Lei de Gauss

Prévia do material em texto

Lei de Gauss 
FLUXO ELÉTRICO 
É uma grandeza proporcional ao número de             
linhas de campo elétrico que penetram em alguma               
superfície. Primeiro, considere um campo elétrico           
que é uniforme em       
módulo e direção como       
na Figura 19.23. As linhas         
de campo penetram uma       
superfície plana retan-     
gular de área A, que é           
perpendicular ao campo.     
Lembre-se de que ​o       
número de linhas por       
unidade de área é       
proporcional ao módulo     
do campo elétrico . O       
número de linhas que       
penetram na superfície da área A é, portanto,               
proporcional ao produto EA. O produto do módulo               
do campo elétrico E, e uma área de superfície A                   
perpendicular ao campo é chamado fluxo elétrico .             
A partir das unidades SI de E e A, vemos que o fluxo                         
elétrico tem unidades de N ⋅ m²/C​. 
 
Se a superfície em questão não é             
perpendicular ao campo, o número de linhas             
através dela deve ser menor que o dado pela                 
equação acima. Este     
conceito pode ser     
compreendido 
considerando a Figura 19.24,       
onde a normal à superfície         
de área A está num ângulo           
θ com o campo elétrico         
uniforme. Note que o       
número de linhas que       
atravessam esta área é       
igual ao número que       
atravessa a área projetada       
A​」, que é perpendicular ao         
campo. Da Figura 19.24, vemos que as duas áreas                 
são relacionadas a ​A​」 = A cos ​θ​. Como o fluxo                     
através da área A é igual ao fluxo que passa por ​A                     
」, podemos concluir que o fluxo desejado é 
 
O fluxo através de uma superfície de área               
fixa tem o valor máximo AE quando o ângulo ​θ                   
entre a normal à superfície e o campo elétrico é                   
zero. Esta situação ocorre quando a normal é               
paralela ao campo e a superfície é perpendicular ao                 
campo. O fluxo é zero quando a superfície é                 
paralela ao campo porque o ​ângulo θ ​é 90º​. 
A variação no campo elétrico ao longo do               
elemento pode ser ignorada se o ​elemento for               
suficientemente pequeno​. É conveniente definir um           
vetor cujo módulo representa a área do ​i​-ésimo               
elemento e cuja direção é definida para ser               
perpendicular à superfície.  
 
 
Teremos muitas vezes que nos interessar           
em avaliar fluxo elétrico através de uma superfície               
fechada. Uma superfície fechada é definida como             
aquela que divide o espaço completamente em             
uma região interior e uma região exterior, de forma                 
que o movimento não pode ter lugar começando               
em uma região e terminando em outra sem               
penetrar na superfície. O fluxo total através da               
superfície é proporcional ao número total de linhas               
que penetram na superfície, em que o número total                 
significa o número deixando o volume rodeado pela               
superfície menos o número que entra no volume. Se                 
mais linhas estão deixando a superfície do que               
entrando, o fluxo total é positivo. Se mais linhas                 
estão entrando do que saindo da superfície, o fluxo                 
total é negativo. 
 
 
 
 
 
LEI DE GAUSS 
É a relação geral entre o fluxo elétrico total                 
através de uma superfície fechada e a carga               
delimitada pela superfície. Primeiro, vamos         
considerar uma carga pontual positiva q localizada             
no centro tro de uma superfície esférica de raio r                   
como na Figura 19.28. As linhas de campo irradiam                 
para fora e, portanto, ficam perpendiculares (ou             
normais) à superfície em cada ponto. Isto é, em                 
cada ponto na superfície, E está em pararlelo com o                   
vetor DeltaA , que representa o elemento local da                 
área DA . Por isso, em todos os pontos da superfície 
 
 
 
O fluxo total através de uma superfície             
esférica é proporcional à carga ​q no centro do                 
interior da superfície. Esse resultado representa           
matematicamente que ​(1) o fluxo total é pro-               
porcional ao número de linhas de campo, ​(2) o                 
número de linhas de campo é proporcional à carga                 
no interior da superfície, e ​(3) todas as linhas de                   
campo da carga devem passar através da             
superfície. 
A construção na Figura 19.29 mostra que o               
número de linhas de campo elétrico através da               
superfície esférica S1 é igual ao número de linhas de                   
campo elétrico através das superfícies não           
esféricas S2 e S3. Portanto, é razoável concluir que                 
o fluxo total através de qualquer superfície fechada               
é independente da forma da referida superfície . 
A Lei de Gauss estabelece que o fluxo total                 
através de qualquer superfície fechada é: 
 
A lei de Gauss é válida para o campo elétrico                   
de qualquer sistema de cargas ou distribuição             
contínua de carga. Contudo, na prática, a técnica é                 
útil para calcular o campo elétrico apenas em               
situações em que o grau de simetria é alto . 
 
APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS 
O passo fundamental em aplicar da lei de                 
Gauss é determinar uma superfície gaussiana útil.             
Essa superfície deve ser uma superfície fechada             
para a qual cada uma das porções de superfície                 
satisfaça uma ou mais das seguintes condições: 
● O valor do campo elétrico pode ser dito               
constante por conta da simetria ao longo             
da porção da superfície. 
● O produto escalar pode ser expresso como             
um produto algébrico simples E ​d​A porque E               
e ​d​A são paralelos. 
● O produto escalar é zero porque E e ​d​A são                   
perpendiculares. 
● O campo elétrico é zero ao longo da porção                 
da superfície.  
Note que diferentes porções da superfície           
gaussiana podem satisfazer diferentes condições         
contanto que cada porção satisfaça pelo menos             
uma condição. Se a distribuição de carga não tem                 
simetria suficiente para que uma superfície           
gaussiana que satisfaça essas condições possa ser             
encontrada, a lei de Gauss não é útil para                 
determinar o campo elétrico para tal distribuição             
de carga. 
 
→ ​Uma distribuição de carga esfericamente           
simétrica​: 
 
 
 
 
 
 
→ ​Uma distribuição de carga cilindricamente           
simétrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→​ Um plano de carga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUTORES EM EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO 
Quando nenhum movimento de carga         
ocorre dentro do condutor (que não seja             
movimento térmico), o condutor está em ​equilíbrio             
eletrostático , e tem as seguintes propriedades: 
● O campo elétrico é zero em todos os lugares                 
dentro do condutor, seja o condutor sólido             
ou oco. 
● Se o condutor é isolado e possui carga, ela                 
reside em sua superfície. 
● O campo elétrico em um ponto fora de um                 
condutor carregado é perpendicular à         
superfície do condutor e tem módulo ,             
em que σ é a densidade de carga da                 
superfície naquele ponto. 
● Em um condutor de forma irregular, adensidade de carga da superfície é maior             
em locais que o raio de curvatura da               
superfície é menor. 
O campo elétrico no interior do condutor             
deve ser ​zero sob o pressuposto de que temos o                   
equilíbrio eletrostático. Se o campo não fosse zero,               
cargas livres dentro do condutor iriam acelerar sob               
a ação da força elétrica. A partir disso e da lei de                       
Gauss, podemos concluir que ​a carga total no               
interior da superfície gaussiana é ​zero​. Como não               
pode haver nenhuma carga total dentro da             
superfície gaussiana (que é arbitrariamente         
próxima à superfície do con- dutor), qualquer carga               
total sobre o condutor deve residir em sua               
superfície.