C3-6

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Parametrizações de uma curva 
O vetor posição r = 𝑂𝑃 de uma 
partícula em movimento no espaço é 
uma função do tempo. 
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 
Parametrizações de superfícies 
Superfície parametrizada S expressa como uma 
função vetorial de duas variáveis definidas em 
uma região R. 
r(u, v) = ƒ(u, v)i + g(u, v)j + h(u, v)k 
a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d. 
r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k 
Coordenadas cilíndricas fornecem uma parametrização 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟 
r(u, v) = ƒ(u, v)i + g(u, v)j + h(u, v)k 
a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d. 
Encontre uma parametrização da esfera x2 + y2 + z2 = a2 
Coordenadas esféricas 
Encontre uma parametrização da esfera x2 + y2 + z2 = a2 
Encontre uma parametrização do cilindro parabólico 
y = x2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4 
Encontre uma parametrização do cilindro parabólico 
y = x2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4 
Na superfície, temos x = x, y = x2 e z = z, 
 
r(x, z) = xi + x2j + zk 
 
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4. 
Encontre uma parametrização do cilindro x2 + (y – 3)2 = 9 ; 0 ≤ z ≤ 5. 
Em coordenadas cilíndricas 
Encontre uma parametrização do cilindro 
x2 + (y – 3)2 = 9, 0 ≤ z ≤ 5. 
Área de superfície 
Nosso objetivo e encontrar uma integral dupla para o cálculo da área de uma 
superfície curva S com base na parametrização 
r(u, v) = ƒ(u, v)i + g(u, v)j + h(u, v)k 
a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d. Parametrização 
Elemento de área retangular ∆Auv no plano u v é mapeado sobre um 
elemento de área curvo ∆𝝈uv em S. 
Vista aumentada de ∆𝝈uv 
O vetor de derivada parcial ru(u0, v0) é 
tangente a C1 em P0. 
Também, rv(u0, v0) é tangente a C2 em P0. 
O produto vetorial ru × rv é normal a 
superfície em P0 
𝐫𝑢 = 𝜕𝐫𝜕𝑢 𝐫𝑢 ≈ ∆𝐫∆𝑢 ∆𝐫 ≈ ∆𝑢 𝐫𝑢 
Aproximamos o elemento de área de 
superfície ∆𝝈uv pelo paralelogramo no 
plano tangente cujos lados são 
determinados pelos vetores 𝐫𝑢∆𝑢 e 𝐫𝑣∆𝑣 
A área da superfície lisa r(u, y) = ƒ(u, v)i + g(u, v)j + h(u, v)k, a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d 
Diferencial de área de superfície 
para uma superfície parametrizada 
Área de Superfícies implícitas F( x, y, z(x,y) ) = 0 
onde p = i, j ou k 
é normal a R 
r(u, v) = ƒ(u, v)i + g(u, v)j + h(u, v)k, a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d 
r(x, y) = x i + y j + z(x, y )k 𝐫𝑥 𝑥, 𝑦 = 1𝐢 + 0𝐣 + 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝐤 𝐫𝑦 𝑥,𝑦 = 0𝐢 + 1𝐣 + 𝜕𝑧𝜕𝑦𝐤 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦) = 0 𝜕𝐹𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑥 + 𝜕𝐹𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 + 𝜕𝐹𝜕𝑧 𝜕𝑧𝜕𝑥 = 0 𝜕𝐹𝜕𝑥 + 𝜕𝐹𝜕𝑧 𝜕𝑧𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑧𝜕𝑥 = −𝐹𝑥𝐹𝑧 𝜕𝑧𝜕𝑦 = −𝐹𝑦𝐹𝑧 𝐫𝑥 × 𝐫𝑦 = 𝐹𝑥𝐹𝑧 𝐢 + 𝐹𝑦𝐹𝑧 𝐣 + 𝐤 = 1𝐹𝑧 𝐹𝑥𝐢 + 𝐹𝑦𝐣 + 𝐹𝑧𝐤 = 𝛁𝐹𝛁𝐹 ∙ 𝐤 
Área de uma superfície com equação z =f (x, y) 
r(u, v) = ƒ(u, v)i + g(u, v)j + h(u, v)k, a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d 
r(x, y) = x i + y j + f(x, y )k 
Superfícies implícitas 
Superfície parametrizada r(u, v) = ƒ(u, v)i + g(u, v)j + h(u, v)k 
a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d. 
F(x, y, z) = c 
onde p = i, j ou k 
é normal a R 
Superfícies explícitas 
z = ƒ(x, y) 
R região no 
plano xy 
R é a projeção vertical ou “sombra” de S sobre um plano coordenado 
Encontre a área da superfície de uma esfera de raio a. 
Encontre a área da superfície de uma esfera de raio a. 
Solução r(u, v) = ƒ(u, v)i + g(u, v)j + h(u, v)k 
a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d. 
Encontre a área da superfície do cone 
Encontre a área da superfície do cone 
Solução 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟 
r(u, v) = ƒ(u, v)i + g(u, v)j + h(u, v)k 
a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d. 
Encontre a área da superfície cortada a partir do fundo do paraboloide x2 + y2 – z = 0 
pelo plano z = 4. 
Encontre a área da superfície cortada a partir do fundo do paraboloide x2 + y2 – z = 0 
pelo plano z = 4. 
Superfícies implícitas 
onde p = i, j ou k é normal a R 
Superfícies explícitas 
R região no plano xy 
R é a projeção vertical ou “sombra” de S 
sobre um plano coordenado 
F(x, y, z) = c 
z = ƒ(x, y) 
Encontre a área da superfície cortada a partir do fundo do paraboloide x2 + y2 – z = 0 
pelo plano z = 4. 
Para obter um vetor unitário normal ao 
plano de R, podemos tomar p = k. 
Formulação 
Superfícies implícitas 
Formulação Superfícies explícitas z = ƒ(x, y) 
Na região R, dA = dx dy. 
Formulação Superfícies explícitas 
Integrais de superfície 
Para uma superfície lisa S definida parametricamente como 
r(u, v) =ƒ(u, v)i + g(u, v)j + h(u, v)k, (u, v) ฀ R, é uma função continua G(x, y, z) definida 
em S, a integral de superfície de G sobre S e fornecida pela integral dupla sobre R, 
A integral de superfície assume diferentes significados em diferentes aplicações. 
Se G tem o valor constante 1, a integral fornece a área de S. 
Se G é a densidade de massa de uma casca fina de material modelado por S, a 
integral fornece a massa da casca. 
Se G é a densidade de carga de uma casca fina, então a integral fornece a carga total. 
Para uma superfície S fornecida implicitamente por F(x, y, z) = c, onde F e uma 
função continuamente derivável, com S acima de sua região fechada e limitada R no 
plano coordenado abaixo dela, a integral de superfície da função continua G sobre S e 
fornecida pela integral dupla sobre R (onde p e um vetor unitário normal a R) 
Para uma superfície S fornecida explicitamente como o gráfico de z = ƒ(x, y), 
onde ƒ e uma função continuamente derivável sobre uma região R no plano xy, a 
integral de superfície da função continua G sobre S e dada pela integral dupla 
sobre R, 
No exercício anterior: 
Solução 
Integre G(x, y, z) = xyz sobre a superfície do cubo cortado a partir do 
primeiro octante pelos planos x = 1, y = 1 e z = 1 
Integre G(x, y, z) = xyz sobre a superfície do cubo cortado a partir do 
primeiro octante pelos planos x = 1, y = 1 e z = 1 
Integramos xyz sobre cada um dos seis lados 
e somamos os resultados. Como xyz = 0 nos 
lados que estão nos planos coordenados, a 
integral sobre a superfície do cubo e 
reduzida para 
Integral de superfície para fluxo 
o Chamamos uma superfície lisa S de orientável ou bilateral se for possível definir 
um campo n de vetores normais unitários em S que varie continuamente com a 
posição. 
o Esferas e outras superfícies lisas fechadas no espaço (superfícies lisas que 
delimitam sólidos) são orientáveis. 
o Por convenção, escolhemos n em uma superfície fechada apontando para fora. 
As superfícies fechadas 
lisas no espaço são 
orientáveis. O vetor normal 
unitário exterior define a 
direção positiva em cada 
ponto. 
O fluxo de um campo vetorial tridimensional F através 
de uma superfície orientada S na direção de n é: 
A definição e análoga ao fluxo de um campo 
bidimensional F através de uma curva plana C 
Encontre o fluxo de F = yzi + xj – z2k através do cilindro parabólico 
y = x2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4, na direção n indicada na figura 
Encontre o fluxo de F = yzi + xj – z2k através do cilindro parabólico 
y = x2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4, na direção n indicada na figura 
Na superfície, temos x = x, y = x2 e z = z 
 
 r(x, z) = xi + x2j + zk 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4. 
F = Mi + Nj 
Forma Tangencial 
Forma Normal 
𝐓 = 𝑑𝐫𝑑𝑠 
 𝑋 d𝑥 + 𝑌 d𝑦 = 𝜕𝑌𝜕𝑥 − 𝜕𝑋𝜕𝑦 𝑑𝐴𝑹 
 𝐅 ∙ 𝐧𝑑𝑠 = 𝑀𝑑𝑦 − 𝑁𝑑𝑥 = 𝜕𝑀𝜕𝑥 + 𝜕𝑁𝜕𝑦 𝑑𝐴 =𝑹 𝛁 ∙ 𝐅 𝑑𝐴𝑹 Integral da divergência Fluxo exterior 
 𝐅 ∙ 𝐓𝑑𝑠 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 = 𝜕𝑁𝜕𝑥 − 𝜕𝑀𝜕𝑦 𝑑𝐴 =𝑹 𝛁× 𝐅 ∙ 𝐤𝑑𝐴𝑹 Integral do rotacional Circulação em sentido anti-horário 
𝛁 × 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤𝜕𝜕𝑥 𝜕𝜕𝑦 0𝑋 𝑌 0 =
𝜕𝑌𝜕𝑥 − 𝜕𝑋𝜕𝑦 𝐤 
Fluxo e circulação no plano via Teorema de Green 
Teorema de Stokes 
O Teorema de Stokes generaliza o Teorema de Green para três dimensões. 
A forma circulação-rotacional do teorema de Green 
relaciona a circulação em sentido anti-horário de 
um campo vetorial ao redor de uma curva fechada 
simples C no plano xy a uma integral dupla sobre a 
região plana R delimitada por C. 
O teorema de Stokes relaciona a circulação de um 
campovetorial ao redor da borda C de uma 
superfície S orientada no espaço (Figura) a uma 
integral de superfície sobre a superfície S. 
Teorema de Stokes 
Seja S uma superfície orientada lisa por partes tendo uma curva de borda lisa por partes 
C. Seja F = X(x,y,z)i + Y(x,y,z)j + Z(x,y,z)k um campo vetorial cujos componentes 
tenham derivadas parciais de primeira ordem continuas em uma região aberta contendo 
S. Então a circulação de F ao redor de C no sentido anti-horário com relação ao vetor 
normal unitário da superfície n e igual a integral de 𝛁 × F ∙ n sobre S. 
Circulação 
anti-horária 
Integral 
do rotacional 
Observe que se duas superfícies orientadas 
diferentes S1 e S2 tem a mesma borda C, as 
integrais do rotacional são iguais: 
Verifique o Teorema de Stokes para o hemisfério S: x2 + y2 + z2 = 9, z ≥ 0, sua 
circunferência de borda C em z = 0: x2 + y2 = 9, e o campo F = yi – xj. 
Calculamos a circulação anti-horária ao redor de C: 
r(𝜃) = (3 cos 𝜃)i + (3 sen 𝜃)j, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋: 
Verifique o Teorema de Stokes para o hemisfério S: x2 + y2 + z2 = 9, z ≥ 0, sua 
circunferência de borda C em z = 0: x2 + y2 = 9, e o campo F = yi – xj. 
Verifique o Teorema de Stokes para o hemisfério S: x2 + y2 + z2 = 9, z ≥ 0, sua 
circunferência de borda C em z = 0: x2 + y2 = 9, e o campo F = yi – xj. 
Verifique o Teorema de Stokes para o hemisfério S: x2 + y2 + z2 = 9, z ≥ 0, sua 
circunferência de borda C em z = 0: x2 + y2 = 9, e o campo F = yi – xj. 
p=k 
6 
Calcule a circulação ao redor da circunferência de borda C no Exemplo anterior 
utilizando o disco de raio 3 centrado na origem no plano xy como a superfície S 
(em vez do hemisfério). Campo F = yi – xj. 
Calcule a circulação ao redor da circunferência de borda C no Exemplo anterior 
utilizando o disco de raio 3 centrado na origem no plano xy como a superfície S 
(em vez do hemisfério). Campo F = yi – xj. 
A integral de superfície no teorema de Stokes pode ser calculada utilizando 
qualquer superfície tendo a mesma curva de borda C, contanto que a superfície 
seja orientada adequadamente e esteja no domínio do campo F. 
Hemisfério e disco, 
ambos com borda C 
Encontre a circulação do campo F = (x2 – y)i + 4zj + x2k ao redor da curva C na 
qual o plano z = 2 encontra o cone z = (x2 + y2)1/2 , em sentido anti-horário 
Encontre a circulação do campo F = (x2 – y)i + 4zj + x2k ao redor da curva C na 
qual o plano z = 2 encontra o cone z = (x2 + y2)1/2 , em sentido anti-horário 
r(r, 𝜃) = (r cos 𝜃)i + (r sen 𝜃)j + rk, 
0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 𝜋. 
O cone utilizado no Exemplo anterior não é a 
superfície mais fácil de ser utilizada para o cálculo da 
circulação ao redor da circunferência de borda C 
presente no plano z = 3. Se, em vez disso, utilizarmos o 
disco plano de raio 3 centrado no eixo z e presente no 
plano z = 3, então o vetor normal a superfície S é n = k. 
 𝛁 × F = –4i – 2xj + k. 
 𝛁 × F ∙ n = 1 
Encontre a circulação do campo F = (x2 – y)i + 4zj + x2k ao redor da curva C na 
qual o plano z = 2 encontra o cone z = (x2 + y2)1/2 , em sentido anti-horário 
Campos conservativos e o teorema de Stokes 
Teorema de Stokes Campos conservativos 
F = 𝛁ƒ 
Teorema de Gauss ou Teorema da divergência 
Seja F um campo vetorial cujos componentes tenham derivadas parciais de 
primeira ordem continuas, e seja S uma superfície fechada, orientada e lisa por 
partes. O fluxo de F através de S na direção do campo normal unitário exterior da 
superfície n e igual a integral de 𝛁 ∙ F sobre a região D delimitada pela superfície: 
Fluxo 
exterior 
Integral da 
divergência 
Verifique o teorema de Gauss para o campo vetorial em expansão F = xi + yj + zk 
sobre a esfera x2 + y2 + z2 = a2 
Verifique o teorema de Gauss para o campo vetorial em expansão F = xi + yj + zk 
sobre a esfera x2 + y2 + z2 = a2 
Verifique o teorema de Gauss para o campo vetorial em expansão F = xi + yj + zk 
sobre a esfera x2 + y2 + z2 = a2 
Encontre o fluxo exterior de F = xyi + yzj + xzk através da superfície do cubo cortado 
do primeiro octante pelos planos x = 1, y = 1 e z = 1. 
Encontre o fluxo exterior de F = x y i + y z j + x z k através da superfície do 
cubo cortado do primeiro octante pelos planos x = 1, y = 1 e z = 1. 
Em vez de calcular o fluxo como uma soma de seis integrais separadas, uma 
para cada face do cubo, podemos calcular o cubo integrando a divergência 
 𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝜎𝑅 = 𝛁 ∙ 𝐅 𝑑𝑉𝐷 
 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝑋 𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 = 𝜕𝑌𝜕𝑥 − 𝜕𝑋𝜕𝑦 𝑑𝐴𝑹 = 𝛁×𝐅 ∙ 𝐤 𝑑𝐴𝑹 
 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝛁 × 𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝜎𝑆 
 𝐅 ∙ 𝐧 𝑑𝑠 = X d𝑦 − 𝑌 d𝑥 = 𝜕𝑋𝜕𝑥 + 𝜕𝑌𝜕𝑦 𝑑𝐴𝑹 = 𝛁 ∙ 𝐅 𝑑𝐴𝑹 
𝐧 = 𝐓 × 𝐤 = 𝑑𝑥𝑑𝑠 𝐢 + 𝑑𝑦𝑑𝑠 𝐣 × 𝐤 = 𝑑𝑦𝑑𝑠 𝐢 − 𝑑𝑥𝑑𝑠 𝐣 𝐅 = 𝑋 𝐢 + 𝑌 𝐣 + 𝑍 𝐤 
Teorema da 
 divergência 
T. Green Forma 
Tangencial 
Teorema de 
 Stokes 
T. Green 
Forma Normal 
𝐓 = 𝑑𝐫𝑑𝑠 𝑑𝑠 = 𝑑𝐫