AULA 10 - Introdução geometria analítica, distância entre pontos e ponto médio

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CURSINHO COLMEIA
MATEMÁTICA B – PROFESSORA: GABI RIBEIRO
INTRODUÇÃO GEOMETRIA ANALÍTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA
O que é Plano Cartesiano?
→ Eixo Y – linha vertical: eixo das ORDENADAS
→ Eixo X – linha horizontal: eixo das ABSCISSAS
→ Ponto P – possui coordenadas X e Y (projeções)
→ Para representar as coordenadas: (Xp, Yp)
par ordenado 
→ Se o ponto estiver em cima do eixo das ABSCISSAS, o Y = 0
→ Se o ponto estiver em cima do eixo das ORDENADAS, o X = 0
(Xp, 0)
(0, Yp)
GEOMETRIA ANALÍTICA
Como localizar um ponto no plano cartesiano?
Um ponto no plano será determinado por dois elementos dos eixos 
cartesianos: uma abscissa e uma ordenada. 
→ Uma no ponto de abcissa (x) = 2 (2,3)
par 
ordenado 
(2, 3)
O local de intersecção entre essas retas é o PONTO A
Para localizar, por exemplo, um ponto de coordenadas (2,3) 
devemos traçar duas perpendiculares:
→ Outra no ponto de ordenada (y) = 3
Quadrantes
→ Possui QUATRO quadrantes – I II III e IV
→ Os pontos do eixo X, que estão nos quadrantes II e III – NEGATIVOS 
→ Os pontos do eixo Y, que estão nos quadrantes I e II – POSITIVOS
→ Os pontos do eixo X, que estão nos quadrantes I e VI – POSITIVOS
→ Os pontos do eixo Y, que estão nos quadrantes III e IV – NEGATIVOS 
→ A origem é 0,0
GEOMETRIA ANALÍTICA – Quadrantes
Bissetrizes – são os segmentos que dividem os ângulos ao meio
→ Retas que cortam exatamente o centro do plano cartesiano
→ Formam 45° com os eixos X e Y
→ Os pontos sobre a bissetriz terão valores de X e Y iguais
(X = Y)
(-X = Y)
GEOMETRIA ANALÍTICA – Bissetrizes
→ Distância:
→ Se os pontos estiverem na mesma reta, 
paralela a ao eixo X, terão o mesmo valor de Y
3
1 4
(1, 3) (4, 3)
A B
→ Se os pontos estiverem na mesma reta, 
paralela a ao eixo Y, terão o mesmo valor de X
3
1
4
(3, 1)
(3, 4)A
B
𝐷 = 𝑋𝐴 − 𝑋𝐵
𝐷 = 4 − 1 → 𝐷 = 3
→ Distância: 𝐷 = 𝑌𝐴 − 𝑌𝐵
𝐷 = 4 − 1 → 𝐷 = 3
A distância entre dois pontos será definida pelo segmento formado entre eles
GEOMETRIA ANALÍTICA – Distância entre dois pontos
→ Se soubermos as coordenadas dos pontos A e B, é 
possível determinar a distância entre eles utilizando 
Pitágoras
→ Quando os pontos não estão paralelos com um dos 
eixos, distância entre os pontos A e B é definida pelo 
segmento inclinado AB
(Xa,Ya)
(Xb,Yb)
hip² = b² + c²
𝑑𝐴𝐵² = (𝑋𝑏 −𝑋𝑎) ² + (𝑌𝑏 −𝑌𝑎)²
𝑑𝐴𝐵 = (𝑋𝑏−𝑋𝑎) ² + (𝑌𝑏−𝑌𝑎)²
GEOMETRIA ANALÍTICA – Distância entre dois pontos
→ Exemplo: Encontre a distância entre o ponto A e B?
→ Quando os pontos não estão paralelos com um dos 
eixos, distância entre os pontos A e B é definida pelo 
segmento inclinado AB
(2, 3)
(4, 5)
𝑑𝐴𝐵 = (4 − 2) ² + (5−3)²
𝑑𝐴𝐵 = 2 ² + 2²
𝑑𝐴𝐵 = 8
𝑑𝐴𝐵 = 2 2
GEOMETRIA ANALÍTICA – Distância entre dois pontos
2) A(2,3) e B(4,5). 
1) 𝑑𝐴𝐵 = (𝑋𝑏−𝑋𝑎) ² + (𝑌𝑏−𝑌𝑎)²
3)
1) (FEI-SP) Num sistema de coordenadas cartesianas são 
dados os pontos A(0,0) e P(3,h). Assinale a alternativa 
cuja expressão representa a distância do ponto P ao 
ponto A em função de h.
a) d=√(9+h²)
b) d=h+3
c) d=3h 
d) d= √(9+6h+h²) 
e) d=9+h 
RESPOSTA:
d(A,B) = 𝒅𝑨𝑩 = (𝑿𝒃−𝑿𝒂) ² + (𝒀𝒃−𝒀𝒂)²
Calcular a distância entre os pontos:
d(A,P) = [(3 − 0)² + ( h − 0)²]
d(A,P) = [(3)² + (h)²]
d(A,P) = (9+h²)
A(0,0) e P(3,h). 
→ Ponto médio:
𝑋𝑀=
𝑋𝑎 +𝑋𝑏
2
𝑌𝑀=
𝑌𝑎 +𝑌𝑏
2
P(𝑋𝑀,𝑌𝑀)
É o ponto que divide o segmento em duas partes exatamente iguais
M (𝑋𝑀,𝑌𝑀) = (
𝒙𝑨+𝒙𝑩
𝟐
,
𝒚𝑨+𝒚𝑩
𝟐
)
GEOMETRIA ANALÍTICA – Ponto médio
2) Determine o valor de x para que o ponto M(2 , 3) seja o ponto médio do segmento de 
extremos A(x , 5) e B(3 , x). 
RESPOSTA:
→ Para calcular o ponto médio: 
OBS: Como em ambas as coordenadas temos x, podemos 
escolher apenas uma para encontrar o valor de x:
1° Substituir os pontos na fórmula: A(x , 5) e B(3 , x). 
M (A,B) = (
𝒙𝑨+𝒙𝑩
𝟐
,
𝒚𝑨+𝒚𝑩
𝟐
)
2 = 
𝒙+𝟑
𝟐
→ 𝟐. 𝟐 = 𝒙 + 𝟑 → 4 – 3 = 𝒙 →
M(2, 3) = M(
𝒙+𝟑
𝟐
,
𝒙 = 𝟏
Logo, para o valor de x 
para que M seja o ponto 
médio é 1
𝟓 + 𝒙
𝟐
)
4) (UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. 
Se A(-2,3) e C(0,5), a área de ABCD, em unidades 
de área, é 
a) 4
b) 4 2
c) 8 
d) 8 2
e) 16 
RESPOSTA:
d(A,C)² = [(Cx − Ax)² + (Cy − Ay)²]
2° Lado L - Pitágoras:
d(A,C) = [(−2− 0)² + ( 3 − 5)²]
d(A,C) = [(−2)² + (2)²]
d(A,C) = (𝟒 + 𝟒)
A(-2,3) e C(0,5). 
→ Diagonal do quadrado = distancia entre os 
pontos AC
d(A,C) = 𝟖
1° Calcular a diagonal:
dAC² = L² + L²
8 ² = L² + L²
8 = 2 L²
L² = 4
L = 2
A B
CD
ÁREA = L . L
ÁREA = 2 .2 
ÁREA = 4
(-2, 3)
(0, 5)
3° Área
FIM!
MATEMÁTICA B – PROFESSORA: GABI RIBEIRO
5) O triângulo de vértices A(8,2), B(3,7) e C(2,1) é 
isósceles? 
RESPOSTA:
→ A, B e C são os vértices do triângulo
→ Para ser isósceles, dois dos seus lados devem ser iguais
d(A,B) = [(Bx − Ax)² + (By − Ay)²]
d(A,B) = [(3 − 8)² + (7 − 2)²]
d(A,B) = [(5)² + (5)²]
d(A,B) = [25+25] = 𝟐. 𝟐𝟓 = 𝟓 𝟐
d(B,C) = [(3 − 2)² + (7 − 1)²]
d(B.C) = [(1)² + (6)²]
d(B,C) = [1+36] = 𝟑𝟕
d(A,C) = [(2 − 8)² + (1 − 2)²]
d(A.C) = [(−6)² + (1)²]
d(A,C) = [36+1] = 𝟑𝟕
1° Calcular a distância entre os pontos:
=
A(8 , 2) B(3 , 7) 
B(3 , 7) C(2 , 1) 
A(8 , 2) C(2 , 1)