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APRESENTAÇÃO
O estudo da Economia é muito abrangente e esta disciplina trata o estudo do transporte do dinheiro no tempo, ou seja, será abordado um assunto da Economia conhecido como Matemática Financeira.
O princípio básico desta parte da Economia é que o dinheiro muda de valor no decorrer do tempo ou, exemplificando, R$ 100 hoje valem mais que R$ 100 daqui um mês.
O objetivo principal desta disciplina é capacitar o aluno a utilizar os conceitos principais de matemática financeira para a análise econômica e financeira de projetos e investimentos.
 
 A disciplina é apresentada em 8 módulos:
 
MÓDULO 1 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES, onde são apresentados os conceitos básicos de capitalização e a introdução ao sistema de capitalização composta.
MÓDULO 2 - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, onde são apresentados os conceitos e aplicações do sistema de capitalização composta.
MÓDULO 3 - TAXAS NOMINAL EFETIVA E EQUIVALENTE, onde são apresentadas as várias nomenclaturas ou tipos de taxa de juros.
MÓDULO 4 - INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA, onde são apresentados os conceitos de inflação, deflação e correção monetária, o cálculo de inflação acumulada e de inflação média
MÓDULO 5 - ANUIDADE OU SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS, onde são apresentados os cálculos de pagamentos parcelados em relação ao valor presente ou valor futuro e o conceito de renda perpétua.
MÓDULO 6 - FINANCIAMENTO E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO onde são apresentados os sistemas de amortização Price e SAC e os respectivos cálculos de juros, amortização, prestação e saldo devedor.
MÓDULO 7 - DEPRECIAÇÃO, onde são apresentados os conceitos de depreciação contábil e os métodos linear, da soma dos dígitos e exponencial.
MÓDULO 8 - ANÁLISE DE INVESTIMENTOS, onde são apresentados os conceitos básicos de investimento, fluxo de caixa e os métodos de análise pelo VPL e pela TIR. 
 
A avaliação é efetuada através das provas P1, P2, substitutiva e Exame conforme regulamento da univeridade e as provas abrangerão os seguintes módulos: 
 
P1: Módulos 1, 2, 3 e 4.
P2: Módulos 5, 6, 7 e 8.
Substitutiva: Todos os Módulos.
Exame: Todos os Módulos.
 
 
PLANO DE ENSINO
 
I – EMENTA
 
Matemática financeira: capitalização simples e capitalização composta, anuidades e sistemas de amortização, a inflação e os seus efeitos na economia e análise de investimentos.
 
 
II - OBJETIVOS GERAIS
 
Capacitar o aluno a utilizar os conceitos principais de matemática financeira para a análise econômica e financeira de projetos e investimentos.
 
 
III - OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 
Capacitar o aluno, através dos conhecimentos de matemática financeira, a efetuar cálculos e análises de aplicação e financiamento de capital, nem como da viabilidade econômica financeira de projetos e investimentos.
 
 
IV - CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
 
Conceito de capitalização simples.
Capitalização composta: definições, cálculos do montante, capital, juros, taxa e períodos.
Taxas de juros: nominal, efetiva e equivalente.
Inflação: conceitos, índices, correção monetária, taxa de juros nominal e taxa de juros real.
Séries uniformes de pagamento: cálculo da prestação, valor atual e valor futuro.
Financiamento e sistemas de amortização: Sistema Price e Sistema de Amortização Constante. Elaboração da planilha de amortização.
Depreciação. Métodos: linear, da soma dos dígitos e exponencial.
Análise de investimentos: conceitos e definições, método do valor presente líquido, método da taxa interna de retorno.
 
 
V – ESTRATÉGIA DE TRABALHO
 
A disciplina será desenvolvida com aulas expositivas e exercícios, sendo incentivada a participação dos alunos nos questionamentos e discussões apresentadas.
 
 
VI – AVALIAÇÃO
 
A avaliação será realizada através de provas bimestrais.
 
 
VII – BIBLIOGRAFIA
 
Básica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
 
Complementar
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
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Mod 2
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
 
1. Definições e nomenclatura
2. Conceito de capitalização simples
3. Fórmulas
4. Exercícios resolvidos
 
 
1. Definições e nomenclatura
 
A Matemática Financeira tem como ponto fundamental o cálculo de valores monetários em diversas datas transportados pela taxa de juros. Os juros são o aluguel ou a remuneração pelo capital emprestado ou aplicado.
Basicamente existem dois tipos de capitalização [Capitalização é a soma dos juros ao principal, ampliando-se o mesmo e formando o montante]: Capitalização Simples e Capitalização Composta.
 
A Capitalização Simples (ou Juros Simples) consiste no cálculo de juros de maneira que seu crescimento, ao longo do tempo, ocorre linearmente.
Os juros são sempre calculados sobre o Capital Inicial.
 
Período de Capitalização é o período no qual os juros são capitalizados ou incorporados ao principal. Exemplo: se o período de capitalização é mensal significa que os juros calculados serão incorporados ao capital mensalmente.
 
A taxa de juros é o índice que permite calcular os juros. Ela é geralmente expressa em percentual e deve, obrigatoriamente, referenciar o período de capitalização. Exemplos 2,4% ao mês; 4,5% ao bimestre; 9% ao semestre; 13% ao ano.
 
Nomeclatura:
 A tabela a seguir mostra a nomenclatura utilizada nesta disciplina e a nomenclatura utilizada pelas calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas:
 
	Nomeclatura Básica
	Nomeclatura em Português
	Nomeclatura em Inglês
	Definição
	C
	VP
	PV
	Capital - Valor Presente - Present Value
	M
	VF
	FV
	Montante - Valor Futuro - Future Value
	J
	J
	INT
	Juro (ou Juros) – Interest
	i
	i
	i
	Taxa de Juros
	n
	n
	n
	Tempo, Período, Número de Prestações
	P
	PGTO
	PMT
	Prestação – Pagamento - Payment
	VPL
	VPL
	NPV
	Valor Presente Líquido - Net Present Value
	TIR
	TIR
	IRR
	Taxa Interna de Retorno - Internal Rate of Return
 
 2. Conceito de Capitalização Simples
 No regime de juros simples, ou capitalização simples, o juro é sempre calculado sobre o valor principal (ou capital inicial). Os juros acumulados crescem, ao longo do tempo, de maneira linear (ou conforme uma progressão aritmética).
Observe o seguinte diagrama, onde o capital inicial aplicado é C=1.000, a taxa de juros simples é i=1% por período (O período poderá estar em qualquer unidade de tempo: dia, semana, mês, semestre, ano, etc.).
Em qualquer período (n=1 ou n=2 ou n=3 ou n=4) o juro é sempre calculado sobre o capital inicial (valor presente), 1% de 1.000, Jj=10.
 
 
3. Fórmulas
 
São utilizadas as seguintes fórmulas para capitalização simples:
 
 
 
No exemplo acima temos, para cada período:
 
	Período
	Juros
	Juros Acumulados
	Capital
	0
	 
	 
	1.000
	1
	10
	10
	1.010
	2
	10
	20
	1.020
	3
	10
	30
	1.030
	4
	10
	40
	1.040
 
Note que o capital cresce segundo uma progressão aritmética cuja razão é o Juro.
 
Exemplo: Quais os juros e o montante correspondentes a uma aplicação de um capital de R$ 150.000 durante 55 dias a uma taxa de 15% ao ano?
 
Pela fórmula:
 
  
Observações: - foi considerado ano comercial (de 360 dias) e note que no uso da fórmula, ‘n’ e ‘i’ tem a mesma periodicidade (n em mês e i em % ao mês, se n fosse anual, então i seria % ao ano, e assim por diante).
 
No caso de ano exato (de 365 dias):
 
Observação: Caso esteja omisso, adota-se o ano comercial (360 dias), bem como adota-se o mês comercial (30 dias)..
 
Fórmulas para o regime de capitalização simples:
 
 
 
 
 
4. Exercícios resolvidos
 
Exercício 1: Um capital de $720.000 foi aplicado durante 16 meses, à uma taxa de juros simples de 2,4% ao bimestre. Calcular o Montante após este período.
 
 
Exercício 2: Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de $28.000 para formar um montante de $38.500 se aplicado à uma taxa de juros simples de 15% ao ano?
 
 
 
 
 
 
 
BibliografiaBásica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
 
Complementar
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
 
Exercício 1:
Qual o capital que aplicado à uma taxa de juros simples de 4,2% ao trimestre, durante 14 meses, forma um montante de R$ 6.697,60?
C) R$ 5.600
Exercício 2:
A taxa de juros simples que aplicada sobre um capital de R$ 8.000.000, durante 28 bimestres, gera um montante de R$ 15.840.000 é :
D) 3,50% ao bimestre
Exercício 3:
Um capital de $65.000 foi aplicado durante 10 meses à uma taxa de juros simples de 0,95% ao mês. Após este período, o montante foi aplicado por mais 14 meses à uma taxa de 1,24% ao mês. Calcular o montante após este período.
C) R$ 83.531
Exercício 4:
Certo capital foi emprestado durante dois anos. Após este período, o montante a ser pago representava o triplo do capital emprestado. A taxa de juros simples que foi utilizada no cálculo foi:
A) 50% ao semestre
Exercício 5:
Um capital de R$ 14.000 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 0,04% ao dia. Na mesma data, outro capital de R$ 15.000 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 0,03% ao dia. Os montantes das duas aplicações se igualarão após:
D) 2 anos, 6 meses e 9 dias
Exercício 6:
Um capital de R$ 14.000 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 0,04% ao dia. Na mesma data, outro capital de R$ 15.000 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 0,03% ao dia. Os juros totais das duas aplicações se igualarão após:
E) os juros totais nunca se igualarão
Exercício 7:
Qual o capital que aplicado à uma taxa de juros simples de 3,0% ao mês, durante 3 anos e 5 meses, gera um total de juros de R$ 47.650,20?
A) R$ 38.740
Exercício 8:
A taxa de juros simples que aplicada sobre um capital de R$ 54.000, durante 10 trimestres, gera um montante de R$ 83.700 é :
E) 5,50% ao trimestre
Exercício 9:
Certo capital foi aplicado durante 7 meses à uma taxa de juros simples de 1,00% ao mês. Após este período, o montante foi aplicado por mais 12 meses à uma taxa de 1,20% ao mês, gerando um montante de R$ 35.865,54. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.
B) R$ 29.300
Exercício 10:
Certo capital foi emprestado a uma taxa de juros de simples de 2% ao bimestre. Após quanto tempo o montante representava o dobro deste capital?
E) 4 anos e 2 meses
Exercício 11:
Um capital de R$ 23.000 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 0,05% ao dia. Na mesma data, um segundo capital foi aplicado a uma taxa de juros simples de 0,04% ao dia. Qual o valor deste segundo capital sabendo-se que os montantes das duas aplicações se igualaram após 7 meses e 28 dias?
C) R$ 23.500
Mod 2
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
  
1. Conceito de capitalização composta
2. Fórmulas
3. Exercícios resolvidos
4. Exercícios propostos
 
1. Conceito de capitalização composta 
No regime de capitalização composta ou de juros compostos os juros calculados num período serão acrescidos ao capital principal para o cálculo dos juros no próximo período. Por esta razão diz-se, no caso de regime de capitalização composta, “juros sobre juros” ou “capitalização de juros”. 
Este é o sistema utilizado no Brasil e na maioria dos países do mundo. 
Observe o esquema abaixo, onde é aplicado um capital de $ 1.000 durante ‘n’ períodos à uma taxa de 1% por período.
 
 
 
No primeiro período (n=1) a taxa de juros (1%) foi aplicada sobre o Capital C=1.000 gerando juros J1=10 e formando o montante M1=1.010.
No segundo período a taxa de juros foi aplicada sobre o montante do período anterior (n=1), M1=1.010, gerando juros de J2=10,10 e formando o montante M2=1.020,10.
E assim sucessivamente a cada período. 
 
 
2. Fórmulas 
O Montante pode ser calculado pelas seguintes fórmulas: 
 
 
Da mesma maneira, para calcular o Valor Presente:
 
  
Os Juros são calculados pela fórmula: J=M-C 
No exemplo acima, para cada período: 
	Período
	Juro
	Capital
	0
	 
	1.000,00
	1
	10,00
	1.010,00
	2
	10,10
	1.020,10
	3
	10,20
	1.030,30
	4
	10,30
	1.040,60
Note que o capital cresce segundo uma progressão geométrica. 
 
Para o cálculo da taxa:
 
Para o cálculo do número de períodos:
 
 
3. Exercícios resolvidos
 
 
 1. Qual o montante gerado por um capital de $35.000 aplicado durante 4 anos à uma taxa de 12% ao ano?
 
  
 
 2. Qual capital preciso aplicar à uma taxa de 3% ao mês, capitalizável mensalmente, durante 10 meses para produzir um montante de $5.800?
 
  
 
 
3. A que taxa semestral um capital de $6.000 gera juros de $ 1.813,56 durante 3 anos?
 
M=C+J=6.000+1.813,56=7.813,56
 
 
 
Obs.: Como a taxa deve ser ao semestre, devemos passar n=3 anos para n=6 semestres.
 
 
4. Durante quanto tempo devo aplicar um capital de $1.000.000, à uma taxa de juros de 1,5% ao mês, capitalizável mensalmente, para obter um montante de $1.240.959,51?
 
 
 
Ou n= 14 meses e 15 dias.
 
 
 
 
Bibliografia
 
Básica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
 
Complementar
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
Exercício 1:
Um capital de $66.200 foi aplicado durante 2 semestres à uma taxa de juros compostos de 8,5% ao semestre, capitalizável semestralmente. Após este período, o capital resultante foi aplicado por mais 3 anos à uma taxa de juros compostos de 2,8% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. Calcular o valor do montante após este período.
E) $ 108.551
Exercício 2:
Em quanto tempo uma taxa de juros compostos de 4% ao mês triplica um determinado capital?
A) 2 anos e 4 meses
Exercício 3:
Se um capital de R$ 73.500, aplicado durante 8 meses, gera juros de R$ 9.952, em quanto tempo ele gera juros de R$ 16.845?
C) 13 meses
Exercício 4:
Numa determinada data foram aplicados dois capitais: um de $100.000 à uma taxa de juros compostos de 3,4% ao mês e outro de $150.000 à uma taxa de juros compostos de 2,45% ao mês. Após quanto tempo os montantes das duas aplicações ficaram iguais?
B) 3 anos e 8 meses
Exercício 5:
Considere os três investimentos possíveis relacionados a seguir:
Investimento I: aplicar R$ 7.000 hoje e resgatar R$ 7.795 daqui um ano.
Investimento II: aplicar R$ 4.000 hoje e resgatar R$ 4.400 daqui 8 meses.
Investimento III: aplicar R$ 10.000 hoje e resgatar R$ 12.400 daqui 4 semestres.
Pode-se afirmar que:
B) O Investimento II apresenta a melhor rentabilidade
Exercício 6:
Um equipamento é vendido a vista por R$ 10.000 ou a prazo em duas condições: R$ 5.030 de entrada mais R$ 5.030 em um mês ou R$ 3.000 de entrada, R$ 2.050 em um mês, R$ 3.000 em dois meses e R$ 2.090 em 3 meses. Se você possui capital suficiente para comprar este equipamento, em qualquer uma destas condições, e se este capital estiver rendendo 1,2% ao mês, qual a afirmativa abaixo é a correta, financeiramente:
C) A melhor opção de pagamento é a de quatro parcelas
Exercício 7:
Qual a taxa de juros compostos que quintuplica um capital em 8 anos?
B) 1,69% a.m.
Exercício 8:
Que taxa de juros compostos quadruplica um capital em 8 anos?
A) 1,45% a.m.
Exercício 9:
Em quanto tempo uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, duplica um determinado capital?
C) 20 meses
Exercício 10:
Em quanto tempo uma taxa de juros compostos de 3,5% ao bimestre, duplica um determinado capital?
A) 40 meses
Exercício 11:
Se um capital de R$ 12.000, aplicado durante 15 meses, gera juros compostos de R$ 1.523, em quanto tempo ele gera juros de R$ 3.000?
C) 28 meses
Exercício 12:
Se um capitalde R$ 12.000, aplicado durante 15 meses, gera juros compostos de R$ 1.523, em quanto tempo ele gera juros de R$ 995,30?
B) 10 meses
Exercício 13:
Numa determinada data foram aplicados dois capitais: um de $8.000 à uma taxa de juros compostos de 1,1% ao mês e outro de $7.500 à uma taxa de juros compostos de 0,8% ao mês. Após quanto tempo os montantes das duas aplicações ficaram iguais?
E) 1 ano, 9 meses e 21 dias
Exercício 14:
Numa determinada data foram aplicados dois capitais: um de $8.000 à uma taxa de juros compostos de 1,0% ao mês e outro de $7.000 à uma taxa de juros compostos de 0,7% ao mês. Após quanto tempo os montantes das duas aplicações ficaram iguais?
D) 3 anos, 8 meses e 26 dias
Exercício 15:
Um capital de $22.000 foi aplicado durante 7 trimestres à uma taxa de juros compostos de 4,5% ao bimestre, capitalizável bimestralmente. Após este período, o capital resultante foi aplicado por mais 2 anos à uma taxa de juros compostos de 5,2% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. Calcular o valor do montante após este período.
D)$ 52.392
Exercício 16:
Um capital de $22.000 foi aplicado durante 7 bimestres à uma taxa de juros compostos de 4,5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. Após este período, o capital resultante foi aplicado por mais 2 anos à uma taxa de juros compostos de 5,2% ao quadrimestre, capitalizável quadrimestralmente. Calcular o valor do montante após este período.
A) $ 36.621
MOD 3
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Definições
2. Fórmulas e conversões
3. Exercícios resolvidos
 
 
1. Definições
 
É comum na relação das instituições financeiras com seus clientes, a utilização de taxas de juros com periodicidades distintas, principalmente as taxas com periodicidade anual e mensal.
Este módulo aborda os diferentes tipos de taxas e as conversões existentes entre elas, para o regime de capitalização composta.
As taxas utilizadas são:
 
Taxa de juros nominal (iN): é uma taxa utilizada como referência, não sendo aplicada diretamente nos cálculos. Na maioria dos casos tem periodicidade anual e a partir dela calcula-se a taxa de efetiva de forma proporcional.
 
Taxa de juros efetiva (ief): é a taxa que efetivamente é aplicada nos cálculos e é calculada proporcionalmente ao juro nominal.
Por exemplo, qual a taxa de juros efetiva para uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização mensal?
Dividindo 12% ao ano por 12 meses, a taxa efetiva é de 1% ao mês.
 
Taxas de juros equivalentes (ieq), são duas ou mais taxas de juros com periodicidades diferentes que, quando aplicadas num mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante.
 
 
2. Fórmulas
 
2.1 Conversão de taxa de juros nominal para efetiva
 
 
Onde n é a relação de periodicidade entre a taxa nominal e a efetiva.
Por exemplo, uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral tem n=4 (4 trimestres num ano) e a taxa efetiva é de 6% ao bimestre.
 
 
2.2 Cálculo de taxas equivalentes
 
 Onde n1/n2 é a relação de periodicidade entre as taxas.
 
Por exemplo, para uma taxa efetiva de 15% ao semestre:
 
Observações:
1. Diz-se que as taxas 15% a.s., 0,078% a.d., 2,36% a.m., 9,77% a.q. e 32,25% a.a. são equivalentes.
2. Pela definição de taxas equivalentes, se aplicarmos qualquer uma destas taxas num mesmo capital e durante o mesmo período, obtêm-se o mesmo montante.
Por exemplo: um capital de R$ 6.000 aplicado a 15% a.s., durante 2 anos gera um montante de R$ 10.494:
 
 
 
3. Exercícios resolvidos
 
1. Qual a taxa efetiva para um financiamento com taxa nominal de 24% ao ano e capitalização mensal?
 
24%/12 = 2% a.m.
 
 
2. Quais as taxas equivalentes bimestral, trimestral, semestral e anual para uma taxa efetiva de 2% ao mês?
 
 
 
3. Um empréstimo de R$ 3.500 é feito a uma taxa nominal de 34% ao ano com capitalização diária. Qual o valor da dívida após 4 meses?
 
 
 
Bibliografia
 
Básica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
 
Complementar
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009.
 
Exercício 1:
Um financiamento é obtido com uma taxa nominal de 42% ao ano e capitalização semestral. A taxa efetiva e as taxas equivalentes são, respectivamente:
B) 21% a.s.; 6,56% a.b.; 46,41% a.a.
Exercício 2:
Qual das seguintes taxas de juros efetivas apresenta maior rentabilidade?
D) 12,00% ao semestre
Exercício 3:
Calcular a taxa nominal anual para um financiamento que tem capitalização mensal e uma taxa equivalente de 12% ao semestre.
A) 22,88% a.a.
Exercício 4:
Certo capital foi aplicado num fundo que rende juros a uma taxa nominal de 14% ao ano com capitalização diária. Se após 5 meses o montante era de R$ 7.653,60, então o capital investido foi de:
C) R$ 7.220
Exercício 5:
A taxa nominal de um investimento que gera R$ 453,36 de juros sobre um capital de R$ 10.000 em 90 dias, capitalizados bimestralmente, é:
E)19,00% a.a.
Exercício 6:
Em quanto tempo um capital quintuplica de valor se aplicada a uma taxa de juros nominal de 11,4% a.a. com capitalização mensal? 
B) 14 anos, 2 meses e 6 dias
Exercício 7:
Qual a taxas de juros a seguir não é equivalente à 14% ao semestre:
D) 9,33% a.q.
Exercício 8:
Qual das seguintes taxas de juros apresenta maior rentabilidade?
C) 7,18% ao trimestre
Exercício 9:
Calcular a taxa nominal anual para um financiamento que tem capitalização trimestral e uma taxa equivalente de 2,0% ao mês.
B) 24,48% a.a.
Exercício 10:
A taxa nominal de um investimento que gera R$ 2.257 de juros sobre um capital de R$ 50.000 em 100 dias, capitalizados mensalmente, é:
A) 16,0% a.a.
Exercício 11:
A taxa nominal de um investimento que gera um montante de R$ 32.448 sobre um capital de R$ 30.000 em 4 meses, capitalizados bimestralmente, é:
E) 24,0% a.a.
MOD 4
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Introdução
2. Índices e cálculos
3. Taxa de juros nominal e taxa de juros real
4. Exercícios resolvidos
 
 
1. Introdução
 
Inflação significa simplesmente aumento de preços durante um período. Em maior ou menor grau ela está presente na economia de todos os países.
A inflação pode ter diversas causas como aumento da demanda dos produtos e desvalorização da moeda nacional por emissão exagerada de dinheiro.
Se num determinado período houver retração nos preços, a denominação dada é deflação.
A correção monetária visa corrigir a perda monetária causada pela inflação.
No Brasil existem diversos índices para correção monetária, cada um com uma base de cálculo e uso específicos.
 
 
2. Índices e cálculos
 
Alguns dos índices de inflação brasileiros: ICV, IGP-DI, INCC-DI, INCC-M, INPC, IPA-DI, IPA-M, IPC, IPC-DI e IPC.
Para efeito de ilustração, vamos pegar o INPC (Índice Nacional de Preço ao Consumidor), que é um índice calculado pelo IBGE.
A variação dos preços, no caso do INPC, é apurada do 1º ao 30º dia de cada mês e tem, como unidade de coleta, estabelecimentos comerciais e de prestação de serviços, concessionária de serviços públicos e domicílios (aluguel e condomínio). A população-objetivo do INPC abrange as famílias com rendimentos mensais compreendidos entre 1 e 6 salários-mínimos, cujo chefe é assalariado em sua ocupação principal e residente nas áreas urbanas das regiões qualquer que seja a fonte de rendimentos, e residentes nas áreas urbanas das regiões.
 
A tabela a seguir mostra todos os índices do INPC no ano de 2010.
 
	Mês de 2010
	INPC
	INPC acumulado no ano
	Janeiro
	0,88%
	0,8800%
	Fevereiro
	0,70%
	1,5861%
	Março
	0,71%
	2,3074%
	Abril
	0,73%
	3,0543%
	Maio
	0,43%
	3,4974%
	Junho
	-0,11%
	3,3836%
	Julho
	-0,07%
	3,3112%
	Agosto
	-0,07%
	3,2389%
	Setembro
	0,54%
	3,7963%
	Outubro
	0,92%
	4,7513%
	Novembro
	1,03%
	5,8302%
	Dezembro
	0,60%
	6,4652%
 
Observe que os índices negativos dos meses junho, julho e agosto,indicam uma deflação neste período e, nos demais meses, inflação.
Para entender estes números, se uma pessoa teve gastos de R$ 100 no dia 31 de dezembro de 2009, para adquirir os mesmo produtos em 31 de janeiro de 2010 ela teria que dispor de
R$ 100 mais 0,88%, ou seja R$ 100 x 1,0088 = R$ 100,88 e teria que dispor de
R$ 100,88 x 1,007 = R$ 101,58 em 28 de fevereiro de 2010.
 
O objetivo principal deste módulo é o cálculo da correção monetária com ou sem juros agregados.
 
Primeiramente trataremos do cálculo da inflação acumulada num determinado período.
 
 
Onde   cac= inflação acumulada no período de 1 a n.
Cj=inflação no período j (j=1,2,3....n)
 
Como exemplo, qual o INPC acumulado no primeiro semestre de 2010?
 
 
Para o cálculo da correção monetária num determinado período:
 
 
Para fazer a correção monetária de um valor de R$ 500 em 31 de dezembro de 2009 para 30 de junho de 2010:
 
 
 
3. Taxa de juros nominal e taxa de juros real
 
No item anterior foi tratada apenas a correção monetária.
Em muitos cálculos na economia, além da correção monetária há a adição de juros, como por exemplo o cálculo da caderneta de poupança e do FGTS.
Os juros representam o rendimento real obtido, sendo denominados juros reais. Os juros reais mais a correção monetária são os juros nominais.
 
Para o cálculo da taxa de juros nominal, num determinado período, tem-se:
 
 
Onde      iN = taxa de juros nominal do período
iac= taxa de juros real no período
 
Exemplo: se determinada aplicação rende juros reais de 0,5% ao mês mais correção monetária segundo o INPC, temos:
 
- Taxa de juros nominal em setembro de 2010:
 
- Taxa de juros real acumulada no ano de 2010:
 
- Taxa de juros nominal acumulada no ano de 2010:
 
 
- se foi aplicado um valor de R$ 1.000 em 31/12/2009, o montante em 31/12/2010 seria de
 
 
 
4. Exercícios resolvidos
 
1) Qual o INPC acumulado no 2º semestre de 2010?
 
 
2) Se um valor de R$ 3.400 foi aplicado em 30/06/2010, num fundo que rende juros reais de 0,25% ao mês mais correção monetária pelo INPC, calcular a taxa de juros real, a taxa de juros nominal e o valor do montante em 31/12/2010.
 
Taxa de juros real:
 
Taxa de juros nominal:
 
Montante em 31/12/2010:
 
 
 
 
Bibliografia
 
Básica
ANDRÉ LUIZ CARVALHAL DA SILVA. Matemática Financeira Aplicada. 1ª Edição Editora Atlas. 2005.
JOSÉ DUTRA VIEIRA SOBRINHO. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. 2002.
 
Complementar
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10ª ed. Atlas, 2008.
PIERRE JACQUES EHRLICH, EDMILSON ALVES DE MORAES. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de investimento. Atlas, 2009. 
Exercício 1:
A tabela a seguir se refere ao IPC (Índice de Preços ao Consumidor) de 2009 e 2010. O IPC/FIPE mede a variação de preços para o consumidor na cidade de São Paulo com base nos gastos de quem ganha de um a vinte salários mínimos.
	 
IPC
	 
2009
	 
2010
	Janeiro
	0,4600%
	1,3400%
	Fevereiro
	0,2700%
	0,7400%
	Março
	0,4000%
	0,3400%
	Abril
	0,3100%
	0,3900%
	Maio
	0,3300%
	0,2200%
	Junho
	0,1300%
	0,0400%
	Julho
	0,3300%
	0,1700%
	Agosto
	0,4800%
	0,1700%
	Setembro
	0,1600%
	0,5300%
	Outubro
	0,2500%
	1,0400%
	Novembro
	0,2900%
	0,7200%
	Dezembro
	0,1800%
	0,5400%
O IPC acumulado de 1º de junho de 2009 até 30 de setembro de 2010 foi de:
A) 5,2152%
B) 5,3520%
C) 5,6997%
D) 5,7729%
E) 5,9104%
Exercício 2:
A tabela a seguir se refere ao IPC (Índice de Preços ao Consumidor) de 2009 e 2010.
 
	 
IPC
	 
2009
	 
2010
	Janeiro
	0,4600%
	1,3400%
	Fevereiro
	0,2700%
	0,7400%
	Março
	0,4000%
	0,3400%
	Abril
	0,3100%
	0,3900%
	Maio
	0,3300%
	0,2200%
	Junho
	0,1300%
	0,0400%
	Julho
	0,3300%
	0,1700%
	Agosto
	0,4800%
	0,1700%
	Setembro
	0,1600%
	0,5300%
	Outubro
	0,2500%
	1,0400%
	Novembro
	0,2900%
	0,7200%
	Dezembro
	0,1800%
	0,5400%
 
 O IPC médio mensal do ano de 2010 foi de:
A) 0,5155%
B) 0,5200%
C) 0,5193%
D) 0,5344%
E) 0,8868%
Exercício 3:
A tabela a seguir se refere ao IPC (Índice de Preços ao Consumidor) de 2009 e 2010.
 
	 
IPC
 
	 
2009
 
	 
2010
 
	Janeiro
	0,4600%
	1,3400%
	Fevereiro
	0,2700%
	0,7400%
	Março
	0,4000%
	0,3400%
	Abril
	0,3100%
	0,3900%
	Maio
	0,3300%
	0,2200%
	Junho
	0,1300%
	0,0400%
	Julho
	0,3300%
	0,1700%
	Agosto
	0,4800%
	0,1700%
	Setembro
	0,1600%
	0,5300%
	Outubro
	0,2500%
	1,0400%
	Novembro
	0,2900%
	0,7200%
	Dezembro
	0,1800%
	0,5400%
 
 Sobre um capital de R$ 580,00 foi aplicada uma correção monetária segundo os índices do IPC de 31/12/2008 a 31/05/2009. O valor deste capital em 31/05/2009 era de:
 
A) R$ 590,34
B) R$ 592,33
C) R$ 593,00
D) R$ 593,78
E) R$ 594,66
Exercício 4:
A tabela a seguir se refere ao IPC (Índice de Preços ao Consumidor) de 2009 e 2010.
 
	 
IPC
	 
2009
	 
2010
	Janeiro
	0,4600%
	1,3400%
	Fevereiro
	0,2700%
	0,7400%
	Março
	0,4000%
	0,3400%
	Abril
	0,3100%
	0,3900%
	Maio
	0,3300%
	0,2200%
	Junho
	0,1300%
	0,0400%
	Julho
	0,3300%
	0,1700%
	Agosto
	0,4800%
	0,1700%
	Setembro
	0,1600%
	0,5300%
	Outubro
	0,2500%
	1,0400%
	Novembro
	0,2900%
	0,7200%
	Dezembro
	0,1800%
	0,5400%
No período de 31 de janeiro de 2010 a 31 de março de 2010, uma aplicação rendeu juros reais mais correção monetária, pelo IPC, de 1,7396%. Pode-se afirmar que a taxa de juros real foi de:  
A) 0,63% a.m.
B) 0,65% a.m.
C) 1,70% a.m.
D) 1,73% a.m.
E) 1,76% a.m.
Exercício 5:
Um capital de R$ 3.200 foi emprestado de um banco e após 6 meses a dívida foi liquidada por R$ 3.813,52. Se o banco cobra juros mais correção monetária para este tipo de empréstimo e, considerando que a inflação média mensal foi de 0,75% por mês, a taxa de juros real cobrada pelo banco foi:
A) 2,20% a.m.
B) 2,35% a.m.
C) 2,40% a.m.
D) 2,45% a.m.
E) 2,50% a.m.
Exercício 6:
Considerando que uma instituição financeira paga 0,82% ao mês mais correção monetária para um determinado tipo de investimento, em quanto tempo um capital de R$ 8000 renderá R$ 864,64 se a inflação média for de 0,35% por mês?
A) 8 meses
B) 9 meses
C) 10 meses
D) 11 meses
E) 12 meses
Exercício 7:
A tabela a seguir se refere ao IGP-DI (Índice Geral de Preços - Disponibilidade Interna) de 2010.
                                                                                                                                   
	Mês/2010
	IGP-DI
	Janeiro
	1,01%
	Fevereiro
	1,09%
	Março
	0,63%
	Abril
	0,72%
	Maio
	1,57%
	Junho
	0,34%
	Julho
	0,22%
	Agosto
	1,10%
	Setembro
	1,10%
	Outubro
	1,03%
	Novembro
	1,58%
	Dezembro
	0,38%
 O IGP-DI acumulado no 1º trimestre de 2010 foi:
A) 2,73%
B) 2,75%
C) 2,83%
D) 2,88%
E) 2,92%
Exercício 8:
A tabela a seguir se refere ao IGP-DI (Índice Geral de Preços - Disponibilidade Interna) de 2010.
                                                                                                                                   
	Mês/2010
	IGP-DI
	Janeiro
	1,01%
	Fevereiro
	1,09%
	Março
	0,63%
	Abril
	0,72%
	Maio
	1,57%
	Junho
	0,34%
	Julho
	0,22%
	Agosto
	1,10%
	Setembro
	1,10%
	Outubro
	1,03%
	Novembro
	1,58%
	Dezembro
	0,38%
 O IGP-DI médio mensal no 2º trimestre de 2010 foi:
A) 0,868%
B) 0,870%
C) 0,872%
D) 0,875%
E) 0,877%
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Exercício 9:
A tabela a seguir se refere ao IGP-DI (Índice Geral de Preços - Disponibilidade Interna) de 2010.
                                                                                                                                   
	Mês/2010
	IGP-DI
	Janeiro
	1,01%
	Fevereiro
	1,09%
	Março
	0,63%
	Abril
	0,72%
	Maio
	1,57%
	Junho
	0,34%
	Julho
	0,22%
	Agosto
	1,10%
	Setembro
	1,10%
	Outubro
	1,03%
	Novembro
	1,58%
	Dezembro
	0,38%
De 01/03/2010 a 31/06/2010 foi aplicada uma correção monetária utilizando o IGP-DI sobre um valor de R$ 1.250. O valor corrigido ficou em:
A) R$ 1.276,89
B) R$ 1.279,33
C) R$ 1.283,11
D) R$ 1.287,21
E) R$ 1.291,20
Exercício 10:
A tabela a seguir se refere ao IGP-DI (Índice Geral dePreços - Disponibilidade Interna) de 2010.,
                                                                                                                                  
	Mês/2010
	IGP-DI
	Janeiro
	1,01%
	Fevereiro
	1,09%
	Março
	0,63%
	Abril
	0,72%
	Maio
	1,57%
	Junho
	0,34%
	Julho
	0,22%
	Agosto
	1,10%
	Setembro
	1,10%
	Outubro
	1,03%
	Novembro
	1,58%
	Dezembro
	0,38%
 
No período de 30 de setembro a 31 de dezembro de 2010, uma aplicação rendeu juros reais mais correção monetária, pelo IGP-DI, de 3,861%. Pode-se afirmar que a taxa de juros real foi de: 
A) 0,60% a.m.
B) 0,78% a.m.
C) 0,82% a.m.
D) 1,00% a.m.
E) 1,12% a.m.
Exercício 11:
Um capital de R$ 10.000 foi emprestado de um banco e após 4 meses a dívida foi liquidada por R$ 10.729,41. Se o banco cobra juros mais correção monetária para este tipo de empréstimo e, considerando que a inflação média mensal foi de 0,42%, a taxa de juros real cobrada pelo banco foi:
A) 1,20% a.m.
B) 1,35% a.m.
C) 1,40% a.m.
D) 1,45% a.m.
E) 1,50% a.m.