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O que já vimos ?
 Equações Algébricas e Transcendentes
O que vamos ver hoje ?
 Métodos de Quebra
VAMOS 
CONHECER OS 
MÉTODOS?
Método da 
Bissecção
Método da 
Bissecção
Seja F(x) uma função contínua 
definida no intervalo [a,b]
Seja E uma raiz da função, E ϵ
(a,b) tal que F(E) = 0.
Método da Bissecção
 O objetivo do método é:
 Reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz
 Até atingir a precisão requerida: b - a < ε
 Através da sucessiva divisão do intervalo [a,b]
Método da Bissecção
Divide-se o intervalo [a,b] ao meio, obtém-se x1
Dois subintervalos: 
[a,x1] 
[x1,b] 
Se f(x1) = 0 então E = x1
Senão...
Método da Bissecção
Senão, a raiz estará no subintervalo onde a 
função tem sinais opostos nos pontos 
extremos
Se f(a).f(x1) < 0 então
E ϵ [ a , x1 ]
senão se f(a).f(x1) > 0 então
E ϵ [ x1 , b ] 
f(X1)
O processo se repete até que o critério de parada seja 
satisfeito
Método da Bissecção
Senão, a raiz estará no subintervalo onde a 
função tem sinais opostos nos pontos 
extremos
Se f(a).f(x1) < 0 então
E ϵ [ a , x1 ]
senão se f(a).f(x1) > 0 então
E ϵ [ x1 , b ] 
f(X1)
O processo se repete até que o critério de parada seja 
satisfeito
Método da Bissecção
Senão, a raiz estará no subintervalo onde a 
função tem sinais opostos nos pontos 
extremos
Se f(a).f(x1) < 0 então
E ϵ [ a , x1 ]
senão se f(a).f(x1) > 0 então
E ϵ [ x1 , b ] 
f(X1)
O processo se repete até que o critério de parada seja 
satisfeito
Método da Bissecção
 Algoritmo: 
 Se f(a) . f(xn) < 0, então b = xn
 Senão, a = xn
 Critério de Parada: |f(xn) | < ε ou | b – a | < ε
 Restrição: Deve-se conhecer um intervalo que contenha o 
valor desejado E
Método da Bissecção
 Considerações: 
 As iterações não envolvem cálculos laboriosos
 Pode ser difícil encontrar um intervalo [a,b], tal que f(a).f(b) < 0, 
em equações com raízes de multiplicidade par ou muito próximas
 A convergência é muito lenta
 Pode ser utilizado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz
Método da Bissecção - EXEMPLO
 Encontre uma estimativa para a raiz de f(x) = ex + x, com erro () 
menor ou igual a 0,050
Método da Bissecção - EXEMPLO
 Encontre uma estimativa para a raiz de f(x) = ex + x, com 
erro () menor ou igual a 0,050
 f(0) = 1 
 f(-0,5) = 0,11
 f(-1) = -0,63
 A raiz de f(x) ϵ [-1, -0,5]
Método da Bissecção - EXEMPLO
 Encontre uma estimativa para a raiz de f(x) = ex + x, com erro () 
menor ou igual a 0,050
 f(0) = 1 
 f(-0,5) = 0,11
 f(-1) = -0,63
 A raiz de f(x) ϵ [-1, -0,5]
Método da Bissecção - EXEMPLO
a = -1 b = -0,5
x1 = a + b / 2 = (-1 + (-0,5))/ 2 = -0,75 
f(x1) = f(-0,75) = -0,28 
f(x1) * f(a) > 0  -0,28 * -0,63 > 0
a = x1
| b - a | = 0,25 > 0,050 
 <= 0,050
Método da Bissecção - EXEMPLO
a = -0,75 b = -0,5
x2 = (-0,75 + (-0,5)) / 2 = -0,625
f(x2) = f(-0,625) = -0,09
f(x2) * f(a) > 0  -0,09 * -0,28 > 0
a = x2
| b - a | = 0,125 > 0,050
 <= 0,050
Método da Bissecção - EXEMPLO
a = -0,625 b = -0,5 
x3 = (-0,625 + (-0,5)) / 2 = -0,563 
f(x3) = f(-0,563) = 0,01
f(x3) * f(a) < 0  0,01* -0,09 < 0
b = x3
| b - a | = 0,063 > 0,050 
 <= 0,050
Método da Bissecção - EXEMPLO
a = -0,625 b = -0,563 
x4 = (-0,625 + (-0,563)) / 2 = -0,594 
f(x4) = f(-0,594) = -0,04 
f(x4) * f(a) > 0  -0,04 * 0,01 < 0
a = x4
| b - a | = 0,031 < 0,050
 <= 0,050
MÉTODO DA BISSECÇÃO
Método da Bissecção - Algoritmo
Dados iniciais:
intervalo [a,b] 
precisão ε 
k = 0 
(b-a) < ε
Ɐ x ϵ [ a , b ]
k = k + 1
M = f(a)
x = (a+b)/ 2
M . f(x) > 
0
a = x
FIM
b = x
sim
não
não
sim
Método da Bissecção - EXEMPLO
 Vamos analisar a função abaixo: 
f (x) = x3 −9x + 3
ε < 0.001
ξ ∈ [0,1]
Método da Bissecção - EXEMPLO
Aplicando o 
método da 
bissecção, 
obtemos:
x = 0.336914063
Método da Bissecção - Número de Iterações
 Se tivermos um intervalo inicial [a,b] e uma precisão ε, conseguimos 
saber quantas iterações devem ser feitas para atingir a condição de 
parada b−a < ε 
 O Método da Bissecção converge para uma solução através da divisão da 
amplitude do intervalo inicial por 2 
Método da Bissecção - Número de Iterações
 Como consequência, se queremos calcular a amplitude em uma 
determinada iteração, podemos utilizar:
 Com isso, deve-se obter um valor de k, onde bk − ak < ε, portanto:
Método da Bissecção - Número de Iterações
 Voltando ao nosso exemplo: 
f (x) = x3 −9x + 3 
ξ ∈ [0,1] 
ε < 10−3
 Aplicando a fórmula, teremos:
K > log(1 – 0) – log(10
-3) > 0 + 3  9,967  10
log(2) 0,3010
Método da Bissecção - Exercício
 Como poderia ser usado o método da bissecção para estimar o valor 
de 7?
 Estime esse valor com uma precisão de (ou erro menor que) 0,02
Método da 
Falsa Posição
Método da Falsa 
Posição
Seja F(x) uma função contínua 
definida no intervalo [a,b]
Seja E uma raiz da função, E ϵ
(a,b) tal que F(E) = 0.
Método da Falsa Posição
 Enquanto no método da bissecção, x é a média aritmética entre a e 
b, no método da falsa posição, x é a média ponderada entre a e b, 
tendo como pesos |f(b)| e |f(a)| respectivamente 
x = a|f(b)| + b|f(a)| = af(b) - bf(a) 
|f(b)| + |f(a)| f(b) – f(a)
Método da 
Falsa Posição
Graf icamente , d iv ide-se o in te rva lo [a ,b] na 
in te rsecção da reta que une os pontos 
(a , f (a)) e (b , f (b)) com o e ixo x , obtém-se 
x1 e do is sub inte rva los :
[a ,x1] 
[x1 ,b]
Se f (x1) = 0 , então E = x1 
Senão. . .
Método da 
Falsa Posição
Senão, a raiz estará no subintervalo 
onde a função tem sinais opostos nos 
pontos extremos
Se f(a).f(x1) < 0, então
E ϵ [ a , x1 ]
Senão Se f(a).f(x1)>0, então
E ϵ [ x1 , b ]
O processo se repete até que o cr itér io 
de parada seja satisfeito
Método da 
Falsa Posição
Considerando f(a).f(x1) < 0, então
E ϵ [ a , x1 ]
Dividi-se novamente o intervalo na 
intersecção da reta que une os pontos 
(a,f(a)) e (x1,f(x1)) com o eixo x, 
obtém-se x2 e dois subintervalos:
[a,x2] 
[x2, x1]
Se f(x2) = 0, então E = x2
Senão.. .
Método da 
Falsa Posição
Considerando f(a).f(x1) < 0, então
E ϵ [ a , x1 ]
Dividi-se novamente o intervalo na 
intersecção da reta que une os pontos 
(a,f(a)) e (x1,f(x1)) com o eixo x, 
obtém-se x2 e dois subintervalos:
[a,x2] 
[x2, x1]
Se f(x2) = 0, então E = x2
Senão.. .
x2
Método da Falsa Posição
 Se f(x) é continua no intervalo [ a , b ] com f(a).f(b) < 0 
então o método gera uma sequência convergente
 Casos especiais
 Se f(x) é côncava ou convexa em [a,b]
 a segunda derivada existe em [ a , b ]
 e f''(x) não muda de sinal nesse intervalo
 Tem-se sempre uma das extremidades fixas. Este caso especial chama-
se Método das Cordas.
Método da Falsa Posição – Casos Especiais
f ''(x) > 0, f(a) < 0 e f(b) > 0  b 
é ponto fixo
f ''(x) > 0, f(a) > 0 e f(b) < 0  a 
é ponto fixo
Método da Falsa Posição – Casos Especiais
f ''(x) < 0, f(a) < 0 e f(b) > 0  a 
é ponto fixo
f ''(x) < 0, f(a) > 0 e f(b) < 0  b 
é ponto fixo
Método da Falsa Posição
 Se o ponto fixo existir e for razoavelmente próximo da raiz, o 
método tem boa convergência. 
 Caso contrário, pode ser mais lento que o da bissecção
Método da Falsa Posição
Aplicando o método da falsa posição, obtemos: x = 0.337635046
Método da Falsa Posição
 Encontrar a menor raiz positiva da função de quarto grau 
f(x) = x4 - 26x2 + 24x + 21 
até que o erro absoluto seja igual ou inferior a 0,01. 
Os cálculos devem ser efetuados com 3 casas decimais e com 
arredondamento.
Método da Falsa Posição
 f(x) = xlog(x) – 1
 < 0.01 (imagem)
Dúvidas?
REFERÊNCIAS
RUGGIERO, Márcia. A. G. et LOPES, Vera. Lúcia R. Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos e Computacionais. São 
Paulo: Pearson Makron Books, 1996.
Até a próxima aula...