12 pág.
Denunciar
Pré-visualização | Página 1 de 3
5 Integral de Superfície 5.1. Integral de Superfície de Campo Escalar Aplicaremos o conceito de uma integral de linha àquele de uma integral definida sobre a superfície. Considerando uma região fechada no plano xy. Usaremos o símbolo D, para denotar uma região no plano xy. Seja S uma superfície parametrizada por: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = )v,u(z )v,u(y )v,u(x σ (5.1) →σ (u,v) = x(u,v) →i + y(u,v) →j + z(u,v) →k , (u,v) ∈ D. E f(x,y,z) uma função real contínua definida em S. A integral de superfície de f sobre S é definida por: ∫∫ s dSf (5.2) Discutindo sobre a área de uma superfície chega-se a seguinte conclusão: vu v X uij S ΔΔσσΔ ∂ ∂ ∂ ∂= (5.3) onde u∂ ∂σ e v∂ ∂σ são os vetores tangentes. Concluí-se que: ∫∫∫∫ = DS dSvuσfdSzyxf )),((),,( (5.4) Tem-se que: dudv v X u dS ∂ ∂ ∂ ∂= σσ (5.5) Já que: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ),( ),( ),( vuz vuy vux σ (5.6) Capítulo 5- Integral de Superfície 59 v z v y v x u z u y u x kji v X u n ∂∂∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂∂=∂ ∂ ∂ ∂= →→→ → σσ (5.7) Suponha que S seja uma superfície sobre D e tenha equação z = g(x,y), onde suas derivadas parciais são contínuas em D. Então teremos: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = = ),( yxgz yy xx σ (5.8) Onde: →→→ →→→ +∂ ∂−∂ ∂−= ∂∂ ∂∂=∂ ∂ ∂ ∂ kj y gi x g y g10 x g01 kji y X x σσ (5.9) dxdy y g x g1 y X x 22 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+=∂ ∂ ∂ ∂ σσ (5.10) Se S é definida explicitamente pela equação z = g(x,y), ( x , y ) ∈ D, vale raciocínio análogo ao cálculo da área de S. Ou seja, dydx y g x gyxgyxfdSf Ds ∫∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+= 22 1)),(,,( (5.11) Se f(x,y,z) = 1 sobre S, a equação acima se reduz ao cálculo da área de S. Se uma equação da superfície S for da forma y = g(x,z) e S for projetada sobre uma região D no plano xz, sendo g e suas derivadas parciais primeiras contínuas em D, então, seguindo o raciocínio anterior, tem-se: dzdx z g x g1)z),z,x(g,x(fdSf D 22 s ∫∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+= (5.12) Capítulo 5- Integral de Superfície 60 Além disso, se uma equação da superfície S for da forma x = g(y,z) e S for projetada sobre uma região D no plano yz, sendo g e suas derivadas parciais primeiras contínuas em D, então: dzdy z g y gzyzygfdSf Ds ∫∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+= 22 1),),,(( (5.13) Exercícios : 1) Calcule ∫∫ dSy onde S á a superfície 2010,2 ≤≤≤≤+= yexyxz . Solução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 3 21301 3 213 3 213 3 213 3 213 252 12 122254 12 1 222318 12 1221818 3 2 8 1 2 3 218 3 2 8 1 3 2 8 1 8 18284242 2111 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 18 2 1 0 1 0 18 2 1 0 2 0 22 1 0 2 0 22 22 2 2 3 2 3 2 3 2 1 =− == ==− =−⋅=− =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅−⋅=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⋅ ≤≤=⇒+=+ ++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+= +=== ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ xdxdx dxdx dxdx dxdxudxduu udyyduyudydxyy dydxyydxdy y z x zydSf yxzyyxx Capítulo 5- Integral de Superfície 61 2) Calcule a integral de superfície ∫∫ S dsx 2 , onde S é a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. Solução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 3 4 3 40 3 220cos4cos 4 1 3 1 3 10coscoscos 4 102 2 1 3 cossen 4 1 2 1 4022sen2cos 2 1 2 1 cossensen 2 2cos 2 1 11sencoscossensencos cossencos1sencossen sensencossensencossensen cossensencossencossensensencossen cossensensencossen cossensensencossen sencoscossensensencossen cossensencossensensencoscossen 0cossensensen sensencoscoscos cossen 20 0 cossensencossen: 4 0 1 1 3 0 4 0 2 0 1 1 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 2 0 2 2 0 0 22 2 0 0 22 2222224 22224222424 22222 22 2222 2222 2 0 0 22 2 0 0 2 ππππ ππφθ πθθφφθθθ φφφφφθθ φφφφφφφθθ θφθφφθφφθφ φφφφφφφφ φφθθφφφθφθφ φφθφθφθ σ φ σ φφθφθφ θθφφθφθφ θφθφφθφθφφ θφθφ φθφθφθ σ φ σ θφθ σ φ σθφ θφθ σ φ σ πθ πφ φθφθφ ππππ ππ π πππ ππ ππππ ππ ππ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−++−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⋅ ≤≤=⇒=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + −≤≤−=⇒==− =−=⋅ ==+=+= ++=++= ++=∂ ∂ ∂ ∂ ++= +++= +++= − −=∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ ∂ ∂ ∂ ∂= ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ === − − ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ uuduu udduuduuddd ddd udduudd dddd X kji kji ikjk kji X ddX ddXxdSf zyxaçãoParametriz Capítulo 5- Integral de Superfície 62 3) Calcule onde f(x, y, z) = x +3z2, M sendo a parte do plano z = y limitada pela superfície x2 + y2 = 9. Solução: Seja a parametrização ),,(),( yyxyx =σ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 4 22430 16 22432 8 2243 0sen4sen 16 224302 8 2243sen 16 2243 8 22430 cos 16 2243 8 22430sen2sen29 4022Fazendo 2 2cos 2 1 4 2243sen29sen 4 243cos92 sen 4 243cos0 3 272sen 4 3cos 3 2 sen3cos2sen3cos2 30 20 sencos polares scoordenadaparaPassando 3223 21011 4 0 2 0 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 3 0 43 0 3 2 0 232 3 0 2 0 22 3 0 22 22 ππ ππθ θπ πθθ θθθθθθθ θθθθθθ θθθθθθ πθθθ ππ ππ π π ππ ππ ππ =⋅−⋅= =−−−=−+= =−+− ≤≤=⇒= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=+ ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤== =+=⋅+= =++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+= ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫ u duud udduu ddd ddrr drdrrdrdrrr r ryrx dxdyyxdxdyzxdSf dxdydxdydxdy y z x zdS 5.2. Integral de Superfície de Campo Vetorial Do mesmo modo que um campo vetorial pode ser integrado sobre uma curva, ele pode ser integrado sobre uma superfície. Para cada paralelogramo que forma um elemento de área da superfície, nós nomeamos uma componente normal do campo vetorial de algum ponto interior. Como a divisão da superfície é refinada, a soma do produto da área do paralelogramo e a componente normal do campo vetorial são a integral do campo vetorial sobre a superfície, geralmente escrita por: ∫∫ →→ S dSn.F (5.14) Capítulo 5- Integral de Superfície 63 onde dS é usado para representar o “elemento de área”, e → n é o vetor normal. Seja S uma superfície parametrizada por: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ),( ),( ),( vuz vuy vux σ (5.15) →σ (u,v) = x(u,v) →i + y(u,v) →j + z(u,v) →k , (u,v) ∈ D. A esta superfície são associados dois campos de vetores normais unitários: Figura 5.1- Vetores normais unitários associados à superfície S. v X u v X u))v,u((n1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =→ σσ σσ σ (5.16) e ))v,u((n))v,u((n 12 σσ →→ −= (5.17) Onde v X u ∂ ∂ ∂ ∂ σσ é a normal do produto vetorial e → 1n é o versor normal. O versor normal para a superfície tem um papel fundamental, deve haver um versor normal → n para cada ponto (x,y,z) de modo que varie continuamente sobre S. Então a superfície S é chamada de uma superfície orientada. Dizemos que S está orientada se fixarmos sobre S um tal campo de vetores. Seja → F um campo vetorial contínuo definido em uma superfície orientada S parametrizada por σ(u,v), (u,v) ∈ D. Sabe-se que: dudv v x u dS ∂ ∂ ∂ ∂= σσ (5.18) Então definimos a integral de superfície de → F sobre S por: n1 n2 Capítulo 5- Integral de Superfície 64 ∫∫∫∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂∂∂∂=∂∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅=⋅ →→→→ DDS dudv v X u Fdudv v X u v X u v X uFdSnF σσσσσσ σσ (5.19) Se →→ = 1nn , a integral muda de sinal. Esta integral é o fluxo de → F através da superfície S. Quando S é definida explicitamente pela função z = g ( x , y ), ( x , y ) ∈ D, temos: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = = ),( yxgz yy xx σ (5.20) Nesse caso, y X x y X xn ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =→ σσ σσ (5.21) Sendo que: →→→ +∂ ∂−∂ ∂−⇒ ∂∂ ∂∂=∂ ∂ ∂ ∂ k y gj x gi y g10 x g01 kji y X x σσ (5.22) 22 y g x g1 kj y )y,x(g
