AULA 11 - Geometria analítica - Ponto médio e equação da Reta

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CURSINHO COLMEIA
MATEMÁTICA B – PROFESSORA: GABI RIBEIRO
AULA 11 – GEOMETRIA ANALÍTICA
RELEMBRANDO...Plano cartesiano
O que é Plano Cartesiano?
→ Eixo Y – linha vertical: eixo das ORDENADAS
→ Eixo X – linha horizontal: eixo das ABSCISSAS
→ Ponto P – possui coordenadas X e Y (projeções)
→ Para representar as coordenadas: (Xp, Yp)
par ordenado 
RELEMBRANDO...Distância entre dois pontos
→ Se soubermos as coordenadas dos pontos A e B, é 
possível determinar a distância entre eles utilizando 
Pitágoras
→ Quando os pontos não estão paralelos com um dos 
eixos, distância entre os pontos A e B é definida pelo 
segmento inclinado AB
(Xa,Ya)
(Xb,Yb)
hip² = b² + c²
𝑑𝐴𝐵² = (𝑋𝑏 −𝑋𝑎) ² + (𝑌𝑏 −𝑌𝑎)²
𝑑𝐴𝐵 = (𝑋𝑏−𝑋𝑎) ² + (𝑌𝑏−𝑌𝑎)²
→ Ponto médio:
𝑋𝑀=
𝑋𝑎 +𝑋𝑏
2
𝑌𝑀=
𝑌𝑎 +𝑌𝑏
2
P(𝑋𝑀,𝑌𝑀)
É o ponto que divide o segmento em duas partes exatamente iguais
M (𝑋𝑀,𝑌𝑀) = (
𝒙𝑨+𝒙𝑩
𝟐
,
𝒚𝑨+𝒚𝑩
𝟐
)
GEOMETRIA ANALÍTICA – Ponto médio
2) Determine o valor de x para que o ponto M(2 , 3) seja o ponto médio do segmento de 
extremos A(x , 5) e B(3 , x). 
RESPOSTA:
→ Para calcular o ponto médio: 
OBS: Como em ambas as coordenadas temos x, podemos 
escolher apenas uma para encontrar o valor de x:
1° Substituir os pontos na fórmula: A(x , 5) e B(3 , x). 
M (A,B) = (
𝒙𝑨+𝒙𝑩
𝟐
,
𝒚𝑨+𝒚𝑩
𝟐
)
2 = 
𝒙+𝟑
𝟐
→ 𝟐. 𝟐 = 𝒙 + 𝟑 → 4 – 3 = 𝒙 →
M(2, 3) = M(
𝒙+𝟑
𝟐
,
𝒙 = 𝟏
Logo, para o valor de x 
para que M seja o ponto 
médio é 1
𝟓 + 𝒙
𝟐
)
GEOMETRIA ANALÍTICA – Equação da Reta
Reta
→ O ângulo formado entre a reta e o eixo x (abscissas), é chamado de inclinação da reta
→ Uma reta é formada por infinitos pontos
→ Por um ponto, passam infinitas retas, o que determina cada reta é sua inclinação
Coeficiente Angular da Reta (tangente da inclinação) - m
→ É a tangente da inclinação da reta
→ Ângulo SEMPRE é definido no sentido: ANTI-HORÁRIO partindo do eixo x (abscissa)
→ Não existe tangente de 90°, logo, as retas verticais não possuem inclinação
α = 0°
tg 0 = 0
m será ZERO
0° < α < 90°
tg α > 0
m será POSITIVO
90° < α < 180°
tg α < 0
m será NEGATIVO
α = 90°
tg 90°
m não é definido
É preciso conhecer 2 pontos da reta
m = tgꝊ
Coeficiente Angular da Reta (tangente da inclinação) - m
→ Cálculo do coeficiente angular formado por dois pontos da reta:
Ꝋ
Exemplo: 
Determine o coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos 
A(1,4) e B(2,3).
x0=1 e y0=4
x=2 e y=3
0° < Ꝋ < 90°
tgꝊ > 0
m será POSITIVO
90° < Ꝋ < 180°
tgꝊ < 0
m será NEGATIVO
(𝑦 − 𝑦0)
(𝑥 − 𝑥0)
Equação Fundamental da Reta 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥0)
Onde:
x e y = permanecem x e y, não muda
(x0, y0) = ponto qualquer da reta
m = Coeficiente angular da reta
Equação da Reta
→ Chamamos de equação da Reta a condição que as coordenadas de um ponto P devem 
satisfazer para que este pertença a reta;
→ É possível determinar a equação da reta apenas com um dos seus pontos P (x0;y0) e seu 
coeficiente angular:
Exemplo: 
Determine a equação fundamental da reta que passa pelos pontos A(3,1) e B(2,3).
x0=3 e y0=1
x=2 e y=3 
m =
(3 − 1)
(2 − 3)
= −2 y - 1 = -2 (x - 3)
/
𝑚 =
(𝑦 − 𝑦0)
(𝑥 − 𝑥0)
𝑚 𝑥 − 𝑥0 = (𝑦 − 𝑦0)
Lembrete “yoyo mi xoxo”
Equação Fundamental da Reta
Ꝋ
Equação Reduzida da Reta y = mx + b
Onde:
m = Coeficiente Angular da Reta (inclinação)
b = Coeficiente Linear (ponto de intersecção com o eixo y)
y e x = ponto qualquer
OBS: Equação Reduzida da Reta 
auxilia na hora de desenhar 
gráficos
Exemplo: 
Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(3,1) e B(2,3).
x1=3 e y1=1
x2=2 e y2=3 
m =
(3 − 1)
(2 − 3)
= −2 y - 1 = -2 (x - 3)
y - 1 = -2x + 6
y = -2x + 6 + 1
y = -2x + 7Equação Fundamental da Reta
Equação Reduzida da Reta
PARAMOS 
AQUI 24/09 
Ꝋ
Equação Reduzida da Reta y = mx + b
Onde:
m = Coeficiente Angular da Reta (inclinação)
b = Coeficiente Linear (ponto de intersecção com o eixo y)
y e x = ponto qualquer
OBS: Equação Reduzida da Reta 
auxilia na hora de desenhar 
gráficos
Não tem inclinação, logo m= 0
y = b
Qual será a Equação Reduzida da Reta dos casos abaixo?
Não existe tangente de 90°, ou seja, 
não existe eq. Reduzida nesse caso
y = +mx + b y = -mx + b
Equação Geral da Reta ax + by + c = 0
→ Equação “estética” 
→ Toda reta do plano cartesiano, está associada a uma equação do 1° grau (igualada a zero)
→ Sejam os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), não coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano
→ A, B e C são reais, sendo A ≠ 0 ou B ≠ 0
→ Pra encontrar a equação da reta: faz determinante formado pelas coordenadas dos pontos = 0
ax + by + c = 0
Equação Geral da Reta
OBS: Alinhamento de 3 pontos 
→ Define a equação geral da reta
→ Dados 3 pontos:
A (XA, YA) M (XM, YM) B (XB, YB)
Teremos que A, M e B estão alinhados se o determinante for igual a 0
Exemplo: Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), determine se estão alinhados.
Diagonal principal
2 . 7 . 1 = 14
5 . 1 . 5 = 25
1 . 3 . 11 = 33
Diagonal secundária
1 . 7 . 5 = 35
2 . 1 . 11 = 22
5 . 3 . 1 = 15
Somatório diag. principal – Somatório diag. Secundária
(14 + 25 + 33)– (35 + 22 + 15)
72 – 72 = 0
Pontos estão alinhados
Como achar equação da reta: MACETE – Prof° Paulo Pereira
→ Determinante define a equação geral da reta
→
Exemplo: Qual a equação da reta que passa pelos pontos (2, -1) e (1, 3)
(VALORES DA DIREITA) – (VALORES DA ESQUERDA) = 0
2) MACETE: “sanduíche de x y”
x y
2 -1
1 3
x y
-x
6
y
2y
-1
3x
(-x + 6 + y) – (2y – 1 + 3x) = 0
(-x + 6 + y) – 2y + 1 - 3x = 0
-x + 6 + y – 2y + 1 - 3x = 0
-4x - y + 7 = 0
Equação Geral da Reta
Equação Geral da Reta ax + by + c = 0
1) METODO TRADICIONAL: colocaria os pontos no determinante = 0
ax + by + c = 0
Equação Geral da Reta
Exemplo: Transformando equação geral em reduzida
Determine os coeficientes angular e linear da equação:
2x + 3y – 1 = 0
Resolução:
“2” e “3” NÃO são os coeficientes!!
→ Isolar o y:
3𝑦 = −2 𝑥 + 1
𝑦 =
−2 𝑥 + 1
3
𝑦 =
−2
3
𝑥 +
1
3
→ Coeficiente angular = 
−2
3
→ Coeficiente linear = 
1
3
Equação Reduzida da Reta y = mx + b
Equação Geral da Reta ax + by + c = 0
FIM!
MATEMÁTICA B – PROFESSORA: GABI RIBEIRO
EXERCÍCIOS
1) (MGS 2015). O valor de k para que a equação kx – y – 3k + 6 = 0 represente a reta que passa 
pelo ponto (5,0) é:
RESOLUÇÃO
→ Para que o ponto A(5,0) pertença a reta, ele deve satisfazer a 
condição, ou seja, a equação
kx – y - 3k + 6 = 0
SUBSTITUINDO: x=5 e y=0
k.5 – 0 - 3k + 6 = 0
2k + 6 = 0
2k = - 6
k =
−6
2
k = -3
→ A equação reduzida da reta é igual a y = ax + b
a = coeficiente angular
b = coeficiente linear
a = coeficiente angular : é a tangente 
do ângulo α formado pela reta
Reta é decrescente
tan 30° =
3
3
→ A equação reduzida da reta é igual a y = −
3
3
x + b
1) Para descobrir B, substitui um dos pontos: 
PONTO (1,0)
0 = −
3
3
1 + b b = 
3
3
(1,0)
YX
Y = −
3
3
X + 
3
3
2) Equação da reta é:
Y = 
3
3
( 1- x)
4) (UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. 
Se A(-2,3) e C(0,5), a área de ABCD, em unidades 
de área, é 
a) 4
b) 4 2
c) 8 
d) 8 2
e) 16 
RESPOSTA:
d(A,C)² = [(Cx − Ax)² + (Cy − Ay)²]
2° Lado L - Pitágoras:
d(A,C) = [(−2− 0)² + ( 3 − 5)²]
d(A,C) = [(−2)² + (2)²]
d(A,C) = (𝟒 + 𝟒)
A(-2,3) e C(0,5). 
→ Diagonal do quadrado = distancia entre os 
pontos AC
d(A,C) = 𝟖
1° Calcular a diagonal:
dAC² = L² + L²
8 ² = L² + L²
8 = 2 L²
L² = 4
L = 2
A B
CD
ÁREA = L . L
ÁREA = 2 .2 
ÁREA = 4
(-2, 3)
(0, 5)
3° Área