Matematica Financeira Aula 01

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JUROS COMPOSTOS 
 
 
 
01- Que valor, aproximado, atinge uma aplicação de R$ 300,00 em um banco 
comercial a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês, durante 6 meses? 
 
a) R$ 542,00 
b) R$ 531,00 
c) R$ 529,00 
d) R$ 524,00 
e) R$ 521,00 
 
 
Iniciamos aqui nossa segunda aula. Não se esqueçam de primeiro tentar resolver as 
questões! Vamos começar... 
 
O regime de juros compostos é o regime mais comum no sistema financeiro, portanto 
é o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Ele é o regime usado, por 
exemplo, para financiamentos, empréstimos e títulos de capitalização. 
 
 
 
No regime de Juros Compostos, os juros gerados a cada período são incorporados ao 
principal para o cálculo dos juros do período seguinte. 
 
 
 
Na nossa questão, são dados: 
 
Capital inicial “C” = 300,00 
Taxa de juros “i” = 10% ao mês 
Número de períodos “n” = 6 
Montante ou valor no final do período “M” = ? 
 
Em juros compostos, o valor dos juros é incorporado ao principal para o cálculo do 
próximo período, diferentemente do regime simples, no qual a taxa é aplicada sempre 
sobre o mesmo valor (o capital inicial). 
 
Assim, teremos, após cada período, os seguintes valores para o montante... 
 
 
 
 
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• 1o período de capitalização (n=1) 
 
300 + 10% . 300 ⇒ 300 + 0,10 . 300 ⇒ 300 (1 + 0,10) ⇒ 300 . 1,10 
 
 
• 2o período de capitalização (n=2) 
 
300 . 1,10 . 1,10 ⇒ 300 . 1,102 
 
 
• 3o período de capitalização (n=3) 
 
300 . 1,102 . 1,10 ⇒ 300 . 1,103 
 
 
E assim por diante... 
 
 
Concluímos que uma capitalização a juros compostos, em um período “n” qualquer, 
irá gerar um montante final “M” de: 
 
 
 
M = C (1 + i)n 
 
 
 
E, assim como no regime simples, o montante no período também é: 
 
 
 
M = C + J 
 
 
 
ou 
 
 
 
J = M - C 
 
 
 
 
 
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Então, para 6 períodos de capitalização como pede a questão, teremos... 
 
ni)(1 CM += 
6)10,0(1 .003M += 
610,1 . 003M = 
 
É possível chegarmos ao resultado de 1,106 fazendo o cálculo a mão. Entretanto, 
como isso pode demandar tempo (e na prova, tempo vale ouro!), usaremos o artifício 
da Tabela Financeira, que foi fornecida. 
 
Vale lembrar que nas provas mais recentes, de 2008 pra cá, a ESAF não forneceu essa 
tabela. Pelo entendimento da banca, para estas provas a tabela não era necessária. 
De fato, a maioria das questões foi muito mais conceitual e sem grandes cálculos que 
precisassem ser feitos. 
 
Minha opinião é de que não precisamos fazer tempestade com relação essa mudança 
e, também, não precisamos fazer disso um jogo de adivinhação. Entendendo o 
conceito da questão e o mecanismo de como a coisa funciona, você vai resolver com 
certa tranqüilidade tendo ou não em mãos a tabela financeira... Pode acreditar! 
 
Voltando a questão (que nos forneceu a tabela financeira) e consultando a tabela de 
Fator de Acumulação de Capital, nn )i1(a += , vemos na coluna o valor das taxas e, na 
linha, o valor do número de períodos. Na coluna 10% e linha n=6, encontramos o 
fator 1,771561. Como queremos o valor aproximado, vamos usar 1,77. 
 
,771 . 003M = 
00,531M = 
 
 
Para concluir nosso raciocínio, vamos ver no gráfico seguinte o crescimento do 
montante a cada período quando trabalhamos com juros compostos. Usaremos a 
escala alterada para melhor visualização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 +48,3 
 
 
 
 
 
 +43,9 
 
 
 
 
 +39,9 
 
 
 
 
 
 
 +33,6 
 
 
 +33 
 
 +30 
 300 
 
 
 
 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 
 
 
Em juros compostos, os juros gerados a cada período são 
incorporados ao principal. Isto é, a taxa de juros i é aplicada a 
cada período sobre capital gerado no período anterior, fazendo 
com que o crescimento ocorra de forma exponencial ou em 
progressão geométrica (PG). 
 
 
Gabarito B 
 
 
 
02- (TCE – TCM – RJ 2000) Uma pessoa pretende comprar um automóvel cujo 
valor é de R$14.048,66, exclusivamente com o rendimento de uma aplicação 
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financeira no valor de R$20.000,00. Se a aplicação rende juros efetivos de 
3% am, o prazo mínimo necessário da aplicação é de: 
 
a) 13 meses 
b) 15 meses 
c) 18 meses 
d) 20 meses 
e) 22 meses 
 
 
O rendimento da aplicação é exatamente o juro que a aplicação gerou. O que o 
problema quer saber é por quanto tempo “n” o capital inicial “C” deve ser aplicado 
para gerar um juro “J” que viabilize a compra do auto. Isto é, um juro de 
R$14.048,66. 
 
São dados: 
 
Capital inicial “C” = R$20.000,00 
Taxa de juros “i” = 3% ao mês 
Juros do período “J” = R$14.048,66 
Número de períodos “n” = ? 
 
Sabemos que: 
 
M = J + C 
M = 14048,66 + 20000 
M = 34048,66 
 
E como M = C (1 + i)n , temos: 
34048,66 = 20000 (1+0,03)n 
1,03 n = 1,702433 
 
Consultando a tabela de Fator de Acumulação de Capital, na coluna 3%, encontramos 
o fator 1,702433 na linha n=18. Logo, o período de tempo necessário é 18 meses. 
 
Observe que, fazendo essa divisão, você não precisaria chegar até o valor da última 
casa decimal de 1,702433. Para ganhar tempo, bastaria encontrar o valor da primeira 
casa (1,7). Olhe lá na tabela e confirme o que estou dizendo! 
 
Gabarito C 
 
 
 
03- (Analista IRB – 2006) Um capital de 1.000 unidades monetárias foi 
aplicado durante um mês a 3% ao mês, tendo o montante ao fim do mês sido 
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reaplicado no segundo mês a 4% ao mês e o montante no fim do segundo 
mês sido reaplicado no terceiro mês a 5% ao mês. Indique o montante ao fim 
do terceiro mês. 
 
a) 1.170 
b) 1.124,76 
c) 1.120 
d) 1.116,65 
e) 1.110 
 
 
Já sabemos que em juros compostos os juros gerados a cada período são incorporados 
ao principal. A diferença nesta questão é que a taxa de juros varia a cada período. 
 
Teremos ao final do primeiro mês o montante de C . 1,03 e, ao final do segundo mês, 
o novo montante de C . 1,03 . 1,04 e, ao final do terceiro mês, o último montante de C 
. 1,03 . 1,04 . 1,05. 
 
Então, 1000 . 1,03 . 1,04 . 1,05 = 1124,76 
 
Gabarito B 
 
 
 
04- (AFPS 2002) Calcule o montante obtido ao fim de dezoito meses por um 
capital unitário aplicado a uma taxa de juros nominal de 36% ao ano com 
capitalização mensal. 
 
a) 1,54 
b) 1,7024 
c) 2,7024 
d) 54% 
e) 70,24% 
 
Chegou a hora de falarmos de taxa equivalente, taxa nominal e taxa efetiva... 
 
 
 
Taxas equivalentes são taxas que quando aplicadas ao mesmo capital durante o 
mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o 
mesmo montante final. 
 
 
 
 
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Exemplos: 
 
a) Qual taxa anual é equivalente a taxa de 1% ao mês? 
1 ano tem 12 meses ⇒ (1,01)12 = 1,1268 ⇒ 12,68% 
 
 
b) Qual taxa anual é equivalente a taxa de 5% ao semestre? 
1 ano tem 2 semestres ⇒ (1,05) 2 = 1,1025 ⇒ 10,25% 
 
 
Já a taxa nominal e a taxa efetiva normalmente caminham juntas nas questões de 
regime composto. Reparem que o enunciado da nossa questão fornece a taxa anual, 
mas diz que a capitalização é mensal. Ou seja, a unidade da taxa é diferente da 
unidade de capitalização. 
 
 
 
Taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao capital 
não coincide com aquele a que a taxa está referida. 
 
 
Taxa efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao capital 
coincide com aquele a que a taxa está referida. 
 
 
 
Veja melhor... 
 
• 23% ao ano com capitalização mensal é taxa nominal 
 
• 5% ao mês com capitalização mensal é taxa efetiva 
 
• 15% ao bimestre com capitalização mensal é taxa nominal 
 
• 15% ao bimestre com capitalização bimestral é taxa efetiva 
 
 
Exemplos: 
 
a) Qual a taxa efetiva de uma taxa nominal de 60% a.a. com capitalização mensal? 
1 ano tem 12 meses ⇒ 
12
120
= 10% ao mês 
 
b) Qual a taxa efetiva de uma taxa nominal de 42% a.a. com capitalização bimestral? 
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1 ano tem 6 bimestres ⇒ 
6
42
= 7% ao bimestre 
 
 
Voltemos à questão... 
 
C = 1 
n = 18 
i = 36% a.a. com capitalização mensal = 3% a.m. de taxa efetiva 
M = ? 
 
n)i1(CM += 
18)03,01(1M += 
18)03,1(M = 
 
Recorrendo novamente a tabela, coluna 3%, linha n=18 ⇒ 1,702433 
 
Logo, M = 1,702433 
 
Gabarito B 
 
 
 
05- (Auditor Tesouro Municipal de Fortaleza – 2003) O capital de R$ 
20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização 
trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. 
 
a) R$ 27.200,00 
b) R$ 27.616,11 
c) R$ 28.098,56 
d) R$ 28.370,38 
 
 
São dados: 
 
C = 20000 
i = 24% a.a. com capitalização trimestral ⇒ 
4
24
 = 6% a.t. 
n = uma taxa trimestral capitaliza 6 vezes em 18 meses ⇒ n = 6 
M = ? 
 
n)i1(CM += 
6)06,01(20000M += 
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6)06,1(20000M = 
 
Recorrendo a tabela, coluna 6%, linha n=6 ⇒ 1,418519 
 
418519,1.20000M = 
38,28370M = 
 
Gabarito D 
 
 
 
06- (Analista IRB – 2004) Um capital é aplicado com capitalização dos juros 
durante três períodos com uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os 
juros devidos como porcentagem do capital inicial aplicado. 
 
a) 30% 
b) 31,3% 
c) 32,2% 
d) 33,1% 
e) 34% 
 
 
O montante ao final será o capital aplicado C, capitalizado a 10% ao período, 3 vezes. 
Então, ao final dos 3 períodos teremos o seguinte montante... 
 
M = C . 1,103 
M = C . 1,331 ⇒ i = 33,1% 
 
O fator de multiplicação 1,331, faz com que o montante final M seja 33,1% maior que 
o capital inicialmente aplicado C. 
 
Gabarito D 
 
 
 
07- (Analista IRB – 2004) Indique qual a taxa anual de juros compostos que 
equivale a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. 
 
a) 24% 
b) 24,24% 
c) 24,48% 
d) 24,96% 
e) 26,8242% 
 
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Taxas equivalentes são taxas que geram o mesmo montante ao fim do período. 
 
O problema pede a taxa equivalente anual que equivale à taxa mensal de 2%. Quando 
capitalizamos essa taxa mensal a juros compostos por 12 meses, encontraremos uma 
taxa anual que gera exatamente o mesmo montante da primeira... Assim, elas serão 
equivalentes! 
 
Vejamos a capitalização de C... 
 
1o mês ⇒ C . 1,02 
2o mês ⇒ C . 1,022 
3o mês ⇒ C . 1,023 
. 
. 
. 
12o mês ⇒ C . 1,0212 = C . 1,268242 ⇒ 26,8242% (consultando a tabela i=2% e 
n=12) 
 
A conclusão que chegamos é que tanto faz um capital ser aplicado a juros compostos a 
taxa de 2% a.m. ou a taxa de 26,8242% a.a. Ele irá gerar o mesmo montante porque 
essas taxas se equivalem! 
 
Gabarito E 
 
 
 
08- (TRF - TI 2006) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à 
taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal. 
 
a) 2,595% ao mês 
b) 19,405% ao semestre 
c) 18% ao semestre 
d) 9,703% ao trimestre 
e) 5,825 ao bimestre 
 
 
A taxa de nominal 36% a.a. com capitalização mensal corresponde a taxa efetiva de 
.m.a%3
12
36
= 
 
Vamos, então, ver quais as taxas equivalentes à taxa efetiva mensal de 3%: 
 
Ao mês ⇒ 3% a.m. 
Ao bimestre ⇒ (1,03) 2 = 1,0609 ⇒ 6,09% a.b. 
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Ao trimestre ⇒ (1,03) 3 = 1,0927 ⇒ 9,27% a.t. 
Ao semestre ⇒ (1,03) 6 = 1,1941 ⇒ 19,41% a. sem. 
 
Estamos procurando o valor mais próximo à taxa equivalente mensal de 3%. 
Analisando as alternativas, encontramos a letra B com 19,405% a. sem. 
 
Gabarito B 
 
 
 
09- (Analista IRB – 2006) Indique o valor mais próximo da taxa de juros 
equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês. 
 
a) 60% ao ano 
b) 30% ao semestre 
c) 24% ao semestre 
d) 10% ao trimestre 
e) 6% ao bimestre 
 
 
Taxa de juros mensais de 4% equivale à taxa de: 
 
(1,04)2 = 1,0816 ⇒ 8,16% a.b. 
(1,04)4 = 1,1699 ⇒ 16,99% a.t. 
(1,04)6 = 1,2653 ⇒ 26,53% a. sem. 
(1,04)12 = 1,6010 ⇒ 60,10% a.a. 
 
É sempre bom lembrar que não precisaríamos fazer todas essas contas. Bastaria 
consultar a tabela financeira. 
 
A questão novamente pede o valor mais próximo. 
 
Gabarito A 
 
 
 
10- * (Fiscal Natal/RN 2008) Duas pessoas fizeram uma aplicação financeira. 
A pessoa “A” aplicou R$ 100.000,00, à taxa efetiva de juros de 0,5% a. m. e a 
pessoa “B” aplicou R$ 50.000,00, à taxa nominal de 6% a. a. Em ambos os 
casos as capitalizações são mensais e os juros serão pagos junto com o 
principal. Ao final de 1 (um) ano podemos afirmar que: 
 
a) O juro recebido pela pessoa “A” é maior do que o juro recebido pela pessoa 
“B”. 
b) Não há proporcionalidade entre juros de “A” e “B”. 
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c) A taxa efetiva de juros de “A” é maior do que a taxa efetiva de “B”. 
d) A taxa nominal de “B” é maior do que a taxa nominal de “A”. 
e) Os montantes finais são iguais. 
 
 
Pois bem, essa já se enquadra no que seria o modelo mais recente de questão. Daqui 
por diante, vamos combinar o seguinte: quando a questão vier com o asterisco (*), a 
gente resolve sem o auxílio da tabela financeira. Para todas as outras, a consulta à 
tabela continua. 
 
Foram dadas duas aplicações: 
 
 
Pessoa A 
 
CA = 100.000,00 
iA = 0,5% a.m. 
 
Pessoa B 
 
CB = 50.000,00 
iB = 6%a.a. nominal =0,5%a.m. efetiva
 
 
A banca diz que a capitalização é mensal em ambos os casos. Então, a primeira 
conclusão que podemos tirar é que estamos trabalhando com regime de juros 
compostos. Foi-nos fornecida a taxa nominal de B igual a 6% a.a., que equivale a 
uma taxa efetiva de 0,5% a.m. Para A, a taxa de 0,5% a.m. já é a própria taxa 
efetiva. 
 
E como ficam os montantes, sabendo que as taxas são iguais? Vamos montar a 
equação... 
 
n
AA )i1(CM += 
n
A )i1.(100000M += 
n
BB )i1(CM += 
n
B )i1.(50000M +=
 
 
Podemos achar uma relação entre MA e MB, igualando as equações... 
 
BA M50000
100000
M = 
 
BA M.2M = 
 
Como as taxas efetivas e os prazos de aplicação são iguais, bastava olhar para as duas 
equações anteriores e observar que CA é igual a 2CB! 
 
 
Agora, vamos olhar pela ótica dos juros, buscando uma relação entre eles... 
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CMJ −= 
AAA CMJ −= 
 
Sabemos que: BA M.2M = e BA C.2C = 
 
BBA C.2M.2J −= 
)CM.(2JBBA −= 
 
Como, BBB CMJ −= 
 
BA J.2J = 
 
 
Não precisaremos de todo esse “algebrismo” quando tivermos os conceitos de 
montante e juros mais consolidados na cabeça. Afinal, nesta questão, a única 
diferença entre as aplicações é que o capital inicial de A é o dobro do capital de B. 
 
 
Vamos às alternativas: 
 
a) Verdadeiro. 
 
b) Falso. Há proporcionalidade. Como vimos, JA = 2JB. 
 
c) Falso, pois as taxas efetivas são iguais. 
 
d) Falso. Neste item entendo que há uma imprecisão da banca. Não nos foi fornecida 
qual unidade da taxa nominal de A que devemos comparar a taxa nominal dada de B. 
Esta taxa de A poderia ser anual, semestral, trimestral, etc, desde que tenha como 
efetiva a taxa dada. Para salvar a questão, deveria vir escrito “A taxa nominal de B é 
maior que a taxa nominal anual de A”. Entretanto, como as taxas efetivas 
continuarão sendo iguais para quaisquer valores de taxa nominal, vamos aceitar como 
falsa a alternativa. 
 
e) Falso. Como vimos MA = 2MB. 
 
Gabarito A 
 
 
 
11- (TRF - TI 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à 
taxa de 3% ao mês por um prazo de seis meses enquanto o restante do 
capital foi aplicado à taxa de 3% ao mês, juros simples, no mesmo período de 
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seis meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as duas 
aplicações juntas renderam um juro de R$ 8.229,14 ao fim do prazo. 
 
a) R$ 22.000,00 
b) R$ 31.000,00 
c) R$ 33.000,00 
d) R$ 40.000,00 
e) R$ 44.000,00 
 
 
Metade do capital foi aplicada a juros simples e, outra metade, a juros compostos. 
Apesar dos capitais iniciais serem iguais, as capitalizações são em regimes diferentes, 
logo os montantes também serão diferentes... Vejamos: 
 
 
Juros simples 
 
2
C
 
i = 3% a.m. 
n = 6 meses 
 
 
)n.i1(
2
C
MS += 
)18,01(
2
C
MS += 
18,1
2
C
MS = 
Juros compostos 
 
2
C
 
i = 3% a.m. 
n = 6 meses 
 
 
n
C )i1(2
C
M += 
6
C )03,1(2
C
M = 
1940,1
2
C
MC =
 
 
Subtraindo o total do montante do total de juros, chegaremos ao capital inicial (J = M 
– C, não é mesmo?). Os juros totais foram dados: 8.229,14 
 
 
J = M1 + M2 – C 
 
C1940,1.
2
C
18,1.
2
C
14,8229 −+= 
2.
2
C
1940,1.
2
C
18,1.
2
C
14,8229 −+= 
374,0.C28,16458 = 
10,44006C = 
 
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De outra forma, também poderíamos chegar à resposta igualando os juros das duas 
aplicações ao valor do juro total fornecido: 
 
C.09,06.03,0.
2
C
JS == 
C.097026,0)1194052,1(
2
C
2
C
)03,01.(
2
C
J 6C =−=−+= 
 
 
Como 14,8229JJ CS =+ , teremos: 
 
14,8229C.09,0C.097026,0 =+ 
 
98,43999C = 
 
Gabarito E 
 
 
 
12- (TRF - TI 2006) Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros 
compostos à taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor mais próximo do 
montante ao fim de quinze meses usando a convenção linear. 
 
a) R$ 150.108,00 
b) R$ 151.253,00 
c) R$ 151.772,00 
d) R$ 152.223,00 
e) R$ 152.510,00 
 
 
Vamos agora entrar em um novo tópico: convenção linear e convenção exponencial. 
 
O problema em questão nos fornece a taxa de capitalização de 18% a. sem. com 
período de tempo de 15 meses. Essa capitalização semestral vai ocorrer por 2 
semestres + 3 meses. Ou seja, vai ocorrer num período fracionário de tempo (igual a 
2,5 semestres). É na parte fracionária deste período que serão aplicadas as 
convenções, ora linear, ora exponencial. 
 
Antes de prosseguirmos é importante observar que a capitalização semestral já é 
efetiva, por isso não podemos reduzi-la para taxa efetiva mensal como se ela fosse 
taxa nominal! 
 
 
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Na convenção linear aplica-se juro composto à parte inteira do tempo e, juro 
simples, à parte fracionada. 
 
 
Na convenção exponencial o juro composto se aplica à parte inteira e, também, à 
parte fracionada, que não pode ser expressa em números inteiros. 
 
 
 
A questão sempre vai dizer com qual convenção devemos trabalhar. 
 
Essa questão pede somente a linear, mas vamos resolver usando as duas convenções 
para melhor fixação. 
 
C = 100.000,00 
n = 2,5 semestres 
i = 18% a. sem. 
M = ? 
 
 
Convenção linear 
 
)n.i1.()i1.(CM n ++= 
)5,0.18,01.()18,01.(100000M 2 ++= 
)09,1.()18,1.(100000M 2= 
00,772.151M60,771.151M ≅∴= 
 
Convenção exponencial 
 
nn )i1.()i1.(CM ++= 
5,02 )18,01.()18,01.(100000M ++= 
5,02 )18,1.()18,1.(100000M = 
36,253.151M =
 
Quando as contas com expoente não são triviais, a banca costuma fornecer os valores. 
 
Note que o montante na convenção exponencial é menor do que na linear, ao 
contrario do que poderia parecer. Vamos observar o porquê disso no gráfico seguinte 
que nos mostra os crescimentos linear e exponencial de uma capitalização qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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M 
 
 Exponencial 
 
 
 
 
 
 
Linear 
 
 
 
 
 
 
 0 1 n 
 
 
Como, ao aplicarmos as convenções, nos referimos a 
parte fracionária (entre 0 e 1), o montante “M” na 
convenção linear será sempre maior que o mesmo 
montante “M”, aplicado a mesma taxa “i”, na 
convenção exponencial. 
 
 
 
Veja de que forma interessante a banca poderia cobrar uma questão teórica sobre as 
duas convenções... Com ajuda do gráfico, vemos porque que entre 0 e 1 (e somente 
neste intervalo) o montante na convenção linear será maior do que o mesmo montante 
na convenção exponencial. No ponto n = 1 elas serão iguais e, a partir daí, a coisa se 
inverte. 
 
A questão pede a resposta usando a convenção linear. 
 
Gabarito C 
 
 
 
13- (AFRF 2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses 
e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se 
aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a 
convenção linear? 
 
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a) 46,11% 
b) 48,00% 
c) 41,85% 
d) 44,69% 
e) 50,36% 
 
 
C 
n = 6 meses + 
30
10
mês = 6 meses + 
3
1
mês 
i = 6% am 
 
 
Já sabemos que na convenção linear, os juros calculados sobre a parte fracionária do 
tempo (10 dias) são juros simples. 
 
)n.i1.()i1(CM n ++= 
)
3
1
.06,01.()06,01(CM 6 ++= 
)02,1.()06,1(CM 6= 
4469,1.CM = 
 
 
Do princípio básico dos juros, temos: 
 
CMJ −= 
C4469,1.CJ −= 
)14469,1.(CJ −= 
4469,0.CJ = 
%69,44.CJ = 
 
Desta equação podemos verificar que os juros obtidos correspondem a 44,69% do 
capital inicial, quando adotamos a convenção linear. 
 
Nem precisaríamos vir até aqui para chegar à resposta... O juro não é em quanto 
aumenta o capital até chegar ao montante final? Olhando para equação 4469,1.CM = 
já poderíamos ter concluído. 
 
Gabarito D 
 
 
 
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14- (AFRF 2003) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao 
ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual 
do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em 
relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. 
 
a) 0,5% 
b) 1% 
c) 1,4% 
d) 1,7% 
e) 2,0% 
 
 
C 
n = 40% a.a. 
t = 1,5 anos 
 
 
Convenção linear 
 
)n.i1.()i1(CM nL ++= 
)20,1.()40,1(CM 1L = 
68,1.CML = 
 
 
 
 
Convenção exponencial 
 
nn
E )i1.()i1.(CM ++= 
5,01
E )40,1.()40,1.(CM = 
5,1
E )40,1.(CM = 
1,401,5 =1,656502 (fornecido) 
6565,1.CME =
 
A perda do montante de uma convenção em relação à outra é: 
 
0235,0.C6565,1.C68,1.CMM EL =−=− 
 
 
Perda percentualé quanto se perdeu em relação ao valor original. 
 
Exemplo rápido: um homem que pesava 80 Kg emagreceu 6 Kg. Qual a perda 
percentual? 
%5,7075,0
80
6
== 
 
 
Assim, na questão, a perda percentual do montante é a relação entre o valor perdido e 
o valor original da convenção linear: 
 
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%4,1%39,10139,0
68,1.C
0235,0.C
⇒== 
 
 
Confesso que essa foi umas das questões sobre convenções de mais difícil 
entendimento que eu já vi. 
 
Gabarito C 
 
 
 
15- (AFRF 2002-1) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao 
período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem 
do capital aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do 
montante. Considere ainda que: 
 
1,204 =2,0736; 
1,204,5 =2,271515 e 
1,205 =2,48832. 
 
a) 107,36% 
b) 127,1515% 
c) 128,096% 
d) 130% 
e) 148,832% 
 
 
Pelo montante, na convenção linear, temos: 
 
)n.i1.()i1(CM n ++= 
10,1.)20,1.(CM 4= 
10,1.0736,2.CM = 
28096,2.CM = 
 
A questão pede os juros como porcentagem do capital aplicado. Sem mais 
“algebrismos”, já sabemos que um fator de multiplicação de 2,28096 sobre o capital, 
significa um aumento de 128,096%. 
 
Gabarito C 
 
 
 
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16- * (Fiscal Natal/RN 2008) Apontando por V – Verdadeiro e F – Falso, 
indique a opção correta para as seguintes sentenças: 
 
I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dispostos numa 
seqüência histórica (de datas). 
II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma determinada taxa 
de juros, se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor atual, por 
exemplo). 
III. A taxa interna de retorno de um determinado fluxo de caixa é a taxa para 
a qual o valor atual do fluxo é nulo (igual a zero). 
 
a) V, F, V 
b) F, V, F 
c) V, V, V 
d) F, F, F 
e) V, V, F 
 
 
I- Como falamos na Aula 0, fluxo de caixa são séries de valores dispostos em ordem 
cronológica (de datas). Convencionamos estes valores com setas para baixo e para 
cima, representando as entradas e saídas. VERDADEIRO. 
 
II- Se em determinada data todas as entradas e saídas somadas tiverem o mesmo 
valor, estes fluxos de caixa são ditos equivalentes. Podemos, por exemplo, trazer os 
valores de dois ou mais fluxos para data focal zero. Se esses valores forem iguais, 
serão equivalentes. VERDADEIRO. 
 
III- Apesar de não fazer parte do nosso programa, este é o exato conceito de taxa 
interna de retorno (TIR). VERDADEIRO. 
 
Gabarito C 
 
 
 
17- (AFRF 2005) Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de 
R$50.000,00 em dois bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada 
no Banco A, à taxa de 3% ao mês. O restante dessa quantia foi aplicado no 
Banco B a taxa de 4% ao mês. Após um ano, Paulo verificou que os valores 
finais de cada uma das aplicações eram iguais. Deste modo, o valor aplicado 
no Banco A e no Banco B, sem considerar os centavos, foram, 
respectivamente iguais a: 
 
a) R$ 21.948,00 e R$ 28.052,00 
b) R$ 23.256,00 e R$ 26.744,00 
c) R$ 26.589,00 e R$ 23.411,00 
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d) R$ 27.510,00 e R$ 22.490,00 
e) R$ 26.477,00 e R$ 23.552,00 
 
 
Banco A 
 
CA 
i = 3% a.m. 
n = 12 meses 
 
n
AA i).(1CM += 
12
AA .(1,03)CM = 
.1,4258CM AA = 
 
Banco B 
 
CB = 50.000,00 – CA 
i = 4% a.m. 
n = 12 meses 
 
n
AB i)).(1C50000(M +−= 
12
AB ).(1,04)C50000(M −= 
).1,6010C50000(M AB −= 
.1,6010C80050M AB −=
 
Como BA MM = 
 
.1,6010C800504258,1.C AA −= 
 80050C . 3,0268 A = 
 00,26447CA ≅ 00,235532644750000CB =−≅∴ 
 
O primeiro gabarito foi “E” que, de fato, é a resposta mais próxima. Posteriormente, a 
questão foi anulada pela ESAF. 
 
Gabarito ANULADA 
 
 
 
Hoje vamos ficar por aqui. Na próxima aula veremos Descontos Simples. 
 
Forte abraço e até lá!!! 
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LISTA DE EXERCÍCIOS COMENTADOS DURANTE A AULA 
 
01- Que valor, aproximado, atinge uma aplicação de R$300,00 em um banco comercial 
a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês, durante 6 meses? 
 
a) R$ 542,00 
b) R$ 531,00 
c) R$ 529,00 
d) R$ 524,00 
e) R$ 521,00 
 
 
02- (TCE – TCM – RJ 2000) Uma pessoa pretende comprar um automóvel cujo valor é 
de R$14.048,66, exclusivamente com o rendimento de uma aplicação financeira no 
valor de R$20.000,00. Se a aplicação rende juros efetivos de 3% am, o prazo mínimo 
necessário da aplicação é de: 
 
a) 13 meses 
b) 15 meses 
c) 18 meses 
d) 20 meses 
e) 22 meses 
 
 
03- (Analista IRB – 2006) Um capital de 1.000 unidades monetárias foi aplicado 
durante um mês a 3% ao mês, tendo o montante ao fim do mês sido reaplicado no 
segundo mês a 4% ao mês e o montante no fim do segundo mês sido reaplicado no 
terceiro mês a 5% ao mês. Indique o montante ao fim do terceiro mês. 
 
a) 1,170 
b) 1.124,76 
c) 1.120 
d) 1.116,65 
e) 1.110 
 
 
04- (AFPS 2002) Calcule o montante obtido ao fim de dezoito meses por um capital 
unitário aplicado a uma taxa de juros nominal de 36% ao ano com capitalização 
mensal. 
 
a) 1,54 
b) 1,7024 
c) 2,7024 
d) 54% 
e) 70,24% 
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05- (Auditor Tesouro Municipal de Fortaleza – 2003) O capital de R$ 20.000,00 é 
aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o 
montante ao fim de dezoito meses de aplicação. 
 
a) R$ 27.200,00 
b) R$ 27.616,11 
c) R$ 28.098,56 
d) R$ 28.370,38 
 
 
06- (Analista IRB – 2004) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante 
três períodos com uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos 
como porcentagem do capital inicial aplicado. 
 
a) 30% 
b) 31,3% 
c) 32,2% 
d) 33,1% 
e) 34% 
 
 
07- (Analista IRB – 2004) Indique qual a taxa anual de juros compostos que equivale a 
uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. 
 
a) 24% 
b) 24,24% 
c) 24,48% 
d) 24,96% 
e) 26,8242% 
 
 
08- (TRF - TI 2006) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa 
nominal de 36% ao ano com capitalização mensal. 
 
a) 2,595% ao mês 
b) 19,405% ao semestre 
c) 18% ao semestre 
d) 9,703% ao trimestre 
e) 5,825 ao bimestre 
 
 
09- (Analista IRB – 2006) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à 
taxa de juros compostos de 4% ao mês. 
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a) 60% ao ano 
b) 30% ao semestre 
c) 24% ao semestre 
d) 10% ao trimestre 
e) 6% ao bimestre 
 
 
10- * (Fiscal Natal/RN 2008) Duas pessoas fizeram uma aplicação financeira. A pessoa 
“A” aplicou R$ 100.000,00, à taxa efetiva de juros de 0,5% a. m. e a pessoa “B” 
aplicou R$ 50.000,00, à taxa nominal de 6% a. a. Em ambos os casos as 
capitalizações são mensais e os juros serão pagos junto com o principal. Ao final de 1 
(um) ano podemos afirmar que: 
 
a) O juro recebido pela pessoa “A” é maior do que o juro recebido pela pessoa “B”. 
b) Não há proporcionalidade entre juros de “A” e “B”. 
c) A taxa efetiva de juros de “A” é maior do que a taxa efetiva de “B”. 
d) A taxa nominal de “B” é maior do que a taxa nominal de “A”. 
e) Os montantes finais são iguais. 
 
 
11- (TRF - TI 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa de 3% 
ao mês por um prazo de seis meses enquanto o restante do capital foi aplicado à taxa 
de 3% ao mês, juros simples, no mesmo período de seis meses. Calcule o valor mais 
próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 
8.229,14 ao fim do prazo. 
 
a) R$ 22.000,00 
b) R$ 31.000,00c) R$ 33.000,00 
d) R$ 40.000,00 
e) R$ 44.000,00 
 
 
12- (TRF - TI 2006) Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa 
de 18% ao semestre. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de quinze 
meses usando a convenção linear. 
 
a) R$ 150.108,00 
b) R$ 151.253,00 
c) R$ 151.772,00 
d) R$ 152.223,00 
e) R$ 152.510,00 
 
 
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13- (AFRF 2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez 
dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros 
obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? 
 
a) 46,11% 
b) 48,00% 
c) 41,85% 
d) 44,69% 
e) 50,36% 
 
 
14- (AFRF 2003) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano 
durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do 
montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu 
cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. 
 
a) 0,5% 
b) 1% 
c) 1,4% 
d) 1,7% 
e) 2,0% 
 
 
15- (AFRF 2002-1) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período 
durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital 
aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda 
que: 
 
1,204 =2,0736; 
1,204,5 =2,271515 e 
1,205 =2,48832. 
 
a) 107,36% 
b) 127,1515% 
c) 128,096% 
d) 130% 
e) 148,832% 
 
 
16- * (Fiscal Natal/RN 2008) Apontando por V – Verdadeiro e F – Falso, indique a 
opção correta para as seguintes sentenças: 
 
I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dispostos numa seqüência 
histórica (de datas). 
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II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma determinada taxa de juros, 
se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor atual, por exemplo). 
III. A taxa interna de retorno de um determinado fluxo de caixa é a taxa para a qual o 
valor atual do fluxo é nulo (igual a zero). 
 
a) V, F, V 
b) F, V, F 
c) V, V, V 
d) F, F, F 
e) V, V, F 
 
 
17- (AFRF 2005) Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$50.000,00 
em dois bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, à taxa de 
3% ao mês. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B a taxa de 4% ao mês. 
Após um ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicações eram 
iguais. Deste modo, o valor aplicado no Banco A e no Banco B, sem considerar os 
centavos, foram, respectivamente iguais a: 
 
a) R$ 21.948,00 e R$ 28.052,00 
b) R$ 23.256,00 e R$ 26.744,00 
c) R$ 26.589,00 e R$ 23.411,00 
d) R$ 27.510,00 e R$ 22.490,00 
e) R$ 26.477,00 e R$ 23.552,00