Aula 3 - Solução de Equações Não Lineares - Cálculo Numérico Fabio Pontes

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Cálculo Numérico Prof. Fabio Pontes 
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AULA 3: Solução de Equações Não Lineares 
Tópicos Principais: 
• Introdução. 
• Método da Bissecção. 
• Método de Newton-Raphson. 
• Método da Secante. 
• Método das Aproximações Sucessivas. 
1. INTRODUÇÃO 
Aqui trataremos de métodos de determinação de raízes 
que exploram o fato de que uma função tipicamente muda de 
sinal na vizinhança de uma raiz. Essas técnicas (bracketing 
methods), que isolam a raiz em um intervalo, exigem duas 
estimativas iniciais para a raiz. Tais estimativas devem 
“delimitar” a - ou estar uma de cada lado da - raiz. Os métodos 
particulares descritos aqui usam estratégias diferentes para 
sistematicamente diminuir a largura do intervalo e, portanto, 
aproximar-se da resposta correta [1]. 
Como uma introdução a essas técnicas, serão 
discutidos brevemente métodos gráficos para descrever as 
funções e suas raízes. Além de sua utilidade para fornecer 
estimativas grosseiras, as técnicas gráficas também são úteis 
na visualização das propriedades das funções e do 
comportamento de diversos métodos numéricos [1]. 
Métodos Gráficos 
Um método simples para obter uma estimativa da raiz 
da equação f (x) = 0 é fazer um gráfico da função e observar 
onde ela corta o eixo dos x. Esse ponto, que representa o valor 
de x para o qual f (x) = 0, fornece uma aproximação grosseira 
da raiz [1]. 
A solução dessa equação (também chamada de raiz) é 
um valor numérico de x que satisfaz à equação. Graficamente, 
conforme mostrado na Figura 1, a solução é o ponto onde a 
função f (x) cruza ou toca o eixo x. Uma equação pode não ter 
solução ou ter uma ou várias raízes (possivelmente muitas) 
[2]. 
 
Figura 1 Ilustração de equações com nenhuma, uma ou 
várias soluções [2]. 
As técnicas gráficas têm valor prático limitado porque 
não são precisas. Entretanto, os métodos gráficos podem ser 
usados para obter estimativas grosseiras das raízes. Essas 
estimativas são usadas como aproximações iniciais para os 
métodos numéricos discutidos posteriormente [1]. 
 
Figura 2 Ilustração de diversas formas gerais nas quais uma 
raiz pode ocorrer em um intervalo determinado por uma 
extremidade inferior xl e uma extremidade superior xu. As 
partes (a) e (c) indicam que, se f (xl) e f (xu) tiverem o 
mesmo sinal, ou não existirão raízes ou existirá um número 
par de raízes no intervalo. As partes (b) e (d) indicam que, se 
a função tiver sinais diferentes nas extremidades, existirá um 
número ímpar de raízes no intervalo [1]. 
Além de fornecer estimativas grosseiras para as raízes, 
as interpretações gráficas são ferramentas importantes para se 
entender as propriedades das funções e antecipar as 
armadilhas dos métodos numéricos. Por exemplo, a Figura 2 
mostra diversas maneiras pelas quais as raízes podem ocorrer 
(ou não) em um intervalo determinado por uma extremidade 
inferior xl (ou a) e por uma extremidade superior xu (ou b). A 
Figura 2b descreve o caso no qual uma única raiz foi 
delimitada por valores positivos e negativos de f (x). 
Entretanto, a Figura 2d, onde f (xl) e f (xu) também estão de 
lados opostos do eixo x, mostra três raízes ocorrendo nesse 
intervalo. Em geral, se f (xl) e f (xu) têm sinais opostos, existe 
um número ímpar de raízes no intervalo. Como indicado pelas 
Figuras 2a e c, se f (xl) e f (xu) têm ambos o mesmo sinal, ou 
não existe nenhuma raiz ou existe um número par de raízes 
entre os valores [1]. 
Essas generalizações são quase sempre verdadeiras, 
mas há casos em que elas não funcionam. Por exemplo, as 
funções que são tangentes ao eixo x ou que são funções 
descontínuas podem violar esses princípios. Um exemplo de 
uma função que é tangente ao eixo é a equação cúbica f (x) = 
(x − 2)(x − 2)(x − 4). Observe que x = 2 torna dois termos 
nesse polinômio iguais a zero. Matematicamente, x = 2 é 
chamado de raiz múltipla [1]. 
A existência de casos desse tipo torna difícil 
desenvolver algoritmos computacionais gerais que garantam 
a localização de todas as raízes em um intervalo. Entretanto, 
quando usados junto com abordagens gráficas, os métodos 
descritos a seguir são extremamente úteis para resolver 
problemas de raízes de equações confrontados rotineiramente 
por engenheiros e matemáticos aplicados [1]. 
2. MÉTODO DA BISSECÇÃO OU MÉTODO DOS 
MEIO INTERVALOS 
Quando se aplica a técnica gráfica, observa-se que f (x) 
muda de sinal em lados opostos da raiz. Em geral, se f (x) for 
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real e contínua no intervalo de xl a xu e f (xl) e f (xu) tiverem 
sinais opostos, isto é [1]: 
f (xl) f (xu) < 0 Método da Bissecção (1) 
Então existe pelo menos uma raiz real entre xl e xu [1]. 
Os métodos de busca incrementais tiram vantagem 
dessa observação localizando um intervalo no qual a função 
muda de sinal. Então, a posição da mudança de sinal (e, 
conseqüentemente, da raiz) é identificada mais precisamente 
dividindo-se o intervalo em diversos subintervalos. Procura-
se em cada um desses subintervalos para localizar a mudança 
de sinal. O processo é repetido e a estimativa da raiz é 
refinada dividindo-se os subintervalos em incrementos 
menores [1]. 
O método da bissecção (também chamado de 
truncamento binário, método dos meio intervalos ou método 
de Bolzano) é um tipo de método de busca incremental no 
qual o intervalo é sempre dividido na metade. Se uma função 
muda de sinal em um intervalo, calcula-se o valor da função 
em seu ponto médio. A posição da raiz é então determinada 
como sendo o ponto médio do subintervalo no qual a 
mudança de sinal ocorre. Esse processo é repetido para obter 
estimativas refinadas. Um algoritmo simples para os cálculos 
da bissecção é listado na Figura 3 e uma descrição gráfica do 
método é fornecida na Figura 4. O exemplo a seguir exibe 
todos os cálculos realmente envolvidos no método [1]. 
 
Figura 3 Algoritmo para os cálculos da bissecção [1]. 
Neste método pode-se notar que o erro verdadeiro não 
decresce com cada iteração. Entretanto, o intervalo no qual a 
raiz está localizada é dividido na metade em cada passo do 
processo. A largura do intervalo fornece uma estimativa exata 
do limitante superior do erro para o método da bissecção [1]. 
 
Figura 4 Método da Bissecção [2]. 
Critério de Parada e Estimativa do Erro 
É preciso desenvolver um critério objetivo para 
decidir quando parar o método. Uma sugestão inicial poderia 
ser parar os cálculos quando o erro verdadeiro cair abaixo de 
algum nível pré-especificado. Para uma estimativa de erro 
que não dependa do conhecimento prévio dessa raiz 
verdadeira pode ser utilizado o erro relativo porcentual 
aproximado εa, calculado por [1]: 
 (2) 
Em que xrnovo é a raiz da iteração atual e xrvelho r é a raiz 
da iteração prévia. O valor absoluto é usado porque, em geral, 
estamos interessados no módulo de εa em vez de no seu sinal. 
Quando εa se torna menor do que um critério de parada pré-
especificado εs, param-se os cálculos [1]. 
Embora o erro aproximado não forneça uma 
estimativa exata do erro verdadeiro, a Figura 5 sugere que εa 
captura a tendência geral para baixo de εt. Além disso, o 
gráfico mostra a característica extremamente atrativa de que 
εa é sempre maior do que εt. Logo, quando εa cai abaixo de εs, 
podemos parar os cálculos com a confiança de que a raiz é 
conhecida pelo menos tão acuradamente quanto o nível 
aceitável pré-especificado [1]. 
 
Figura 5 Erros para o método da bissecção. Os erros 
verdadeiro e estimado estão mostrados em função do 
número de iterações [1]. 
Um outro benefício do método da bissecção é que o 
número de iterações necessárias para se chegar a um erro 
absoluto pode ser calculado a priori - isto é, antes de começar 
as iterações, através da fórmula [1]. 
 (3) 
Em que: n é o número de iterações, Ea,d é o erro 
desejado ou pré especificado e Δx0 é o intervalo inicial de 
busca da raiz [1]. 
3. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONO método de Newton (também chamado de método de 
Newton-Raphson) é um esquema usado para se obter a 
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solução numérica de uma equação na forma f (x) = 0, onde f 
(x) é contínua e diferenciável e sua equação possui uma 
solução próxima a um ponto dado. O método é ilustrado na 
Figura 6 [2]. 
 
Figura 6 Método de Newton [2]. 
O processo de solução começa com a escolha do ponto 
x1 como a primeira estimativa da solução. A segunda 
estimativa, x2, é obtida a partir do cruzamento com o eixo x 
da reta tangente a f (x) no ponto (x1, f (x1)). A estimativa 
seguinte, x3, é a interseção com o eixo x da reta tangente a f 
(x) no ponto (x2, f (x2)), e assim por diante. Matematicamente, 
na primeira iteração, a inclinação f ′(x1) da tangente no ponto 
(x1, f (x1)) é dada por [2]: 
 
Resolvendo a equação anterior para x2, obtém-se [2]: 
 
Esta equação pode ser generalizada para que a 
“próxima” solução xi + 1 seja obtida a partir da solução atual: 
 Método de Newton (4) 
A equação anterior é a fórmula iterativa geral do 
método de Newton. Ela é chamada de fórmula iterativa 
porque a solução é obtida com a aplicação repetida da mesma 
em cada valor sucessivo de i. O método de Newton também 
pode ser deduzido a partir da série de Taylor. A expansão em 
série de Taylor de f (x) em torno de x1 é dada por [2]: 
 
Se x2 é uma solução da equação f (x) = 0 e x1 é um 
ponto próximo a x2, então [2]: 
 
Considerando apenas os dois primeiros termos da 
série, uma solução aproximada pode ser determinada 
resolvendo esta equação para x2 [2]: 
 
O resultado é o mesmo dado anteriormente. Na 
iteração seguinte, a expansão em série de Taylor é escrita em 
torno do ponto x2, e uma solução aproximada x3 é calculada 
[2]. 
Algoritmo para o método de Newton 
1. Escolha um ponto x1 como tentativa inicial da solução. 
2. Para i = 1, 2,..., até que o erro seja menor que um valor 
especificado, calcule xi + 1 usando a Eq. (4) [2]. 
Quando as iterações devem ser interrompidas? 
Idealmente, as iterações devem ser interrompidas 
quando uma solução exata é obtida. Isso significa que o valor 
de x deve ser tal que f (x) = 0. Geralmente, a solução exata 
não pode ser obtida computacionalmente. Na prática, 
portanto, as iterações são interrompidas quando o erro 
estimado for menor que algum valor predeterminado. Uma 
tolerância não pode ser calculada como se faz no método da 
bisseção, já que os limites não são conhecidos. Duas 
estimativas de erro tipicamente utilizadas pelo método de 
Newton são [2]: 
Erro relativo estimado: As iterações são interrompidas 
quando o erro relativo estimado é menor que um valor 
especificado ε [2]: 
 (5a) 
Tolerância em f(x): As iterações são interrompidas quando o 
valor absoluto de f (x1) é menor que algum número δ [2]: 
 (5b) 
Notas a respeito do método de Newton 
- O método de Newton, quando bem-sucedido, converge 
rapidamente. A não convergência usualmente ocorre porque 
o ponto de partida não está suficientemente próximo da 
solução. Problemas de convergência ocorrem tipicamente 
quando o valor de f ′(x) é próximo de zero na vizinhança da 
solução (onde f (x) = 0). É possível mostrar que o método de 
Newton converge se a função f (x) e as suas derivadas 
primeira e segunda, f ′(x) e f ′′(x), forem contínuas, se f (x) 
for diferente de zero na solução, e se o ponto de partida x1 
estiver próximo da solução exata. Ilustrações de dois casos 
em que o método de Newton não converge (isto é, diverge) 
são mostradas na Figura 7 [2]. 
 
 
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Figura 7 Casos em que o Método de Newton diverge [2]. 
- Uma função f ′(x), que é a derivada da função f (x), deve ser 
substituída na fórmula iterativa, a Eq. (4). Em muitos casos, 
é simples escrever a derivada, mas às vezes a sua 
determinação pode ser difícil. Quando não se tem uma 
expressão para a derivada, é possível obter a inclinação 
numericamente ou empregar o método da secante, que é de 
certa forma similar ao método de Newton mas não requer uma 
expressão para a derivada [2]. 
4. MÉTODO DA SECANTE 
O método da secante é um esquema usado para se 
obter a solução numérica de uma equação na forma f (x) = 0. 
O método usa dois pontos na vizinhança da solução para 
determinar a nova solução estimada (Fig. 8). Os dois pontos 
(marcados como x1 e x2 na figura) são usados para definir uma 
linha reta (reta secante), e o ponto onde essa reta intercepta o 
eixo x (marcado como x3 na figura) é a nova solução estimada. 
Conforme ilustrado, ambos os pontos podem estar de um lado 
da solução (Fig. 8a), ou a solução pode estar entre os dois 
pontos (Fig. 8b). A inclinação da reta secante é dada por [2]: 
 
Que pode ser resolvida para x3 [2]: 
 
Assim que o ponto x3 é determinado, ele é usado 
juntamente com o ponto x2 para calcular a próxima estimativa 
da solução, x4. A equação anterior pode ser generalizada para 
gerar uma fórmula iterativa na qual a nova estimativa da 
solução xi + 1 é determinada a partir das duas soluções 
anteriores, xi e xi – 1 [2]. 
 
Figura 8 Método da Secante [2]. 
 Método da Secante (6) 
A Fig. 9 ilustra o processo iterativo com o método da 
secante [2]. 
 
Figura 9 Método da Secante [2]. 
Relação com o método de Newton 
A análise do método da secante mostra que, quando os 
dois pontos que definem a reta secante são próximos entre si, 
esse método é na realidade uma forma aproximada do método 
de Newton. Isso pode ser visto rescrevendo a Eq. (6) na forma 
[2]: 
 (7) 
Essa equação é quase idêntica à Eq. (4) do método de 
Newton. Na Eq. (7), o denominador do segundo termo no 
lado direito é uma aproximação do valor da derivada de f (x) 
em xi. Na Eq. (4), o denominador é realmente a derivada f 
′(xi). No método da secante (diferentemente do método de 
Newton), não é necessário conhecer a forma analítica de f ′(x). 
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5. MÉTODO DA ITERAÇÃO DE PONTO FIXO OU 
MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS 
O método da iteração de ponto fixo é um método 
usado para resolver uma equação na forma f (x) = 0. O método 
é implementado rescrevendo a equação como [2]: 
 
Obviamente, quando x é a solução de f (x) = 0, o lado 
esquerdo e o lado direito da equação anterior são iguais. Isso 
é ilustrado graficamente com o traçado de y = x e y = g(x), 
como mostra a Fig. 10. O ponto de interseção entre os dois 
gráficos, chamado de ponto fixo, é a solução. O valor 
numérico da solução é determinado por meio de um processo 
iterativo. Ele começa com a escolha de um valor de x próximo 
ao ponto fixo. Esse valor é a primeira tentativa da solução e é 
substituído em g(x). O valor obtido em g(x) é a nova 
(segunda) estimativa da solução. Esse segundo valor é então 
substituído novamente em g(x), o que leva à terceira solução 
estimada. Com isso, a fórmula iterativa é dada por [2]: 
 Métodos das Aproximações Sucessivas (8) 
 
Figura 10 Método da iteração de ponto fixo [2]. 
A função g(x) é chamada de função de iteração. 
Quando o método funciona, os valores de x obtidos são 
iterações sucessivas que convergem progressivamente em 
direção à solução. Dois casos como esse são ilustrados 
graficamente na Fig. 11. O processo de solução começa com 
a escolha do ponto x1 no eixo x e o traçado de uma reta vertical 
que cruze a curva y = g(x) no ponto g(x1). Como x2 = g(x1), 
uma reta horizontal é traçada a partir do ponto (x1, g(x1)) em 
direção à reta y = x. O ponto de interseção fornece a 
localização de x2. A partir de x2, uma reta vertical é traçada 
em direção à curva y = g(x). O ponto de interseção é agora 
(x2, g(x2)), e g(x2) é também o valor de x3. A partir do ponto 
(x2, g(x2)), uma reta horizontal é novamente traçada em 
direção a y = x, e o ponto de interseção fornece a localização 
de x3. À medida que o processo continua, os pontos de 
interseção convergem em direção ao pontofixo, ou seja, à 
solução exata xTS [2]. 
 
Figura 11 Convergência do método da iteração de ponto 
fixo [2]. 
É possível, no entanto, que as iterações não convirjam 
para o ponto fixo, mas, ao contrário, divirjam conforme 
ilustrado na Fig. 12. Essa figura mostra que, mesmo que o 
ponto de partida esteja próximo da solução, os pontos 
subsequentes podem se afastar da solução [2]. 
 
Figura 12 Divergência do método da iteração de ponto fixo 
[2]. 
Às vezes, a forma f (x) = 0 não se presta à dedução de 
uma fórmula iterativa x = g(x). Em tais casos, sempre é 
possível somar e subtrair x de f (x) para obter x + f (x) – x = 0. 
A última equação pode ser rescrita na forma apropriada para 
a utilização do método da iteração de ponto fixo [2]: 
x = x + f (x) = g(x) 
Escolhendo uma função de iteração g(x) apropriada 
Para uma dada equação f(x) = 0, a função de iteração 
não é única, já que essa equação pode ser modificada de 
formas diferentes para assumir a forma x = g(x). Isso significa 
que várias funções de iteração g(x) podem ser escritas para a 
mesma equação. A função g(x) a ser usada no processo 
iterativo da Eq. (3.29) é aquela na qual as iterações 
convergem em direção à solução. Pode haver mais de uma 
forma possível, ou mesmo nenhuma forma possível. Neste 
último caso, o método da iteração de ponto fixo não pode ser 
usado para resolver a equação. Em casos onde há múltiplas 
soluções, uma dada função de iteração pode levar a uma raiz, 
enquanto uma diferente função pode levar a outras raízes. Na 
realidade, é possível determinar antecipadamente se as 
iterações convergem ou divergem para uma função g(x) 
específica [2]. 
O método da iteração de ponto fixo converge se, na 
vizinhança do ponto fixo, a derivada de g(x) possuir um valor 
absoluto menor que 1 (condição também conhecida como 
Lipschitz contínua) [2]: 
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 (9) 
Como um exemplo, considere a equação: 
 (10) 
Um gráfico da função f (x) = xe0,5x + 1,2x – 5 = 0 (ver 
Fig. 13) mostra que a equação tem uma solução entre x = 1 e 
x = 2. A Eq. (10) pode ser rescrita na forma x = g(x) de 
diferentes maneiras. Três possibilidades são discutidas a 
seguir: 
 
Figura 13 Gráfico da função f (x) = xe0,5x + 1,2x – 5 [2]. 
Caso a: 
 (11) 
Neste caso: 
 
Os valores de g′(x) nos pontos x = 1 e x = 2, que estão 
na vizinhança da solução, são: 
 
Caso b: 
 (12) 
Neste caso: 
 
Os valores de g′(x) nos pontos x = 1 e x = 2, que estão 
na vizinhança da solução, são: 
 
 
 
Caso c: 
 (13) 
Neste caso: 
 
Os valores de g′(x) nos pontos x = 1 e x = 2, que estão 
na vizinhança da solução, são: 
 
Esses resultados mostram que a função de iteração 
g(x) do Caso b é aquela que deve ser usada, pois, neste caso, 
|g′(1)| < 1 e |g′(2)| < 1. A substituição de g(x) do Caso b na 
Eq. (8) resulta em [2]: 
 (14) 
Começando com x1 = 1, as primeiras iterações são [2]: 
 
Conforme esperado, os valores calculados nas 
iterações convergem em direção à solução exata, que é x = 
1,5050 [2]. 
Do contrário, se a função g(x) do Caso a for usada, as 
primeiras iterações são [2]: 
 
Nesse caso, as iterações fornecem valores que 
divergem da solução [2]. 
Quando as iterações devem ser interrompidas? 
O erro real (a diferença entre a solução exata e a 
solução estimada) não pode ser calculado, já que a solução 
exata é geralmente desconhecida. Da mesma forma que no 
método de Newton, as iterações podem ser interrompidas 
quando o erro relativo ou a tolerância em f (x) for menor que 
algum valor predeterminado (Eqs. (5a) ou (5b)) [2]. 
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7 
 
Embora o método da secante possa ser divergente, 
quando ele converge, usualmente o faz a uma taxa mais rápida 
do que o método da bissecção. Por exemplo, a Figura 14 
ilustra a superioridade do método da secante com relação a 
isso [1]. 
 
Figura14 Comparação dos erros relativos percentuais 
verdadeiros εt para os métodos para determinar raízes de f 
(x) = e−x – x [1]. 
Referências Bibliográficas 
[1] CHAPRA, Steven C. Métodos Numéricos Aplicados 
Com MATLAB para Engenheiros e Cientistas. 3ª Edição. 
McGraw Hill. 2013. 
[2] GILAT, Amos., SUBRAMANIAM, Vish. Métodos 
Numéricos para Engenheiros e Cientistas: Uma 
Introdução com Aplicações Usando o MATLAB. 1ª 
Edição. Bookman. 2008. 
 
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Exercícios de Solução de Equações Não Lineares 
01. Use a abordagem gráfica para determinar a massa do 
saltador de bungee jumping com um coeficiente de arrasto de 
0,25 kg/m para ter uma velocidade de 36 m/s depois de cair 
em queda livre por t = 4 s. A aceleração da gravidade é 9,81 
m/s2. 
02. Use o método da Bissecção para resolver o problema 01 
partindo de um intervalo entre xl = 50 e xu = 200, até que o 
erro aproximado fique abaixo do critério de parada εs = 0,5%. 
03. Determine a solução da equação 8 – 4,5(x – sen x) = 0 
usando o método da bisseção. A solução deve ter uma 
tolerância menor que 0,001 rad. Crie uma tabela que mostre 
os valores de xl, xu, xr, f (xr) e a tolerância para cada iteração 
do processo de bisseção. 
04. Obtenha a solução da equação 8 – 4,5(x – sen x) = 0, do 
problema 03, usando o método de Newton e com x = 2 como 
tentativa inicial da solução, nas duas maneiras a seguir: 
(a) Usando uma calculadora não-programável, calcule no 
papel as duas primeiras iterações usando seis algarismos 
significativos. 
(b) Usando a função “NewtonRaiz” no MATLAB, use um 
erro relativo máximo de 0,0001 e 10 para o número máximo 
de iterações. 
05. O crescimento de uma população pode ser modelado por 
curtos períodos, supondo que a população cresça 
continuamente com o tempo a uma taxa proporcional ao 
número presente naquele instante. A seguinte equação 
representa este fenômeno N(t) = N0eλt +(ν / λ).(eλt – 1). N(t) 
denota o número no instante t, λ representa a taxa de 
natalidade constante da população, v é a taxa de imigração 
constante e N0 é a população inicial. Supondo que uma 
população tenha inicialmente 1.000.000 de indivíduos, que 
435.000 imigrem para a comunidade no primeiro ano, e que 
1.564.000 indivíduos estejam presentes ao fim de um ano, 
determine uma aproximação para λ, com precisão de 10-4 e 
empregando um chute inicial de 0,01, para a equação da 
população e utilize esse valor para calcular a população no 
fim do segundo ano, N(2). 
06. Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz 
de f (x) = e–x – x. Em seguida, separe a equação e–x – x = 0 em 
duas partes e determine suas raízes graficamente. 
07. Use o método de Newton-Raphson para fazer uma 
estimativa da raiz de f (x) = e–x – x, utilizando uma 
aproximação inicial x0 = 0. 
08. Use o método da secante para fazer uma estimativa da raiz 
de f (x) = e–x – x. Comece com as estimativas iniciais de x–1 = 
0 e x0 = 1,0. 
09. A lei dos gases ideais é dada por pV = nRT, em que p é a 
pressão absoluta, V é o volume, n é o número de moles, R é a 
constante universal dos gases e T é a temperatura absoluta 
(K). Embora essa equação seja amplamente usada pelos 
engenheiros e cientistas, ela é acurada apenas sobre um 
intervalo limitado de pressão e temperatura, além de ser mais 
apropriada para alguns gases do que para outros. Uma 
equação de estado alternativa para os gases é dada por: 
 
conhecida como equação de van der Waals, onde v = V/n é o 
volume molar e a e b são constantes empíricas que dependem 
do gás particular. Deseja-se fazer uma estimativa acurada do 
volume (v) do dióxido de carbono comparando os volumes 
molares calculados pelas equações do gás ideal e de van der 
Waals. Admita que há 1 mol de CO2 e que T = 300 ºC e p = 
100 atm e que sejam ainda fornecidos os seguintes dados: R 
= 0,082054 (L.atm)/(mol.K), a = 3,592 e b = 0,04267 (para o 
CO2). Considere ainda que o cálculo do volume molar usando 
a lei dos gases ideais (de forma direta) resulta emv = 0,2462 
L/mol, indique a alternativa com o valor de v (L/mol) a partir 
da equação de van der Waals calculado utilizando o método 
de Newton-Raphson. 
a) 0,0795. b) 0,2588. c) 0,3584. 
d) 0,0992. e) 0,7321.