Livro Matematica - pgs 79-88-109-113

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Juros simples
Você já se surpreendeu, na hora de pagar uma conta, ao descobrir 
que devia um valor acima do esperado? Você se sente preparado 
matematicamente para decidir qual a melhor oferta, calculando as 
opções sem a influência do vendedor ou do marketing da venda? Para 
poder analisar e tomar decisões importantes no dia a dia, seja na vida 
profissional ou pessoal, o aprofundamento em Matemática Financeira é 
estritamente necessário. 
Neste capítulo será dado o primeiro passo desse aprofundamento 
a partir de uma introdução aos conceitos da área financeira e de um 
estudo mais detalhado do regime de juros simples, muito utilizado em 
empréstimos pessoais e na cobrança de mora sobre contas com atraso 
inferior a um mês.
objetivos do capítulo
Neste capítulo, você irá: 
entender a relação matemática entre tempo e dinheiro;
aprender os conceitos de capital, montante e taxa de juros;
conhecer os tipos de juros;
estudar o conceito de capitalização simples;
entender o que é equivalência de taxas e sua aplicação;
aprender o método hamburguês de avaliar contas em atraso.
Finanças e a Solução 
de Problemas
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11. Tempo e dinheiro
Apesar de numericamente similar, receber 100 reais hoje não 
é a mesma coisa que receber 100 reais apenas no mês que vem. Se 
você fez uma aplicação, um investimento ou emprestou uma quantia a 
alguém, o tempo que aguarda para ter esse dinheiro de volta precisa ser 
recompensado de alguma forma. O cálculo dessa espécie de recompensa 
é o que se chama de juros, que se baseiam em porcentagens da quantia 
principal em torno de um período de tempo previamente determinado.
Você já conseguiu se imaginar imerso no mundo do trabalho sem 
ter uma conta no banco? Desde o século XII, quando foram criadas, 
as instituições bancárias ganharam força econômica e política e estão 
presentes em diversas ações do cotidiano de grande parte da sociedade.
Ainda que os sistemas econômicos de certos países tenham 
características específicas, alguns conceitos como capital, juros, 
montante e taxas são universais, e serão vistos mais detalhadamente 
neste capítulo. 
2. Capital, montante e taxa de juros
Os termos mais comuns em Matemática Financeira estão listados 
a seguir.
 • C → capital: valor ou quantia empregada na transação, seja ela de 
aplicação ou empréstimo. Também é chamado de principal, valor 
aplicado ou capital inicial.
 • i → taxa de juros: uma fração centesimal, ou seja, uma taxa percentual 
que incide sobre o capital inicial ou sobre o saldo anterior. As taxas 
ocorrem em períodos que são descritos pelas abreviações:
 » a.d. → ao dia. Exemplo: se uma taxa de juros for 0,01% a.d. 
significa que essa taxa será aplicada ao final de cada dia;
 » a.m. → ao mês. Exemplo: se uma taxa de juros for 7% a.m. 
significa que essa taxa será aplicada ao final de cada mês;
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 » a.s. → ao semestre. Exemplo: se uma taxa de juros for 12% a.s. 
significa que essa taxa será aplicada ao final de cada seis meses;
 » a.a → ao ano. Exemplo: se uma taxa de juros for 25% a.a. significa 
que essa taxa será aplicada ao final de cada ano.
Dependendo do caso, a taxa de juros pode ser aplicada em outros 
intervalos de tempo como quinzenal, bimestral etc.
 • t → tempo: intervalo de duração da operação financeira. Na resolução 
de problema, o tempo e as taxas devem estar ajustados na mesma 
unidade. Exemplo: 2% a.m. em um período de 28 meses.
 • J → juros: a recompensa pelo tempo que o dinheiro foi emprestado ou 
aplicado, ou seja, quantia gerada pela taxa durante o prazo estabelecido.
 • M → montante: valor acumulado no final da transação, ou seja, capital 
inicial + juros. Logo, pode-se escrever que: M = C + J.
ATENÇÃO!
Pode acontecer de a taxa estar baseada em um intervalo de tempo 
diferente do intervalo de cálculo. Exemplo: a taxa de juros incide 
por mês, mas o intervalo de tempo para cálculo é de poucos dias. 
Mais à frente você verá como resolver essa questão, equiparando 
as unidades do tempo e das taxas.
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33. Tipos de juros
Existem basicamente dois tipos de juros: simples e compostos. 
 • Juros simples: são calculados sempre em torno do capital. Em uma 
situação de regime de juros simples, se você aplica R$100,00 sob a 
taxa de 7% a.m. significa que a cada mês você receberá R$7,00 de 
juros (7% de 100). Logo, esse é um caso de crescimento linear, um 
exemplo típico de progressão aritmética.
 • Juros compostos: são calculados sempre em torno do saldo 
anterior. Em uma situação de regime de juros compostos, se você 
aplica R$100,00 sob a taxa de 7% a.m., significa que no primeiro 
mês os juros serão R$7 (7% de 100); porém, no segundo mês, os 
juros serão de 7% de R$107,00, que é o montante do primeiro mês. 
No terceiro mês os 7% serão em cima do montante do segundo mês 
e assim sucessivamente. Logo, esse é um caso de crescimento 
exponencial, um exemplo típico de progressão geométrica.
 / Crescimento linear > de um termo para o seu sucessivo (seguinte) é 
sempre somado um mesmo valor.
 / Progressão aritmética > sequência numérica na qual a cada 
termo subsequente soma-se o mesmo valor, chamado de razão 
e representado por r. Cada termo pode ser obtido também como a 
média aritmética de seus dois vizinhos. 
 / Crescimento exponencial > de um termo para o seu sucessivo 
(seguinte) é sempre multiplicado o mesmo valor, diferente de zero.
 / Progressão geométrica > sequência numérica na qual a cada termo 
subsequente multiplica-se o mesmo valor diferente de zero, chamado 
de razão e representado por q. Cada termo pode ser obtido também 
como a média geométrica de seus dois vizinhos.
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A fim de melhor entender a diferença entre esses dois regimes, 
observe a Tabela 5.1, que apresenta duas aplicações com a mesma 
quantia, mesmo tempo e mesma taxa, porém em regimes distintos. A 
primeira coluna está sob o regime de juros compostos e a segunda sob o 
regime de juros simples. 
Tabela 5.1: Diferença de cálculo entre juros simples e juros compostos
Mês Montante sob juros compostos
Montante sob 
juros simples
0 (inicial) R$100,00 R$100,00
1 R$110,00 R$110,00
2 R$121,00 R$120,00
3 R$133,00 R$130,00
36 R$3.091,27 R$460,00
42 R$5.476,37 R$520,00
48 R$9.701,72 R$580,00
Fonte: Nascimento (2018).
Note que no regime de juros simples tem-se uma sequência à qual são 
somados sempre R$10,00 (resultado de 10% de R$100,00). Isso porque 
a taxa é aplicada somente ao capital inicial; logo, sempre será somado 
o mesmo valor a cada mês. Já no regime de juros compostos tem-se 
uma sequência que é sempre multiplicada por 1,1. Isso porque a taxa de 
juros é aplicada em cima do mês anterior, e calcular o montante de um 
acréscimo de 10% é o mesmo que multiplicar a quantia por 110%, o que 
corresponde a 110/100 = 1,10 = 1,1.
Por conta disso, na prática, o regime de juros compostos torna-
-se muito mais comum do que o regime de juros simples, tanto nas 
transações em território nacional quanto internacional, por trazer uma 
devolução maior e por aumentar a duração do tempo de aplicação ou 
Capital inicial = 100 reais i = 10% a.m. t = 48 meses
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dívida. Em outras palavras, quanto mais tempo dura uma aplicação ou 
empréstimo sob juros compostos, maiores serão os juros calculados ao 
final desse tempo. 
No entanto, até o primeiro vencimento (primeiro mês se a taxa for 
a.m., primeiro dia se a taxa for a.d.), o regime de juros simples se torna 
mais vantajoso para quem irá receber o dinheiro. Isso faz com que muitas 
empresas adotem o regime misto: até o primeiro vencimento, caso precise 
ser calculada uma fração daquele tempo, trabalham sob regime de juros 
simples. Após esse período, trabalham sob o regime de juros compostos.
No exemplo retratado na Tabela 5.1, a aplicação foi de R$100,00 a uma 
taxa de juros de 10% a.m., com juros simples e com juros compostos. Na 
Figura5.1, você confere o comparativo dos montantes. 
Figura 5.1: Comparativos dos montantes sob regime de 
juros simples x juros compostos
Fonte: Nascimento (2018).
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0 
(in
ic
ia
l)
R$0
R$4.000
R$8.000
R$2.000
R$6.000
R$10.000
R$12.000
Montante com juros 
compostos
Montante com juros 
simples
M
o
n
ta
n
te
 e
m
 r
ea
is
Meses
3 52 4 6 12 18 24 4230 4836
Juros simples x juros compostos 
em uma unidade de tempo
Juros 
simples
Juros 
compostos
Tempo
Montante
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C
a b
Capital inicial = 100 reais i = 10% a.m. t = 48 meses
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Como nos juros simples o crescimento é linear, essa modalidade está 
representada pela reta no gráfico B. Já nos juros compostos, o cresci-
mento é exponencial, portanto essa modalidade é representada pela cur-
va. Observe que o mesmo comportamento da Tabela 5.1 se repete: a apli-
cação de juros compostos é mais vantajosa para quem recebe do que a 
de juros simples, principalmente se for considerado um longo prazo (veja 
o gráfico A).
Agora observe mais atentamente os gráficos e analise o comportamento 
desses dois regimes antes de completar uma unidade de tempo. Para facilitar 
a investigação, considere um capital inicial qualquer C e a mesma taxa de 
juros para ambos os casos: juros simples e compostos (veja o gráfico B). 
Nesse cenário, percebe-se que se uma taxa de juros mensal incide sobre 
uma fração do primeiro mês, o retorno será maior se for utilizado juros 
simples. Em síntese, antes de se completar uma unidade de tempo, os juros 
simples são mais vantajosos que os juros compostos para quem recebe. 
É nesse cenário que o regime de juros simples é mais praticado. Um 
exemplo é o cálculo de mora no atraso de contas como luz, gás e internet, 
uma vez que, normalmente, o usuário percebe que atrasou o pagamento, 
no máximo, ao chegar a conta do mês seguinte. 
Como no regime de juros simples a taxa é aplicada 
sempre sobre o capital inicial, será sempre somado o 
mesmo valor. Sendo assim, todo regime de juros simples pode 
ser representado graficamente por uma reta, pois se trata de uma 
função afim baseada na progressão aritmética. 
Função afim, também chamada de função polinomial do 1º grau, 
é uma função que representa as situações em que a taxa de 
variação é constante. Sua lei de função é do tipo f(x) = ax + b, onde 
o coeficiente a é essa taxa de variação, b o termo independente 
(também chamado de coeficiente linear) e x, a variável. 
SAIBA 
 MAIS!
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44. Capitalização simples
Como já foi visto anteriormente, regime de juros simples ou 
capitalização simples, como também é chamado, é aquele em que a taxa 
de juros incide somente sobre o capital inicial. Ela não incide sobre os 
juros acumulados. Com isso, tem-se as fórmulas a seguir.
 • Para calcular os juros:
J = C ∙ i ∙ t 
Onde:
J  Juros. C  Capital. i  Taxa de juros. t  Tempo.
 • Para calcular o montante:
M = C + J
Onde:
M  Montante. C  Capital. J  Juros.
Se preferir, pode unir as duas fórmulas em apenas uma, substi-
tuindo o J:
M = C + J
M = C + C ∙ i ∙ t
M = C ∙ (1 + i ∙ t)
Para que você compreenda na prática, analise algumas situações- 
-problema envolvendo capitalização simples.
 Márcio precisou fazer um empréstimo de emergência com seu tio 
para poder reformar sua loja após uma enchente na região. Contudo, 
ele só pôde pagar após um ano. O tio de Márcio fez então a seguinte 
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proposta: empréstimo de R$1.000,00, a ser resgatado por R$1.350,00 
no final de um ano sob o regime de juros simples. Qual a taxa de juros 
então que Márcio calculou?
M = C + J
Montante  R$1.350,00
Capital inicial  R$1.000,00
Juros  J = M - C R$350,00
J = C ∙ i ∙ t 
Taxa de juros anual  i = juros gerados
 capital inicial 
 i = 350/1.000 = 35/100 = 0,35 = 35% a.a.
A taxa de juros é representada em percentual e em base unitária.
Percentual = 35% a.a.
Unitária = 0,35 a.a.
Logo, a taxa proposta foi de 35% ao ano.
 Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de 
R$20.000,00 pelo prazo de 15 meses sabendo-se que a taxa cobrada é 
de 3% a.m.?
 
C = 20.000
t = 15 meses
i = 3% a.m.
J = ?
Logo, os juros foram de R$9.000,00.
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J = C ∙ i ∙ t
J = 20.000 ∙ 0,03 ∙ 15
J = 9.000
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 Uma conta de R$270,00 está em atraso de 10 dias e o juro de mora 
por atraso é de 14% a.m. Se a conta for paga, qual será o valor de mora, 
sabendo-se que será correspondente aos juros simples nesse período?
C = 270
i = 14% a.m.
t = 10 dias  t = 10/30 do mês
Logo, a pessoa pagará R$12,59 de juros pelo atraso na conta.
5. Equivalência de taxas
Se você quiser ajustar a unidade entre a taxa de juros e o tempo, 
pode usar partes fracionadas do tempo ou da taxa ou, em outros casos, 
multiplicar uma das grandezas de modo proporcional.
Como se trata do regime de juros simples, para converter a taxa diária 
em mensal, por exemplo, basta multiplicar a taxa diária por 30; se tiver a 
taxa mensal e desejar uma taxa anual, basta multiplicar por 12, e assim 
por diante. Veja os exemplos a seguir. 
 • Taxa de 3% a.m. e tempo de dois bimestres: na hora de efetuar os 
cálculos, use t = quatro meses para ter a unidade compatível com a taxa.
 • Taxa de 8% a.a. e tempo de 36 meses: na hora de efetuar os 
cálculos, use t = três anos para ter a unidade compatível com a taxa.
6. Avaliando contas em atraso: método hamburguês
O método hamburguês é um sistema de cálculo criado na cidade de 
Hamburgo (Alemanha), utilizado pelos bancos para contar juros em conta 
corrente em forma de crédito rotativo (o famoso cheque especial), a fim 
de determinar os encargos financeiros sobre o saldo devedor por meio 
da capitalização simples. Em outras palavras, trata-se de uma conta de 
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J = C ∙ i ∙ t
J = 270 ∙ 0,14 ∙ 10/30
J = 12,59
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 / Sistema financeiro > conjunto de instituições financeiras que fazem 
a intermediação de recursos, de credores para devedores, entre os 
agentes financeiros (pessoas, empresas, governo).
1. Conceitos usados no regime de juros compostos
No sistema de capitalização a juros compostos, os termos utilizados 
são os mesmos que no sistema de capitalização a juros simples.
1.1 JUROS COMPOSTOS COM TAXAS DE JUROS CONSTANTES
Imagine um capital C aplicado sob juros compostos, a uma taxa de 
juros i, durante n períodos. A Tabela 7.1 mostra o cálculo do montante 
nesse regime.
Tabela 7.1: Cálculo do montante no regime de juros compostos
A tabela continua com esse padrão até o enésimo período. Portanto, 
pode-se generalizar o enésimo montante por meio da fórmula:
Mn = C (1 + i)
n
A taxa de juros e o prazo sempre devem estar na mesma uni-
dade de tempo para se aplicar a fórmula.
ATENÇÃO!
Períodos (n) Montante (M)
1 M1 = C (1 + i)¹
2 M2 = M1 (1 + i) = C (1 + i)
2
3 M3 = M2 (1 + i) = C (1 + i)
3
... ...
... ...
Fonte: Brião (2018).
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 / Quitar > concluir os pa-
gamentos de uma dívida 
contraída.
Fonte: Brião (2018).
Veja agora uma aplicação bancária da taxa de juros composta. 
Suponha que Daniel vá à financeira Amigos Que Emprestam e contrate um 
empréstimo de R$5.000,00, para pagar após oito meses, à taxa de juros 
composta de 5% a.m. Quanto ele pagará no final do período? Quanto ele 
pagará a mais em relação ao capital inicial? E se ele escolhesse quitar a 
dívida antes do oitavo mês, seria vantajoso para ele? Por quê?
Solução:
1o passo: Organizar os dados em 
uma tabela.
2o passo: Calcular o montante que 
Daniel iria pagar se quitasse do 
primeiro até o oitavo mês da dívida.
Tabela 7.2: Cálculo do montante a ser pago no período de oito meses
Analisando os dados da tabela, conclui-se que Daniel pagará no final do 
período M8 = R$7.387,28, ou seja, R$2.387,28 a mais em relação ao capital 
inicial. Mas se ele quitasse essa dívida no 1o mês pagaria R$5.250,00, isto 
é, R$250,00de juros, um valor bem menor. Portanto, não é vantajoso para 
Daniel tomar um empréstimo a um prazo tão longo, pois, a cada mês que 
passa, o montante devido sofre um aumento considerável.
Esse exemplo mostra que o ideal mesmo é não contrair dívidas. Mas, 
se essa for a única opção para abrir uma empresa, reformar/comprar 
uma casa, cursar uma faculdade ou para emergências, é preciso tomar 
Período Capital inicial Juros no período Montante a ser pago
1o mês C = 5.000,00 (1 + 0,05)1 M1 = 5.000 (1 + 0,05)
1 = 5.250,00
2o mês M1 = 5.250,00 (1 + 0,05)
2 M2 = 5.000 (1 + 0,05)
2 = 5.512,50
3o mês M2 = 5.512,50 (1 + 0,05)
3 M3 = 5.000 (1 + 0,05)
3 = 5.788,13
4o mês M3 = 5.788,13 (1 + 0,05)
4 M4 = 5.000 (1 + 0,05)
4 = 6.077,53
5o mês M4 = 6.077,53 (1 + 0,05)
5 M5 = 5.000 (1 + 0,05)
5 = 6.381,41
6o mês M5 = 6.381,41 (1 + 0,05)
6 M6 = 5.000 (1 + 0,05)
6 = 6.700,48
7o mês M6 = 6.700,48 (1 + 0,05)
7 M7 = 5.000 (1 + 0,05)
7 = 7.035,50
8o mês M7 = 7.035,50 (1 + 0,05)
8 M8 = 5.000 (1 + 0,05)
8 = 7.387,28
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cuidado com os juros muito altos, com as taxas variáveis (que ainda serão 
estudadas) e com os prazos muito longos, porque você poderá ficar 
devendo mais do que o dobro do valor emprestado.
As taxas de juros praticadas podem ser consideradas 
altas quando estão muito acima da média praticada 
no mercado. A taxa de juros Selic, por ser a taxa básica de juros 
da economia brasileira, serve como parâmetro e base para todas 
as outras taxas de juros. A taxa Selic é obtida a partir do cálculo 
da taxa média ponderada dos juros praticados pelas instituições 
financeiras. Quanto maior estiver uma taxa de juros em relação à 
taxa Selic, mais ela será considerada uma alta taxa de juros.
1.2 JUROS COMPOSTOS COM TAXAS DE JUROS VARIÁVEIS
Pode ser que em um contrato de financiamento esteja estipulado 
que os juros compostos podem variar de acordo com a economia do país 
ou que as taxas de rentabilidade de um fundo de investimento podem 
ser variáveis mês a mês. Em ambos os casos, calcula-se o montante em 
cada mês da seguinte forma:
M1 = C (1 + i1)
M2 = M1 (1 + i2)
...
Mn = Mn-1 (1 + in)
Considere o seguinte exemplo: em janeiro deste ano, um lote de 
ações de uma empresa valia R$120,00. A investidora Marta comprou 
um lote e vai vendê-lo no final de fevereiro. Sabendo que, nos meses de 
janeiro e fevereiro, o lote de ações dessa empresa valorizou 15% e 27%, 
respectivamente, qual será o lucro (valor ganho a mais) da investidora na 
venda do lote de ações?
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Aplicando a fórmula Mn = Mn-1 (1 + in), tem-se:
 • No fim do mês de janeiro: M = 120 (1 + 0,15) → M = 120 · 1,15 → 
M = 138
 • No fim do mês de fevereiro: M = 138 (1 + 0,27) → M = 138 · 1,27 → 
M = 175,26
 • Juro (J): R$175,26 - R$120,00 = R$55,26
Logo, a investidora Marta terá um lucro de R$55,26 pela venda de seu 
lote de ações.
 / Contrato de financiamento > documento que valida um acordo 
financeiro feito entre a parte que financia os bens ou recursos e a 
parte que toma o financiamento.
 / Taxas de rentabilidade > são índices ou indicadores usados para 
medir a produção de rendimento de investimentos, ou seja, o retorno 
deles sobre o capital inicial.
 / Fundo de investimento > tipo de investimento que é feito de maneira 
coletiva. São exemplos de fundo de investimento os fundos de renda 
fixa, de ações, fundos de investimento imobiliário etc.
1.3 JUROS, FUNÇÕES E PROGRESSÕES
Regime de capitalização é um sistema estabelecido para gerar renda. 
Ele pode ser de dois tipos: regime de capitalização a juros compostos 
(regime de capitalização acumulada) ou regime de capitalização a juros 
simples (regime de capitalização simples). Mas qual é o melhor? A 
resposta depende do período ou do tempo em que o capital é investido. 
Se o período for pequeno, menor ou igual a um tempo (se o prazo 
estipulado for um mês, seria o período equivalente a um mês ou menos), 
são usados os juros simples.
Observe a Figura 7.1. O capital aplicado a juros simples é re-
presentado por uma reta, já que o montante M = C (1 + in) é uma 
função afim e, portanto, seu crescimento é linear. Já o capital aplicado a juros