM PROJETOS MECÂNICOS COMPLETA (TODAS AS RESPOSTAS) UNIP

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MÓDULO 1
EXERCÍCIO 1 - B
B) A velocidade crítica do eixo (w1) pode ser expressa como: 
w1 = [(pi()/l)^2]*sqrt[(g*E*I)/(A*gamma)]; 
Sendo: 
I = (pi() * 0,006^4)/64; 
I = 6,3617*(10^-11) [m^4]; 
A = (pi() * 0,006^2)/4; 
A = 28,27433*(10^-6) [m^2]; 
Logo: 
w1 = [(pi()/0,500)^2]*sqrt[(10*206*(10^9)*6,3617*(10^-11))/(28,27433*(10^-6)*73*(10^3)]; 
w1 = 39,4784176 * 7,96825894; 
w1 = 50,066 [rad/s]; 
w1 = 3004 [rpm].
EXERCÍCIO 2 - A
Por Dunkerley, a velocidade crítica (w1) pode ser expressa como: 
1/(w1^2) = SUM_ii[1/(w_ii^2)]; 
Fazendo-se uso de coeficientes de influência (delta_ii), (w_ii) pode ser expresso como: 
1/(w_ii^2) = m_i * delta_ii; 
Para o sistema em questão - um único acessório de massa 50 kg posicionado ao centro do eixo -, o coeficiente de influência será: 
delta_11 = (l^3)/(48*E*I); 
Sendo: 
I = (pi() * 0,025^4)/64; 
I = 19,17476*(10^-9) [m^4]; 
Logo: 
delta_11 = (1,2^3)/[48*206*(10^9)*19,17476*(10^-9)]; 
delta_11 = 9,114*(10^-6) [m/N]; 
Então: 
1/(w_11^2) = 50 * 9,114*(10^-6); 
1/(w_11^2) = 455,696*(10^-6) [s^2]; 
A equação de Dunkerley pode ser modificada para considerar a velocidade crítica intríseca (w_s) do eixo como: 
1/(w1^2) = 1/(w_s^2) + SUM_ii[1/(w_ii^2)]; 
no qual: 
w_s = [(pi()/l)^2]*sqrt[(g*E*I)/(A*gamma)]; 
Sendo (A) a área da seção transversal do eixo igual a 490,874*(10^-6) [m^2]; e (gamma) o peso específico do material, tem-se: 
w_s = [(pi()/1,2)^2]*sqrt[(10*206*(10^9)*19,17476*(10^-9))/(490,874*(10^-6)*73*(10^3))]; 
w_s = 227,556 [rad/s]; 
Dessa forma: 
1/(w1^2) = 1/(227,556^2) + 455,696*(10^-6); 
1/(w1^2) = 475,10*(10^-6); 
Finalmente, (w1) = 45,88 [rad/s] = 438,15 [rpm].
EXERCÍCIO 3 - D
A velocidade crítica dada é de 750 [rpm], igual a 78,54 [rad/s]. 
Por Dunkerley, a velocidade crítica (w1) pode ser expressa como: 
1/(w1^2) = SUM_ii[1/(w_ii^2)]; 
Fazendo-se uso de coeficientes de influência (delta_ii), (w_ii) pode ser expresso como: 1/(w_ii^2) = m_i * delta_ii. 
Para o sistema em questão - um único acessório de massa 50 kg posicionado ao centro do eixo -, o coeficiente de influência será: 
delta_11 = (l^3)/(48*E*I); 
Logo:
delta_11 = (1,2^3)/(48*206*(10^9)*I); 
delta_11 = 1,747573*(10^-13)/I [m/N]. 
Desse modo: 
1/(w_ii^2) = 50 * 1,747573*(10^-13)/I; 
1/(w_ii^2) = 8,737864*(10^-12)/I [s^2]. 
Então: 
1/(w1^2) = 8,737864*(10^-12)/I; 
I = 8,737864*(10^-12)/(w1^2); 
I = 8,737864*(10^-12)*(78,54^2); 
I = 53,9*(10^-9) [m^4]. 
Finalmente: 
D^4 = 64 * 53,9*(10^-9)/pi(); 
D^4 = 1,098037*(10^-6); 
D = 0,03237 [m]; 
D = 32,37 [mm].
EXERCÍCIO 4 - E
Por Rayleigh, a velocidade crítica (w1) pode ser expressa como: 
w1 = sqrt[(g * SUM_i(w_i * y_i))/SUM_i(w_i * y_i^2)]; 
Com ajuda de um programa de computador ou aplicativo, as deflexões do eixo nas posições dos acessórios de massa 50 kg e 30 kg são, respectivamente: 
y_1 = 1,46*(10^-3) [m]; 
y_2 = 1,82*(10^-3) [m]. 
Logo: 
w1 = sqrt[(10*(500*1,46*(10^-3) + 300*1,82*(10^-3)))/(500*(1,46*(10^-3))^2 + 300*(1,82*(10^-3))^2)]; 
w1 = sqrt[12,76/0,00205952]; 
w1 = 78,7122 [rad/s]; 
w1 = 751,64 [rpm]. 
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
EXERCÍCIO 5 - C
Por de Rayleigh, a velocidade crítica (w1) pode ser expressa como: 
w1 = sqrt[(g * SUM_i(w_i * y_i))/SUM_i(w_i * y_i^2)]; 
Com ajuda de um programa de computador ou aplicativo, a deflexão do eixo na posição do acessório de massa 40 kg é: 
y_1 = 273,729*(10^-6) [m]. 
Logo: 
w1 = sqrt[(10*400*273,729*(10^-6))/(400*(273,729*(10^-6))^2)]; 
w1 = sqrt[1,094916/(29,971*(10^-6))]; 
w1 = 191,1347 [rad/s]; 
w1 = 1825,202 [rpm]. 
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
EXERCÍCIO 6 - D
A velocidade crítica do eixo (w1) pode ser expressa como: 
w1 = [(pi()/l)^2]*sqrt[(g*E*I)/(A*gamma)]; 
Sendo: 
I = (pi() * 0,006^4)/64; 
I = 6,3617*(10^-11) [m^4]; 
A = (pi() * 0,006^2)/4; 
A = 28,27433*(10^-6) [m^2]. 
Logo: 
w1 = [(pi()/0,500)^2]*sqrt[(10*70*(10^9)*6,3617*(10^-11))/(28,27433*(10^-6)*73*(10^3))]; 
w1 = 39,4784176 * 4,6449; 
w1 = 183,374 [rad/s]; 
w1 = 1751 [rpm].
EXERCÍCIO 7 - A
Por Dunkerley, a velocidade crítica (w1) pode ser expressa como: 
1/(w1^2) = SUM_ii[1/(w_ii^2)]; 
Fazendo-se uso de coeficientes de influência (delta_ii), (w_ii) pode ser expresso como: 
1/(w_ii^2) = m_i * delta_ii; 
Para o sistema em questão - um único acessório de massa 50 kg posicionado ao centro do eixo -, o coeficiente de influência será: 
delta_11 = (l^3)/(48*E*I); 
Sendo:
I = (pi() * 0,025^4)/64; 
I = 19,17476*(10^-9) [m^4]; 
Logo: 
delta_11 = (1,2^3)/[48*206*(10^9)*19,17476*(10^-9)];
delta_11 = 9,114*(10^-6) [m/N]; 
Então: 
1/(w_11^2) = 50 * 9,114*(10^-6); 
1/(w_11^2) = 455,696*(10^-6) [s^2]; 
Dessa forma: 
1/(w1^2) = 455,696*(10^-6); 
w1 = 46,845 [rad/s]; 
w1 = 447,3 [rpm].
EXERCÍCIO 8 - D
A velocidade crítica dada é de 12000 [rpm], igual a 1256,64 [rad/s]. 
Por Rayleigh, a velocidade crítica (w1) pode ser expressa como: 
w1 = sqrt[(g * SUM_i(w_i * y_i))/SUM_i(w_i * y_i^2)]; 
Através do método da superposição, a deflexão nas posições onde as massas de 22,7 kg e 13,6 kg estão aplicadas podem ser calculadas e resultam, respectivamente, em: 
y_1 = [F1*x/(48*E*I)]*(4*x^2 - 3*l^2) + [F2*a*x/(6*E*I*l)]*(l^2 - x^2); 
y_1 = [227*0,254/(48*206*(10^9)*I)]*(4*0,254^2 - 3*0,508^2) + [136*0,254*0,254/(6*206*(10^9)*I*0,508)]*(0,508^2 - 0,254^2); 
y_1 = -3,04937267*(10^-13)/I [m]. 
y_2 = [F1*(l^2)/(16*E*I)]*(x-l) + [F2*(x-l)/(6*E*I)]*[(x-l)^2 - a*(3*x - l)]; 
y_2 = [227*(0,508^2)/(16*206*(10^9)*I)]*(0,762-0,508) + [136*(0,762-0,508)/(6*206*(10^9)*I)]*[(0,762-0,508)^2 - 0,254*(3*0,762 - 0,508)]; 
y_2 = -6,304246709*(10^-12)/I [m]; 
no qual: (l) é a distância entre os apoios; (x) é a posição onde se calcula a deflexão em relação à origem (apoio da esquerda); (a) é o comprimento em balanço do eixo; (E) é o módulo de elasticidade do material; (I) é o momento de inércia de área da seção do eixo. 
Então: 
w1 = sqrt[(9,26598312*(10^-9)/I)/(5,426227602*(10^-21)/(I^2))]; 
w1 = sqrt[1,707628909*(10^12)*I]; 
w1^2 = 1,707628909*(10^12)*I; 
1579144,09 = 1,707628909*(10^12)*I. 
Dessa forma: 
I = 924,7540211*(10^-9); 
(pi() * D^4)/64 = 924,7540211*(10^-9). 
Finalmente: 
D^4 = 18,83893422*(10^-6); 
D = 0,06588 [m]; 
D = 65,88 [mm].
MÓDULO 2
EXERCÍCIO 1 - A
Segundo o critério de pressão, sabe-se que a força respectiva ao esmagamento (F), é calculada como: 
F = T/[(d/2) - h1 + (3*h/4)]; 
no qual (T) é o torque experimentado pelo eixo na posição da chaveta; (d) é o diâmetro do eixo; (h) é a altura da chaveta; (h1) é a profundidade da ranhura no eixo que recebe a chaveta. 
Os parâmetros (h) e (h1) são normalizados e tabelados em função do diâmetro do eixo. 
Para os dados fornecidos, tem-se: 
F = 100/[(0,025/2) - 0,004 + (3*0,007/4)]; 
F = 7272,73 [N]. 
A falha por esmagamento é evitada para a seguinte condição: 
2*F/(h*L) < p_adm; 
no qual (L) é o comprimento da chaveta; e (p_adm) é a pressão admissível para esmagamento. Este último é também um valor tabelado em função do tipo de solicitação (nesse caso, choques fortes e carga do tipo II). 
Resolvendo a expressão acima para (L) e com os valores obtidos das tabelas, tem-se: 
L > 2*F/(h * p_adm); 
L > 2*7272,73/(0,007*40*(10^6)); 
L > 0,05195 [m]; L > 51,95 [mm]. 
Então, a chaveta indicada para o serviço terá dimensões de (8 x 7 x 51,95) [mm]. 
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
EXERCÍCIO 2 - C
Para prevenir o esmagamento da chaveta paralela, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
(2*F)/(h*L) < p_adm; 
no qual (h) é a altura da chaveta; (L) é o comprimento da chaveta; (F) é a força respectiva ao esmagamento; e (p_adm) é a tensão admissível para a chaveta. 
O termo (p_adm) depende do material do cubo o qual será enchavetado e do tipo de solicitação (se choques leves ou fortes e tipos de carga classificados de I a III) e é um valor tabelado. 
Para as informações fornecidas, (p_adm) = 40 [MPa]. Os valores de largura (b) e altura (h) da chaveta são tabelados em função do diâmetro do eixo (d): h = 6 [mm];
b = 6 [mm]. 
Resolvendo a expressão acima para (F), tem-se: 
F < p_adm*h*L; 
F < 40*(10^6)*0,006*0,035; 
F < 4200 [N]. 
A força respectiva ao esmagamento também pode ser calculada como: 
F = T/((d/2)-h1+(3*h/4)); 
Resolvendo essa equação para o torque, tem-se: 
T = F*((d/2)-h1+(3*h/4)); 
T = 4200*((0,020/2)-0,0035+(3*0,006/4)); 
T = 46,2 [Nm].
EXERCÍCIO 3 - B
Para prevenir o esmagamento da chaveta paralela, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
(2*F)/(h*L) < p_adm; 
O termo (p_adm) depende do material do cubo o qual será enchavetado e do tipo de solicitação (tabelado). 
Para as informações fornecidas, (p_adm) = 80 [MPa]. Os valores de largura (b) e altura (h) da chaveta também são tabelados em função do diâmetro do eixo (d), que para o caso de 75 [mm], serão: h = 12 [mm]; b = 20 [mm]. 
Resolvendo a expressão acima para (F), tem-se: 
F < (p_adm*h*L)/2; 
F < (80*(10^6)*0,012*0,150)/2; 
F < 72000 [N]. 
A força respectiva ao esmagamento também pode ser calculada como: 
F = T/((d/2)-h1+(3*h/4)); 
Resolvendo essa equação para o torque, tem-se: 
T = F*((d/2)-h1+(3*h/4)); 
T = 72000*((0,075/2)-0,0075+(3*0,012/4)); 
T = 2808 [Nm]; 
T = 2,81 [kNm].
EXERCÍCIO 4 - E
Para prevenir o esmagamento da chaveta Woodruff, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
F/[(h-h1)*L] < p_adm; 
O termo (p_adm) depende do material do cubo, do tipo de solicitação e do tipo de chaveta (tabelado). 
Para as informações fornecidas, (p_adm) = 25 [MPa]. Resolvendo a expressão acima para (F) com os dados fornecidos e com a consulta das tabelas, tem-se: 
F < p_adm*(h-h1)*L; 
F < 25*(10^6)*(0,0075-0,0051)*0,01857; 
F < 1114,2 [N]. 
A força respectiva ao esmagamento também pode ser calculada como: 
F = 2*T/d; 
no qual (T) é o torque experimentado pelo eixo na posição da chaveta; e (d) é o diâmetro do eixo. 
Resolvendo essa equação para o torque, tem-se: 
T = F*d/2; 
T = 1114,2*0,020/2; 
T = 11,142 [Nm]. 
Para previnir o cisalhamento, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
Q/(b*L) < t_adm; 
no qual (b) é a largura da chaveta; (t_adm) tensão de cisalhamento admissível; e (Q) é a força respectiva ao cisalhamento. 
O termo (t_adm) depende do tipo de solicitação e é um valor tabelado. 
Para as informações fornecidas, (t_adm) = 40 [MPa]. 
Resolvendo a expressão acima para (Q), tem-se: 
Q < (t_adm)*b*L; 
Q < 40*(10^6)*0,006*0,01857; 
Q < 4456,8 [N]; 
A força respectiva ao ao cisalhamento também pode ser calculada como: 
Q = 2*T/d. 
Resolvendo essa equação para o torque, tem-se: 
T = Q*d/2; 
T = 4456,8*0,020/2; 
T = 44,568 [Nm]. 
Avaliando o menor torque máximo: 11 [Nm].
EXERCÍCIO 5 - E
Dadas as informações chaveta paralela e diâmetro de eixo de 30 [mm], segundo a tabela de dimensões normalizadas de chavetas, o dimensão correta seria (8 x 7) [mm], tal qual (b x h). Para a dimensão escolhida, o menor diâmetro adequado para seu uso é superior a 30 [mm].
EXERCÍCIO 6 - A
Segundo o critério de pressão, sabe-se que a força respectiva ao esmagamento (F), é calculada como: 
F = T/[(d/2) - h1 + (3*h/4)]; 
Os parâmetros (h) e (h1) são normalizados e tabelados em função do diâmetro do eixo. Para os dados fornecidos, tem-se: 
F = 200/[(0,025/2) - 0,004 + (3*0,007/4)]; 
F = 14545,45 [N]. 
Ainda sob o critério de pressão, a falha por esmagamento é evitada para a seguinte condição: 
2*F/(h*L) < p_adm; 
Resolvendo a expressão acima para (L) e com os valores obtidos das tabelas, tem-se: 
L > 2*F/(h * p_adm); 
L > 2*14545,45/(0,007*40*(10^6)); 
L > 0,1039 [m]; L > 103,9 [mm]. 
Então, a chaveta indicada para o serviço seria de dimensões de (8 x 7 x 103,9) [mm]. 
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
EXERCÍCIO 7 - D
Para prevenir o esmagamento da chaveta Woodruff, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
F/[(h-h1)*L] < p_adm; 
O termo (p_adm) depende do material do cubo, do tipo de solicitação e do tipo de chaveta e é um valor tabelado. 
Para as informações fornecidas, (p_adm) = 25 [MPa]. 
Resolvendo a expressão acima para (F) com os dados fornecidos e com a consulta das tabelas, tem-se: 
F < p_adm*(h-h1)*L; 
F < 25*(10^6)*(0,009-0,0066)*0,02163; 
F < 1297,8 [N]. 
A força respectiva ao esmagamento também pode ser calculada como: 
F = 2*T/d; 
Resolvendo essa equação para o torque, tem-se: 
T = F*d/2; 
T = 1297,8*0,020/2; 
T = 12,978 [Nm] = 12,978 [kNmm]. 
Para previnir o cisalhamento, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
Q/(b*L) < t_adm; 
no qual (b) é a largura da chaveta; (t_adm) tensão de cisalhamento admissível; e (Q) é a força respectiva ao cisalhamento. 
O termo (t_adm) depende do tipo de solicitação e é um valor tabelado.
Para as informações fornecidas, (t_adm) = 40 [MPa]. 
Resolvendo a expressão acima para (Q), tem-se: 
Q < (t_adm)*b*L; 
Q < 40*(10^6)*0,006*0,02163; 
Q < 5191,2 [N]; 
A força respectiva ao ao cisalhamento também pode ser calculada como:
Q = 2*T/d. 
Resolvendo essa equação para o torque, tem-se: 
T = Q*d/2; 
T = 5191,2*0,020/2; 
T = 51,912 [Nm] = 51,912 kNmm]. 
Avaliado para o menor torque máximo: 13 [kNmm].
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
EXERCÍCIO 8 - C
Segundo o critério de pressão, sabe-se que a força respectiva ao esmagamento (F), é calculada como: 
F = T/[(d/2) - h1 + (3*h/4)]; 
no qual (T) é o torque experimentado pelo eixo na posição da chaveta; (d) é o diâmetro do eixo; (h) é a altura da chaveta; (h1) é a profundidade da ranhura no eixo que recebe a chaveta. 
Os parâmetros (h) e (h1) são normalizados e tabelados em função do diâmetro do eixo. 
Para os dados fornecidos, tem-se: 
F = 50/[(0,038/2) - 0,005 + (3*0,008/4)]; 
F = 2500 [N]. 
Ainda sob o critério de pressão, a falha por esmagamento é evitada para a seguinte condição: 
2*F/(h*L) < p_adm; 
no qual (L) é o comprimento da chaveta; e (p_adm) é a pressão admissível para esmagamento. 
Este último é também um valor tabelado em função do tipo de solicitação (nesse caso, choques fortes e carga do tipo II). 
Resolvendo a expressão acima para (L) e com os valores obtidos das tabelas, tem-se: 
L > 2*F/(h * p_adm); 
L > 2*2500/(0,008*40*(10^6)); 
L > 0,015625 [m]; 
L > 15,625 [mm]. 
Então, a chaveta indicada para o serviço seria de dimensões de (8 x 7 x >15,625) [mm].
MÓDULO 3
EXERCÍCIO 1 - B
A força (F) desenvolvida pela transmissão pode ser calculada como: 
F = T/(0,75*z*r); no qual (T) é o torque transmitido; (z) é o número de entalhes no eixo; (r) é o raio médio do eixo (entre os diâmetros maior (d2) e menor (d1)). 
Pela norma DIN 5462 (valores tabelados): 
d1 = 23 [mm]; 
z = 6 [entalhes]. 
Dessa forma, o raio médio (r) será: 
r = (d1+d2)/4; 
r = (23+26)/4; 
r = 12,25 [mm]. 
Logo a força (F) será: 
F = 90000/(0,75*6*12,25); 
F = 1632,65 [N]. 
Para um fator de segurança 2, a força a ser considerada nos cálculos de pressão admissível será o dobro da calculada acima. 
Logo, 
F = 3265,30 [N]. 
Para prevenir o esmagamento, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
F/(h*L) < p_adm; 
no qual (h) é a altura do entalhe ((d2-d1)/2); (L) é o comprimento do cubo; e (p_adm) é a pressão admissível de serviço, que depende do tipo de solicitação (valor tabelado).
 Para o caso, choques fortes e carga II, (p_adm) = 80 [MPa]. 
 Resolvendo a expressão para (L), tem-se: 
 L > F/(h*p_adm); 
 L > 3265,3/(1,5*80); 
 L > 27,21 [mm].
EXERCÍCIO 2 - A
A força (F) desenvolvida pela transmissão pode ser calculada como: 
F = T/(0,75*z*r); 
no qual (T) é o torque transmitido; (z) é o número de entalhes no eixo; (r) é o raio médio do eixo (entre os diâmetros maior (d2) e menor (d1)). 
Pela norma DIN 5463 (valores tabelados): 
d1 = 21 [mm]; 
z = 6 [entalhes]. 
Dessa forma, o raio médio (r) será: 
r = (d1+d2)/4; 
r = (21+25)/4; 
r = 11,5 [mm].
Logo a força (F) será: 
F = 50000/(0,75*6*11,5); 
F = 966,2 [N]. 
Para um fator de segurança 2, a força a ser considerada nos cálculos de pressão admissível será o dobro da calculada acima. 
Logo, F = 1932,4 [N]. 
Para prevenir o esmagamento, a seguinte
expressão deve ser verdadeira: 
F/(h*L) < p_adm; 
no qual (h) é a altura do entalhe ((d2-d1)/2); (L) é o comprimento do cubo; e (p_adm) é a pressão admissível de serviço, que depende do tipo de solicitação (valor tabelado). 
Para o caso, choques fortes e carga I, (p_adm) = 80 [MPa]. 
Resolvendo a expressão para (L), tem-se: 
L > F/(h*p_adm); 
L > 1932,4/(2*80); 
L > 12,08 [mm].
EXERCÍCIO 3 - E
A força (F) desenvolvida pela transmissão pode ser calculada como: 
F = T/(0,75*z*r); 
no qual (T) é o torque transmitido; (z) é o número de entalhes no eixo; (r) é o raio médio do eixo (entre os diâmetros maior (d2) e menor (d1)). 
Pela norma DIN 5471: 
d1 = 24 [mm]; 
z = 4 [entalhes]. 
Dessa forma, o raio médio (r) será: 
r = (d1+d2)/4; 
r = (28+24)/4; 
r = 13 [mm]. 
Logo a força (F) será: 
F = 150000/(0,75*4*13); 
F = 3846,154 [N]. 
Para um fator de segurança 2, a força a ser considerada nos cálculos de pressão admissível será o dobro da calculada acima. 
Logo, 
F = 7692,31 [N]. 
Para prevenir o esmagamento, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
F/(h*L) < p_adm; 
Para o caso, cubo de ferro choques fortes e carga I, (p_adm) = 40 [MPa]. 
Resolvendo a expressão para (L), tem-se: 
L > F/(h*p_adm); 
L > 7692,31/(2*40); 
L > 96,154 [mm]. 
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
EXERCÍCIO 4 - C
Para prevenir a falha por esmagamento, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
F/(h*L) < p_adm; 
no qual (F) é a força desenvolvida pela transmissão; (h) é a altura dos entalhes do eixo; (L) é o comprimento do cubo; e (p_adm) é a pressão admissível de serviço. A (p_adm) depende do tipo de solicitação e do material do cubo (valor tabelado). 
Para o caso, cubo de aço, choques fortes e carga II, (p_adm) = 80 [MPa]. O termo (h) depende de parâmetros geométricos do entalhe que são normalizados. 
Pela norma DIM 5472, o diâmetro menor (d1) será 23 [mm]; e o número de entalhes (z) será 6. Logo a altura dos entalhes será: 
h = (d2-d1)/2; 
h = (28-23)/2; 
h = 2,5 [mm]. 
Então, a força máxima a ser desenvolvida deve ser: 
F < p_adm*h*L; 
F < 80*2,5*60; 
F < 12000 [N];
que para um fator de segurança 1,5 deve-se se considerar uma força 1,5 vezes menor que a calculada. 
Logo (F) = 8000 [N]. 
O torque (T) a ser desenvolvido pode ser calculado como: 
T = F*(0,75*z*r); 
no qual (r) é o raio médio do eixo (r = (d1+d2)/4). 
Logo: 
T = 8000*(0,75*6*12,75); 
T = 459000 [Nmm]; 
T = 459 [Nm]. 
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
EXERCÍCIO 5 - D
Para prevenir a falha por esmagamento, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
F/(h*L) < p_adm; 
no qual (F) é a força desenvolvida pela transmissão; (h) é a altura dos entalhes do eixo; (L) é o comprimento do cubo; e (p_adm) é a pressão admissível de serviço. A (p_adm) depende do tipo de solicitação (valor tabelado). 
Para o caso, choques fortes e carga I, (p_adm) = 80 [MPa]. 
Pela DIN 5462, o diâmetro menor (d1) será 23 [mm]; e o número de entalhes (z) será 6. 
Logo a altura dos entalhes será: 
h = (d1+d2)/2; 
h = (23+26)/2; 
h = 1,5 [mm]. 
Então, a força máxima a ser desenvolvida deve ser: 
F < p_adm*h*L; 
F < 80*1,5*14; 
F < 1680 [N]; 
que para um fator de segurança 2, deve-se se considerar a metade dessa força calculada. 
Logo (F) = 840 [N]. 
O torque (T) a ser desenvolvido pode ser calculado como: 
T = F*(0,75*z*r); 
Logo: 
T = 840*(0,75*6*12,25); 
T = 46305 [Nmm]; 
T = 46,305 [Nm]. 
Enfim, a potência máxima (P) a ser transmitida será: 
P = T*w; 
P = 46,305*188,5; 
P = 8728,29 [W]; 
P = 8,73 [kW].
EXERCÍCIO 6 - E
Para prevenir a falha por esmagamento, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
F/(h*L) < p_adm; 
no qual (F) é a força desenvolvida pela transmissão; (h) é a altura dos entalhes do eixo; (L) é o comprimento do cubo; e (p_adm) é a pressão admissível de serviço. A (p_adm) depende do tipo de solicitação e do material do cubo (valor tabelado). 
Para o caso, cubo de aço, choques leves e carga I, (p_adm) = 100 [MPa]. O termo (h) depende de parâmetros geométricos do entalhe que são normalizados. 
Pela 5463, o diâmetro menor (d1) será 72 [mm]; e o número de entalhes (z) será 10. 
Logo a altura dos entalhes será: 
h = (d2-d1)/2; 
h = (81-72)/2; 
h = 4,5 [mm]. 
Então, a força máxima a ser desenvolvida deve ser: 
F < p_adm*h*L; 
F < 100*4,5*30; 
F < 13500 [N]; 
O torque (T) a ser desenvolvido pode ser calculado como: 
T = F*(0,75*z*r); 
Logo: 
T = 13500*(0,75*10*38,25); 
T = 3872812,5 [Nmm]; 
T = 3,873 [kNm]. 
OBS.: O GABARITO NÃO CONFERE COM A SOLUÇÃO.
EXERCÍCIO 7 - A
A força (F) desenvolvida pela transmissão pode ser calculada como: 
F = T/(0,75*z*r); 
no qual (T) é o torque transmitido; (z) é o número de entalhes no eixo; (r) é o raio médio do eixo (entre os diâmetros maior (d2) e menor (d1)). 
Pela DIN 5463 (valores tabelados): d1 = 72 [mm]; z = 10 [entalhes]. 
Dessa forma, o raio médio (r) será: 
r = (d1+d2)/4; 
r = (72+81)/4; 
r = 38,25 [mm]. 
Logo a força (F) será: 
F = 4000000/(0,75*10*38,25); 
F = 13943,355 [N]. 
Para prevenir o esmagamento, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
F/(h*L) < p_adm; no qual (h) é a altura do entalhe ((d2-d1)/2); (L) é o comprimento do cubo; e (p_adm) é a pressão admissível de serviço, que depende do tipo de solicitação e do material do cubo (valor tabelado). 
Para cubo de aço, choques leves e carga I, (p_adm) = 100 [MPa]. 
Resolvendo a expressão para (L), tem-se: 
L > F/(h*p_adm); 
L > 13943,355/(4,5*100); 
L > 30,98 [mm]. 
O primeiro valor maior que 30,98 [mm] é de 45 [mm].
EXERCÍCIO 8 - D
A força (F) desenvolvida pela transmissão pode ser calculada como: 
F = T/(0,75*z*r); 
no qual (T) é o torque transmitido; (z) é o número de entalhes no eixo; (r) é o raio médio do eixo (entre os diâmetros maior (d2) e menor (d1)). 
Dada a informação do diâmetro maior (d2) = 54 [mm] e a norma pela qual a fixação será feita (nesse caso DIN 5463), os parâmetros geométricos do eixo normalizados serão (valores tabelados): d1 = 46 [mm]; z = 8 [entalhes]. 
Dessa forma, o raio médio (r) será: r = (d1+d2)/4; r = (46+54)/4; r = 25 [mm]. 
Logo a força (F) será: 
F = 4000000/(0,75*8*25); 
F = 26666,67 [N]. 
Para prevenir o esmagamento, a seguinte expressão deve ser verdadeira: 
F/(h*L) < p_adm; no qual (h) é a altura do entalhe ((d2-d1)/2); (L) é o comprimento do cubo; e (p_adm) é a pressão admissível de serviço, que depende do tipo de solicitação e do material do cubo (valor tabelado). 
Para o caso, cubo de aço, choques leves e carga I, (p_adm) = 100 [MPa]. 
Resolvendo a expressão para (L), tem-se: 
L > F/(h*p_adm); 
L > 26666,67/(4*100); 
L > 66,67 [mm]. 
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
MÓDULO 4 
EXERCÍCIO 1 - C
Sendo requerido um acoplamento fixo, sabe-se que a séria a ser usada será 10XXG. A potência (P) nominal transmitida é de 35 [kW], que corrigida pelo rendimento do sistema de 90% será de 31,5 [kW]. 
O torque (T) transmitido dada a potência e a rotação (n) será: 
T = 60*P/(2*pi()*n); 
T = 60*31,5*(10^3)/(2*pi()*180); 
T = 1671,127 [Nm]. 
Para bombas hidráulicas, o fator de serviço (Fs) é igual a 1, logo o torque corrigido (Ts) a ser transmitido será: 
Ts = Fs * T; 
Ts = 1671,127 [Nm]. 
Dados o torque, a rotação e os diâmetros, a acoplamento a ser selecionado será o 1015G cujos parâmetros são: 
Torque máximo: 2350 [Nm]; 
Velocidade permitida: 6500 [rpm]; 
Diâmetros do furo (mínimo-máximo): 20-80 [mm].
EXERCÍCIO 2 - A
Sendo requerido um acoplamento fixo, sabe-se que a série a ser usada será RD XXBP. A potência (P) nominal transmitida é de 3,5 [kW], que corrigida pelo rendimento do sistema de 90% será de 3,15 [kW]. 
O torque (T) transmitido dada a potência e a rotação (n) será: 
T = 60*P/(2*pi()*n); 
T = 60*3,15*(10^3)/(2*pi()*180); 
T = 167,1127 [Nm]. 
Para bombas hidráulicas, o fator de serviço (Fs) é igual a 1, logo o torque corrigido (Ts) a ser transmitido será: 
Ts = Fs * T; 
Ts = 167,1127 [Nm]. 
Dados o torque, a rotação e os diâmetros, a acoplamento a ser selecionado será
o RD 50BP cujos parâmetros são: 
Torque máximo: 297 [Nm]; 
Velocidade permitida: 3600 [rpm]; 
Diâmetros do furo (mínimo-máximo): 20-48 [mm].
EXERCÍCIO 3 - D
Para trefiladoras de arame, o fator de serviço (Fs) é igual a 1,75, logo o torque corrigido (Ts) a ser transmitido será: 
Ts = Fs * T; 
Ts = 1,75 * 1100; 
Ts = 1925 [Nm]; 
no qual (T) é o torque nominal fornecido pela questão. 
Logo, dados os parâmetros: 
Torque: 1925 [Nm]; 
Rotação: 500 [rpm]; 
Diâmetro: 50 [mm]; 
pode-se selecionar um acoplamento de tamanho menor que 1020G, o 1015G. Cujos parâmetros são: 
Torque máximo: 2350 [Nm]; 
Velocidade permitida: 6500 [rpm]; 
Diâmetros do furo (mínimo-máximo): 20-80 [mm]. 
Nesse sentido, tanto o diâmetro quanto a rotação de serviço estão confortavelmente dentro dos limites do acoplamento, não existindo, nesse caso, limitação quanto a isso.
EXERCÍCIO 4 - C
Para compressores alternativos de dois cilindros de ação simples, o fator de serviço (Fs) é igual a 3, logo o torque corrigido (Ts) a ser transmitido será: 
Ts = Fs * T; 
Ts = 3 * 300; 
Ts = 900 [Nm]; 
no qual (T) é o torque nominal fornecido pela questão. 
Logo, dados os parâmetros: 
Torque: 900 [Nm]; 
Rotação: 2000 [rpm]; 
Diâmetro: 50 [mm]; 
deve-se selecionar um acoplamento de tamanho maior que RD 70BP, pois o torque máximo para esse acoplamento é de 822 [Nm], embora a velocidade permitida seja de 3600 [rpm]. 
Quanto ao diâmetro do furo, o acoplamento RD 70BP permite diâmetros entre 25 e 70 [mm], o que não representaria limitação para o diâmetro de serviço de 50 [mm].
EXERCÍCIO 5 - B
O torque máximo (Ts) permitido pelo acoplamento RD 90BP é de 1487 [Nm]. 
Sabe-se que para compressores alternativos de dois cilindros de ação simples, o fator de serviço (Fs) é igual a 3. 
Logo, o torque nominal (T) a ser transmitido pode ser encontrado a partir de: 
Ts = Fs * T; 
T = Ts/Fs; 
T = 1487/3; 
T = 495,667. 
A potência (P) desenvolvida pelo torque de 495,667 [Nm] e rotação (n) de 1000 [rpm] (como fornecida pelo enunciado), será de: 
P = T*n*2*pi()/60; 
P = 495,667*1000*2*pi()/60; 
P = 51906,1 [W]; P = 51,9 [kW].
EXERCÍCIO 6 - B
O torque máximo (Ts) permitido pelo acoplamento RD 90BP é de 1487 [Nm]. 
Sabe-se que para compressores alternativos de dois cilindros de ação simples, o fator de serviço (Fs) é igual a 3.
 Logo, o torque nominal (T) a ser transmitido pode ser encontrado a partir de: 
 Ts = Fs * T; 
 T = Ts/Fs; 
 T = 1487/3; 
 T = 495,667. 
 A potência (P) desenvolvida pelo torque de 495,667 [Nm] e rotação (n) de 500 [rpm] (como fornecida pelo enunciado), será de: 
 P = T*n*2*pi()/60; 
 P = 495,667*500*2*pi()/60; 
 P = 25953,06 [W]; 
 P = 25,95 [kW]. 
 OBS: O GABARITO NÃO CONFERE COM A SOLUÇÃO.
EXERCÍCIO 7 - A
Para trefiladoras de arame, o fator de serviço (Fs) é igual a 1,75, logo o torque corrigido (Ts) a ser transmitido será: 
Ts = Fs * T; 
Ts = 1,75 * 1100; 
Ts = 1925 [Nm]; 
no qual (T) é o torque nominal fornecido pela questão. 
Logo, dados os parâmetros: 
Torque: 1925 [Nm]; 
Rotação: 500 [rpm]; 
Diâmetro: 50 [mm]; 
deve-se selecionar um acoplamento de tamanho maior que RD 70BP, pois o torque máximo para esse acoplamento é de 822 [Nm], embora a velocidade de serviço de 500 [rpm] esteja dentro do limite permissível de 3600 [rpm]. 
Quanto ao diâmetro do furo, o acoplamento RD 70BP permite diâmetros entre 25 e 70 [mm], o que não representaria limitação para o diâmetro de serviço de 50 [mm].
EXERCÍCIO 8 - D
O torque máximo (Ts) permitido pelo acoplamento RD 90BP é de 1487 [Nm]. 
Sabe-se que para compressores alternativos de dois cilindros de ação simples, o fator de serviço (Fs) é igual a 3. 
Logo, o torque nominal (T) a ser transmitido pode ser encontrado a partir de: 
Ts = Fs * T; 
T = Ts/Fs; 
T = 1487/3; 
T = 495,667. 
A potência (P) será de: 
P = T*n*2*pi()/60; 
P = 495,667*800*2*pi()/60; 
P = 41524,87 [W]; 
P = 41,52 [kW]. 
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
MÓDULO 5 
EXERCÍCIO 1 - B
A vida de um rolamento dada em horas de trabalho (Lh) sob uma rotação constante pode ser calculada como: 
Lh = [(10^6)/(60*n)]*(C/P)^m; no qual (n) é a rotação do eixo; (C) é a capacidade de dinâmica do rolamento; (P) é a carga dinâmica equivalente sobre o rolamento; e (m) é um expoente que vale 3 para rolamentos de esferas e 10/3 para rolamentos de rolos. 
Resolvendo a equação para (C) com os dados fornecidos pelo enunciado, tem-se: 
C = [(Lh*60*n*(P^m))/(10^6)]^(1/m); 
C = [(10000*60*180*(4^3)/(10^6)]^(1/3); 
C = 19,05 [kN]. 
Dadas as informações do diâmetro do eixo (25 [mm]), do tipo de mancal (rígido de 1 carreira de esferas) e a capacidade de carga (19,05 [kN]), é possível selecionar o rolamento adequado nos catálogos dos fornecedores. 
No catálogo da SKF, o mancal indicado será o de número 6305.
EXERCÍCIO 2 - C
A vida de um rolamento dada em horas de trabalho (Lh) sob uma rotação constante pode ser calculada como: 
Lh = [(10^6)/(60*n)]*(C/P)^m; no qual (n) é a rotação do eixo; (C) é a capacidade de dinâmica do rolamento; (P) é a carga dinâmica equivalente sobre o rolamento; e (m) é um expoente que vale 3 para rolamentos de esferas e 10/3 para rolamentos de rolos. 
A carga dinâmica equivalente para mancais sujeitos a esforços radiais (Fr) e axais (Fa) simultaneamente é calculadada como: 
P = X*Fr + Y*Fa; 
P = 0,56*0,3 + 1,4*0,1; 
P = 0,308 [kN]; 
no qual (X) e (Y) são fatores radial e axial de correção, respectivamente. 
Então, resolvendo a equação de vida do rolamento com os dados fornecidos, tem-se: 
Lh = [(10^6)/(60*1000)]*(3,08/0,308)^3; 
Lh = 16666,67 [h].
EXERCÍCIO 3 - A
A vida de um rolamento dada em horas de trabalho (Lh) será: 
Lh = [(10^6)/(60*n)]*(C/P)^m; 
no qual (n) é a rotação do eixo; (C) é a capacidade de dinâmica do rolamento; (P) é a carga dinâmica equivalente sobre o rolamento; e (m) é um expoente que vale 3 para rolamentos de esferas e 10/3 para rolamentos de rolos. 
Pela a figura: 
Fa = Ka + 0,5*(Fr_B/Y_B); 
Fa = 10 + 0,5*(19/1,9); 
Fa = 15 [kN]; 
no qual [Ka] é a força axial imposta ao rolamento pelo eixo; (Fr_B) é a força radial suportada pelo rolamento B; e (Y_B) é o fator axial de correção do rolamento B. 
Logo, a carga dinâmica equivalente para o mancal sujeito a esforços radial (Fr) e axal (Fa) simultaneamente é calculadada como: 
P = X*Fr + Y*Fa; 
P = 0,4*19 + 1,9*15; 
P = 36,1 [kN]; 
 
Resolvendo a equação do tempo de vida, tem-se: 
Lh = [(10^6)/(60*150)]*(69,3/36,1)^(10/3); 
Lh = 976,89 [h].
EXERCÍCIO 4 - E
Segundo a análise gráfica do diagrama (Horas de Trabalho x Rotação do mancal) para um dado diâmetro de eixo, o intervalo de relubrificação dos rolamentos pode ser determinado. Para as informações fornecidas: rolamento de rolos cilíndricos; diâmetro do eixo (diâmetro interno do rolamento) de 60 [mm]; rotação de 2000 [rpm]; e tipo de lubrificação com graxa, o intervalo de relubrificação desse rolamento está entre 6000 e 8000 horas de trabalho. 
OBS: O GABARITO NÃO CONFERE COM A SOLUÇÃO.
EXERCÍCIO 5 - D
Para o rolamento indicado (de esferas de contato angular série 7210) as dimensões do diâmetro do furo (d) e do diâmetro externo (D) são, respectivamente: 
d = 50 [mm]; 
D = 90 [mm]; 
Logo o diamêtro médio é de 70 [mm]. 
Dado o diâmetro médio e a rotação (3000 [rpm]), a análise gráfica do diagrama (Viscosidade x Diâmetro médio) - para uma dada rotação - indica uma viscosidade de 10 [mm^2/s]. 
Essa viscosidade é referente à temperatura de trabalho do rolamento. 
É necessário determinar a viscosidade do fluido à temperatura comercial (40 °C) que desenvolve essa viscosidade na temperatura de trabalho indicada (nesse caso, 80 °C). 
Através do gráfico (Viscosidade x Temperatura), para um dado comportamento de fluido, observa-se que o fluido no qualstão que possui 10 [mm^2/s] de viscosidade a 80 [°C], tem viscosidade aproximadamente igual a 45 [mm^2/s] a 40 [°C].
EXERCÍCIO 6 - D
A designação de rolamentos segundo o fornecedor SKF segue a seguinte regra:
O primeiro dígito indica o tipo de rolamento (6 para rolamentos rígidos de uma carreira de esferas); Os últimos dois dígitos indicam o diâmetro do furo do rolamento no qualstão divido por 5 - existem excessões, mas não se aplicam nesse caso - (logo 16 indica um diâmetro de 80 [mm]; Os segundo e terceiro dígitos indicam dimensões complementares do rolamento, como altura e largura. 
O segundo dígito é omitido, como no caso no qualstão, e a designação passa a ter 4 dígitos.
EXERCÍCIO 7 - A
A alternativa correta é a letra A. Pelo catálogo do fornecedor (SKF), tem-se que para uma mesma capacidade de carga, um rolamento de esferas de contato angular possui dimensões menores que um rolamento rígido de uma carreira de esferas. Isso é possível, porque os rolamentos de contato angular atuam mais eficazmente em ambas direções axial e radial que os rolamentos de esferas comuns, o que permite um dimensionamento menor para suas proporções.
EXERCÍCIO 8 - D
Para o rolamento no qualstão, rígido de uma carreira de esferas, comumente a montagem é feita forçadamente, pois deseja-se que não haja movimento relativo entre o eixo e o anel interno na direção axial. Logo a transmissão dos movimentos se dá pelo movimento relativo entre os anéis externo e interno através das esferas.
MÓDULO 6
EXERCÍCIO 1 - A
A potência de atrito (Na) pode ser calculada como: Na = R*f*w*r; no qual (R) é a reação no mancal; (f) é o coeficiente de atrito; (w) é velocidade angular do eixo em [rad/s]; e (r) é o raio do eixo. 
O coeficiente de atrito (f) pode ser calculado como: 
f = 2*(pi()^2)*n*w*r/(pm*c); 
A pressão média é calculada sobre a área projetada do eixo, logo: 
pm = R/(b*d); pm = 5000/(80*100); 
pm = 0,625 [MPa]; 
Logo, o coeficiente de atrito será: 
f = 2*(pi()^2)*0,050*10*0,050/(625000*0,00005); 
f = 0,0158. 
Então: 
Na = 5000*0,0158*62,83*0,050; 
Na = 248,17 [W].
EXERCÍCIO 2 - B
A folga (c) entre o mancal e o eixo pode ser calculada como: c = y*d; no qual (d) é o diâmetro do eixo; e (y) é a folga relativa adimensional entre o mancal e o eixo. 
Para um mancal construído com bronze em chumbo, a folga relativa recomendada está entre 1/1000 a 1,5/1000 (tabelado).
Para uma folga relativa de 1/1000 e diâmetro de 150 [mm] - fornecido pelo enunciado -, a folga (c) será: c = 150/1000; c = 0,15 [mm].
EXERCÍCIO 3 - E
A largura de um mancal de deslizamento (b) pode ser calculada como: 
b = R/(d*pm); 
Para mancais pertencentes de uma máquina operatriz, a pressão média recomendada está entre 2 [MPa] a 5 [MPa] (tabelado). 
Utilizando o limite superior para calcular a largura mínima do mancal, tem-se que: 
b = 17000/(150*5); 
b = 22,67 [mm].
EXERCÍCIO 4 - D
A viscosidade dinâmica do óleo lubrificante pode ser determinada a partir da análise gráfica de uma diagrama que relaciona dois números adimensionais e a razão entre o comprimento do mancal (b) e diâmetro do eixo (d).
No eixo das abscissas, tem-se a espessura relativa da fenda (hr). 
No eixo das ordenadas tem-se o adimensional (n*w)/[pm*(y^2)]; 
O comprimento do mancal pode ser calculado como: 
b = R/(d*pm); 
b = 17000/(150*2,27); 
b = 50 [mm]; 
no qual (R) é a reação no mancal. 
Logo a razão entre o comprimento do mancal e o diâmetro do eixo é de 1/3. 
Para a espessura relativa de fenda de 0,2 e razão (b/d) de 1/3, o adimensional encontrado no diagrama é de 0,95. 
A folga relativa entre o eixo e o mancal recomendada para um mancal de bronze ao chumbo é de 1/1000 a 1,5/1000 (TABELADO). 
Selecionando (y) igual a 1,4/1000 e resolvendo o adimensional do eixo das coordenadas para a viscosidade, tem-se: 
n = 0,95*pm*(y^2)/w; 
n = 0,95*2,27*(0,0014^2)/125,66; 
n = 3,36*(10^-9) [N*s/mm^2]. 
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
EXERCÍCIO 5 - A
A folga relativa (y) entre o eixo e o mancal pode ser calculada como: y = f/d; no qual (f) é a folga absoluta entre o eixo e o mancal; e (d) é o diâmetro do mancal. Logo: y = 0,05/100; y = 0,0005.
EXERCÍCIO 6 - B
A potência de atrito (Na) pode ser calculada como: 
Na = R*f*w*r; 
O coeficiente de atrito (f) pode ser calculado como: 
f = 2*(pi()^2)*n*w*r/(pm*c); 
A pressão média é calculada sobre a área projetada do eixo, logo: 
pm = R/(b*d); 
pm = 7500/(80*100); 
pm = 0,9375 [MPa]; 
Então, o coeficiente de atrito será: 
f = 2*(pi()^2)*0,050*10*0,050/(937500*0,00005); 
f = 0,01053. 
Assim, a potência de atrito será: 
Na = 7500*0,01053*62,83*0,050; 
Na = 248,1 [W]. 
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
EXERCÍCIO 7 - A
A largura de um mancal de deslizamento (b) pode ser calculada como: 
b = R/(d*pm); 
Para mancais pertencentes de uma máquina operatriz, a pressão média recomendada está entre 2 [MPa] a 5 [MPa] (TABELADO). 
Utilizando o limite superior para calcular a largura mínima do mancal, 
tem-se que: 
b = 7500/(150*5); b = 10 [mm].
EXERCÍCIO 8 - D
A potência de atrito (Na) pode ser calculada como: 
Na = R*f*w*r; 
no qual (R) é a reação no mancal; (f) é o coeficiente de atrito; (w) é velocidade angular do eixo em [rad/s]; e (r) é o raio do eixo. 
O coeficiente de atrito (f) pode ser calculado como: 
f = 2*(pi()^2)*n*w*r/(pm*c);
A pressão média é calculada sobre a área projetada do eixo, logo: 
pm = R/(b*d); 
pm = 10000/(80*100); 
pm = 1,25 [MPa]; 
no qual (b) e (d) são o comprimento e o diâmetro do mancal, respectivamente. 
Então o coeficiente de atrito será: 
f = 2*(pi()^2)*0,050*10*0,050/(1250000*0,00005); 
f = 0,0079. 
Assim, a potência de atrito será: 
Na = 10000*0,0079*62,83*0,050; 
Na = 248,178 [W]. 
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
MÓDULO 7
EXERCÍCIO 1 - B
O torque (T) que pode ser transmitido por uma embreagem de discos quando o dimensionamento é feito considerando a pressão uniformemente distribuída é calculado como: 
T = 2*F*f*(ro^3 - ri^3)/(3*(ro^2 - ri^2)); 
no qual (F) é a força de contato entre os discos; (f) é o coeficiente de atrito; (ro) e (ri) são os raios externo e interno, respectivamente, do disco. 
Então, 
T = 2*4500*0,25*(0,1^3 - 0,05^3)/(3*(0,1^2 - 0,05^2)); 
T = 87,5 [Nm].
EXERCÍCIO 2 - B
EXERCÍCIO IDÊNTICO AO EXERCÍCIO 1 DO MÓDULO 7.
T = 87,5 [Nm].
EXERCÍCIO 3 - C
O torque (T) que pode ser transmitido por uma embreagem de discos quando o dimensionamento é feito considerando o desgaste uniformemente distribuída é calculado como: 
T = F*f*N*(ro + ri)/2; 
no qual (F) é a força de contato entre os discos; (f) é o coeficiente de atrito; (ro) e (ri) são os raios externo e interno, respectivamente, do disco; e (N) é o número de discos. 
Então, 
T = 4500*0,25*(0,1 + 0,05)/2; 
T = 84,375 [Nm].
EXERCÍCIO 4 - A
O torque (T) que pode ser transmitido por uma embreagem cônica é calculado como: 
T = 2*F*f*(ro^3 - ri^3)/(3*(ro^2 - ri^2)*sin(A)); 
no qual (F) é a força de contato entre os discos; (f) é o coeficiente de atrito; (ro) e (ri) são os raios externo e interno, respectivamente, do disco; e (A) é o ângulo do cone. 
Pela análise trigonométrica é possível provar que: 
ri = ro - sin(A)*b; 
onde (b) é a largura da face de contato. 
Então: 
ri = 175 - sin(6,25°)*64; 
ri = 168,03 [mm]. 
Resolvendo a equação do torque para a força (F), tem-se que: 
F = 3*T*(ro^2 - ri^2)*sin(A)/(2*f*(ro^3 - ri^3)); 
F = 3*210*(0,175^2 - 0,16803^2)*sin(6,25°)/(2*0,20*(0,175^3 - 0,16803^3)); 
F = 666 [N].
EXERCÍCIO 5 - E
O torque (T) que pode ser transmitido por uma embreagem cônica é calculado como: 
T = 2*F*f*N*(ro + ri)/2; 
Pela análise trigonométrica é possível provar que: 
ri = ro - sin(A)*b; 
onde (b) é a largura da face de contato. 
Então: 
ri = 175 - sin(6,25°)*64; 
ri = 168,03 [mm]. 
Resolvendo a equação do torque, tem-se que: 
T = 2*210*0,20*(0,175^3 - 0,168^3)/(3*(0,175^2 - 0,168^2)*sin(6,25°)); 
T = 66,179 [Nm]. 
Sabe-se que a potência (P) é o produto do torque (T) e da rotação (n) em [rad/s]. Logo: 
P = 66,179 * 500 * 2*pi()/60; 
P = 3465,12 [W]; 
P = 3,465 [kW].
EXERCÍCIO 6 - D
O torque (T) que pode ser transmitido por uma embreagem de discos quando o
dimensionamento é feito considerando o desgaste uniformemente distribuída é calculado como: 
T = F*f*N*(ro + ri)/2; 
O coeficiente de atrito (f) calculado pela média dos valores apresentados na faixa para o material sinterizado é igual a 0,3.
Resolvendo a equação do torque para a força (F), tem-se que: 
F = T/[f*N*(ro + ri)/2]; 
F = 120/[0,3*1*(0,12 + 0,08)/2]; 
F = 4000 [N]. 
A pressão (P) é calculada pela razão entre a força e a área (A) do disco. Logo: 
P = F/A; 
P = F/[pi()*(ro^2 - ri^2)]; 
P = 4000/[pi()*(0,12^2 - 0,08^2)]; 
P = 159154,9 [Pa]; 
P = 160 [kPa].
A pressão calculada está bastante abaixo do limite inferior da pressão máxima admissível para o material.
OBS: O GABARITO NÃO CONFERE COM A SOLUÇÃO.
EXERCÍCIO 7 - A
O torque (T) que pode ser transmitido por uma embreagem de discos quando o dimensionamento é feito considerando a pressão uniformemente distribuída é calculado como: 
T = 2*F*f*(ro^3 - ri^3)/(3*(ro^2 - ri^2)); 
no qual (F) é a força de contato entre os discos; (f) é o coeficiente de atrito; (ro) e (ri) são os raios externo e interno, respectivamente, do disco. 
Então, 
T = 2*9000*0,25*(0,1^3 - 0,05^3)/(3*(0,1^2 - 0,05^2)); 
T = 175 [Nm].
EXERCÍCIO 8 - C
O torque (T) que pode ser transmitido por uma embreagem cônica é calculado como: 
T = 2*F*f*(ro^3 - ri^3)/(3*(ro^2 - ri^2)*sin(A)); 
Resolvendo a equação do torque para a força (ri), tem-se uma equação de terceiro grau: 
(ri^2)*(3*T*sin(A) - 2*F*f*ri) = (ro^2)*(3*T*sin(A) - 2*F*f*ro); 
(ri^2)*(3*210*sin(6,25°) - 2*660*0,20*ri) = (0,175^2)*(3*210*sin(6,25°) - 2*660*0,20*0,175); 
(ri^2)*(68,586 - 264*ri) = 0,685575; 
-264*ri^3 + 68,586*ri^2 - 0,685575 = 0; 
A solução dessa equação resulta em: 
ri_1 = 0,175;
ri_2 = -0,0866;
ri_3 = 0,1714. 
A raíz adequada do problema é ri_3.
Pela análise trigonométrica, é possível provar que: 
b = (ro-ri)/sin(A); 
onde (b) é a largura da face de contato. Então: 
b = (175 - 171,4)/sin(6,25°); 
b = 33 [mm].
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
MÓDULO 8
EXERCÍCIO 1 - E
Considerando o freio com sapata curta, a força (F) necessária para frenagem pode ser calculada como: 
F = Fn *(a - f*c)/(a+b); 
no qual (Fn) é a força de reação normal que age na sapata; (f) é o coeficiente de atrito; (a), (b) e (c) são as dimensões já ilustradas na figura. 
A força (Fn) pode ser calculada a partir do torque (T) ao qual o tambor está sujeito: 
Fn = T/(f*r); 
no qual (r) é o raio do tambor. Então: 
Fn = 230/(0,3*0,178); 
Fn = 4307,12 [N]. 
Logo, a força (F) será: 
F = 4307,12 * (0,356 - 0,3*0,038)/0,914; 
F = 1623,89 [N]. 
OBS: O GABARITO NÃO CONFERE COM A SOLUÇÃO.
EXERCÍCIO 2 - B
Pela análise trigonométrica, identifica-se que, para o sistema de coordenadas adequado, os ângulos que medem o intervalo no qual existe o elemente de fricção são: 
teta1 = 30°; 
theta2 = 120°; 
Para essa configuração, a pressão máxima ocorre em (thetaA) igual a 90°. 
O momento (Mn) desenvolvido na sapata à esquerda devido às forças de reação normal será: 
Mn = [pA*b*r*a/sen(thetaA)] * integral[sen(theta)^2 * d(theta)]; 
Mn = [0,40*(10^6)*0,080*0,250*0,31048/1] * integral[sen(theta)^2 * d(theta)]; 
Mn = 2483,84 * 1,218407; 
Mn = 3026,33 [Nm]; 
no qual (pA) é a pressão máxima que se pode aplicar sobre a sapata; (b) é a largura da sapata; (r) é o raio do tambor; (a) é a distância entre o eixo do tambor e a articulação da sapata. 
O momento (Mf) desenvolvido na sapata à esquerda devido às forças de atrito será: 
Mf = [f*pA*b*r/sen(thetaA)] * integral[sen(theta)*(r - a*cos(theta))* d(theta)]; 
Mf = [0,20*0,40*(10^6)*0,080*0,250/1 * integral[sen(theta)*(r - a*cos(theta))* d(theta)]; 
Mf = 1600 * 0,26388635; 
Mf = 422,22 [Nm]; 
no qual (f) é o coeficiente de fricção. 
Logo, a força (F_esq) que faz atuar a sapata à esquerda pode ser calculada como: 
F_esq = (Mn - Mf)/c; 
F_esq = (3026,33 - 422,22)/0,700; 
F_esq = 3720,16 [N]; 
no qual (c) é a distância entre a articulação da sapata e o ponto de aplicação da força que a faz atuar. 
Aplicando o somatório de momentos no elemento de alavanca no sistema tendo como polo o ponto à esquerda do ponto 5, tem-se que: 
0,100*3720,16 - 0,400*F = 0; 
F = 377,2/0,400; 
F = 943 [N]; 
no qual (F) é a força de frenagem necessária de ser aplicada.
EXERCÍCIO 3 - B
Pela análise trigonométrica, identifica-se que, para o sistema de coordenadas adequado, os ângulos que medem o intervalo no qual existe o elemente de fricção são: 
theta1 = 8,13°; 
theta2 = 98,13°; 
Para essa configuração, a pressão máxima ocorre em (thetaA) igual a 90°. 
O momento (Mn) desenvolvido na sapata à direita devido às forças de reação normal será: 
Mn = [pA*b*r*a/sen(thetaA)] * integral[sen(theta)^2 * d(theta)]; 
Mn = [600*(10^3)*0,050*0,150*0,250/1] * integral[sen(theta)^2 * d(theta)]; 
Mn = 1125 * 0,92539; 
Mn = 1041,064 [Nm]; 
no qual (pA) é a pressão máxima que se pode aplicar sobre a sapata; (b) é a largura da sapata; (r) é o raio do tambor; (a) é a distância entre o eixo do tambor e a articulação da sapata. 
O momento (Mf) desenvolvido na sapata à direita devido às forças de atrito será: 
Mf = [f*pA*b*r/sen(thetaA)] * integral[sen(theta)*(r - a*cos(theta))* d(theta)]; 
Mf = [0,30*600*(10^3)*0,050*0,150/1 * integral[sen(theta)*(r - a*cos(theta))* d(theta)]; 
Mf = 1350 * 0,04970; 
Mf = 67,095 [Nm]; 
no qual (f) é o coeficiente de fricção. 
Logo, a força (F_dir) que faz atuar a sapata à direita pode ser calculada como: 
F_dir = (Mn - Mf)/c; 
F_dir = (1041,064 - 67,095)/0,500; 
F_dir = 1948 [N]; 
no qual (c) é a distância entre a articulação da sapata e o ponto de aplicação da força que a faz atuar.
EXERCÍCIO 4 - C
O torque (T) de frenagem pode ser calculado como: 
T = f*pA*b*(r^2)*(cos(theta1) - cos(theta2))/sen(thetaA); 
no qual (f) é o coeficiente de atrito; (pA) é a pressão máxima que se pode aplicar sobre a sapata; (b) é a largura da sapata; (r) é o raio do tambor; e os ângulos (theta) são as posições angulares do início e fim da sapata e do ponto de maior pressão (thetaA) medidos a partir de um sistema de coordenadas adequado. 
Sabe-se do exercício anterior que: 
theta1 = 8,13°; 
theta2 = 98,13°; 
thetaA = 90°.
Para a sapata à direita o torque será: 
T_dir = 0,3*600000*0,050*(0,150^2)*(cos 8,13° - cos 98,13°)/1; 
T_dir = 229,1 [Nm]. 
Os momentos (Mn) e (Mf) desenvolvidos na sapata à esquerda estão relacionados com seus análogos da sapata à direita (Mn_d) e (Mf_d) como: 
Mn = Mn_d*(pA_e/pA_d); 
Mf = Mf_d*(pA_e/pA_d); 
no qual (pA_d) e (pA_e) são, respectivamente, as pressões máximas desenvolvidas nas sapatas à direita e à esquerda. 
A força (F) que faz atuar a sapata à esquerda pode ser calculada como: 
F = (Mn + Mf)/c; 
no qual (c) é o braço de momento da força em relação à articulação da sapata. 
Resgatando os valores de (Mn_d) e (Mf_d) do exercício anterior, substituindo-os na equação da força e resolvendo para (pA_e), tem-se que: 
0,003693863*pA_e = 1948; 
pA_e = 527361 [Pa]. 
Logo o torque para a sapata à esquerda será: 
T_esq = 0,3*527361*0,050*(0,150^2)*(cos 8,13° - cos 98,13°)/1; 
T_esq = 201,366 [Nm]. 
O torque total (T_tot) (capacidade de frenagem) será: 
T_tot = T_dir + T_esq; 
T_tot = 430,466 [Nm]; 
A potência de frenagem (P) será Então: 
P = T_tot*n*2*pi()/60; 
P = 430,466*300*2*pi()/60; 
P = 13523,49 [W]; 
P = 13,52 [kW].
EXERCÍCIO 5 - D
Pela análise trigonométrica, identifica-se que, para o sistema de coordenadas adequado, os ângulos que medem o intervalo no qual existe o elemente de fricção são: 
theta1 = 0°; 
theta2 = 126°; 
Para essa configuração, a pressão máxima ocorre em (thetaA) igual a 90°. 
O momento (Mn) desenvolvido na sapata à direita devido às forças de reação normal será: 
Mn = [pA*b*r*a/sen(thetaA)] * integral[sen(theta)^2 * d(theta)]; 
Mn = [1*(10^6)*0,032*0,150*0,12265/1] * integral[sen(theta)^2 * d(theta)]; 
Mn = 787,3 [Nm]; 
no qual (pA) é a pressão máxima que se pode aplicar sobre a sapata; (b) é a largura
da sapata; (r) é o raio do tambor; (a) é a distância entre o eixo do tambor e a articulação da sapata. 
O momento (Mf) desenvolvido na sapata à direita devido às forças de atrito será: 
Mf = [f*pA*b*r/sen(thetaA)] * integral[sen(theta)*(r - a*cos(theta))* d(theta)]; 
Mf = [0,32*1*(10^6)*0,032*0,150/1 * integral[sen(theta)*(r - a*cos(theta))* d(theta)]; 
Mf = 304,174 [Nm]; 
no qual (f) é o coeficiente de fricção. 
Logo, a força (F_dir) que faz atuar a sapata à direita pode ser calculada como: 
F_dir = (Mn - Mf)/c; 
F_dir = (787,3 - 304,174)/0,212; 
F_dir = 2278,9 [N]; 
F_dir = 2,28 [kN]; 
no qual (c) é a distância entre a articulação da sapata e o ponto de aplicação da força que a faz atuar. 
Ambas as forças possuem mesma intensidade. 
EXERCÍCIO 6 - A
Considerando o freio com sapata curta, a força (F) necessária para frenagem pode ser calculada como: 
F = Fn *(a - f*c)/(a+b); 
no qual (Fn) é a força de reação normal que age na sapata; (f) é o coeficiente de atrito; (a), (b) e (c) são as dimensões já ilustradas na figura. 
A força (Fn) pode ser calculada a partir do torque (T) ao qual o tambor está sujeito: 
Fn = T/(f*r); 
no qual (r) é o raio do tambor. Então: 
Fn = 230/(0,3*0,250); 
Fn = 3066,67 [N]. 
Logo, a força (F) será: 
F = 3066,67 * (0,356 - 0,3*0,038)/0,914; 
F = 1156,21 [N]. 
OBS: RESULTADO NÃO CONFERE.
EXERCÍCIO 7 - C
Pela análise trigonométrica, identifica-se que, para o sistema de coordenadas adequado, os ângulos que medem o intervalo no qual existe o elemente de fricção são: 
theta1 = 30°; 
theta2 = 120°; 
Para essa configuração, a pressão máxima ocorre em (thetaA) igual a 90°. 
O momento (Mn) desenvolvido na sapata à esquerda devido às forças de reação normal será: 
Mn = [pA*b*r*a/sen(thetaA)] * integral[sen(theta)^2 * d(theta)]; 
Mn = [0,40*(10^6)*0,045*0,250*0,31048/1] * integral[sen(theta)^2 * d(theta)]; 
Mn = 1397,16 * 1,218407; 
Mn = 1702,31 [Nm]; 
no qual (pA) é a pressão máxima que se pode aplicar sobre a sapata; (b) é a largura da sapata; (r) é o raio do tambor; (a) é a distância entre o eixo do tambor e a articulação da sapata. 
O momento (Mf) desenvolvido na sapata à esquerda devido às forças de atrito será: 
Mf = [f*pA*b*r/sen(thetaA)] * integral[sen(theta)*(r - a*cos(theta))* d(theta)]; 
Mf = [0,20*0,40*(10^6)*0,045*0,250/1 * integral[sen(theta)*(r - a*cos(theta))* d(theta)]; 
Mf = 900 * 0,26388635; 
Mf = 237,5 [Nm]; 
no qual (f) é o coeficiente de fricção. 
Logo, a força (F_esq) que faz atuar a sapata à esquerda pode ser calculada como: 
F_esq = (Mn - Mf)/c; 
F_esq = (1702,31 - 237,5)/0,700; 
F_esq = 2092,6 [N]; 
no qual (c) é a distância entre a articulação da sapata e o ponto de aplicação da força que a faz atuar. 
Aplicando o somatório de momentos no elemento de alavanca no sistema tendo como polo o ponto à esquerda do ponto 5, tem-se que: 
0,100*2092,6 - 0,400*F = 0; 
F = 209,26/0,400; 
F = 523,15 [N]; 
no qual (F) é a força de frenagem necessária de ser aplicada.
EXERCÍCIO 8 - E
Pela análise trigonométrica, identifica-se que, para o sistema de coordenadas adequado, os ângulos que medem o intervalo no qual existe o elemente de fricção são: 
theta1 = 0°; 
theta2 = 126°; 
Para essa configuração, a pressão máxima ocorre em (thetaA) igual a 90°. 
O momento (Mn) desenvolvido na sapata à direita devido às forças de reação normal será: 
Mn = [pA*b*r*a/sen(thetaA)] * integral[sen(theta)^2 * d(theta)]; 
Mn = [1*(10^6)*b*0,150*0,12265/1] * 1,337321; 
Mn = 24603,36*b [Nm]; 
no qual (pA) é a pressão máxima que se pode aplicar sobre a sapata; (b) é a largura da sapata; (r) é o raio do tambor; (a) é a distância entre o eixo do tambor e a articulação da sapata. 
O momento (Mf) desenvolvido na sapata à direita devido às forças de atrito será: 
Mf = [f*pA*b*r/sen(thetaA)] * integral[sen(theta)*(r - a*cos(theta))* d(theta)]; 
Mf = [0,32*1*(10^6)*b*0,150/1 * 0,198030053; 
Mf = 9505,44*b [Nm]; 
no qual (f) é o coeficiente de fricção. 
Logo, a força (F_dir) que faz atuar a sapata à direita pode ser calculada como: 
F_dir = (Mn - Mf)/c; 
F_dir = (24603,36 - 9505,44)*b/0,212; 
F_dir = 71216,62*b. 
Resolvendo a equação para (b), tem-se: 
b = 3560/71216,62; 
b = 0,04998 [m]; 
b = 50 [mm].