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Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap5

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5 
Integral de Superfície 
5.1. 
Integral de Superfície de Campo Escalar 
Aplicaremos o conceito de uma integral de linha àquele de uma integral definida sobre a 
superfície. Considerando uma região fechada no plano xy. Usaremos o símbolo D, para 
denotar uma região no plano xy. 
Seja S uma superfície parametrizada por: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
)v,u(z
)v,u(y
)v,u(x
σ (5.1) 
 
→σ (u,v) = x(u,v) →i + y(u,v) →j + z(u,v) →k , (u,v) ∈ D. 
E f(x,y,z) uma função real contínua definida em S. A integral de superfície de f sobre S é 
definida por: 
 ∫∫
s
dSf (5.2) 
Discutindo sobre a área de uma superfície chega-se a seguinte conclusão: 
 vu
v
X
uij
S ΔΔσσΔ ∂
∂
∂
∂= (5.3) 
onde 
u∂
∂σ e 
v∂
∂σ são os vetores tangentes. Concluí-se que: 
 ∫∫∫∫ =
DS
dSvuσfdSzyxf )),((),,( (5.4) 
Tem-se que: 
dudv
v
X
u
dS ∂
∂
∂
∂= σσ (5.5) 
 Já que: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
),(
),(
),(
vuz
vuy
vux
σ
 (5.6) 
 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
59
v
z
v
y
v
x
u
z
u
y
u
x
kji
v
X
u
n
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂=∂
∂
∂
∂=
→→→
→ σσ (5.7) 
 
Suponha que S seja uma superfície sobre D e tenha equação z = g(x,y), onde suas 
derivadas parciais são contínuas em D. Então teremos: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
=
),( yxgz
yy
xx
σ
 (5.8) 
 
Onde: 
→→→
→→→
+∂
∂−∂
∂−=
∂∂
∂∂=∂
∂
∂
∂ kj
y
gi
x
g
y
g10
x
g01
kji
y
X
x
σσ (5.9) 
 
 
dxdy
y
g
x
g1
y
X
x
22
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+=∂
∂
∂
∂ σσ (5.10) 
 
 
Se S é definida explicitamente pela equação z = g(x,y), ( x , y ) ∈ D, vale raciocínio 
análogo ao cálculo da área de S. Ou seja, 
dydx
y
g
x
gyxgyxfdSf
Ds
∫∫∫∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+=
22
1)),(,,(
 (5.11) 
 
Se f(x,y,z) = 1 sobre S, a equação acima se reduz ao cálculo da área de S. 
Se uma equação da superfície S for da forma y = g(x,z) e S for projetada sobre uma 
região D no plano xz, sendo g e suas derivadas parciais primeiras contínuas em D, então, 
seguindo o raciocínio anterior, tem-se: 
 dzdx
z
g
x
g1)z),z,x(g,x(fdSf
D
22
s
∫∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+= (5.12) 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
60
Além disso, se uma equação da superfície S for da forma x = g(y,z) e S for projetada 
sobre uma região D no plano yz, sendo g e suas derivadas parciais primeiras contínuas em D, 
então: 
 
dzdy
z
g
y
gzyzygfdSf
Ds
∫∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+=
22
1),),,((
 (5.13) 
Exercícios : 
1) Calcule ∫∫ dSy onde S á a superfície 2010,2 ≤≤≤≤+= yexyxz . 
Solução: 
( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ]
( )
3
21301
3
213
3
213
3
213
3
213
252
12
122254
12
1
222318
12
1221818
3
2
8
1
2
3
218
3
2
8
1
3
2
8
1
8
18284242
2111
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
18
2
1
0
1
0
18
2
1
0
2
0
22
1
0
2
0
22
22
2
2
3
2
3
2
3
2
1
=−
==
==−
=−⋅=−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅−⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅
≤≤=⇒+=+
++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+=
+===
∫∫
∫∫
∫∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫∫ ∫∫
xdxdx
dxdx
dxdx
dxdxudxduu
udyyduyudydxyy
dydxyydxdy
y
z
x
zydSf
yxzyyxx
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
61
2) Calcule a integral de superfície ∫∫
S
dsx 2 , onde S é a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. 
Solução: 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) [ ]
3
4
3
40
3
220cos4cos
4
1
3
1
3
10coscoscos
4
102
2
1
3
cossen
4
1
2
1
4022sen2cos
2
1
2
1
cossensen
2
2cos
2
1
11sencoscossensencos
cossencos1sencossen
sensencossensencossensen
cossensencossencossensensencossen
cossensensencossen
cossensensencossen
sencoscossensensencossen
cossensencossensensencoscossen
0cossensensen
sensencoscoscos
cossen
20
0
cossensencossen:
4
0
1
1
3
0
4
0
2
0
1
1
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
2
2
0
2
2
0 0
22
2
0 0
22
2222224
22224222424
22222
22
2222
2222
2
0 0
22
2
0 0
2
ππππ
ππφθ
πθθφφθθθ
φφφφφθθ
φφφφφφφθθ
θφθφφθφφθφ
φφφφφφφφ
φφθθφφφθφθφ
φφθφθφθ
σ
φ
σ
φφθφθφ
θθφφθφθφ
θφθφφθφθφφ
θφθφ
φθφθφθ
σ
φ
σ
θφθ
σ
φ
σθφ
θφθ
σ
φ
σ
πθ
πφ
φθφθφ
ππππ
ππ π
πππ
ππ
ππππ
ππ
ππ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−++−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⋅
≤≤=⇒=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−≤≤−=⇒==−
=−=⋅
==+=+=
++=++=
++=∂
∂
∂
∂
++=
+++=
+++=
−
−=∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂⋅
∂
∂
∂
∂=
⎩⎨
⎧
≤≤
≤≤
===
−
−
∫
∫∫∫ ∫
∫∫∫
∫∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫∫
uuduu
udduuduuddd
ddd
udduudd
dddd
X
kji
kji
ikjk
kji
X
ddX
ddXxdSf
zyxaçãoParametriz
 
 
 
 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
62
3) Calcule onde f(x, y, z) = x +3z2, M sendo a parte do plano z = y limitada pela superfície 
x2 + y2 = 9. 
Solução: 
 Seja a parametrização ),,(),( yyxyx =σ 
 
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
[ ] [ ] ( ) ( )
4
22430
16
22432
8
2243
0sen4sen
16
224302
8
2243sen
16
2243
8
22430
cos
16
2243
8
22430sen2sen29
4022Fazendo
2
2cos
2
1
4
2243sen29sen
4
243cos92
sen
4
243cos0
3
272sen
4
3cos
3
2
sen3cos2sen3cos2
30
20
sencos
polares scoordenadaparaPassando
3223
21011
4
0
2
0
4
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
3
0
43
0
3
2
0
232
3
0
2
0
22
3
0
22
22
ππ
ππθ
θπ
πθθ
θθθθθθθ
θθθθθθ
θθθθθθ
πθθθ
ππ
ππ
π
π
ππ
ππ
ππ
=⋅−⋅=
=−−−=−+=
=−+−
≤≤=⇒=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=+
⎩⎨
⎧
≤≤
≤≤==
=+=⋅+=
=++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+=
∫∫
∫∫∫
∫∫
∫ ∫∫ ∫
∫∫∫∫∫∫
u
duud
udduu
ddd
ddrr
drdrrdrdrrr
r
ryrx
dxdyyxdxdyzxdSf
dxdydxdydxdy
y
z
x
zdS
 
 
5.2. 
Integral de Superfície de Campo Vetorial 
Do mesmo modo que um campo vetorial pode ser integrado sobre uma curva, ele pode 
ser integrado sobre uma superfície. Para cada paralelogramo que forma um elemento de área 
da superfície, nós nomeamos uma componente normal do campo vetorial de algum ponto 
interior. Como a divisão da superfície é refinada, a soma do produto da área do paralelogramo 
e a componente normal do campo vetorial são a integral do campo vetorial sobre a superfície, 
geralmente escrita por: 
∫∫ →→
S
dSn.F (5.14) 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
63
onde dS é usado para representar o “elemento de área”, e 
→
n é o vetor normal. 
 
Seja S uma superfície parametrizada por: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
),(
),(
),(
vuz
vuy
vux
σ
 (5.15) 
→σ (u,v) = x(u,v) →i + y(u,v) →j + z(u,v) →k , (u,v) ∈ D. 
A esta superfície são associados dois campos de vetores normais unitários: 
 
 
 
 
 
Figura 5.1- Vetores normais unitários associados à superfície S. 
v
X
u
v
X
u))v,u((n1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=→ σσ
σσ
σ 
 (5.16) 
e 
))v,u((n))v,u((n 12 σσ
→→ −= 
 (5.17) 
Onde v
X
u ∂
∂
∂
∂ σσ
 é a normal do produto vetorial e 
→
1n é o versor normal. 
O versor normal para a superfície tem um papel fundamental, deve haver um versor 
normal 
→
n para cada ponto (x,y,z) de modo que varie continuamente sobre S. Então a 
superfície S é chamada de uma superfície orientada. Dizemos que S está orientada se fixarmos 
sobre S um tal campo de vetores. 
Seja 
→
F um campo vetorial contínuo definido em uma superfície orientada S 
parametrizada por σ(u,v), (u,v) ∈ D. Sabe-se que: 
dudv
v
x
u
dS ∂
∂
∂
∂= σσ (5.18) 
Então definimos a integral de superfície de 
→
F sobre S por: 
n1 
n2 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
64
∫∫∫∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂∂∂∂=∂∂∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⋅=⋅ →→→→
DDS
dudv
v
X
u
Fdudv
v
X
u
v
X
u
v
X
uFdSnF σσσσσσ
σσ
 
 (5.19) 
Se 
→→ = 1nn , a integral muda de sinal. Esta integral é o fluxo de 
→
F através da superfície S. 
Quando S é definida explicitamente pela função z = g ( x , y ), ( x , y ) ∈ D, temos: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
=
),( yxgz
yy
xx
σ
 (5.20) 
Nesse caso, 
 
y
X
x
y
X
xn
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=→ σσ
σσ
 (5.21) 
Sendo que: 
 
→→→ +∂
∂−∂
∂−⇒
∂∂
∂∂=∂
∂
∂
∂ k
y
gj
x
gi
y
g10
x
g01
kji
y
X
x
σσ (5.22) 
 22
y
g
x
g1
kj
y
)y,x(g